数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
5 x( P, O, n- }5 a8 h0 o( y性模型和非线性模型等。
. g. j+ X3 S  S4 z+ Y3 X5 b6 m/ F3. 按模型的应用领域分：
$ C( Y8 W& C- m; h( D1 m人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
2 O# O& c. B) G2 Z2 l/ ~( C% N) b4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
7 H$ m9 y) M& M往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
0 _* ^/ c: Y9 x有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
& Z0 u: {) Q+ Z1 \& M比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
, N. k* r0 v1 ~) J5 j+ z数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
3 {4 x  p1 ]# _$ D# V2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
! I1 P# o' n5 l. J( J6 q6 |比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
4 F) ?( s* }( c' ?3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
) O) D0 B" n" b- ]法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
% h  m! q6 }0 a, _) k4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
  ^' v* W- R$ |1 e( M! _' y# @$ u论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
( R- Z% F! P* r3 b& N3 y4 u: y5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
5 D5 f. i' S! r1 b这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
' f/ S# @5 ^0 O1 g% ]8 l% J. A8 、一些连续离散化方法
) M* k* D; {! D8 e很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
; W4 n) X0 ?$ ^/ E# l0 c如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
1 y0 m/ H- z; a行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
- x/ ^7 q) e0 x3 N2 C解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
" h, b4 m2 W2 f: Z①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
2 D6 B: z6 b2 y, m$ q% a/ o! e化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
) E; f  Q; V$ D  H! _3 @% Q5 Q4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
' g' p( q: o! i/ b一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
- r! _0 y# g- J9 w8 d& k2 R0 e互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
+ x6 {' A, @) q+ k+ C# K概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
8 L; P1 Q4 P9 p, P1 g' p4 T5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
  k2 O0 F: t9 K: k' |% K1 N$ P6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
8 y2 q/ D3 p" p" C% ~0 @/ G3 m预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
' _2 ]. e+ W. j3 q6 b大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
. B4 f* Z- W( O办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
! p0 o2 A7 i' S7 `6 G! O7 U( u8、 混沌序列预测（高大上）
- A% I- A6 p) s' q适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
; T: u( y$ a0 R6 M4 `% t- R2 d9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
5 E5 p8 q5 Q, j  m% C, L( T; t在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
! Q, r- \# C1 F逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
) v$ ]$ J- B* G2 e10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 K: O1 ~; X4 g. k作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
, P. m) q5 L# U/ w/ S% M优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
% a2 A( {  b: K8 Y2 F法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
  f+ T5 c8 f0 G4 K0 I14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
! C5 E  i2 O2 L0 z8 b& h评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
; }! Z* n+ z: c: E, h% B的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
7 z8 b7 `8 S+ d可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
4 o: C5 o; M9 s$ S+ `3 J来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
6 ?4 o- F5 V2 o. ?4 Q7 E方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
4 d1 z0 _; r& e2 k9 c5 U量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
8 f( D3 A: D$ v, [6 W& |& C素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
- @4 `" ]. A/ l" |1 l3 n# [, S此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
- O  c) @; {. q' h7 a( J4 d18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
: c& N# B7 E1 Y8 {* d( d# b' I智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
& D4 [3 b! `3 p$ b& {- f算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
9 W3 P" A( l6 i& r- v" d有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
2 H& W6 p/ ^5 b: G  z' \般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
4 o3 K3 M- L( A7 Z例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
& r/ R" q1 s, X6 z# J& r* p23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
' z& @) O! F/ }6 Z. t: @3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
* o& O5 }% e& ^' a* {8 A) E  e& ?' R从而达到降维的目的。
$ O+ c: \, D% F4、判别分析
4 N4 o& A' }+ S& n5、典型相关分析
6、对应分析
: L( g- U5 k0 _, x2 W/ d- ?9 h7、多维标度法（一般）
7 ~8 C1 g7 ?  F9 W8 L. x! v- Q8、偏最小二乘回归分析（较好）
/ k, F% B" S6 o! t24 、分类与判别
2 S7 j& d* L; y5 \主要包括以下几种方法，
3 K) k0 f6 d7 \$ ?4 a, X1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
  L5 l5 D) B6 H  X5 e5 k* K4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
8 L2 q8 O0 x2 G$ U& T: [2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
! p; l& i0 Y' G& _* u5 k5 Z8 G  A4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
* j! Q& f0 S5 [( U3 ^* o7 Q5、典型相关分析
% l1 M  `" W' M5 m5 @; W（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
" _8 B; `$ V4 [4 p6 j6、标准化回归分析
5 \+ J) u6 _, s8 ~若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
! r* i0 N5 w# ?$ D7 r2 I, |( C计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
1 L  `' ~+ C) i8 F9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
$ P9 N3 P. I0 E  O" a量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
, {/ t0 X; t; A) U2 {率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
) K9 \! U! D0 d  v& m% w. R# k
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964

3 p7 p+ b5 `+ [4 {
1 R. d, _$ L1 y  k" h' M