数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
0 t/ X5 K4 H) g2 b8 z1. 按模型的数学方法分：
/ {% B) {# c9 n, r2 I几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
0 g3 a8 E" L9 g, ]( |& [8 V; p型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
4 r; S1 d; Y6 X( B3 H, F静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
0 P- i" S& S2 r% w, E性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
$ u0 d% c' h- v0 Z1 k4. 按建模的目的分： ：
) N+ _" l, L/ R预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
& K2 Z) q6 i4 m往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
5 M) q3 `! p7 p+ }国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
2 I( L; n1 @0 \, A# J3 W运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
% ?: x  ?' E/ D+ C数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
* K9 f7 a# y) ?( P1 z该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
+ v( i0 f* Q7 Q* u比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
! z7 ~4 r4 Q# H  a7 O/ F9 s3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
$ c4 z( U* `, j' |$ K建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
9 a# R$ _4 {+ c2 B; e1 c: M' {法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
9 E  ?( Q" a; P; n6 P: A4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
9 Z! `8 V; r& @/ S# p' P% c5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
+ Z7 q; D7 D; ?1 G# `/ d- _3 w/ }6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
8 j9 c' Z) `4 r! P( x8 j这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
: ~9 w! O6 D: g( y& R8 Y7 、网格算法和穷举法
8 c" T+ ~5 B$ U当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
; r  c7 Z% h: U9 、数值分析算法
% \' ^6 K; j! b1 c# \4 B* G如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
4 ^' o6 q3 n6 W$ e2 \  T10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
8 Z0 {4 _3 {' L8 m2 k/ t+ n的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
$ Z% ]7 T- F* O; F9 N5 ~* m; W  W行处理
9 v" I) l, ?4 n, n2 l. w6 ?& W算法简介
1 ~$ G' _# ]6 u' n; Q3 G1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
7 Q0 I  A4 w, J; O解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
2 s8 I) j3 B, }' _) n②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
( |% p1 g+ T* v5 D- H( Z( E' S( t找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
# G: L1 N! h0 k3 、回归分析预测 （ 一般） ）
& a5 O" `/ b7 w3 _& W# B求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
6 w' p0 z9 ]" |" P②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
3 |' e8 e2 P7 a3 O一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
- ]  y/ Y2 C; b1 _概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
  O+ t3 k3 o8 z1 @( B! H) B预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
# C, f7 S! W1 f5 z5 u6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
7 X1 X. \1 A& @) S5 r: K预测波动数据的函数。
$ J) z8 C7 v; k5 N7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
# K' r' B0 h' C) G* p" z( L8、 、 混沌序列预测（高大上）
8 X# C1 c0 l; }& k& {+ T4 G1 k* x适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
: U0 }0 r8 k8 l: A评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
# {0 @1 U+ o/ F7 L  c. l2 b2 h' D12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
( l+ L+ j$ l/ l) c6 [. Y2 j优化问题，对各省发展状况进行评判
8 l% Z, R' Q# o8 y2 X* |2 i7 }4 V13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
" B& ~7 t" u$ r+ f- w' Z似。
) E# v( O8 Z# j0 m14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
$ W5 @' l9 n& h. i' F& D& x4 C其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
+ I* B7 E' L6 |8 `, P  M# O4 \评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
, N4 O' G1 ^$ w1 }1 j. ~: s7 q0 G解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
( L% b' |' j0 i; R的最差值。
( s- }  R2 M( W8 ~15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
- j$ R& ?) Z6 }8 C. w9 A6 U+ S2 V) i16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
8 |$ ?" u; g2 s: {3 A2 s方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
- w; V- m3 ]; ~' ?6 B: j* u量有无影响，差异量的多少
* q% W1 K( Z  K协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
$ b* ]0 `0 Q3 w. ]+ G3 x# {此外还有灵敏度分析，稳定性分析
: n7 k, `" B! B+ d% w17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
( K+ n; A. Q  i, l5 r, D非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
) i( `$ {0 P( `: V6 N: F1 e( o算法、神经网络、粒子群等
4 H6 }2 T7 t- q其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
6 }& F: i7 Z4 h# `19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
5 J, q- a( R7 c- ^20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
8 K$ d5 F( a+ Q4 @4 K有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
- v' |8 T6 l+ h5 A/ I0 E- u' j21 、图像处理 （ 较好） ）
0 \( E6 ?4 g* n% o: \/ n! h8 _7 rMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
3 C1 o1 O! W  z1 U( U支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
2 R6 C7 R. j% T& }5 x2 D# O! Q# w23、 、 多元分析
( v/ ]7 ^# ~; C, x" g( n0 r% o6 g. V1、聚类分析、
2、因子分析
0 Y+ B% R' m; {0 M" Y1 H. l3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
8 u0 j" A) I. x$ p; j  C+ L从而达到降维的目的。
2 a2 ~; C1 X/ d9 @8 P, X* |4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
( x) T: h  l+ q# F主要包括以下几种方法，
7 r: Q3 l. L# `1 K9 P1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
3 m" a6 r$ I; g. d0 J  q9 H0 R% D6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
5 W! ~0 [; L* u; Q( ?/ ~1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
6 }. |# F8 K7 U- l% _4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
1 g! j+ p- r, J( _* O若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
( L4 G! ?$ V0 w/ Z7、生存分析（事件史分析）（较好）
* x" j" i! ]  P! K3 X' ~2 b% U数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
  o% l4 [9 @7 c率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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