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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
% H1 x* x) W5 ]+ J8 F边的结构体声明如下：, h. N1 G7 p9 `5 d
struct Edge {
1 m. s4 v7 |4 @, v int u, v, w, next;
6 _% a/ h+ ~& P. |* ^) \ Edge() {}1 @2 t5 n- X3 R) O  k% a9 I
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :' O% L& |( Y; x$ N/ L0 n9 V
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
$ u4 B* |$ w4 u# p: O$ t& u {6 J0 l! d9 f0 \+ N8 \8 ~" Q' G
}
/ Q$ ~; _. @- P+ F, n}edge[maxm];
! w9 i  P- o4 x; e2 h11 e; F# _0 U/ u% z; G8 b# Z
2
* N3 k5 W' u+ f4 M6 _3
5 F" x# y/ ]1 c, A41 j. A& ~* t! ?) W
58 t4 Z, \7 y! E6 r7 K% e/ o# Z
6
  ]% K& C9 n3 M5 u5 v; H( v) B7
, |3 O( E: K" s83 K$ Z; B- I+ ^4 D2 E; R
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
# `2 W: V0 P+ B6 z! q每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：3 e/ X& f8 @# c6 T2 r2 `9 Y" A. I
void addEdge(int u, int v, int w) {) G) M1 b4 K' S5 O8 G. l" @* y! F
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);7 D" x( G# g9 n
head = edgeCount++;! z8 m9 t+ j1 l) t! J# h: P+ \
}/ @% ^+ q2 e9 Q/ S, s- @: V
1
" e, f% Y6 W2 V/ @. V# O% f2
) ?, e2 g; |3 w5 o# n3
& L1 Q& j: K4 Q' X( B& o& p7 K4& D) B3 n5 J; A7 P6 D  G0 m
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。  i4 p6 s7 c5 D! W5 }, K
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。) t' u- d" H6 u: Q
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {" d! Q& B/ `# S/ a& L2 B% V3 y& B/ l
int v = edges[e].v;* ~( g8 s7 b0 [5 ]. G! v
ValueType w = edges[e].w;" ~- x( V3 G# Q- R" e+ \
...
3 v2 ]" T0 i/ R# X5 ^4 E}
8 _1 r) f! d* t0 e! u6 S, g1# Z1 z. N4 |+ J( B0 ^1 R3 b3 K3 o- C3 S
2( u, o$ L6 l; S* \& k+ R
3! S" S; r  C! g: g" f, W% h7 P
4
0 F/ Q4 e* L7 H* h1 D& e58 c1 d" P5 @; M5 _4 h+ M, P: }
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
  ^9 m( A4 h0 @+ u1 G* X- o4、算法入门
5 j7 D0 r' _: T7 i/ y, ]算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
7 }0 J  ~3 j& a
( u& W6 ^: g: X! a6 S! I& k! e: _5 J. P+ p6 g1 n, X! r
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。. C/ H% G8 t6 I/ _" }
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。/ g! o0 X; i' s2 Q
1、枚举* ^/ ^8 q3 x" s
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。, c" g. ]' ?7 Z# u3 S' u) A
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。( m4 j1 Z% O5 @" G% h7 o9 S
2、排序
0 i$ j, F: g" V8 N) _5 y% l# |# v既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。% O& U- [2 z  x% U
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
5 ?! C. w# @$ o5 f! ~C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。& p  P: v% @" j$ [, ?, [3 i# q. j
3、模拟9 X1 Q- l1 F( A
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
9 Y& g  n5 X+ @6 [! ^8 A1 ]3 ~6 W不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！( K1 t9 y4 q* q
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。; S' i2 z8 d' e- }  i9 _0 V
4、二分9 v+ r+ ?9 s8 f1 c
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
% ~* o" X& t$ S( h& a例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
  k5 t' o$ G2 d( @0 {% x1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
( l# N1 P6 ^" L. U5 M2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：+ M- v2 g, n4 u3 i' T$ F$ [( v
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
/ C; A: F+ i* i) r$ y# \ 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；5 {% s% T% ~2 G9 q+ I
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
$ A: C4 \1 I  r6 i' S( M$ B3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
' L7 m, K# }% o! K8 ?5、双指针
1 n/ H/ s4 M- e% ]9 J* F双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
; m- l- [! V' z
4 O$ Z, @2 c- `  x' b6 L
5 D2 v2 Q& `( B+ R) E/ J6、差分法
1 b+ ]; H5 d0 W6 ?% b" M$ h差分法一般配合前缀和。- {; l% N$ S/ U, w# x- z4 _4 f; g5 S
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；+ [2 N# I4 M" \# h/ F: g$ u
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg " e1 e; Z: x9 E, A' R2 ^
x
) Z# x+ S4 ~1 w- s8 X * @9 ^# V/ j0 t) n5 A; u& W
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
6 {* _9 T; l* n2 qr
" Y7 M6 @: @/ W, F; S7 G" N 0 _, p- L% E6 S+ s
−g
* j& o! U# f% t) s9 m0 Z& `l−1  O1 @4 D2 B& l7 V: f2 N
8 K- x6 }. N5 l8 B# V6 i: D
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
1 q. v" Z% w1 R$ Cr, g5 h+ z7 Y7 o( A5 X  o
, f) t; M4 o0 n1 N# o& ], {
  和 g l − 1 g_{l-1}g % X& D/ S( Z9 D
l−1
! q3 @3 j/ I8 _" O1 X) y+ ?- u
4 I; v1 P7 O; t$ y- g# n ，再相减即可；0 i- {5 X& |: d

