数学建模十大算法漫谈

杨利霞

数学建模十大算法漫谈

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作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
! L: i; z! P7 L8 v/ oI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
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: l. f! W8 A" m- }------------------------------------------

博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
$ E: f* \0 |5 d! u4 {这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
4 T- C9 }- S/ f7 Y% o2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
  U, _, d6 e! R) E" D% Q同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
$ d% U! P' q$ i0 W- i$ Y7 C" F6 o毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
# W2 J3 f; J/ f% ~9 [# ?若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
+ [  h8 H! C/ x: Y7 ~谢谢。
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一、蒙特卡罗算法
2 i) T" C2 {% a1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
! y1 k4 J, S+ ?- m共同发明了，蒙特卡罗方法。
% Z/ u7 P7 k3 k7 [" i. k, ?( C  s

# y$ ^" _- s8 j, Z0 N8 e# k此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
# a: N- _* R5 B; Shttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx



! G1 z* e( @+ ?& v4 O# J7 b  g( p蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

5 v- B- P5 A( E* K" }. L5 i法。

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: k, ?1 i$ A! p+ o0 ?9 a/ A
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
1 f' F% L4 `& M# F* S4 \* B
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

$ i/ i; q& u8 ~, ?, o蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

! I- Y4 z; z5 d，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

为问题的解。



有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
/ b& k$ h9 H6 y5 w& ?  ]假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
  x6 {0 v0 q7 q6 C; Z6 I0 ^
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

2 O' \) \( N  y# `后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

5 F0 w1 X5 ~' M，结果就越精确。
% p+ r* D! J1 f# h8 f在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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. J! j0 N8 \4 Z5 D, q' I2 i. ]
6 {1 s! L5 @+ M8 A3 D蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

) X) G3 W( z* t% Q拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

近似解。



% _8 S2 ]2 a" A蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
& y' m+ }' }) o/ ?* j  O2 F" T+ ]
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
+ A" B, Q  W3 U2 cI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
. X% M& o; {+ l- ]- u, c: n7 ~. }$ NIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。



+ v+ w4 ~! u0 K2 }$ |
- J; B; c6 Q* E. Y( A$ ^二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
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学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

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/ C1 O" P0 n' E2 x/ ?$ A1 z% D3 m
- b2 l( b2 |) K) t* T此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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* D5 P* y& J9 N* S% e
% x( ~) ]" `& d$ q! ~1 R1 D三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
2 `, [. W. D4 `: Z" S数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

3 \9 O1 t/ z" X+ Z: p完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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需要熟悉这两个软件。
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四、图论算法
这类问题算法有很多，
, m1 J) W4 c; }# @, @& Y' C  j) V包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。


- ~% h3 M+ Y. r% b" l, v7 N# g
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。




五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# Q- m& {% c; ]0 R在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。

) d6 P$ j8 }' W( ?/ ~! [3 y
7 {- @% [4 ~. U/ c9 A9 p这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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0 Z) [3 a& [9 l) }六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
7 _5 l' @1 y' Y( a5 M6 j8 i& ?
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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6 x+ Q6 L2 D# t  c/ P' z3 ~  `" j/ w以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
8 J. Z1 P  f* l: _! L03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

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8 R3 Y2 `; F; H( e9 V. r
& z0 \/ \  }* U: K另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx



其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
4 D! J& h5 J' y+ R: {比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
+ L+ P; M  U$ [3 P' k  c- |
5 ?/ ^, a# `5 [  u5 {! S那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。


6 o# G! A. J) q* |! [在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

: B2 {2 I% S: Q: n* i快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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" ~; p8 c6 q1 h+ E7 V) y
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八、一些连续离散化方法
7 s/ n& b0 \& k% M- q+ P* u大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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* C, u  r- }) L) T( ]/ Z中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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' `* l' U3 L: o* w  {" {' Q这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。




九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
  q! J  ?: O$ T# U
算法。

% Q" [/ K# `6 E如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
, ^( z  ?' f6 H. h
0 U) B# r3 y/ M  _+ }2 w% v7 z函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
" R) \" g. [/ f
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
% \3 R7 v" ?  R4 B: o3 @因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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% o. m) s+ o! J' r% V" G
+ `/ L6 w! `- e+ U/ U
十、图象处理算法
& U5 o: A; k, K3 M0 _# h在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
6 a& V3 v9 `, J$ u" V
8 o2 p, C3 `1 k7 P* ^计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
/ R8 f5 a& B' \* g& d  U


此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336

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+ h0 D, x+ f3 e4 @* N' Y. V$ s
本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
/ e' ]  O4 t: U! j+ h- c( v日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
! P' ]0 {# l4 ^, X: f完。



5 f% ^. q/ L5 u! o) {! g$ R3 q
% c' K  ?! T, U  H! O1 l+ p' l- e
作者声明：
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
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3 W7 s: n( \( z8 Z6 Y原文链接：https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6168683

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总结的很到位，言简意赅
! u+ l0 t! n" g" y) B, Y* I

chace

谢谢分享，总结很好