数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
/ |# e( v: m; v, x# o" N" C) c% Q' {9 O几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
7 e: E+ }8 |1 q) ~  x静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
$ `3 p4 K7 Q9 [7 q9 t  M性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
- Z  x; i; P, A9 Z人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
* \9 o, [& T4 h! O8 a' @, u1 [' Y预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
1 J. Q; A8 B; D% @' O4 j一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
# [# n& z& k0 ~9 A3 {) c% _往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
2 a  G+ V0 d9 X2 f: g有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
: ], x! K9 I* c8 k2 U* q2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
& @( o% K* N% O0 A/ J3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
# [2 J4 w3 I1 h% P/ W法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
" F3 x, z' f# H4 、图论算法
( I1 H6 A4 S8 b: A" r" H这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
3 O% G$ q5 z1 h2 R) ?论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 C. G) a& @  n" }; R6 A( j5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
+ v* ?& {( ?2 \3 I" n2 W这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
% i; i# }+ e# [4 E帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
+ D% V$ K" Y" ~( ]7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
/ l" M9 g4 I7 M& a很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
6 a- m# M' v7 _据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
( x' A; X  C) m3 _9 q1 A+ u赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
  W# j0 Z; v! B! S# j' f的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
9 r1 Z. u- W9 @/ e5 T; @6 D个条件可用：
6 X; W8 |1 L& a! }$ g: s* r①数据样本点个数 6 个以上
: a2 T6 b$ ~# u2 h* z②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
- ~9 t' c+ z" d) z$ B6 X! `9 `微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
4 e, j( ?8 E" a+ Q其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
" m" [" ]! d* `3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
( J% B  \) b" z  y# ?  c% D①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
- _4 I0 D: ~1 p& G! h( q+ r②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
9 U* E. \. @' Y/ L1 g; K# T一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
5 E# B) w& }# \/ l$ k5 J# e( N互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
; d& v) M3 C8 @! @" j+ ^5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
/ X  P6 E* v% Z2 _$ Z4 K（较好）。
  u8 t& H4 @; m/ K7 B1 i/ n$ ^. N6、 小波分析预测（高大上）
9 B$ t/ Z1 K3 {% m3 i% s: N数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
4 Y) o  P$ H- m+ L7、 神经网络 （ 较好） ）
8 q2 O5 N2 A: x$ z0 w0 @3 A7 s大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
1 j4 g5 C0 F: P适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
* X! X5 h# g+ E: |3 Z9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
; p  `! X) O1 k/ U! l1 e7 M在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 X5 u) M: t9 A! a/ G, x8 m评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 i3 R* b1 J5 d) f/ x11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
) J+ T# L. e) K6 `/ K) q# Z- L/ t2 u12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
8 C- E& e' o6 ]优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
- e4 m/ f& R& E" @+ c* f4 q秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
/ H+ K- u! w3 D6 J法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
* \4 ?9 d6 e3 }8 r14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
% U3 p, W& z- [" z评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
2 O8 J! r  L/ X8 w- q$ H8 m解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
  s' V4 g0 E4 y方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
3 }; W& c. y  f+ g1 O* w5 I- i协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
2 A1 x$ p  b8 Y  O- S% G) }0 Q& f素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
1 {1 v! A- [! x! N& j0 q8 [此外还有灵敏度分析，稳定性分析
! l$ B  P) h" z8 |( M6 H' Y17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
* r8 i+ a- d* [6 m0 A/ h6 P优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
/ Q; W8 T/ E2 Y1 L& M; |非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
& r5 u: B; r; I! A3 e1 e- ~其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
2 F, c8 X: {0 _" k" e! H$ R( w19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
/ c/ ~4 |9 g" K9 Y7 ^0 o离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
9 v% w' _( B# ^, o2 |, D排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
/ f6 B6 `5 N) `: {1 w+ b有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
" |8 }" O* Q* @- d4 F6 \计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
4 J4 b5 t+ q5 i7 }' T* e9 M22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1 N- m3 I$ U6 t) U% w1、聚类分析、
2、因子分析
2 F% J! F3 R  y  {# P3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
" T7 T7 }, b+ E! U+ H各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
) ^+ N3 g6 O' H4 d, }/ N6 e8 U4 K4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7 r3 x7 c* X6 S/ S4 y4 R5 L- o/ l2 o/ j7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
" H) D' d* y# o( R4、密度聚类
! d1 D; g8 f% i( {5 n: H" Z6 F5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
6 \) n" O" Z7 l' P, y4 u  I25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
2 r  f2 N& k& O# R& c$ q5 Q" l3、Person 相关（样本点的个数比较多）
9 P, w0 X7 H+ ~; s2 \" s: n5 k( M4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
; `0 i$ E0 W5 R1 B; Q9 Z) [（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
" n0 S/ i* S2 W) d一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
2 K& d# S2 c. Z5 X3 f% E6、标准化回归分析
  x( d! R  v8 c+ y$ x' i! N若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
. N2 I0 V8 z) H" V2 ?% F$ r% M9 W数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
& N: b4 b" M: D  b2 l. u8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
3 {: K  g& z0 C) x6 x8 t2 E6 K9、优势分析
# ^5 L5 J) q! ~/ o26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
7 i5 a1 c) I* r' U3 K7 h量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
* D: A; j8 Y; x5 R率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

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