数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

5 a) q  d9 }' N' y5 ?今天学习了插值法的matlab实现。
- L8 \6 h1 ]  ]4 J; u. j我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
" }) s$ p) q+ F6 r8 N2 J
' ]( n  K. A, f% d$ d$ r  _插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

; T+ Y1 ]* j' h6 M5 ^一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
) x: s2 P% X0 ?, ^9 r3 E, ^这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

# A' w( L( ]! h, O5 F& Q' Q接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
, `. U4 v7 v# q3 [) u5 \/ U4 A② 分段三次埃尔米特插值：
+ x* U4 L. Q( h9 D2 h% m) G
6 c9 u! ^) Y$ e$ D
% R) m- v+ _  j- v; {2）三次样条插值函数

其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
8 i6 ?& X$ t/ N: a7 f" W  U7 C
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
& q3 y" V  D& I（1）代码部分：
/ Z, M5 V9 B6 D: m) A$ [
; G4 C- m# O- C# x/ h/ x( j（2）运行结果：
1 Y6 S+ h- C4 v5 y& ?

. e$ k; E. H" ?$ E* _5 i2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：

2 Z. F( ]( ^% \8 [2 V) O7 w/ Z
（2）运行结果：
! v$ D* H: ?+ H# S5 E
( z% ?! Y, u/ N9 o
- ?, Y; Z; e; [6 ^经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

1 Z& W4 y# J' X9 T注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
$ ~, d5 o& r7 P) i) m  X原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616

chace

谢谢分享 努力学习
8 U  t/ D: {. ~3 h

张迪迪.迪丽热巴

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- A- ?1 T- u' ^6 B2 a) l5 H( i

张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~