数学建模中的传染病模型及其编程求解 文章目录 问题的提出 指数模型 SI模型 问题的提出 医生们发现,在一个民族或地区,当某种传染病流传时,波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律,两次流行(同种疾病)的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢?试用建模方法来加以证明。 指数模型 定义已感染人数为i(t) i(t)i(t),假设每个病人单位时间有效接触(足以使人致病)的人数为λ \lambdaλ,那么,在时间段Δt \Delta tΔt内,病人的增量可以用如下的公式进行计算 i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Deltat) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt 将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边,我们得到如下的递推公式 i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Deltat) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt 以上递推公式意味着,我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ,计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数,将以上思想在Python中进行实现,代码如下。 import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline deltaT = 0.01 lamb = 2 i_list = [] i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病 i_list.append(i0) Tot_Time = 10 TotStep = int(Tot_Time/deltaT) ## for i in range(TotStep): i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT i_list.append(i_new) plt.plot(i_list) 将以上代码在Jupyter Notebook中运行,得到病人人数的变化趋势见下图,从中我们可以看到病人的增长是指数级的,在短短十天后,已经有3000万人患病!这显然不符合实际情况的,那么问题出在哪里了呢? file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif 实际上,若病人解除的是病人,并不能够使病人再次患病,实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法:必须区分已感染者和未感染者。 SI模型 现在我们将人群分成两个群体:已感染者(病人,Infected)和未感染者(健康者,Suspect),该模型称为SI模型,模型假设: 在研究时间内,不考虑死亡率和出生率,即总人数N NN不变,病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t) 每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ,且只有接触健康人才会致病,称λ \lambdaλ为日接触率 仿照指数模型里面的建模方法,在时间段Δt \Delta tΔt内,病人的增量可以用如下的公式进行计算 N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)ΔtN[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt 消去N NN,再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边,我们得到如下的递推公式 i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Deltat) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt 同样地,我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ,计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数,将以上思想在Python中进行实现,代码如下: import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline deltaT = 0.01 lamb = 2 i_list = [] s_list = [] i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病 i_list.append(i0) s_list.append(1 - i0) Tot_Time =5 TotStep = int(Tot_Time/deltaT) ## for i in range(TotStep): i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1] i_list.append(i_new) s_list.append(1- i_new) Time = [i * deltaT for i in range(TotStep +1)] plt.plot(Time,i_list) plt.plot(Time,s_list) plt.title("SI",fontsize = 20) plt.xlabel("Time") plt.ylabel('i(t)') file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif 从SI模型我们可以看到,病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况,在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中,病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线,又称为Logistic曲线,该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。 然后,SI模型的结论告诉我们,无论λ \lambdaλ多么小,最终人群都会患病,这显然也是不符合实际情况的。 ———————————————— 版权声明:本文为CSDN博主「任公子ha」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。 原文链接:https://blog.csdn.net/baidu_26746963/article/details/93918383
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