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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
! A& l2 h! ?9 |% Z0 d) ^边的结构体声明如下：( f9 m4 I" m5 h! u
struct Edge {4 H1 }+ t$ ^6 U$ E5 S
int u, v, w, next;
7 \7 _' P' E6 A8 o0 A3 }7 ? Edge() {}
  q0 W; I8 s; q Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :' x8 {; C$ t( d  X' B
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) 3 ^$ s: A4 V& C$ U
{4 \: c& f9 T% N# d# ?* ^, v2 _# U
}
( U' o+ k* l4 b* [}edge[maxm];$ u4 L, P' B9 _! u" b
1
" U7 c8 q3 q/ \6 a  k( R2
4 O% d# b! ^3 }4 }" s6 z3; q3 |' L4 s. M2 ~/ B6 a* Q
4
2 S6 z4 {6 t% w' a. f1 x# c5
+ F0 m4 ^2 ~% U/ q# [6: K( M+ E- M8 l2 K9 P. P
7- X0 X. G* l5 H( v+ N( j
8
. \. U) Z$ w7 a3 C8 P/ N4 j* G- x初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；0 z' T; j) T( u; x2 Y
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
( f4 ~% ]5 Q$ ]* |void addEdge(int u, int v, int w) {
6 R, |5 `9 A; W) A. c edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
0 t- h" _) K+ G9 e; H head = edgeCount++;9 }$ \" ~1 ]" Q% a2 ~! n: N
}
) B3 G( X1 v; E( Y: b; p4 G1
! ~& u4 y5 G' f% j" K24 H4 s) i4 X9 M( ~
3
. A* E5 [3 ?  e! n4. F1 p* X/ g, p6 s& g1 K% H
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。( R& d) W* ]* f3 y
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。0 }3 k( t$ e; m' Z: k
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
# Y+ p9 S; `, C" R! r" `- y! x3 `0 X int v = edges[e].v;$ M. }# l1 D- i* Y% l! P4 v3 O
ValueType w = edges[e].w;
7 B- J4 p1 _" r' X7 p. B) U+ x ...
* T5 ]3 [  M8 b, e2 y}
6 j* c; X, s% E& x2 ?$ _. z: O1
2. E- S2 a0 v( j$ D
35 Y8 T4 ~- Y: b  y3 y. a" P5 F
4! T7 C7 ?. q5 o" L  _  e
52 i$ f+ C$ L. F! e: C* Q& a4 B9 V' ?
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
/ K/ I* N  }1 b- N$ J4、算法入门
) s; x1 F5 l/ @/ S, I' z7 a* _算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
9 [# ]9 p7 \4 L; [" n
! m; g' L% O' B( W3 _* L- J. r
- f, ]3 B) @* v入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
& _' j! c# t% }& B+ w, `- {& ~) E  K对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
% e- }& S$ P( i1 N, n. ^1、枚举/ T+ b+ _# ]4 ^2 o- V8 x# u
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
6 Z" G. A+ P0 \* Z& h对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
. D1 _9 ~9 w. J4 B2、排序
* `8 |- S! X) f* D* I1 ^- O既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
3 k$ e0 G5 j& n冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
* z- _# C- F8 i" h5 o2 B$ wC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
' |7 o, R2 K( ^* h3、模拟+ J; q7 r' ?5 K1 W5 l  ^! h
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。. ]( R5 a  Q- _6 @( |  i
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
  N' d' c) }0 }% E, `% `' h1 }  x但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
  b- w. a" G1 T9 {8 r4、二分
8 Y, q$ Y1 m" Y3 R/ k二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。0 W: @4 T- @: d. b  v) x9 \( e
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
9 x: _( }- c3 g" q1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；  J  m2 A0 o7 ^
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
+ j' W- S" `. D 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
5 z! K: f3 J% M3 A; N( B) T 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
$ k* o: L/ {# s0 q- X* }$ B# G 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
, a5 B, p8 }* l' _7 x0 R: o0 {2 A3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
4 q. R; a1 |/ n5、双指针
: s( j& a4 K& ^+ ?, u$ b双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。) G" r3 ]% K& m9 w, V. O3 o8 A
8 O" G5 X! A4 U
; Z5 d9 M  o! D, f+ y- v/ q! O0 F  ]
6、差分法
% s4 a& M8 a- `! m& S) P' m差分法一般配合前缀和。$ Y2 \6 u1 `- ^4 A. Z" |
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；: G2 [5 K, C3 w% i% ]' [
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg 5 U0 s: k7 ?! u4 k
x$ q' b, L$ A& D