! ~3 J& p# f% R! m3 p& @; Y/ B  a  o& R2 C
7、位运算
1 X3 b8 T; J3 d位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。& @. }- S& R7 k& t% ~
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
/ j* ?2 M8 O7 g布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。# u) @3 ]5 U1 A
如图所示：8 B1 z, a% l" D* `) X

+ i* }/ ~7 o/ l& g! v  J2 c4 [, ~5 e7 Q3 m6 k6 _  N: j9 R9 P
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！, S+ n* P+ G9 M
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：: p% |1 Y- @2 K8 w2 }" V' _! `
!(x & (x - 1))
" D/ i4 G7 h) l2 @/ f& l15 m7 a, M! E0 l5 ?& Z
8、贪心3 M' R9 V# ^9 z+ h
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。) i+ e7 L4 z! F" G0 T
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
3 c& f0 @  X/ j% }! Z  g9、迭代2 u7 M2 ?9 H# M* c
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
' }0 e+ N  @5 y! c* G, F6 G10、分治
$ A' g! P( T4 Q" s5 v分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。& h7 ~: e4 P* u& T7 O, W, q
5、算法进阶( p1 T" p! n) w
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。1 U1 P, X$ V" M* I0 F
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
9 A* J# x8 L/ q$ o0 t这个系列主要分为以下几个大块内容：
) d$ {, ~% Z; {9 B 1）图论
9 r/ }& y8 R3 F( z  K* D. w 2）动态规划
0 g8 ~# ^7 t2 E0 C8 Q# Z 3）计算几何4 _2 d& [. y7 U$ I3 T# `5 Y' I
4）数论; S. ], y# f4 R% r) Q1 {4 I
5）字符串匹配
2 w* R$ `3 ~& _2 r0 k" q/ W* Q- C 6）高级数据结构（课本上学不到的）
+ Y" D  `# S# b( r( U* T3 W 7）杂项算法4 u- K! Y2 k4 b- M& ~/ ^. B4 x

& K. B. W0 K* ?( j7 o; Z% z+ e$ ^3 K; v% u- h- d- E
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
$ o6 H1 f- S+ ?) V
3 P1 i) n$ [+ i7 x! _1 Q# s3 X7 X# a2 q

8 y7 ?. J( J$ }' b& l9 D: v( o
6 j: D" w( M% z9 Z1）图论" O# G7 P1 d% o1 }' i7 d
1、搜索概览
* P9 g0 S; v8 k: i: i5 c3 x图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
$ U: E/ \9 r  o7 @" ~/ w- Y8 [- T3 d
+ w- L4 w0 }9 j! H8 f! }3 w$ G
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
* X  d; Z8 d- z# A- |1 f. {- F2、深度优先搜索2 G' F# X# ]: B
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
7 Y# S; @  X2 N3 F原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。4 F' o4 t/ l" n) q+ j9 V6 P! p) Y
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
5 ^4 x- r, @2 c; m8 j9 d如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。, d4 m) h) x/ c3 M' v! T
* V' }0 b. Z5 ~6 y1 w, k# c

