数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

$ C# H3 A: e" I+ o* u5 \. Q2 B" u今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

' s( m: a3 d" [0 W插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

9 z1 V4 K' `8 x/ q, _' f0 A一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
8 P* I4 M) \4 g0 ]这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

0 x2 N0 R" Z2 v6 i. Y* ^接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
5 E" ^0 e# W3 C1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：


- O) ^' R% t+ T4 V2）三次样条插值函数

其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
* F' m( d* r* L  c6 @) v0 n1 Q- C这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
4 W/ E  f% ?4 o8 \( b8 t1 A
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
8 M% C+ `* @4 a$ \. K2 W. f* a, Z（1）代码部分：

2 Y" j! S: Y& |- l$ O& B（2）运行结果：


  a  R$ P5 Q# n8 J5 q2、三次样条插值
" O; g9 s, T; ~" m7 j2 W（1）代码部分（pchip函数）：
; t$ j. U& I/ s) h; ^

（2）运行结果：
, h1 J" f# M! {$ M8 I( {* m

经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
7 a# X. r( H0 u
$ C! L6 S7 L5 W. c注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
7 j2 d  U( ?$ e1 b  [6 I- u5 }* W) {
: f+ K+ }9 j4 K% F6 z% Y
6 i  S. E9 u' V

chace

谢谢分享 努力学习

张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~
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