8 E  G1 G% x! t& Y3 | ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
/ D: R' p/ V+ k; a% u$ Y& X- \r* d# G- F( B  S* M# |

6 |, o& {7 p4 a7 q" D: s −g
  i# m9 {% @1 o" jl−1' H  ]# R8 n! D$ b+ c

" z$ x) ~0 k# O' @ ；分别用同样的方法求出 g r g_rg : _! ~9 s6 g0 q$ J- U
r+ g; _0 P, q- F

! u2 |+ q: `9 y. t& h' p6 _  和 g l − 1 g_{l-1}g
' S. Q. b( ?0 V, m  N4 Cl−1
2 A+ b8 O4 h% [. B, x" {: P, m+ R % t  v5 Z! X& z! w; |% c# N
，再相减即可；
' a& }( z( Y% t  H1 d9 v4 k, W/ H6 g

) Q  \5 l5 C0 M4 i0 s3 s) ]/ n7、位运算
$ e! D5 E7 t7 E: O1 E位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。5 a* F* o/ R. X/ d/ r( D
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。8 b7 W( S- _4 d% X) A4 L0 v
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。: K! t& N. B3 \! k/ c$ O$ P
如图所示：/ c2 q  i; z1 w* }; _) ]
3 r! A5 d  I+ P/ S

* G7 H: q5 B  ]5 E! N位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
" A" Q; m9 L# Q- s+ W& }2 r比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：7 f$ c9 v8 l( @& N
!(x & (x - 1))
. t* H) Y1 n' G, ?+ `# D5 p% S1
$ e' b8 U& v  _0 A6 V+ F+ S) }8、贪心) d6 r6 ~9 O" n" S- d
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。( |3 o0 n7 y% z/ r" ~+ U& w' @. q1 w
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。3 t, [/ c: W7 P* i  n/ F
9、迭代
% m9 }- C0 e' O; Z每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。8 o" I0 _5 _! u" \4 s$ H
10、分治# p! _% `: u( c' z
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
5 H$ Y9 Y' e7 \! \/ H5、算法进阶
7 P0 v1 [9 n  c1 h+ Z算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。: C% |2 O' N9 h$ _
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
4 X7 s" y7 |6 x+ g, x# b! \2 L这个系列主要分为以下几个大块内容：
9 X8 E1 M- l1 p' R! Z: P3 O 1）图论
* u9 J( z' [; v6 M! o 2）动态规划
) \# K: J6 Z- i! ^ 3）计算几何
# H+ @$ d- r& O' v+ O$ h; C 4）数论
8 O8 m7 m4 o5 [6 v! X: H7 O 5）字符串匹配
3 [% p. D. R, j/ o: {' [! V 6）高级数据结构（课本上学不到的）
, q2 O/ ]: l7 a9 {* U7 | 7）杂项算法* v) p/ P9 r& H! i- k
1 h0 I1 p' x6 \2 A) q, t* Z1 a

# T+ y( @& r+ T" Q0 U6 y" Y" W先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
3 r4 j( g. ?6 N% `, n: H5 g0 c0 N% d* X# J
& a# Q  |$ K  \1 }" u* }# ]: X) P6 f

4 ^+ `( Y6 g" R, C! o2 I- i2 o8 V
% c: f) R$ B9 V1）图论
$ y& j9 K% h" {; a1、搜索概览
' R9 k; Y% f4 T图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。4 Y9 b! X. i4 U/ j0 o; ~' L

9 e* v/ ^% f: h7 k9 O( D+ L, |5 u2 \$ l
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
: D7 V. h1 O) n2 ^2、深度优先搜索% C* R$ H" j* [7 S6 ?- I
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；$ G+ m' x% M% P, Z( t
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。( E4 E1 i: {& l$ v; W( ^. x; O) a
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
3 D) W; u2 ?- C4 F如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。! a" |7 m4 x, t  J