( u: l8 f. i6 L红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
' \3 h  D9 s" @/ i0 m5 W! l' O! ? 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 69 c4 R! m/ b4 X: u
18 l6 m1 G6 Q  E& o% q
同样，搜索的例子还有：/ h* u" U$ T' W9 ~% a; I

" |9 M9 F$ r4 q7 l. A! E# H* w+ \6 g" B) n2 e2 P8 Y; {
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。1 |. G3 E7 i; G9 u2 b
3、记忆化搜索
8 d% A/ o$ D& R: u3 P5 g2 a. X对于斐波那契函数的求解，如下所示：7 G$ ^1 P6 ?7 k$ B: i
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =2 ~8 y; z0 ]6 B% g2 x3 r, v
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)( [+ L7 U. B6 b, n  H7 p
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2), |" ^+ b9 M4 z3 O8 G
f(n)=
0 M! u% Z. x3 ?0 W& \⎩
9 n1 }9 _4 C" p8 b" {⎪7 m: y- G8 h$ O9 j! y
⎨
% F: _! @  X- [% c⎪+ Y3 Y6 D2 W% G3 y- A# _. m! V
⎧* ]7 {6 d8 Q) i0 H* u0 }
$ X% i: l, U" g3 A) p4 G9 S

/ |' }+ \! D% |' L1
; t8 `, ~5 ?  G1( g3 r) q# C( O: G- R- p
f(n−1)+f(n−2)
) S0 t! Q/ @5 Q) o/ [
: k' I$ ]7 p: l+ A
7 s5 \- D; W6 M  G+ f/ T" d0 v(n=0)
$ `1 Y1 v, O6 W3 g(n=1)
/ Y% {- ^" l! p7 A6 W6 [(n>2)
% F+ C' }- m; a1 }
4 R0 h. m6 A! O $ V& Q  o* c. C3 k+ J& W1 a, H! d
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：5 a2 f, o* F: n2 x7 w" b
4 o+ {+ v( b- ]1 q$ ^, c) _
7 g! |, D6 H9 c- ~! v1 ?
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。- W& k3 n, r2 Z, M/ Z
我们通过一个动图来感受一下：) i3 k& Z$ g  r# o" {* }/ d

: t# \% g* b  `- I+ w" O; W. ]. j- n' ^' h: D1 A6 f+ ~% {
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
2 ^: p. r" `4 J! g0 z5 \这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
) O6 X! L! V6 u! ^5 i6 J; e/ D$ Z4、广度优先搜索4 ]8 V8 ?& \/ X, t' g! T% [
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
! J7 v- d) a0 \# h5 c我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
6 S, h' w0 P2 }# _7 i- s, u* G; A- K1 U

2 k7 ?6 t6 J; f" K! Z: p
2 Z  Z: B5 G# w" o/ t7 d5 j! c+ e( A+ N; m/ x% u# |6 L# j
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。' Z( f$ m  V5 z4 o( e8 w
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。% j& t, m# S  g8 l3 T5 P% S
这时候，算法和数据结构就完美结合了。
( q7 W8 G- r, P* F0 i8 O% h6 i6 i2）动态规划
  `9 R' r' ]( |% G- U动态规划算法三要素：; ?: c6 p. X0 b% i
①所有不同的子问题组成的表；
! y& B( f, Y) P) @ ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；+ R( ~& H1 d6 K8 ^
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；, y9 \; `3 T( Q$ ^
6 G! U  W6 N0 W+ i1 ]. u: i0 P

/ Z2 c. t7 ]- E如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
0 A; O- S; D* St
2 g4 [8 [5 R. t; X )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n : z" T8 a( s5 S, U$ `
e
* e2 }# Y$ k7 b: U2 Q; _ ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。8 _9 i9 r, M, [9 O1 q; u1 \6 M
1、1D/1D
( ^% J9 @1 T9 v6 C- k5 Dd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j ), ^0 A6 G4 U% ^1 `
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)/ ~8 t7 r# i" c1 d4 m
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
# p2 F5 L) T3 Q) d% w% }
+ m  [% S0 h: o" e' n1 t6 \% h, `+ V, G0 D  g
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
' K$ N0 N8 d2 G3 S2、2D/0D* y% T4 J* T# ^- H& A
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )% n% ^. h7 L  [5 M+ n/ e( f
d[j]=opt(d[i−1][j]+x 9 U, O0 I2 ~/ d. f6 ?% Y7 r; o$ E
i4 D: L- J% b% ]# I% k6 r

