数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

9 L7 f# a' B2 N% V# O今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
9 n2 \/ j7 M) }- J8 e! Z; _. j
- \/ n9 Y; m$ F# w- a$ i插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
4 \0 v) S) ?6 j; F% g: E! z$ C
# x* I% Z: {/ {9 M一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
( X" Z" K* w6 F" T而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
6 s' E3 M; l' u3 X# T% x& E这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
& Z: H8 a: Z0 D1 l
5 _" |/ H+ S( r1 D! F" _接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
2 X0 o! w# o0 z① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
( X, [, h. B$ q- ~5 h（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
! d% s; V& T4 L- ]5 j② 分段三次埃尔米特插值：
/ u  u5 r% {. s: Y1 Y

2）三次样条插值函数
8 _: P* R; k( r0 e- m+ u( R
其次，再用matlab分别实现两种插值法
; t: ^9 [* N1 Y3 L4 L这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：

1 p5 L$ \8 J; d- ?接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

6 H4 s7 E2 S  ~% }: ]2 _( _$ u这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
. l! l2 p( H) K9 M0 B+ O（1）代码部分：

（2）运行结果：


/ R$ r6 a! c; j/ U# Z  v4 ~( c2、三次样条插值
2 @" G: x  M9 P: p3 U( S2 @  K: |4 T（1）代码部分（pchip函数）：
, u7 o5 V( @9 |) d8 V6 w

（2）运行结果：

4 ~3 D( ^0 a- t% K' r3 ~8 N# [
5 J' x8 G5 X# ?6 U4 X9 ~. q) D+ u经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

# F. i2 P7 z7 ^- }) q注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
* a1 o  C+ {" m* ]1 j$ p, x2 R* K1 x原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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chace

谢谢分享 努力学习
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张迪迪.迪丽热巴

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张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~
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