9 I3 j) c- M" V/ v: |2 ]. l
# L* i  O- m2 |$ J4 p4 P1 A( q红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：: h1 P- `( G6 s4 U9 ?
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6' C/ M. e  O6 s& W/ W. H8 D
1
" \8 j+ V& R& g* u同样，搜索的例子还有：1 \( H. Z2 @+ @
+ }* K" K) s2 n3 e7 i, ~
4 A7 C1 z* ~# ]
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。2 ^$ V: T$ Z+ Y0 ~( L
3、记忆化搜索
7 R/ t0 P/ X+ ~, G1 m对于斐波那契函数的求解，如下所示：
' b8 [% x% ]$ \* g) T* `5 hf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
9 }$ n% t. L' g3 F) k2 J⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
2 X; Q, K" r. C9 G. ~# b! U& F7 I" z/ p{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
4 A, s4 B1 ]7 vf(n)=
$ K2 v8 F1 G( S# S9 {4 L: e⎩  D$ R* O0 ~4 ?4 L# D
⎪
: [' x5 Z0 Y* c) n0 ~1 S⎨
% y& c% F- n- T: j⎪
  Z, |( G' Y& _⎧& j; V+ V5 ~1 B" C. Y1 L0 G

  w) v  V6 v4 T$ N  O" Y& n  + o+ e1 O8 K. m% t. ^& l) R/ K# N
1
  S1 L& ]3 c; A6 C- H! v1
4 _% v1 ?' }8 H3 Hf(n−1)+f(n−2)4 L2 S! J* x0 M9 A
. F4 D* q* o* J7 t/ q

& R9 |  K% E1 j(n=0)
(n=1)
1 s2 B# K# I, p$ Q: e(n>2)2 v! y* W' c6 g* P+ J, {: P

% K, F$ G" C/ M + u1 S" n: a1 @# z; C3 \
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
( f7 V, L1 k: O7 i  X" c& |! l* ]9 d5 _% s( V+ X- W: a1 Y

; v9 j( b* s, X0 ^+ z6 j. {2 F这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。2 n( F6 x+ M+ H; F$ k# f
我们通过一个动图来感受一下：
0 R' d1 W* ~- }0 Y
* S9 Y4 X. |9 W! c% V. D& _
9 d# e4 H. ]$ i$ Y# R当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。9 }+ G7 g2 s- _; Z9 z; P
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
; w( a) ^& K  i- }- [+ g4、广度优先搜索
1 C5 i* _* R' v/ Q: W5 v  `2 Z6 \单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
# {' O1 g& ]; F3 X我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
& a6 B. n1 J6 D$ U% W- D
$ U+ r4 x; h% P3 ^. }: F% m
  h. |1 r; B; F) @' K1 D9 \7 v2 E% ^3 U. t' R( u" p8 h
. n5 F+ z2 k; x2 }: p" G0 G
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。- A: @* X% Q2 c1 c) b1 ~4 f4 [3 v3 s
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
+ C, W+ m0 H/ G) T2 w这时候，算法和数据结构就完美结合了。; k' i- {1 ]) u! B' S5 X* Y
2）动态规划5 Z6 A- _8 f! `5 j
动态规划算法三要素：
1 ]  d8 I  {; ]* K; K1 f% ~ ①所有不同的子问题组成的表；
% L' ~' n5 u6 h4 X  \9 A ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；3 J2 t( d6 h9 N1 s
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；! S* u3 N7 P8 }7 I8 @! S0 j% _. t
' Q' U2 @- |7 G6 W7 d3 i! H! i. N* _- t

9 p6 E3 v* x: I9 F如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
, @% _6 u* c8 Q; F3 st
- ]0 ?2 a4 U9 k! F )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n 4 P6 ?; h8 q1 L  A
e) H1 G7 I% [* P$ g  T
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。# @- ?7 p4 E4 `1 U& P. Q4 u
1、1D/1D
8 ]9 d9 I0 f0 P4 Bd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )% O" j; T" |5 p4 i  c
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
( H- ]) ~3 l( B( x) e% C# k状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：- H7 ^6 T- s. J) @6 K. J7 Z# [
' ?& n2 m3 T. e9 v4 h  ~+ H