5 m2 x; i, X6 h  m ,d[j−1]+y
2 I6 U4 X! c1 Fj
6 T7 _. e' q; S+ \3 c! [* z
+ t6 R0 `. S! Z1 U, X% s' w3 \0 _  A ,d[i−1][j−1]+z
+ Q* Y/ t9 I% q8 z( jij  o! I6 s2 ]! O% h, h

" E7 s1 f; C+ Q- ~9 n# B, {7 _ )
$ ]' V& M: s( Z8 a) q2 G状态转移如图四所示：8 f' O/ K; A5 l

+ N2 I) F/ A: h! Z5 }" K+ {8 D7 A9 Y% b6 _  Z4 m0 g5 z- Z. ^9 O
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。6 w! i: w: d/ H' b# k# p
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
2 ]- H8 b9 N" ?2 g* D" t: V: o有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
6 M$ L. E0 u! J( y3、2D/1D
9 R$ J, u& X5 _# e* h$ A" r5 Wd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )& c! i( U1 T; U& g: Z6 m7 ]
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
& u6 U2 B1 K! |7 V7 z区间模型常用方程，如图所示：
0 m- ~6 w5 z2 N0 c. l( ~3 I4 E. k  C. ^7 h7 T( }" a) o

$ j. F1 q2 E# j( a7 W$ y) E4 N& R另外一种常用的 2D/1D 的方程为：% r( l, H' L. u7 R
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )- G9 j) N! G  s; u& j
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
2 g4 z# e7 X8 t9 K5 A区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP  K$ p8 A% ~% S/ }) G- G; g
4、2D/2D
, |8 L% [, m2 _6 ?- u, nd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
% `+ N2 r- s6 J) i. V# e  V1 b7 Sd[j]=opt(d[i
+ b9 Q+ Y7 [! \6 O+ ~$ y) v′9 v+ C$ M# H) j  W0 P- h+ y3 y. ?/ @
][j ( _: k1 ~1 [' l/ a( V
′
- Y/ G- w( ^4 n& }7 L ]+w(i 8 q, a3 I$ ?) x$ G
′
& }; Z) G9 K$ H. ^* A: t ,j 2 C) }. r$ ^1 h
′6 s, x! P7 |7 k3 R% x* v3 j; O2 V
,i,j)∣0<=i ) M, m, J; o2 b) K
′2 Q# N, |9 \# o* C7 @( L7 ^
<i,0<=j
8 a8 m# p8 A0 Q" \+ M8 Q5 x+ p% q′
4 I8 U3 V8 `& r8 c* d) a+ d! b <j)
! V; R8 w0 d! ]* {! l2 c如图所示：
7 f' v# Y7 @# G% Q( \3 E4 \7 ^+ \4 t

