数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
$ E; a; y, h" v- J, ?  G9 i型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
( k3 P& z$ {* U7 c8 Q# C静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
# l/ s9 A' e1 D+ w5 f. o4. 按建模的目的分： ：
" [/ K; n6 F  a. V7 _1 v6 N: I9 }预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
& [7 c9 X0 X/ u2 F% _' W往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
* X  ^. q. z6 Y4 K国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
- Y) y, K+ o4 e( f, e) o运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
4 Q$ U' U0 |( w% a( ~数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
/ a9 z9 T0 t% k4 f1 R  M该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
, O4 |; a6 d- f- v$ K5 v以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
- ?* a4 c& b# V2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
8 {' m( q7 K$ |, c" |( {建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
% K5 ]; {- a  V: h  [9 c这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
* E* W0 |* B# e0 d, q5 W论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
! o) `' X7 A- ?6 R$ O% |8 r" E这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
0 d# ^2 k- e) T* `- `$ M这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
: Y' ~/ F- y) y$ I  g. b& _帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
  |! d$ j% C! d) [8 J7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
% L) W8 p7 Y# P3 C: {一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
' V' Z- C, j+ g8 s7 e8 o很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
9 y) m( F- l) a0 q+ W6 m据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
$ z! b; F: d3 H0 h' {9 、数值分析算法
, \4 L) N. f+ z+ I3 B1 |% l( Q( X$ P如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
' p3 e  ]4 w* G如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
; B5 c# M. P3 @. W8 T赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
7 }5 G* Y+ U' U% D6 [( f$ ?* z行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
. m9 e' P% g: _- u& I6 y6 j! T个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
5 r; A. f0 N& G7 }+ z7 {2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
! x/ V' b6 b% h6 t3 x' K找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
4 _. @. I0 z' @. B9 v* w" w②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
2 d6 h9 {% A% N2 I一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
7 \& E- X2 h; y" k- f0 [* i% W互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
2 n: {' {+ r# t( r& k4 {9 k& ^$ h（较好）。
$ B: ?* T+ c$ j) l$ v6、 、 小波分析预测（高大上）
+ [. P5 T0 ^% N9 |6 B5 l: J9 c: ?数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
1 L/ z7 J( _& p3 _: J办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
& Q1 S7 @9 u& u# G% p+ i适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# S/ U( N7 [% Z* a) Y: O评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
6 A# m) m* y5 t# e7 q+ B作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
- L2 v. n7 O7 n; x5 I/ [* h12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
- c4 y: G  i3 G优化问题，对各省发展状况进行评判
. [, B) N0 Z  r% F13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
; Z2 d" g7 i2 b$ }: A* `8 W* k7 P似。
$ H8 I- @' O* e$ o! L( q& x14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
& C1 H& t/ J8 q' l* j9 c' X2 S解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
! C# |! ?* Z2 h( s* p9 T4 T1 T的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
* t3 d& j3 w) E- d# {1 y来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
$ J0 @: S7 u# Y' v$ C16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
! S) }5 H- _! D/ X5 \量有无影响，差异量的多少
$ b. j: N, h% Z) _9 \1 S协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
! ~" ~8 G! j: A' V17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
8 E/ X6 m( }% `& I6 R9 Y! V; m9 S3 {算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
( n3 W1 Q' z' X" R19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
: b6 W$ H, T9 K; W  z* q% s20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
) b' q  P7 [& R排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
: I* u6 A# w# g3 [5 a有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
5 Z5 y( S; K% ]/ [/ p) s$ z$ _6 K21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
! C! a' Y+ J3 K  {& Z22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
8 J6 |0 I2 @7 B+ o& t' s+ i支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
4 N. ]9 a; {, y8 O射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
( G0 f+ S6 w* Y3 R# \1、聚类分析、
5 w" o" I! S( y# K& A0 x2、因子分析
* n1 ?! a! n7 S. R. Y* F3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
; W0 O! l  j* {  d$ @) ~7 T+ \: U各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
9 g/ H* b" l2 _* Q从而达到降维的目的。
9 e) b% y- l9 t  j9 [3 N4、判别分析
( s* J( J1 K5 W# M2 t* W6 S& D) L  I5、典型相关分析
* M9 @( M( N# w9 v1 B6、对应分析
3 Q. E7 |: S: X/ X: K5 z. o7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
2 i& l+ |; u$ w' t8 ^+ l9 d24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
1 b9 h# a, I0 }$ H( f) s2、关联性聚类
3、层次聚类
8 J7 Q3 M% D: B  O8 z4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
. K( Z+ W/ I: _/ c0 P7 m7、费舍尔判别（较好）
1 M$ `4 `% [) h: a$ ~# g- x8、模糊识别
25 、关联与因果
+ @, @) O3 t' B  l4 f1、灰色关联分析方法
% j+ H% X. W5 g" Q+ m2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
& R4 F2 R7 @) w3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
& \3 [! \* E- M0 W) ?" ]" O（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
: C$ A/ w1 T. I1 d# x6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
. d; Y) a/ e& F8 _率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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3 b1 l  W0 [3 I. B$ z$ \原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964


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