' U9 N( n5 g4 q+ B; p这类状态转移方程一般出现在线性模型中。6 Z* w2 ~& R) P5 s  j. g2 O' y8 P
2、2D/0D
9 H1 i5 `, e7 y: I1 Y5 sd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )( p9 @! w" h& i; B' m4 c
d[j]=opt(d[i−1][j]+x 7 D% t" a0 V% ]+ q+ L! _
i: Q1 Z3 X2 h; A/ S* o6 ]

% y2 Q. c2 |' V ,d[j−1]+y - l; O/ f; c0 q9 c
j+ y; z8 U+ f0 I  T7 t

# }' B( @, S+ H/ B" Y+ ^ ,d[i−1][j−1]+z 9 _5 G+ ]. R. n/ g9 T" R
ij
- w. B1 j' c- M( p% j$ Y- F
: M( k6 c9 G$ c( W+ I0 D )
, k& s9 ^, |7 g  B' [状态转移如图四所示：) J4 c+ ]* i7 `* v4 \

$ Y& M% y5 }1 h: D8 P' P+ x
, B+ M4 C3 d, O0 A  s8 O比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。5 W2 k, [2 K  G4 C
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列& `. g0 X: u8 }3 {. [" i, ]( u" u: U
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离  v% \4 @% }5 ~3 w/ P- A
3、2D/1D( i5 n6 ]" J# E
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )2 q4 s7 C6 }4 w' }
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
- h3 o: \( _/ w4 B3 \* ~区间模型常用方程，如图所示：
- ~# ]+ \' `# c; W4 M9 X6 x: |2 o% b8 w5 l9 C' L6 q4 ?; J

