数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
' U5 i0 `; H- ]% J4 D, U3 K% {" w5 o1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
4 ^( x/ f+ o5 Q( V# I0 t型、马氏链模型等。
9 s4 I  ~, d! R$ Q  X9 M2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
. V2 z  I+ M% m1 ~0 }3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
9 b' h3 g" H1 a2 k3 Y5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
! d3 f/ A. [; Z  ]$ u/ [0 c运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
7 k8 B7 D& P. }3 W0 U/ ]7 x: b$ K2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
$ u# R5 A0 C4 ^+ M2 T3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
" R( S2 t( y. w法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
8 i, Y; b- k' ~- k* l4 、图论算法
' S- Z- J. B* F! k% x# |这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
8 l* K7 N5 _# q1 ]论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
' B; x. S& ]. J# q5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
: i7 E( L) c" ]7 m6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
* N. I8 X8 f9 G0 R; G) I这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
, f0 _" m; }8 x$ t5 ~一些高级语言作为编程工具
2 U! |* R) v0 V( M8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
+ D- @  L& R$ A/ |  N+ S据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
0 d: F! H, e7 [$ v7 s5 V. Q9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
" I1 P. G6 ^& S: T' F. I, q  _10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
& i" l0 A2 m& l, o/ h( c9 {% ]行处理
& f: q% ~+ V1 ]) c/ h6 E' _算法简介
( ?" e0 |4 S+ x2 t& m) r, f1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
3 `3 G! g& [! e( h$ A( }, L! e) Y解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
& z  s* T  v& h8 M1 N个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
* Q* L* O* G- N5 j* s+ o2 ^3 T3 u②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
- l! }% Z4 g' f, q* [6 d微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
& {& N/ a- r1 q" f- D9 q其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
; r( c- i7 t; S# z3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
4 E/ P' b0 p" y4 y  K* a2 Z化； 样本点的个数有要求：
3 r; p; Q* J- l; g& T①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
8 u! d0 R) n/ J8 ]4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
2 n2 H& R- Y5 }7 c% [一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
. F. S6 D% b  b  d互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
) L# d! V9 e/ C0 _概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
: m; |* S- C7 e( O) N7 h( Q数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
8 ]0 m: R# d! f7 |预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
% H) ]) O& }: ]9 K# }大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
5 \. B$ K1 u, \/ V; G  ?, N. Q- O+ f( S办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
  K# F/ o7 v. U8 V. M# {8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
; Y2 e4 [, o1 N4 o# Q9 i9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
1 X+ L* q- I0 t( o- }  e作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
$ r( j% t4 H/ l/ D12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
( G9 H- ?0 g" g4 l2 _. B. _3 t' q优化问题，对各省发展状况进行评判
, Z2 t% b1 G! t" P8 z' {; L. w13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
6 U: b# C% g* L3 t. l& {' j/ @秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
3 A; M$ X% Z* I5 E; N; |7 m法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
7 P6 j( {" [' \2 s6 {可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
2 ]* }& G- |9 A! Q0 i/ P$ i( V0 J该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
. z5 K8 T( O8 o4 I$ A$ M方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
! H4 \3 a4 \( s  N4 s6 ]8 V+ `$ p- e/ _+ ~: r量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
  s+ G/ y; G5 n8 j0 D7 o1 ], v- `( h素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
; k/ t( n; E" k; c0 x" p% A优解。
" I/ [4 c3 Z: X0 S3 p' k18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
, H. e4 {% b, `/ a: {2 N0 u. @非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
  Z# z5 c; [# c# m' w: b# v7 i智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
8 j! S  w& D3 j" H% N8 g19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
7 G) s0 x* y. c& x5 n0 h7 K$ ?- V20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
/ f0 k0 Q* y: G) f排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
: [! i3 z! S. V$ Y( `计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
  k3 ^1 W" n8 }0 h例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
: h, U' o- w+ l$ P22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
8 W' Q+ y+ z6 \4 Q" }, b射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
# ^5 s2 M! \5 @2、因子分析
2 Z1 Y+ T7 ^% l) B3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
; K; p; K) @& V; ?* I: A各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
3 O$ L* ^5 _- v* T) ?( f6、对应分析
7、多维标度法（一般）
  n6 |7 ]# s  ^- N0 k% s) m8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
- Y4 Q% h3 |0 t1 z) N主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
6 }3 N) h5 b* Q: p* Y- n( c2、关联性聚类
3、层次聚类
3 M) i2 b5 V$ V, a! z4、密度聚类
5、其他聚类
% g! c5 F: ]0 T. w( B: W; y6、贝叶斯判别（较好）
) e5 `& `$ S# a7 i* Q7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
: j5 ~3 M; M+ i" z) a8 ?* K! `25 、关联与因果
0 f' F: s) f$ ]% W: }2 q/ y1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
% z( B) y! }* o! g& _  m5、典型相关分析
3 S' `8 r) G3 p: y7 i. m! K（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
( |4 d* d1 I7 v* c& p1 v6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
2 h1 n4 W) ]2 Y) e0 }) n" K/ `3 n数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
5 p6 c  k) ^# C+ K+ ~' d计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
- a7 [8 I7 L6 }$ {* l' q: N26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
5 s- p1 O; K5 d3 _8 l量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
" v" j' y5 S" Z7 o' ^  y3 ?4 E* X率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

4 k3 M. h( z. G, f; H# ~原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964