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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
; t  r- V6 d  k6 R% |边的结构体声明如下：) C% }2 T, w/ q8 v. Z
struct Edge {
" i( }7 S" k& F( {3 V& m! W. r int u, v, w, next;
7 v. i) N5 X$ b3 T% F" \ Edge() {}4 i' j" ?' w& i6 t; b
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
( {+ A6 @; p0 |2 f       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
3 R3 b$ K6 U  f; } {3 H2 A& U1 i5 k, q5 U
}
, L) Z1 N/ I+ w}edge[maxm];
1
' U8 x2 }! i: k  t" P! G: v1 R  `2
1 a" F* j( ]* y% O2 A3
4 O% a8 s* F+ G7 B1 W4% X- Z! z1 v1 B" o, f; E
55 @! K1 @$ l2 I; {( x8 _
6
8 v0 p6 R# E3 ~. c0 S0 Z% N. z4 ~( ~72 `# j$ N/ V2 R: |  j; a
8# D% w# }+ @) v2 p
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
) ?% z. M6 T$ N! d$ r+ P每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
9 e( c0 }2 Z8 ^0 E4 [) |void addEdge(int u, int v, int w) {
% \  e% @6 q4 D edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
" ~0 C+ {: F+ p" ~6 Y, N head = edgeCount++;. X: G: g' x! A" ]
}5 N0 `9 g4 W0 o% d# R$ U8 @
1
: z. W6 _  q% J: F2
3 p3 ^: f6 c2 Z; y! b" d& t3
. G  L0 X6 T& O) f6 L$ b  y5 s* f46 V, m8 o. J. v- G' y
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。! t7 X9 R( m' D( S' W
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
, o9 c2 O' m2 t; Y. J: dfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
/ I( f$ S7 O8 c2 T int v = edges[e].v;- x% p" j1 |) K
ValueType w = edges[e].w;$ j8 c* S* F. n9 @+ x( Q9 l
...
2 A/ |4 [+ ]/ K}9 k7 f3 i6 V8 d5 J/ R2 C7 e$ z
1" Z4 T6 T  m5 m7 N- _6 D; {
24 {% e$ s( A9 [' X5 s( x$ A* o1 G
3( H! N6 n7 d# Q/ u4 _: I
4
- v4 C& z3 l/ b! i5 b6 o$ m5
& {) H) f2 P& ~文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。8 ]: Z) w+ w" Q0 k! p
4、算法入门# ~* L& m; d- Y, p* F+ t$ n
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。# ~; K  h# X8 `1 o2 a. z
* X* J# A. G4 Z" H* H: A* y  m
2 {6 @# a! v2 E* H  Z
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。3 F4 M9 k1 b3 J% @, W- [
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。, s% A. A$ q$ ~9 ~" V
1、枚举
1 |9 x' `  l! V# |2 @8 ?# @枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。& ~+ T5 A: J3 L8 d
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。9 ~; y7 R3 }3 z2 N# @
2、排序: C4 c+ L9 r0 y
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
9 ~3 W2 n" U  m冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
5 k- @2 u8 p) Z! `9 K" _C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。" W( m1 E  x! {6 ^
3、模拟
8 N) T1 Z" {1 a模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
4 R: Y5 d& l# Y不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！( }2 ^5 ^0 m# J2 o$ I8 I
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。% k) S/ ]( j3 h, z6 w0 k
4、二分3 L2 S2 A, {1 p: y( m7 R. u) {3 D+ k- q
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
! i: F' a  Z  J4 U  t例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
+ ?2 A4 N. M# e! x1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
' H- X, {7 ~7 K0 s2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：, z. u7 {  S9 N' f9 n
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
- W3 I" y: E. k% X) P" L' s4 l' u 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
  f1 }; b4 P2 S; Q, W' v9 B 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
9 ^. L. n$ B2 x/ Y$ F3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
- G" D' \! k) {+ d+ D6 q5、双指针: l% {0 X, b: e' a9 y
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
- ]7 I3 {8 G- M$ X$ ]  c  ~! m7 R
5 f" F0 N5 e. B0 |0 C. @4 p
: S0 Q$ A- R( g0 b4 d5 T  }, i6、差分法' _" p3 o% b5 v( N5 s3 Q: W6 |
差分法一般配合前缀和。
2 D, a, W/ H. o6 a4 d对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；/ ?  V" E4 n" n
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg ; H2 h: J1 N$ ]
x) ^. B( k* h4 n

