数学建模方法（一）预测与预报

杨利霞

数学建模方法（一）预测与预报
5 u6 O2 z7 s1 c（一）预测与预报

6 G- P9 t9 S# H- c" d, ^灰色预测模型（必须掌握）
" ~1 y- A7 [, n
满足两个条件可用：
①数据样本点个数少，6-15个
②数据呈现指数或者曲线的形式

" Q  [6 K. u% y. Q$ Q5 }. z概述
关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。
7 C% d" U( p- s0 i
6 A' j$ N3 D) a* w原理
- }6 h5 T2 h- Z6 i7 x8 W灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。

分类及求解步骤
$ c! J  i6 Y0 V! E/ g1 O5 g+ w1、GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：

2 Z, @  Z' \8 H; O9 _( b" e
( |% n; s" Y4 t
% C0 s8 Y5 K2 |2 v! N) b! i7 k2.求解步骤思维导图：
6 u% N3 B; Q3 I, z) e

• 实例
  1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据：”

  
  

见下图：

4 k/ B, _! H0 m) d- e  c4 P& B
4 t: W7 ^, V# B( c4 w7 E% A2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：
& d2 f2 d5 J$ `( w
3.灰色预测模型GM（1，1）
0 O% x  a% K3 ?& `0 a8 aGM(1,1).m
7 x/ E8 D9 y6 b: P. p
1 W/ b- I' t$ D$ j%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
syms a b;
c = [a b]';

%原始数列 A
A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列！
n = length(A);

%对原始数列 A 做累加得到数列 B
& B+ c/ q4 h3 Y; j7 u& LB = cumsum(A);

4 T% l. t. f5 k1 V%对数列 B 做紧邻均值生成
for i = 2:n
    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
end
/ _4 G( ^9 |$ z- iC(1) = [];
& Y% q9 e' k3 d( a$ r
%构造数据矩阵
B = [-C;ones(1,n-1)];
Y = A; Y(1) = []; Y = Y';

%使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)
c = inv(B*B')*B*Y;
  ]+ X- v. Y4 r) L+ \6 n  nc = c';
a = c(1); b = c(2);
+ a9 d" h' p- p# A. k9 Q2 R$ ^
%预测后续数据
F = []; F(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
6 }1 ]: L! c& G/ L. ?    F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
end
4 ?# ]/ W# E; @) G
9 [7 M/ q, ]1 W6 T' J6 |%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
G = []; G(1) = A(1);
0 u+ Q) @  z6 U3 N" a& P5 Qfor i = 2:(n+10) %10同上
    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
. r# H* T* ~7 {! C8 C: zend

disp('预测数据为：');
4 j1 |& `4 u( T, I& Y* v9 Z) M4 Q' i( c* PG
- I- Y- @  y) O+ e
# }' t; M( O2 Z% m* a# H%模型检验

H = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
+ X+ n! X- A2 L9 ~1 V%计算残差序列
; r$ d3 l' k, K6 r+ M! u! f, Nepsilon = A - H;
, q1 m  y# `7 ^
) S( G; n# _  Q6 g- D1 Q! p! a, M%法一：相对残差Q检验
+ @9 {' `" ~, E%计算相对误差序列
) `! M/ `1 _4 ?& j7 p, a4 Bdelta = abs(epsilon./A);
- z3 w  R0 z( h3 _4 C0 D%计算相对误差Q
disp('相对残差Q检验：')
Q = mean(delta)
2 L# l  O0 P  q6 M" }$ P1 y
%法二：方差比C检验
" }/ m$ x3 t5 V1 Xdisp('方差比C检验：')
C = std(epsilon, 1)/std(A, 1)

  E8 c' e: h: C. \  h) `+ |' @%法三：小误差概率P检验
S1 = std(A, 1);
" Q. ^8 W; H$ z0 ntmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
# O$ b" B$ t. M4 \disp('小误差概率P检验：')
* w2 \2 D- w( O: j. u$ UP = length(tmp)/n
2 s5 _8 U6 p7 Z- T+ c
1 h# n4 _) i, V, g3 I3 V7 I$ q9 R%绘制曲线图
t1 = 1995:2004;%用自己的，如1 2 3 4 5...
t2 = 1995:2014;%用自己的，如1 2 3 4 5...

3 k% ?  c  q! ~3 P; C* `3 [2 ]plot(t1, A,'ro'); hold on;
plot(t2, G, 'g-');
xlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');
legend('实际污水排放量','预测污水排放量');
3 S* k' R1 a+ M! u4 ntitle('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
grid on;
" Z  L- M# E# i5 [9 r* T


$ g& Y/ F8 ]1 H. W+ t; s/ J/ T

8 e! \( o( K3 V5 [, C$ m