数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
3 S& N2 a1 h$ ^# C1 ]( c2 o$ X+ O1. 按模型的数学方法分：
1 P1 j8 D2 t4 |1 C几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
5 T- V/ M7 ?2 e( ]* n型、马氏链模型等。
! B/ S# \- N6 R, L* K# M2. 按模型的特征分：
- \5 P+ G. J! L$ ^" }静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
" ?" T: H" o9 t8 z7 `8 f3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4 [3 y7 h' ]. ]& O8 @$ w$ B, N4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
5 ?9 q6 @6 k$ x) O+ A一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
5 R" T8 |" R* Y6 n+ j  N3 g往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
4 F! a) Y3 _: f; q* l国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
  Z  ~0 |9 h! Z数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
! P7 m) ?2 j4 Q1 ~6 {! ]以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
0 I( C" y! E2 t  ]1 G& X2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
: f. K9 f7 ^8 ^4 u' C  n1 r; b3 b通常使用 Matlab 作为工具
8 r; `! z# ~, d. ]3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
, ^0 Z" V( T( l& X9 ~法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
. b- Y; r! z+ A4 、图论算法
& G. F' B; G: ]6 r7 T' `这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
6 O3 K* x5 p+ V  C; N这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
2 f9 Q( X+ w7 A/ M1 {7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
& ~! @3 }4 G( H6 x8 k) q一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
% w7 u& D. W- N) \( W' [. Y7 r8 y  h很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
( O/ s8 u; ~9 r' ]# _如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
/ H0 w% ]+ S: i  ~10 、图象处理算法
% V3 @) T5 x/ ^赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
3 A0 h4 }/ k$ W+ O的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
, R/ z, G% q  f* C, q4 v4 r1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
0 p$ {7 x5 y, r/ i7 c: ~; {个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
% V- x. {, ]8 h7 t②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
( a$ @% B  g3 o- {2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
9 y2 o! \# B1 w7 J6 T2 l- e; L其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
! D" S0 ^- s* L+ N& h3 、回归分析预测 （ 一般） ）
5 M# m, N. r3 h: P0 B  A; R8 g6 v求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
3 F( G4 z7 x7 C6 y# l4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
- W% z) f4 E/ d3 P; ]( O一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
0 r+ O. V" g8 U, _8 `3 R: a互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
" V( }5 K; e* f& w概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
4 T$ `" |  G0 |) ?6 v5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
- H  \% l1 I3 Q- S. D0 M4 x. ?预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
$ @, q* m/ l4 p* G预测波动数据的函数。
3 V& S9 m0 E& B. G3 C( y7、 神经网络 （ 较好） ）
# f  x* g  k, ^+ a2 p) ]4 V) t- ~大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
: }1 {& T0 N% o4 `8 e. Z& X8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
* @. E& X6 G# i( {* X9 O; N9、插值与拟合 （ 一般） ）
3 Z; v3 Z- x" ^! ~8 T拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
4 \+ u4 N( S/ Z8 N5 j逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
0 {8 O: X& r/ |9 v% K作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
( s9 Q7 L4 @' n4 t2 `- i秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
) G( H0 W, a3 y: C似。
3 U: b, j: v. b2 q: d- u14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
$ t$ G) [. F- I7 r: w  F评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
9 X  q& E$ p4 U! ~! y: N2 ]0 G+ C解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
1 X- z' e' S) A. Q的最差值。
7 V4 y/ s! ]' B15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
" d: E" S  Z' |; m" Z协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
9 G5 d7 F. I( ]) m2 w8 L此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
& P' u1 ^! v; @; }模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
- R& X& {0 f4 H! A* s# z9 M非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
  q$ C7 f: h4 h! v0 O9 y+ a0 R算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
9 d+ m. X& m( x19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
9 j- Z& }1 O. s( I4 C21 、图像处理 （ 较好） ）
* }: ?# E/ i$ i1 R" J* ?1 O& UMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
- e- r: V3 c- |% l6 r* ]例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
1 k; r2 u" o2 f$ d7 Q$ c22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
& R) b6 X7 f9 s+ h支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
& m  R+ W$ p! m. c射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
7 h/ ?& Q6 v  C1、聚类分析、
2、因子分析
0 Z, L, Q4 _8 y- l  Z) _3 a' l) N3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
1 u6 C1 ?" Q9 q; |6 ]3 T从而达到降维的目的。
# v6 N+ N& A6 K' C4 r- _4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
0 r* z( e8 m5 E: N9 {% s4 S7、多维标度法（一般）
. m* \0 @: A1 ]5 f6 A8、偏最小二乘回归分析（较好）
, D& R7 Q2 Y3 a8 d1 h2 ?! K24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
& Y8 @/ p1 c$ [; h. a3、层次聚类
4、密度聚类
4 o. ]3 ^8 A# f, k4 v' g5、其他聚类
) G# @0 `; H, r: L6、贝叶斯判别（较好）
9 a4 U+ W& u) \4 ^7、费舍尔判别（较好）
0 w1 ^1 n, S+ a, l8、模糊识别
; c' e8 C# Z' x1 m% V5 ]25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
0 v+ Z& r3 |, j9 ~- g+ o# \2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
$ R( F/ S1 |4 p, |7 ?8 l  J/ ^1 w4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
7 m5 D  d1 N9 a( N1 ]' ]5、典型相关分析
: e) k: M6 O+ W. ^! e$ B（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
2 ~6 S2 B9 a5 o5 p3 w% n. {7、生存分析（事件史分析）（较好）
) w  \* D* v+ J+ ]# X! Z2 P0 R9 ?数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
: a: [: S! F7 D7 R" \8、格兰杰因果检验
& q. s$ n) _: n( c& i- C计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
2 M2 |2 B5 D+ r( b6 R) Q$ Y/ R$ c# R9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
0 C  F3 N+ |4 D9 w7 h( R0 T# j量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
8 M% Z# r: k+ o5 u# |6 z
: c8 t- d* S% D. n! r4 V; C- h原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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