1 {7 ~! F2 t7 {5 f' {$ d0 ^- Z, O ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
1 e$ }+ h: f9 l3 `+ g* {r! l9 \+ R0 @4 f8 B$ U# C
4 w# n& R4 G. \: i: |# }
−g
* l* s( B! t! L0 k0 ^! Xl−1/ U& F- B. K( n0 F

! H) }' V  h7 a4 E  n ；分别用同样的方法求出 g r g_rg 2 O# F/ Y; a2 n$ p4 s
r+ ]$ m7 ~; a4 A) T, h' b

6 k3 B" k2 P# W  O& b3 a- d  和 g l − 1 g_{l-1}g
, X+ H. q7 |  t) cl−1
% J+ u, y, U8 ~ ( D/ w$ V& c) e- s4 a: z
，再相减即可；# n; C" Z& w8 N+ k: _7 q: j

) Y* ^* n8 L  [2 ~/ g
3 l4 k7 c. `) E, B3 k7、位运算: ~. _7 |: T. f) w; p
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
, [3 O7 X9 f  s; n5 i位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。1 A% m" ?$ A1 v& k* u2 X- D
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
" l, M2 V" l6 F( c2 h* c4 J如图所示：8 b0 g" j$ V% Q1 u8 m, G9 [

! c2 |' V" L- H+ U0 q, C8 V" e0 D- c& l& v# ~' R8 f, Y. d; X( W7 |# o9 F
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！  ?! A: h0 a8 k- w0 B
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
5 h4 s7 u" t1 W% o) B!(x & (x - 1))% _! J. I( `1 a
1
* W' ^' G0 w5 K8、贪心: Z9 C# u5 i! w: W) u4 U/ M& j
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。( y0 H. D& p, A- ]- B& r0 s. h
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
4 m& u- J1 [% ]& y* g1 y5 w8 z9、迭代+ c$ ^- f9 j( R( \  b
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
2 [8 v1 ]1 h( }0 W0 M2 N10、分治
5 z! C! o4 j* ~) d% R分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。6 z/ a1 t0 k# h( {0 Y8 p
5、算法进阶/ Q4 K( |1 L) X* z- z
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。$ Z( s" u& U4 ^
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。  S! h$ d5 D; m# f, @/ O: m
这个系列主要分为以下几个大块内容：
: Q% E" A% t4 s' s 1）图论' X: D) Y' U& `- m0 x; \
2）动态规划" x: Q( t, I; ?; j+ \
3）计算几何
1 h: n& d6 G2 X 4）数论
6 H& Q" J( M: s, O 5）字符串匹配+ I& k9 h: x! Z
6）高级数据结构（课本上学不到的）
8 U6 G4 k+ U  P$ c' g" c" F. N 7）杂项算法9 ^' R6 F3 Z! n0 t( \7 q
2 V/ \  C! z- v
' V0 M- o( U9 v# }# e  d0 i) n3 @
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：+ @. W9 o$ p+ M, _# P! I5 f( x

" l: z) `  m& G9 ^. T0 e$ v$ {( `/ o. D0 b+ w: S3 J$ e4 L, `- [7 h

) ~+ P7 l: U$ Z6 c5 c5 E$ ]' f3 t2 [- K$ |4 y6 f
1）图论
! |/ G0 _& r; r! z3 D1、搜索概览
  q' Q8 v( H) P图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
; s6 C) ~. j  k- j2 ~% }
, G4 J- {' X+ H( F. h! W
9 {0 @# g6 U, }$ A  W) a比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
( t* y" u4 F5 k+ g2、深度优先搜索  E& n* ~. w" a4 B. i: ^6 O% G" n
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
$ M5 H- u6 N% z; ~& O8 p/ m原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
% j  a- ~: g/ _1 P5 o但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。- Y( v. }0 m- v& s- S
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。4 k; H+ w4 o- b* e' T% u' P
, m) V& ]1 y& \5 y- z4 U
0 o: d6 Z: l/ d' i4 V4 N2 @
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
1 I/ Y/ r  L  b4 n; Z6 j8 z. l 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
) h0 V0 d! N* H0 `4 Y1
* m/ m- K( g" m% y6 E: P$ [( t* g( F' K同样，搜索的例子还有：; }, u1 M3 X* u* W& W
3 Q8 t: S4 N& D

