【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

. X% u' Q. H0 ~/ T5 _: v【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
一. 模型
1. 原型和模型
5 l+ z- }+ t8 k3 m* D  Z- [        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
9 n% s$ E% ^! M/ R6 i6 H       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
- m& M' Y; y" k! \* M3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下

  a1 g, X1 S2 }/ q+ Y4 m8 \; u7 h& @
) S, G2 K: L& V9 r4. 建模过程
  \. t8 G3 a3 H        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。


1 |" e5 [1 h5 O0 h! J5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
* E5 _# d: L$ L* s        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
9 ^4 D. `' Q' M' k9 X& k" z        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
3 k8 f) r3 M1 P# p4 A$ L7 W8 }        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
0 Z! Q( c0 O9 l  o        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。


1 D5 e# ]0 T5 {. X三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
. F; Y; O8 Q2 s! C用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法

) G# t3 ^" S% \0 n& t! E
$ Z- w7 `2 R2 c8 W- g: l) }! M        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。


3 l& j+ }# X7 |4 q7 _参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
. P- {3 `0 q" ^0 W2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）
5 A  c! ]# L2 _5 P3 D
1 E% d( _( M8 a- L7 b' C
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9 S# m! T0 z  ~/ `0 ^, w. u. C
3 n7 C4 i, {2 Y* f$ h  [ 一. 模型
5 b4 n8 R! @3 A, z1. 原型和模型
2 g' @4 O* d; K) B! H+ F        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
+ U9 C% _: O9 b- G       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
3 U+ p/ E4 L2 m' S2 m- v* g' W       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
% ~0 a& T1 _8 a* d2. 建模方法
% J$ W7 n& F: ~        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
! a: C  r  l- C* ?" B3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下

3 [, ^: t' n' T
- K- u  q3 x2 x4. 建模过程
& d! u( r5 |% U2 }! m( v        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
9 X2 U, J) Y7 k! r6 L" h7 G1 ~4 ~

5. 模型分类
2 R9 N( V# d- U2 t& E        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
/ _  ~9 G* Y' W% f# I        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
, U5 l  p% |# c9 {        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
5 J! H  C6 Y( c! P+ y3 n8 I+ H  J        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。

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三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
* |8 G+ W2 w$ I  r! E        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
9 A( N  C, Y- \8 a% ^$ n2 g* f5 ^用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法


        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

: W5 V  d, {6 F1 ~
+ A* p$ e& P% }5 K8 P8 H+ Y参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）

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