数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

今天学习了插值法的matlab实现。
2 K. X8 I$ z' n  x/ l3 w0 u我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
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! ~  {, x" ]$ U8 o/ U插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
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一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
# W7 N- z1 X/ \& ^, R这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
. Y+ {9 F- R& j* l# i" ?/ ?) O+ a, Q
接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1 h& U3 ^( ?* E$ |2 Q  y# B/ P* B6 w1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：
  z& U7 G$ {4 K6 o; Q

2）三次样条插值函数

( ?% t$ o4 b) }: X  m其次，再用matlab分别实现两种插值法
; C' r  R8 ^- Y这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
# ?# {7 W% F! c' L! K7 H8 I9 D9 S6 j这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
# f- S5 T0 w- _% I
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
( M: c( j, H4 r8 c1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
/ T$ n  b- |5 f5 A, {（1）代码部分：

- i' q2 s% l" N) j（2）运行结果：
% Y& {9 k5 g- R$ ^. F4 D: j1 I& H4 L
% P9 E, {; |9 a; e
2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：

. L' W/ t9 j4 e8 g$ l% @2 W/ ~
1 k& K0 c; y/ y: v: h* [0 x（2）运行结果：
4 ~% C" F! R' v5 V5 P
6 e0 z# T) `/ }9 s; z2 U
/ b$ z; R4 Y: l& w! h: i7 ^经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
. H, _2 g. c  K5 Q! X- {
8 L3 K( P, V3 i) \3 [' w注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
& K. d1 i3 ~$ S$ _* f: l3 a" ]
8 s' [* T- U, Y2 s0 L8 x+ G

chace

谢谢分享 努力学习
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张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~
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