数学建模方法（一）预测与预报

杨利霞

数学建模方法（一）预测与预报
- W2 V# E( w. p3 H（一）预测与预报
4 F3 s+ o* I/ r2 J) Y5 p8 O  {: c
# o8 d. m6 c: Q灰色预测模型（必须掌握）

; K( X$ V! J2 l- N% @满足两个条件可用：
4 C) S: O8 p5 j+ R+ v+ \/ T①数据样本点个数少，6-15个
②数据呈现指数或者曲线的形式

8 l2 i, G3 k5 e6 B9 `概述
关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
1 H" o8 _6 u9 E. s( ]其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。
/ B8 C5 }) A. J# |( K
# R6 n) C: Q- j, N/ f$ ]  ]原理
灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。
' k' F- A) F- i% A0 p  m/ e
/ C  Q3 s: }' r0 |5 C+ c3 Z) t5 a分类及求解步骤
4 m; ^9 J8 G; c/ N1、GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：

2 a# L5 C9 W' `9 D5 T8 e8 m. \) o: {

! N; A  W. [" x3 w2.求解步骤思维导图：


2 q/ P, g4 J$ @' ~, v9 r1 w

• 实例
  1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据：”

  
  , {! Z7 B* q( ~, x8 K$ E; X$ J6 N

见下图：

; I1 P" r/ m" I. ~  j# O

2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：
0 Y7 }: K3 m6 ~$ g# g7 D
3.灰色预测模型GM（1，1）
+ T5 o% N2 G1 h% o: b. zGM(1,1).m

%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
# Z4 F  b8 P% u% P" Hsyms a b;
- s* ?! r( g: ]c = [a b]';
' j1 R% [  E; n9 ]8 ?- C9 x1 V
%原始数列 A
A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列！
n = length(A);

2 }! d0 }# h' Y4 P%对原始数列 A 做累加得到数列 B
B = cumsum(A);
1 ]) N2 G; x( I8 k# [+ D/ Z3 q. P
' Q, H- }# I7 E8 Q7 E& l1 }%对数列 B 做紧邻均值生成
8 d5 c  J3 {; u0 _for i = 2:n
9 ^! _0 W1 h! K9 o" e1 R    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
5 S* {6 h9 R& cend
C(1) = [];

%构造数据矩阵
+ q+ B( k, k9 S/ x+ T3 lB = [-C;ones(1,n-1)];
Y = A; Y(1) = []; Y = Y';

6 X" s  L+ n" v! P0 k%使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)
4 p4 E- F& J/ }; v. T0 h6 Pc = inv(B*B')*B*Y;
c = c';
a = c(1); b = c(2);

%预测后续数据
$ s: Y7 Z' Y/ mF = []; F(1) = A(1);
- U' w+ Z6 y! Ufor i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
1 A, |& K4 ]5 i  w6 }0 h    F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
! e& R; r# h% o% o- j  z6 c! t  Wend
( ?$ E7 f& V& I) x9 z0 Y6 @
' a) u) K$ X$ x* c%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
G = []; G(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %10同上
* [* U" N/ u# V    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
end
% y8 p4 O9 R  I. S" a7 {4 h
8 }! I" F9 S- }% f/ ]$ vdisp('预测数据为：');
4 q' l: ^$ O" _, HG

%模型检验

3 k( C2 I2 _- W' I" X  a3 v6 oH = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
%计算残差序列
! \3 R# C- y/ |7 i% repsilon = A - H;

%法一：相对残差Q检验
%计算相对误差序列
. R' B( P$ W4 }# K, idelta = abs(epsilon./A);
%计算相对误差Q
6 [' j- d4 @0 Q& X/ e  Y* adisp('相对残差Q检验：')
Q = mean(delta)

%法二：方差比C检验
disp('方差比C检验：')
, ^) |$ G/ A: l  T, D  vC = std(epsilon, 1)/std(A, 1)

%法三：小误差概率P检验
$ d: ^4 T* }4 \9 c  `3 Q) c7 AS1 = std(A, 1);
6 w0 w; `$ E! G8 atmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
, q6 {7 K9 o. G# Odisp('小误差概率P检验：')
P = length(tmp)/n

* R4 E1 C) |7 B% W1 P%绘制曲线图
t1 = 1995:2004;%用自己的，如1 2 3 4 5...
) x# m; z0 I6 C; B0 Ct2 = 1995:2014;%用自己的，如1 2 3 4 5...
2 Z6 O. v0 _# h7 Q9 n
4 G8 T; n% ]/ a+ hplot(t1, A,'ro'); hold on;
plot(t2, G, 'g-');
" o5 p* k3 X. d1 [0 wxlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');
9 c# R6 ^  ^3 W9 C7 A% rlegend('实际污水排放量','预测污水排放量');
* y* A+ V& ]4 I( R" S/ v% Gtitle('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
+ u, R* A/ B7 q) l; y% agrid on;
* Q! g9 F( f2 O4 E



) [6 {# H; C& D# o