【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

. v# R' M5 m9 s$ |) ?【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
一. 模型
1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
; i( O  {0 x! ?. ]2 ]' s) e       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
# z& c$ O1 H0 K) E' s( Y       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
9 k% L; r7 W* h        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
3. 建模步骤
9 \$ P1 k, d- Y8 p0 w/ \, o/ [        按机理分析方法的建模步骤如下
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4 W, d2 F% ?  m4 I) s) p+ _
& ?+ K4 J: n2 s9 a: V4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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7 ]; Y# q2 f# y" @2 n' e
1 o1 e+ d4 I$ Y, S2 h# S5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
1 e% i* k/ R! q2 ~        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
% C) h# [+ C8 }. B1 N( ^  U# r        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
5 @4 j- n2 s1 W( f' T        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。


三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
7 }) F8 h  G! Z) p2 s/ z        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
4 Z( y' Y# I7 C2 {用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
( j; ]7 Q9 W: s: A: Z) M

$ i& ~' \6 R$ h        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
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& E) K- [9 ~/ G* w. p* \+ a7 Q
+ [- i' e9 q: O参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
$ G6 M2 o' d. c, x2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
( F: ^) e, W: Q4 H& j. {5 \3. 机器学习（第九版）
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一. 模型
9 k5 m! P3 V) y0 t; X1. 原型和模型
  H5 ]2 G; C9 x, [& v3 k: v        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
/ o6 `' k5 @9 d3 q7 K) J8 Y$ j2 K9 x& ]       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
* w( k: m+ I% o9 V4 d  ~' }1 S$ j- O       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2 g% f, C# i* r( R2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下
9 O# t2 ^4 _) I7 }" e, G5 C% m0 q
, w3 a; z3 m& }, R3 {
2 L4 |' {  K. X2 X  A5 w4. 建模过程
' L2 r2 f6 j% B# H        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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9 M2 O3 h+ N7 |) \, v+ d/ i) q* q" N
, J4 b9 ]: |# m( Y5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
/ |7 |$ M: f; p; P5 e        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
6 U9 Z; ^+ U# I% h! \        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
: P  M! c  z' t9 ^; e$ C+ s        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
' }: I" u5 Y0 j7 l' _: ~) U二. 系统辨识
8 r$ Z( g6 ~( p. o        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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0 }. ]' R1 |/ ?: m- b' P# w三. 机器学习
1 S! G  Z$ V0 m9 w6 s  L7 B       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
* e5 f: e; u0 H. o用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法


        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

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参考文献：
! `3 L; V  @. S; W  v; ]1. 数学模型（第四版）. 姜启源
  C; p% L$ Y) a$ s6 R% o/ Y2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
( Z( K3 Z  A6 A( G9 Y3. 机器学习（第九版）
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