1 d7 H0 O. b, y' w, }4 z计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
, Z1 Y" F1 `! E$ W3、记忆化搜索, t& v9 y; M! P7 A, e6 P) J0 J) S
对于斐波那契函数的求解，如下所示：
$ p7 M5 O  l4 ]; x" y& ~3 C( r8 Ff ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =: C' p$ E* M' x4 g- y
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
0 c5 a! ?, d7 y& d0 |, p- O3 b{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)7 r" Y; o3 S  M+ ]" v
f(n)=
, r4 ]* h) ~5 y) d2 ~0 D⎩
$ g1 m4 R- N1 z* c* `0 ~⎪& s7 _4 ]1 k6 d( L$ j
⎨+ i3 x+ X7 N7 S  E: T! k
⎪
1 V2 Y  Y) f) s2 E/ L, ]9 G⎧0 Z$ ~; I% l8 Y  n, J1 k
$ L! S6 R* G2 [& `) ~
  : _3 b+ d! p4 [$ m% ]
1
6 K9 X2 F2 C  F8 j& ]" m! V1 Y1. ]2 Z. w' ?9 g& y9 {3 d  J
f(n−1)+f(n−2)+ J0 m' w: |" ^+ l
* k0 s* Y- S, c

1 w* k% z2 {% d2 Y9 P4 Q(n=0)" X; c( i* E+ c
(n=1)
6 @+ P3 x, ]) F% f6 V2 v(n>2)1 N* r3 ^6 X2 w( w
! B4 C( z/ @, A" g

- `* V. a6 x( U$ m! p* L0 C/ W对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：7 u! @# A9 D5 `8 o% m# t' H
  a; h/ P/ c5 L, b( J* _' N# M
( P# m( d6 Y0 B" g* C9 |- O
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
4 p8 o$ X5 p- B我们通过一个动图来感受一下：9 X6 K$ A1 E, Z- N4 K
# r# b0 c1 N9 o! x8 L  n
8 w: `2 d9 i0 f$ i
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
) t, t: c6 i9 Y! @这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
5 r2 M) n; {1 Y# @4、广度优先搜索* G2 h. c# m0 I- k
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。  Q. D9 X' ]5 Z. y( i* ^
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。: W: R( \2 |$ e) F2 r4 v4 r
9 _, B- t% e4 o1 V3 m/ y: o
6 ?" ], a( S% P/ y
2 O1 d% }7 n( l' h* w

# a9 C2 n4 `. f+ ^/ A从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。  V8 x3 w# i' k) l1 c0 S$ r
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
5 R8 v8 T6 K5 k" D% C1 S$ w这时候，算法和数据结构就完美结合了。
) {) U' i; i. ]3 E2）动态规划: k! s4 K& z0 o4 k8 i# a
动态规划算法三要素：! |/ _3 C0 K4 j+ a; P  I9 o
①所有不同的子问题组成的表；
' A: L* U4 M' B5 Y! s( h ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
: K& h$ |) I) ]6 {( r# z ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；0 s) G9 _, Y, A0 L# h* @# h0 {
7 Z" t" T6 W6 q! R( c* S+ @

& h0 d3 G: T$ v# c4 j# A" i: Y. Z如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
* k0 H6 ^& X: ~+ e" [5 Dt6 \3 H8 s& }) B+ ]
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n ; a3 e$ j1 j, j( C2 ?
e' h2 }1 k% S6 [, L: J- B4 R
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
) p2 ~5 g8 L8 r, V# m1、1D/1D# m8 U2 e) g2 N9 t. t# `
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )8 }8 _% l1 ~& k# h
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)( ^9 a- i5 N. s( S/ F% R7 b
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
6 E" O0 m' u4 z) N6 ~6 o3 A7 z' S+ k2 I9 ?8 Y

