数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

1 q* l* b9 l4 O8 j数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
! o1 C, Q4 N6 I% t% V几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
! A' {, {! |9 s5 ]# M静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
& l6 t) b3 p+ S# w4 y5 J性模型和非线性模型等。
5 L' `0 b" d7 `# ~1 L5 {8 V3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
: t' ?  x3 \" O4. 按建模的目的分： ：
$ b" p( Y! @: O# r4 i: N6 b预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
: J1 |, g4 x) D8 J往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
0 Z( ~$ d, g1 L& z6. 按比赛命题方向分：
3 X; }" l9 ~& u% d5 I1 d国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
% D7 I! S/ ^. s3 U" a9 r8 |1 、蒙特卡罗算法
4 s3 o% a* d( \% l该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
; p8 F; }9 n5 H. \以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
& j% w% U% L/ d: w  y/ ?比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
+ T! ?( |& h  i3 l6 a' v3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
, M  ?# P! Z1 C9 A) `1 A& |( m法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
2 N( p6 P6 u4 N" T' m2 V  z论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
3 L1 J/ A9 R" Q+ T; h' J0 z这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
* P4 j7 M6 ^  O3 k+ s  Q. d6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
4 D+ P6 X1 f+ J8 E5 g, k一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
9 x: U5 N8 c) ]( ^很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
& Z3 }4 ~" B: G4 A" Y+ O( A0 I9 q据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
/ D3 ^1 a! h( m6 Q9 、数值分析算法
/ u9 _  V/ u( `! D) t如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
6 Y0 o+ z- [; t7 Q0 e; U0 Q* f  R如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
  @! D& K* H4 G# n2 D10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
& I, [7 Y# e  L( J. k的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
2 @  O' @7 h8 S' q2 V) v行处理
2 c/ v  r1 d' w% s: n算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
  R  T- t0 Z7 g% J  d, x+ t个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
3 w: m! z0 u2 i6 u微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
) i, l9 ~8 w% J# i' J# }& g2 m其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
: f( X- K( \4 t7 L4 Q8 R找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
' @! o1 E% ]. d化； 样本点的个数有要求：
! [! S. T2 m, [  j' L+ l' u①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
' o% r) z, U  e# N. e9 i8 f% Z6 {& T# F4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
: B6 f5 b4 l% r. @. D+ \' [互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
( y5 F7 {6 j* Z8 w( m2 L! D预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
8 a8 a6 J4 R" D5 v4 ?（较好）。
# W: V) l" i' M) ?$ [2 ~0 A5 S6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
  ~: [4 ]9 D+ b: L' N- c; N预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
# A/ O$ k; W: d5 E# i9 l/ N大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
% y* a$ ]( n$ i% S4 J8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
* g$ E+ v6 V# N; g. i2 V" Z9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
* W, m/ Q8 U% s9 E/ ]" g0 q3 N! S在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
8 n* V* f/ E4 X8 q作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
, q8 J- R, b/ D5 d0 @' O, g* D12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
& ~: V, A6 h" n3 {6 D2 R3 O13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
. M* y4 T: u4 m秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
8 S( }( P9 @1 m9 w( ?% _+ r  z法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
$ t+ r( x8 {3 l) U) \# i2 N评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
5 O0 B6 r. p' d, A/ q解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
9 N0 i" u: p) O' x" ?8 s的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
$ A; k( u# w1 R' n' F16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
: Q( V3 z! Q9 `1 i方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
0 B* ^1 G: \7 n. M  N0 c量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
( @6 K) A) A% o6 |1 l4 _$ L5 [优解。
, a) y( f: N9 z$ G5 a$ N! [% {18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
4 O- G- T5 A$ l% l* B2 S智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
# O  F2 M( T- }' i* z5 P0 f4 i其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
& G) i2 W7 y" k/ Q% a19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
( {5 E; m  K# R% a3 F排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
7 \/ H' m/ e4 b- @4 b% Z即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
: F+ ~; B. E3 M8 ]4 D* z计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
- v' B) S4 f' I! B: CMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
3 v* S9 y/ v; D8 f22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
: Q4 S/ D" U+ F" c9 m: \0 k支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
7 o+ g# U- ^. ^5 }射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
6 Y. i5 b0 r6 B1 m. N+ r23、 、 多元分析
/ b/ ?' {0 z: I1、聚类分析、
( L! O# M% ]9 P2、因子分析
# s* E1 w) B/ u% `. [$ w% D3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
7 f% s7 x5 J1 _; C1 o& i8 v5 _6、对应分析
1 i! H+ z  c6 `, h+ E1 @7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
( J  b/ v8 {3 h. P3、层次聚类
4 ]5 s5 o& f* L, y' @- {4、密度聚类
0 C6 z6 K- I0 a2 s3 _5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
# P3 K: m2 ~7 e7、费舍尔判别（较好）
3 G8 C0 H% r! B/ H' Z8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
, V) b. i( }9 }2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
( |' C! u0 T8 p- A0 A5 k, Q8 m3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
4 O- @0 k  J% Y' t4 _- M若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
* s  a/ ?  w- k- r7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
4 y+ l- V" }! @/ A* ?8、格兰杰因果检验
; z$ ]# E4 s, u: F+ [/ N2 I计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
4 C5 C7 Y. v* W9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
% b2 i5 T- c, W, g2 t率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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