数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1 `: R* U: z# ^5 ?7 W1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
' s- Z- t* d' j; D1 d2 Q2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
% {" v5 p/ w* y; f2 _2 z$ M3. 按模型的应用领域分：
/ X) x! Q2 f. B人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
5 b" Q# a: c( g& J2 h$ f4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
- j; h: P) S8 b# y( K往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
4 t& t) X5 V7 L有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
6 o: L* h. J, k+ N% v6 Z& W1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
9 L6 M( ^3 m. a6 O" D  X. ^0 [以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
3 n" l  y5 k3 \  @; O+ v1 M2 k2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
9 J, j, Y# @0 S- I' x4 ]! x通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
' v1 {5 H) n- x% K* o/ l建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
: e$ w! g9 H6 |, ?这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
$ x+ g+ x/ {0 |5 [" |- x  _; a0 h论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  ]- \3 h0 q0 l" g" A这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
8 H( O6 Q" l' T6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
4 V: J. r' C! i, \  Z这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
3 ~% G' Q( g: [: E2 p帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
" d1 G0 X, u! t" F) g8 S0 m很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
1 a6 k" {; T; d2 M. w! m据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
. C% U) `# U$ o/ M如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
5 t1 g! ^7 `. [, q6 G7 J; A( C5 [如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
( a% {  V: H! ^10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
- Q4 v5 W9 y% R/ o3 G行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
) ~  G+ R% F- ]个条件可用：
- \9 X( T+ c! d) k①数据样本点个数 6 个以上
. a7 ~( D* ?, i, ?, y②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
, J! ]8 [* A0 ?1 n3 P2 {% `微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
: D: p, h% V3 Y+ a# Z7 p) t3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
( {5 V9 a3 b- d①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
  p! u8 V4 e) k- F8 Y4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
% ]' g! x+ n) I" W: H( p一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
  j) p- M: V- o* K3 ^5 {9 ?$ w* f概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
, w) ^7 f4 W+ E& f1 P6、 小波分析预测（高大上）
: i2 W0 D9 `  l( w& P0 r: s# y数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
4 M1 c3 [# I$ a3 L. l! y预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
- f0 d! _7 {% z8 t6 y! k3 f  P, x预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
4 d3 n; T' O, Y大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
( v3 G- Y  S1 h$ A  `& P5 t办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
$ \4 F* ~( V! y9、插值与拟合 （ 一般） ）
* p' Z7 T8 m, r6 S& R: V拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
: _0 j1 K2 D& ^8 H1 l6 x! G在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
8 g2 f! O3 k$ ?" n逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
; f9 @. A4 s4 e+ k- d/ O10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
  M5 a$ G6 ~9 s1 r11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
, C' g4 n8 M; [1 A: B9 ?作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
6 ~$ K1 {) K1 r! y# J12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
3 u( W$ \) @' H' s秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
8 ]' c/ \( c2 l1 A4 w) R14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
- K/ H: E% X0 D* s! M其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
. x+ _! x. X6 A的最差值。
7 a- O6 h: T+ m* G5 c% ~5 c3 N6 K15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
* v$ R" k. p+ d4 q4 ^7 A8 D可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
  T! u4 B3 T" ^& p# @16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
2 U* u& ]- e9 F  V4 O  \方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
* Z: t/ P+ z& @( G: j  H% z量有无影响，差异量的多少
( Q  ]# |8 Z8 n1 Q/ s协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
9 r3 M8 A& f; `! T9 a! `素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
. b+ d: _3 I' S0 Q此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
+ l, d: x+ c" }$ c优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
. ?) E5 S3 W1 x智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
- o; ~" ?" ~1 k算法、神经网络、粒子群等
7 q  c' H! I+ x, q其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
# D+ g! v% I2 G4 h4 Q离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
# c  w; y! y: H# _2 k20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
( N  P( e% L2 P7 Y7 S即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
9 F% Q- K3 y' u+ ?) ^& `9 n般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
3 G" ~4 I% O- b例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
9 w( x9 R% q% i5 B7 o支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
$ U+ `; Q; D( X" |23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
$ U% n% z# U8 t9 w" y8 @0 @5、典型相关分析
1 z- e# `; \) e6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
6 i  O4 {: S: C7 Q" V# E5 G1、距离聚类（系统聚类）（一般）
* _) A+ q! d% }5 ~/ m2、关联性聚类
3、层次聚类
. f5 y% s+ u. f: f3 j4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
. N& j! }# n; ?  Z7、费舍尔判别（较好）
2 \% ~- n, M" X9 |8、模糊识别
( u' p) |+ C6 l6 E25 、关联与因果
4 o5 X* D/ b9 X2 D4 J7 b, |1、灰色关联分析方法
0 |; x5 b8 j: c* I2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
1 F7 M# ^( ^; u4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
+ ]# Q3 v" n  P7 @0 k& f5、典型相关分析
: h1 s4 s" S  i4 R* w' G1 p/ k7 _（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
3 v2 r. {' F8 U) ~! D' A, R* q- D若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
3 H2 k0 m  k9 b  ]* D计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
4 P3 L' r/ u% X& s5 D9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
) w% d8 _3 k1 [8 I4 O量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
- f  A  U( ?) h: J3 M* k) q率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 @2 E3 L; \" W" d( F9 j& w- n
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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