' Y- W. J/ |9 A  h$ i: i8 N这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
! l8 R" L4 O9 r, a8 i0 X2、2D/0D
& `$ s9 \* ^  {! F4 ed [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
7 m) Y* x% p! A* G6 l, q' e7 j. td[j]=opt(d[i−1][j]+x ( g9 H% _5 o# ~. I) I
i
5 }8 H% @3 P1 c' f0 ^ : y& K9 P6 @1 k& N) |$ b7 w
,d[j−1]+y 6 b: {) M" S' q1 |
j
; P- ]! Y9 ]/ G0 }4 S
$ V% G+ [/ e( C ,d[i−1][j−1]+z
+ ?- w$ q- T; Kij* `4 O" V3 ^$ C7 m

8 @! x. \8 |! Z3 D7 ` )
6 u+ |5 r: _% b+ P( ?状态转移如图四所示：. b8 L- Q/ ?  j( R7 X" j: P$ m. O

5 m6 c& ]8 Y6 Z
' H$ r2 o; C5 j8 L' l8 f比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。) t! l8 F7 D, U6 @0 {. o
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列- Q' s2 ^+ Y) J5 @6 N) s
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离' x' S: g  w- ~( w. Z  Q6 ?# ?
3、2D/1D2 y# w7 i" E% l+ L3 `+ p# b  n2 P+ v, p
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )* [1 ]. G, y9 I- J7 q8 S
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])5 B' X. h, `( S9 c8 B
区间模型常用方程，如图所示：
) p& g" N9 U1 }8 j! w$ \/ t3 W7 n8 l  v+ |. c7 j* j! o7 D* N5 h
. y1 m, b+ q2 ]) a! Z1 A. r. S/ K
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：" T6 h" y! b9 M2 N+ e3 T
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j ): Z6 r2 T' ~! c; |8 a6 h* M* a: f
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
, H% Z8 T- f' w区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP$ I' ?- l: {2 ]) s, ?1 A7 k
4、2D/2D* M- c; D. [0 r
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
* U" o" I& y2 f; ~d[j]=opt(d[i
" N) L6 G6 Z( y: s′% }# }$ ?% p9 a% h( x+ `
][j & \  D% ?& j3 @' c% r$ B9 E/ L
′4 b  q, |2 ^. \" q& ^0 n
]+w(i / Z+ n1 O6 o+ ^7 r8 G5 `
′. y0 C+ O2 Y* v' e3 j: {( T# Q6 x' F2 a* H8 Z
,j
9 j: O9 F  }% y& X′. ^+ H, c5 f' u+ g2 C! ~* q
,i,j)∣0<=i
, X1 [% D: q' I! x′
9 d, \) d" U! \' w" K5 P- F. f( J <i,0<=j
9 Z2 [& b1 w' l; f′
% d: C& e5 K8 B' L+ X- z <j)
! p4 ~( u" j7 K4 ~8 V如图所示：0 e$ h4 n& m# D+ R' W; \
9 K: y- z" }5 o0 [) y( ^* I  z4 o( L
# L& K2 }* X8 T9 o( a: r& M
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。: w% a7 \6 x- ~: E
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
3 z0 \7 X$ D7 O8 c; `t+e2 N* y& s4 u. |* A; N# \
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
' @4 @6 J" s; n  I9 s4 v4 Ot
* a4 T# _* w+ w* H' `( }' G& O ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
- ?0 r% z1 E7 k9 G9 p3）计算几何/ Y: ]' M- z5 Y4 i) \
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。* l" U0 b: R6 V( I
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
9 v: O2 R; Y7 E& O% T: s# ?4 j1、double 代替 float
4 ]( e! N9 |7 m  u' ~c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
$ B; @9 P0 u, M0 L2、浮点数判定! j: c& c6 E1 t
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；- f9 G% s0 B& u3 @1 Q) ]
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
$ V6 m5 @. Y1 ^! ~" B: Dconst double eps = 1e-8;( I+ m7 F; m! |, s5 u) L  p
bool EQ(double a, double b) {
$ P: E: K- @, ? return fabs(a - b) < eps;
. d2 l7 a! z) O# M, v: z9 R" L}
0 k* T) f) k8 v. Z8 R4 ^12 i* |$ r0 |0 b: i( [/ Z& ?7 J2 l0 W
2
7 }" Y* X0 B: z0 a! v. f3
9 U8 f' w0 w/ T1 n' m) }4
/ `: y6 z) l- J" r3 B+ h并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：9 _3 z( {2 U( Q5 u' C
int threeValue(double d) {
! w0 C6 P" O3 M, |) K0 ]8 p if (fabs(d) < eps)