( w# w1 h  X: O, _9 A, u5 J另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
6 S) z  \* l4 g0 r, ?d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )3 ^5 w4 a3 K. j
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
, ]! E4 b  n$ G) p. l, P' a区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
& I( G, Z/ E: u" ?/ h- z4、2D/2D
% ]$ V, F, d% }d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
) u6 h) B  ?- N' rd[j]=opt(d[i
) M. U; a, e) g/ [( H′2 y6 g  l1 h; i: {1 N
][j ) z: [& _0 _! n! X4 y- ?0 v
′& H9 t# o! y" k( Q( F" }" s
]+w(i 8 H6 G. e  e/ r! T' u5 d" z" V) r
′
' c0 a) u8 D2 \7 y7 | ,j 4 t, S2 R3 U& g
′
- }4 s' Q9 `/ H% O, `2 k8 @ ,i,j)∣0<=i
. e0 i1 E: u4 k( D& P0 @5 v3 p′$ M7 c0 _% h( Q) X) K; q0 D& @2 x+ i% K
<i,0<=j 6 J( }# E0 a, J6 V' Q3 l
′, |" S6 w( L9 ]: k0 h: P" E
<j)+ y* [% c  Y! |8 T
如图所示：
: c8 m! N, \1 o" q
# r8 w# w- {! b' m+ b& `! C
/ y1 K; @3 b7 i; n* h" Q+ p常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
& `! Q2 Z# E7 ^2 _+ [: k9 N对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
/ t& d" i) c1 R$ e9 x- I; Xt+e% ~9 t) Q- R6 t- c0 g! y
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n 3 L- B* w* d. \7 x7 i
t% C" B( {1 x3 Q
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
& `1 U  A: l7 T; F3）计算几何2 g! J! @3 ~+ ]" ]0 i0 f! M
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
, S6 B" F  D7 D6 S. A( d7 M如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
/ C9 x2 W/ q, d9 N$ v" |2 w6 t1、double 代替 float- m! Q3 b* T( t* I! x1 S3 B
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；+ e& E, u8 M6 ~% y9 e
2、浮点数判定
3 w1 S% Z3 w; J2 E4 |, p) v8 I0 m由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；1 T1 ?( ^7 N  Z9 U
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：4 }% i$ w8 V- P
const double eps = 1e-8;% x: U  G3 k! S# k  M* p8 T
bool EQ(double a, double b) {/ x- z# l9 f# C: s
return fabs(a - b) < eps;
! W5 l2 w5 {' u3 o1 B}- N$ [# l* u8 |  B1 T
1
" i7 Q3 Q6 N. [/ X8 [% \2
, Q. z' ^( r% w3 N3; Y9 I8 s; K( l* Z2 E
4
; Y0 L* b! |" F% ]并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
( z6 u" {5 v: N, S1 zint threeValue(double d) {+ [0 M% ?" t+ K2 @6 L
if (fabs(d) < eps)1 s8 N! D$ o6 {- ~) i. p3 L
      return 0;$ F% |: |( ~0 E
return d > 0 ? 1 : -1;, T9 b/ ]) a# l' z1 V; i" q9 A
}+ I7 \6 M2 m; h* P4 j: e9 u+ J
1- B" G8 t/ d- a+ L
2
+ e4 ^5 F- v2 t6 q& a  o35 I! {- k; a/ w; k) g9 ~& O: u$ X' ~
49 s' c. [. c' G( P6 t
5
2 `' _$ j0 V9 R; s; z2 F# K9 e4 G3、负零判定: I+ ^1 R: L) C
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：; W/ }- M& C% p2 ]# N8 V1 n6 N
double v = -0.0000000001;
! ?7 \1 z7 {+ _6 |" R printf("%.2lf\n", v);3 C* @8 g7 @8 d4 n7 f' W
1
# j% w: w0 M; C7 n23 R& y6 M5 P3 L3 V8 `
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
- Y: \; K$ l; m4 {/ e8 r) | double v = -0.0000000001;
; W" w% l. v0 G% |; Y  \ if(threeValue(v) == 0) {& V8 M7 A6 n4 J) R$ V
      v = fabs(v);/ C( B9 \7 \0 R  c/ `
}" r% ^* _& Z' j
printf("%.2lf\n", v);
9 \6 q/ y9 C; V, o3 F" B# }, A19 C3 S& }4 t4 T  h$ B
2
' ?9 l) q6 ^4 J- I0 q( c9 N  d3
. N! L6 b" Q* a- |3 g* L/ @4& n$ L# k& @" z) k9 n% \
5
$ R. E, \$ H" X1 Y3 G' e4、避免三角函数、对数、开方、除法等
7 k/ _" _/ n8 T2 j2 q2 d& Kc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
3 l; k& y$ s2 O除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
* f  u& [& N5 Z( J$ T/ p5、系统性的学习
: j% V! h" T+ q% O% i' _基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；6 m# b- I4 I0 W2 w: U
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
' K) z4 ~5 ?$ s) v% e相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。4 O8 R( j+ e1 R3 F
) H' c5 i) ^) d# }! L( M4 N
, r& R4 r) R+ h4 E
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
& c4 I4 g1 M; g% f, @4）数论* O7 q2 ?2 [+ r. ]/ l
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
- i; q5 P( E; s- i) D- i1 b; `6 _数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
9 R9 r: l: E* @: e当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
" T* [3 C4 `3 U8 L4 t3 F1、数论入门
# S& @; l7 W! C; {! r' }: w% B主要是一些基本概念，诸如：
2 \7 t" _; X  j+ F/ V% j" N5 N整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；7 \/ w8 p! s; \' t. a' W3 ~
2、数论四大定理
5 H6 m% L9 G" q- \% A这四个定理学完，可以KO很多题：
, b; @! _& I/ g+ W欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
, z5 l+ X' z: ]+ X* ]( k$ f3、数论进阶
( D1 T6 y% M; H3 O' E系统性的学习，基本也就这些内容了：# H4 n4 e8 W- s4 [) F) O  ^
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。0 o( A, l% x% {( j" w3 c* z
5）字符串匹配8 s& ^' V+ \# u, J0 |1 ?; e3 l
字符串匹配学习路线比较明确。
! o- t- c. ?8 Z先学习前缀匹配：字典树。; L! Q  S7 l& ]1 J; B
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。4 U- A: A3 o7 o6 c5 C
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。+ [7 Q2 b: u- Q) Z! n
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。" i9 i/ c7 e. g0 O0 ]5 g
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。, g) k* l- R% m3 W
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
4 |. G, [$ C$ [* n" p/ |如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。4 O7 U5 m5 v0 g
参考资料
+ a8 m/ u. F/ s5 m) p  s【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
& N8 p- k/ [3 v" b8 q1 q- d【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
/ _' q5 G/ w5 ?【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
3 J6 Q2 e8 X- j/ X+ p; u【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
& q9 ~8 o1 X9 E4 b" D! V" \: ]————————————————
2 _' a# k/ Z* q+ I$ s5 {" t版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。/ V" j3 w9 m# c% ?6 R
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