数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
/ F8 w9 \  C7 I6 s! P) X1. 按模型的数学方法分：
) Q$ G) b5 a* y; U4 A几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
0 x& A+ O9 W' q9 ]) a# T# e2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
6 D: h% S2 D7 y性模型和非线性模型等。
7 T+ I8 U: L5 u+ z$ q: K3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
0 M0 F; V; c  r5 j7 `5 H( I0 d5 b8 J4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
* c+ h2 h( c+ n+ z# i3 ?) P一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
6 `, A% ^5 k$ ?& }" d往也和建模的目的对应
# s; ?7 U3 `4 o; ~, E8 @5. 按对模型结构的了解程度分： ：
$ p( y# q/ k, B" N( {) l有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
( ?5 X$ G- _% c7 @' }  }9 a6. 按比赛命题方向分：
) k  z) }2 `% @7 A3 e国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
! Z8 [: N% Z9 x/ B运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
  i1 A8 b) _2 \( c8 H  H# W% y2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
7 n% |" i; e& `$ ?通常使用 Matlab 作为工具
$ @5 F) A' F, d/ X/ ?& B' R9 K9 [3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
* k" y6 b( h) d! V6 K建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
- y  @8 q1 k/ ]4 、图论算法
( Z- m* g  g6 d+ I, a这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
! H/ P: v) ~/ x, V8 D* Q论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
0 _3 P9 [' q8 F' I: V这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
' E( K" n3 E1 g( Q% l1 P/ V6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
, ]+ U- N" y! ^: F; o这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
0 \8 v0 Y6 {* T, U8 G) y7 、网格算法和穷举法
" a# A" ]/ R& e/ _& q2 G# a当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
* V3 ]3 o( [( D0 p4 o3 V+ G  G/ _8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
+ A7 P0 m8 l3 s6 [$ L: X如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
- Z6 q; d( p0 Y5 C如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
! w* [+ F% A  k* D: m# ?8 i. W的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
: \9 s7 \: s: K0 ~9 f行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
  [& s3 k: R" i7 W8 z解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
! Z1 o& a, a- K9 E/ N②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
! j+ E; P8 y8 V3 c, Z4 B9 ]微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
/ Y4 @2 U. d- ?) \9 [- {! _其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
" k! Y5 |2 S6 x4 ?$ h& ]找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
4 Q' H; n2 Q( p9 }7 d3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
2 _# N' ?5 o/ ~+ P" w①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
7 W( _( L  N* V: F, P互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
6 d) s; v: T3 @/ }. F; K预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
% ?4 c/ b$ e! b3 d* D+ T! e6 Z（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
4 ?2 U: S/ c4 J数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
' z' n* N0 D2 x5 s: v1 k预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
/ @5 I% J) h! I# U; c8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
7 b0 G! ]/ l/ r4 Z) U+ `/ F) j, V2 f3 `10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
; x6 c) j% a+ h5 I3 J1 N评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
8 W5 t2 p  J- l$ O! P( V6 d作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
) c5 M, Z: P' v优化问题，对各省发展状况进行评判
* `* W' }+ B1 s; U13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
3 j3 @0 W7 v; N7 x* K4 O秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
& b, W9 K- \. y14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
6 Y/ s/ `3 b3 d+ Z# i9 l- P其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
" Z: V0 f& ^  I8 I! d15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
1 F) X% L! Q9 ~: m可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
! y3 `, h$ J9 ]( V* y) ]. u16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
$ t. P8 D" t3 T  x6 J$ s方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
3 V, j: `2 }  i协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
8 G" ]" h* ]7 D素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
) s2 w& h1 o  S3 d2 ?2 M此外还有灵敏度分析，稳定性分析
0 R6 P5 p# }* C) g17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
6 m* p' q( M1 z3 N5 N7 T% f) S模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
/ m3 Z1 }1 p1 o: x3 N非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
: u) T& t& t% d1 J. [智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
0 }$ V* a# }' G; ]( b其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
6 e8 i6 ~" v' [19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
. J, p! [! l9 t$ A离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
, _8 X2 t$ d' R2 a9 F* Z4 t即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
" f) n' m- A/ S6 c$ \有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
2 v! s1 Y" K- G0 V: ZMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
. D0 b7 {0 c1 Q$ C, |/ i8 ~2 c例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
$ V5 O9 r8 u( m4 |0 d支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
& U- Y0 [' g, F, m: q! V0 h23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
: [  k6 |) ^1 S各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
% {1 k, P5 ^$ c* @, h7、多维标度法（一般）
9 d; `8 i5 j9 w2 F* E$ ^& Q# `0 L8、偏最小二乘回归分析（较好）
9 a  ~! h7 G% O5 E7 }24 、分类与判别
% o2 t* n. [4 O( o2 N* [2 p$ `主要包括以下几种方法，
6 I& ~! S9 Q+ j1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
. H; K& B, N; j3 t1 e3、层次聚类
4、密度聚类
) ~* f8 d0 d& c, b5、其他聚类
, g# s# m7 ^& w# @6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
- J5 M( x& w- z+ [8、模糊识别
3 L& w# U( s% h2 M; R' x3 G25 、关联与因果
. Y2 Z4 k# g* l6 Q: i4 d8 x1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
" I1 s3 [% C' H8 f$ A一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
5 B  J6 L8 G- S- S5 q: b数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
7 z$ X) X4 N$ ~/ O3 L# Q0 |! I8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
. x5 @7 x) `: Y% M( c1 I5 w————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「Data_Designer」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
1 A, W% o8 c- Q( }9 q