【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

4 g# Y9 j, k8 p1 `【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
一. 模型
1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
' d$ O) \  X& k- a1 Z2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
. @! S' w4 R+ m0 J9 N3. 建模步骤
& k: U8 E+ L4 M5 h        按机理分析方法的建模步骤如下

& x* {' d! \& C& \8 v5 B
- Z! z* O2 o1 }4. 建模过程
3 J. T0 _- ?6 n/ E- D        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。


9 M/ U  ^# {$ G5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
  R# T! \$ y: k3 p) k        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
3 Q" k! S- M' M! M. }' J7 R1 `$ |        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
! C; f3 `4 p, p6 }1 Z        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
  `& b7 G8 n& G( \5 s7 P6 W        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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三. 机器学习
  _" w3 F$ ]0 D! j+ o       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
# o) {" _8 k: F4 W$ O4 Y        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
5 `# t7 s. P  V2 S) A用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法

$ @( _" g' e0 M# D  C
        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。


参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
8 U8 ]' C9 \( y8 s; P: t9 J2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
0 h" \8 _9 v' ]* m0 l% R8 m' A3. 机器学习（第九版）

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( D" w9 h, Y8 m! V' R原文链接：https://blog.csdn.net/shandianke/article/details/42581155
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7 D7 \  S# i6 z& f% a6 i" T* ] 一. 模型
1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
. a0 L) T' `* W6 V2 d+ @2 M" C       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
  U' c! o- m9 p+ h# ?  P2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
: m! D6 o" v0 U" k7 E3. 建模步骤
9 A, ^7 i) R7 v0 `% O- p3 ]        按机理分析方法的建模步骤如下


1 v- A5 c$ l; q; q( ?5 D( U4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
5 S8 e; O5 R- ]1 v        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
- F& K: S: M/ e二. 系统辨识
        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。


三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
: ^# m& O2 |" v+ U        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
$ V* W# j* w/ ]( R! Z用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
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+ w2 |) s$ W9 d- S* @7 V: Z
3 B. {& d" R6 j3 `) c  w% c        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

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% R+ T& `& |/ n; e( F  S参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
- J2 y! M! o2 g. [8 |" w3. 机器学习（第九版）
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