【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
4 d. }6 \) M+ G. S$ d& C+ V 一. 模型
1. 原型和模型
* W8 ~) z: x5 L# ]' J1 J. \6 U: `        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
" D8 I5 ]# L" e0 W' t+ t2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
! _' \* J8 r1 \8 x% W3. 建模步骤
0 ^6 ]+ O. r. l3 G1 p9 G        按机理分析方法的建模步骤如下
4 }' v9 @- K" @

/ |9 o8 w% w( S% s4 I$ ?# g4. 建模过程
7 v  n+ U5 [* d9 T! ~        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。


5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
" m/ F( l0 R) L/ Q& u5 c+ V        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
+ u# u) Y, r0 e5 `5 c: Q: C: B        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
7 F& a  ^7 x+ z' G二. 系统辨识
, {; a- Y" y3 r. U: H        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
! L! B4 `8 w5 @% R; Y* ^        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
2 v, G2 e! N6 l

- Z/ `: [9 L  P0 _5 a' b三. 机器学习
( t. W: Y9 o+ {8 ?       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
" I' R9 V4 h5 R        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
# o+ X' q1 O9 {! W/ b5 ?2 r
+ E6 Z  l- D) x* u- O% h
4 _5 W  e8 U9 `        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
1 f6 X* }' a8 {6 h1 R- g1 w( h
# h' K  Z( y/ g0 j- n8 l  n
参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
* H" P; S* D7 E2 I- q( e3. 机器学习（第九版）

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" S; t) }2 C& f5 A, U原文链接：https://blog.csdn.net/shandianke/article/details/42581155

一. 模型
2 {: k0 V+ L" U4 c1. 原型和模型
0 s2 L) H: S' E3 D2 W- Z& ^        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
2 D" ?* q5 T* G! j9 M       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
5 m1 r7 K) }( q6 P! P' Y# Y2. 建模方法
4 V6 w0 w! L6 [) v7 g; q        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
4 B, V6 s0 M2 h: O3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下
$ s! y" [4 l: F) x! d
8 I+ X' o/ i6 a, E+ m3 Q+ |& \9 [* I
4. 建模过程
7 F3 [! K: Z' d" J! j4 o) X        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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5. 模型分类
/ h+ ]4 A0 \$ Q7 b        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
9 {7 Y$ ]6 `/ v) W3 _, W        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
! p) e6 r# m/ Q& z% ~1 l- h二. 系统辨识
        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
9 P4 X3 {! Q, Z/ }( A  C, B        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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8 b4 h$ \, ]$ V5 N  h三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
" U' p  q2 c' Y, f; q; I        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
6 p& N5 M: H1 T' O! U/ B7 l用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法

8 v( o% i6 e( ?5 U1 e8 F
$ }9 o5 Q% U4 a* g        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
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& |: ?. ~) h" `, `, u1 G
参考文献：
9 v$ Y/ D! r" A. g* `) i" I) G! V+ b/ Y4 D1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）
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