数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
% B# `( {. B/ |" N1. 按模型的数学方法分：
/ y- C& H- y; j) x) s几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
4 ~' A3 O+ H/ I: u+ b* _* h2. 按模型的特征分：
8 {& T* i2 _0 l0 C  V静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
5 _, [3 \/ a% Y2 z% o: V+ b性模型和非线性模型等。
5 e! m) \1 q: H* O% W3. 按模型的应用领域分：
3 x! M1 G3 }( g6 ^- _7 Z人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4 R% r7 z  n/ V( D+ F. e4 M4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
( |% ?8 z5 F3 s/ Q一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
* _; o) @) y4 l- j1 u7 j有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
4 |1 X) O# y: ^8 k7 O" L* w国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
& l. J5 @) j; R3 d- X$ `. O; X运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
  Y1 x# v7 n& O7 C$ }8 M1 、蒙特卡罗算法
1 x4 m! w4 a! J; S, P$ r8 h! ~该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
( B8 G1 {& R! a1 }比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
% n% s: S4 ~7 C9 G/ }- N4 M' h建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
$ e: B5 w3 i. l7 c) Y6 Z6 Q4 、图论算法
3 ~# j, N/ u% [; a: _& }这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
: g( L  W/ x4 H# {论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
0 {% k2 M0 k5 d3 F9 Y& ]8 l& b6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
( e! `( i, K# U, P' |帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
% Y3 Y) M  b2 U2 H9 T- r& d" b7 、网格算法和穷举法
8 S: p5 q/ ?/ F当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
7 h4 z8 R: H- g! v7 _" ^一些高级语言作为编程工具
' E) D/ \/ H9 l8 、一些连续离散化方法
. `" n+ {0 [% V0 ]: z很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
" {3 M3 k# X8 h& A) x* Z( F9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
2 ?5 a5 Y$ Y) E6 i4 U) N如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
/ Z6 j4 x; _$ E. b: p* q6 D) M10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
3 q9 D1 ]2 ]" ~4 f- ]! k解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
/ P3 v, H, i$ p1 b1 O- ]& b! d①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
6 i9 P2 q3 m; D7 N" q化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
8 L7 Z$ n' o/ T& `# c互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
: m$ Y) R$ t. i4 i+ S! ?, h预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7 p3 u( y" m' F7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
. Q. z% l. T: [. b! y4 c% D8、 混沌序列预测（高大上）
1 g+ v$ B' ?7 _% q适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
! F9 m/ A$ H2 I, X; c7 k9、插值与拟合 （ 一般） ）
; j6 \6 v; j+ Z- J0 A, u拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 G! A3 F$ K# b, L- k- ~评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 z5 K( _* c( i. l( c1 y11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
6 F( ^' Y* s( C8 ^' g8 w12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
  S1 E! B+ y8 O& \  I7 I2 W% @似。
% Q8 k. Q& j2 g8 b/ |; |; C14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
! K0 h$ B# a3 l0 W& d其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
9 g/ f' ?* x% U. }2 e1 ^* H8 L评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
% C0 d# ?& |$ U% T的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
8 R/ c7 I/ C; u7 u4 k$ K/ m& F16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
9 d& B' T2 z- T1 `* A2 A量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
1 p  i8 U' B3 L6 I2 P: l) M此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
2 |6 _0 I7 v6 r! f模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
: Q2 i3 J! S" m% z, y非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
7 v( p- e- C( G2 Z& q智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
! ^; @" T, a# O* o/ ?  ^2 C& L算法、神经网络、粒子群等
; T( r& h3 X: p& i  _其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
. v! U' T6 h, d, V离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
. J2 b( k4 k3 h& |) P20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
2 ^" P  {8 H3 M! ~1 g5 I" @3 e计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
& u+ `. ]2 g/ L+ G, h般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
- f; p. n2 t, n: _7 o21 、图像处理 （ 较好） ）
! Y' e  Y  \& x4 }5 J7 @2 v7 wMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
  |! x9 q9 q( a$ v1 N8 e例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
( q0 o* a4 E0 B) f/ A22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
9 p- a+ S7 Y, V2 o4 E# a  V& I支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
6 V4 [8 ]; Q3 S; C射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
8 ?* i2 O0 z* S. l8 W5 w" q3 r9 J  m0 i1、聚类分析、
; o! R/ c, h# ]- _9 B& e1 N5 e2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
9 o! \) Z  ~; |/ U, c) s从而达到降维的目的。
. w. s+ w4 o- R! |5 x8 Z4、判别分析
5 _5 {! R. n+ i8 h% h6 `  H. @5、典型相关分析
: q# F" A) I- r" A0 p6、对应分析
* Q5 _7 g$ G  }/ U, L" k! n& t! Y4 R7、多维标度法（一般）
6 x! z+ t0 f3 f& g" B( g8、偏最小二乘回归分析（较好）
0 T& u/ c- p3 {  p) W9 {7 b6 a24 、分类与判别
, ], q) y* ?$ P! O主要包括以下几种方法，
* }2 s4 u/ U8 @2 S& k2 m1 e2 A1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
: N- V; l% {! ~$ r: v+ r$ F% H3、层次聚类
( F+ t4 v2 U, T4、密度聚类
+ r- k5 R+ P6 w! W  l9 I3 h5、其他聚类
. O7 \3 c/ I. t0 O( j) }$ h* X6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
9 M6 X0 y7 P3 A: l1 h6 R" F8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
# Z* C4 g& i0 J; u. F3、Person 相关（样本点的个数比较多）
8 N' ?6 Z. A* S5 q4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
( i4 d; G. n4 D  l6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
8 D4 H; h, y7 P! L2 A7、生存分析（事件史分析）（较好）
% F0 k6 h& r1 w$ O3 l& N3 w数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
7 X7 b/ u; t' l0 P( _0 X4 l8 [8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
/ A4 Z  o. C: T* \* O2 y: U9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

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& s& e) u( b5 i# R: ~; L  Y+ \; D
: Y" s% |: m! O' ?- p