5 w, C/ T) [  v- k3 j2 m- d       return 0;
/ P; r7 r: q9 g  U3 u6 e0 k return d > 0 ? 1 : -1;/ ^" }: {+ Y1 V! P4 Z0 |
}/ q9 S6 E* K) y
1. I. b- S6 W% r& b1 e
2
5 r0 C1 e! t* X( M3
: `3 j; ?; C0 F/ x6 k7 i1 ?8 s4' e$ _8 l$ R" W
5
4 Y! t' m- \0 w- F; P3、负零判定
$ s, a* W* u$ s& N: j因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
' C/ t- P- b5 ~: l$ z: c double v = -0.0000000001;7 Y9 U! S1 v  l7 G
printf("%.2lf\n", v);+ E! A6 \! M6 [& D& W! s  j
1  U5 ]& {- `: Q2 t" f* f2 l9 f/ h
2
1 F  s" I# N7 i# w  l1 B避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
  Q! u2 s6 S& k/ g+ r9 e, V double v = -0.0000000001;
3 @. n# G0 [' S  P1 c: |- Q if(threeValue(v) == 0) {. g, t0 R7 d2 u, c- {
      v = fabs(v);4 }; D/ M' D; \' f, P+ |
}
/ I3 \  a* z. V$ O) I  A8 W printf("%.2lf\n", v);! |9 \1 s9 x* r6 F0 O
1
  i* G3 s0 x) c* D" h# Y! P2
0 W# x0 h8 l( z6 {& X3
# j$ k+ [( z, S  H/ y4
, q: y: c# B3 V1 S9 s' P5
. d0 h: b7 k1 |: V4、避免三角函数、对数、开方、除法等& |' S. l8 X6 r
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
' v3 r; `5 o- r1 h除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。8 U; o/ o  q2 C0 O' f. q
5、系统性的学习
# a6 T; u* \" k: T. N, Q) V+ Z基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
. k/ T( o3 }3 q6 [( b9 G3 X3 Z进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；) N" b) Q) w; |
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
3 A( ]# B! K8 p9 V/ O+ Y
- F$ y! o" X' w% l) D9 A8 B" s1 h. C5 T
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
# s" i4 \4 A7 L3 r& O4）数论# W# Q& _$ j, i* c- B
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
- M" G$ _: f9 R. s7 b  C数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。9 ?* `# d7 f9 S/ k6 z7 l/ u
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
- S! B( f. F- F% y; E1、数论入门
3 |# l% ]0 |6 K) `主要是一些基本概念，诸如：
1 C6 K% T9 S* H( r2 ~整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
' z" C1 F: j+ R3 X2、数论四大定理
8 @4 @/ z* C4 w9 Q( O  w2 y这四个定理学完，可以KO很多题：. ?2 l3 H% w6 A% t
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
& o; D0 E5 t7 D+ }, q3、数论进阶
( J$ A! M. m' U8 W: X系统性的学习，基本也就这些内容了：
6 d+ [% H$ ~- Q7 i# G8 q4 Q扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。9 J8 ^. L* u- w, x$ P
5）字符串匹配
  O/ N& E; u' T$ l6 j字符串匹配学习路线比较明确。
+ w# }( D6 X: `4 o! u6 w5 u- b先学习前缀匹配：字典树。
' o, m. F' b: O; |/ d% }! m2 n然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。, n& s1 A9 Y& P$ r: U
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。  o/ T# M- w$ C- l7 G9 |% {
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。0 \! z5 C8 c! [
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
* s, |+ d; a- r$ \2 w$ T关于算法学习路线的内容到这里就结束了。! q9 R. T+ @" s" ^: u! i; e
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
3 w. d, P3 i5 A+ o# g; t9 u  k7 y参考资料& C  s" E2 a. z  [
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）9 B2 ^8 {& R" u' r
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
( A; M7 C% Q& W! S【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
6 X+ _6 y" ]; i【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）. y% e1 _- g3 O, y
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7 x# v0 h4 G$ i; c. y& Y; L: G原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228
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1 l6 C* E6 g9 f' b- h