  M+ D9 m+ s. w常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。8 r' M+ v# ?" l. {8 v. s+ k% z
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
+ p* z) s% a) o* D0 D* r$ nt+e) S# @8 S$ t2 x9 h
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n . E& R5 K  h, d4 q; B# \/ v
t
/ B  }/ p3 m  u$ i. Q ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。9 i. m) w) w5 Y* ]* P% a3 P
3）计算几何8 }. y0 }  o! S- e; p$ M
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
9 U2 H" r1 [* O% x/ s+ f如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
; l, p! h9 j9 g0 x% i* }1、double 代替 float
! |  u9 K' X5 ~, x7 n: D' b! h9 _5 Pc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；; f. f  W  }+ m1 N6 N
2、浮点数判定) p  A4 h& r' b
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
/ q9 L- ]9 m4 D3 M' \5 a两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
; V% M3 @0 f9 ?5 r! y+ d- rconst double eps = 1e-8;# u) i2 q9 P$ p5 R
bool EQ(double a, double b) {' f* D3 }7 g4 P
return fabs(a - b) < eps;
+ ]1 N4 C' D; X2 m7 ?}
( x3 \/ f6 Z6 r; G) j1 V1. a4 f' C& W+ t' h1 Q
2
. [8 F  E2 D. k# [% G4 D3/ @6 [3 G" E* w
4( f4 X- \: F& y  [" x% t. g
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：" Z2 K& Z( a8 e$ q3 ^" M; H" K7 A0 x
int threeValue(double d) {* a4 U) n0 j( c& M& I$ @3 r
if (fabs(d) < eps)! m" U) @7 O1 E, e/ [/ k6 V/ N
      return 0;
* T) s' F2 E$ g% p  ` return d > 0 ? 1 : -1;: k7 _% r3 @0 ]5 ]) V. i+ K
}
$ o+ g" e+ R8 i1
- p" o' _$ g, e8 c+ k) s2
8 K% T) b: \* n1 ^( }2 ^3
9 \2 @. z) a) r, P4
8 s: T2 w- w7 ?6 [* F: o) r9 q5$ x: h9 _6 j  K' @( u  r! x
3、负零判定
7 V) k4 n) x1 r0 r因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
: P7 y+ R' y0 V0 e5 h5 `/ _ double v = -0.0000000001;: S4 Y; n) J* h7 E- r
printf("%.2lf\n", v);
: i  U4 c: O! s16 u) L  K; G6 a: p2 |% r5 @
2
; ]4 n2 Q( W6 S" P6 u5 F3 J避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
+ J" M) f9 ^( }. m* A double v = -0.0000000001;6 P' ]2 f% A' D; I% ~9 C
if(threeValue(v) == 0) {7 A0 }& z% i9 w3 P, g
      v = fabs(v);
7 {( r2 j: u6 |0 N; V }6 d3 `9 x, C- R, O
printf("%.2lf\n", v);% z6 V1 T' b( j/ u0 u. d, F
1
0 v8 B7 N' _; p) I) u29 @; e5 q( i& b$ Y% n1 N0 N
3
% o% z2 S/ H% U0 k" }, G7 S8 E4
% \) y) A& D: D- w% I* Q5
; `8 M" H" w2 L! H, [' K: X4、避免三角函数、对数、开方、除法等
5 m: X; P; N$ a3 x; \c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
6 i* O6 T9 K1 [' _9 `除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
0 d% N5 F) D; Z- r, K1 @; x5、系统性的学习
+ ~6 {9 P( v& e. z# \7 F基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
4 @4 R7 v7 M. g: S: O进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；3 c8 m4 h- T4 k; P, w' w
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。  z6 U" w% l' ~3 U0 w

) Y4 e1 D8 M: r9 {6 f* V
' Y% D3 Q8 l* u学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
( w$ }0 I2 x, Z4）数论
5 `& |9 E& {  u9 h6 G9 ^+ u1 I刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！5 \) a3 H* Z3 M9 i/ ?
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。! ^, U: }+ B5 q& q# ]2 l5 X
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。+ t& r: U/ l6 u- i0 R* L( S8 J5 j  N5 ^
1、数论入门
1 \! X$ C! h( [3 Q9 }6 u* s主要是一些基本概念，诸如：
9 C% m1 o3 S' u整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；! v3 S/ X. i- Z1 f
2、数论四大定理
# ~: ^7 T9 E# K! Z/ [7 Y. l  |3 r这四个定理学完，可以KO很多题：
7 Z4 T5 M2 R) l  |; G0 c3 v欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理9 ~4 J# R2 Z/ G3 D. h
3、数论进阶
' v% M5 v. |, a5 C1 a: _+ |! O+ e系统性的学习，基本也就这些内容了：2 S8 T% B+ X1 N& E- J& k
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
6 h4 B% O( M" B2 }7 H5）字符串匹配
7 r" u5 F4 Z- Z- S/ f  \$ k1 w% W字符串匹配学习路线比较明确。
6 H' s4 [6 `' m8 a' i+ A1 O9 b先学习前缀匹配：字典树。# u7 Q8 M+ ?+ |( K  O2 T
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。  p. e0 s' n0 K: k
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
9 Y, p9 o6 ?+ h7 t' u实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。, P0 N3 ]% x+ T8 a6 W+ [, L
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
5 a' t, U# ?- ~9 E8 f) ~关于算法学习路线的内容到这里就结束了。: q( N3 D" a( Y
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
3 U( l$ g" O1 r参考资料
. P8 R) {/ j% [6 m3 D+ K【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
7 r7 p  l- m# K6 h, s【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）/ a. }! e& a0 s" r  Z
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）! ^- \" C2 `7 B/ k0 B9 ?/ U
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）, c0 |+ L! I, P, Y- |6 J
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3 F# m; b! l. K+ v2 X6 M0 `版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。1 b+ `; z) `2 N" B& k; B$ w
原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/1183822286 k& ~* d( l0 y3 d0 A; I' o

+ w3 d% B' N" O1 K  G0 ~
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