数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
, }2 z' {  f9 W' u# s
3 y, f3 p' w: Z  y; ]7 V4 e0 B今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
9 L% d0 N8 \+ e3 d2 W7 q
插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
, |. g: Q' e" S( l7 A" {7 p$ Z3 q  q
一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
5 }2 r& i- q- a- R1 a2 P/ B: d这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
$ p0 Z3 W- |4 g3 L- u; B0 R
1 A* ^2 _5 M! n& ^9 ?接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
( a+ i! S! _6 @1 A; f! @6 Z1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：


2）三次样条插值函数
7 e0 m2 Y- H! m" v4 m
% C" T5 @; l& \! D  K% Q$ c4 v其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
4 a/ V- W5 u+ E  S! N- p这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
" D$ `3 y" \& S/ v7 j8 p
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
0 d; r8 S) t5 D% l) `
+ p, r# M( |( n这是我写的代码：
  R! ]8 t9 `8 Y. V/ o% z# x1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：

（2）运行结果：
, V' ?6 Y; c$ ~4 C2 }+ K
1 b, c0 O9 l+ v9 H
2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：


（2）运行结果：


6 _( l+ G" u" p  X% z经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
* H1 V. {* y0 N, Q& W1 Q5 k% p( Y原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616


  O7 b. H2 ~' L

chace

谢谢分享 努力学习
" A+ G5 U1 Z* [, A; u2 {7 I

张迪迪.迪丽热巴

发表回复
; Q! X" n: o9 z  g

张迪迪.迪丽热巴

发表回复

xiEnqing

听说回帖加体力~