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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
% ]- z& p/ Y# O+ b- a9 \7 f边的结构体声明如下：4 ~$ R% s6 v) y& |( u9 }" ~, h' v6 r
struct Edge {
% _5 i/ a3 ~; T3 y$ R/ M0 k int u, v, w, next;
- Z# g; h* G6 t+ ?) {5 E Edge() {}  o1 w' r3 \$ ]
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
' Q+ N! h! `' q# O( j       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) 5 J) {- c$ p" j+ x
{8 K+ Z6 e1 H" }) v: T
}
  V: R: k( H7 b9 I% n. b}edge[maxm];
3 s" K4 y; }/ E- l1" I  _- \0 l+ |1 C
2
) \4 I8 {- K* \/ r3
+ f' a/ t  S1 D0 T/ u- X4( H8 W6 D( q" V" H9 R1 T) T
5$ _9 }4 J) S7 X! W$ g
6: V+ d! j8 M) h  ]$ m9 L2 [; O4 _: {
7
! w2 q4 [) z. s5 q$ a" t# W3 H8
6 v; V9 s, H, N0 |# y初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；! K, a7 @6 l5 I1 d4 d% B
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
* t  g4 [6 \- Fvoid addEdge(int u, int v, int w) {6 k1 y0 a7 r/ Q$ T$ R+ S& o$ X( w
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);7 ?6 f% |. j+ h, a! S! m. B% o
head = edgeCount++;# ]' L9 u& K6 i1 ?, Y5 ]& d5 V
}! O0 b% D2 e5 H- B7 _
1& H6 V) ~- A7 L; X
2! }+ q8 K- I( E- z1 l' ^8 q
3( E0 i' ^' H1 @1 g( }3 _
44 y) `1 z6 y- W, o5 K7 c
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。' p: g. Q5 R+ m0 T
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。% Q4 P- f- l9 }2 i5 |7 ~
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {# C, \( _) x) k' y. G2 P* T6 o" q
int v = edges[e].v;9 Y9 ?- t( R/ Z
ValueType w = edges[e].w;
' G7 L9 B8 Q% \; X% | ...
+ h# s# R3 m; a, R8 g- X}" d) n/ l( |; l& r( [
16 \$ U9 C. n4 @! f4 u' R, m' h  v
2
$ q. k& l9 D; K& x% x; _+ u* @3. P5 W/ g5 |  N, X0 Y) J
4
5
- W, J' s3 b4 Q+ E文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。0 E3 v% H2 ~* B* i  b
4、算法入门
) }: C" H2 ]$ R: {6 J! S算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。: r& t% b% c/ t7 _
2 o3 n7 T$ U$ ]* O1 S

5 |; Z- ~3 @# E; `入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。6 [% a9 ]  N& r, N' ~" l
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
" w/ Z) S& w% Z- n4 l) J1 ?1、枚举' J& \1 z- k3 w3 l# v0 b
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
& |/ q' z% D/ B) z0 [+ }+ b1 j4 K& r对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。1 g7 f7 K* Z6 K" g! \/ E
2、排序1 V; F8 u. \: f1 f2 N% x
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
7 e! y3 X7 P; P冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。/ {: F; e+ c& h/ i+ M* z  y
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
& D: [8 f* T+ s( l1 Z$ \3、模拟4 B2 i( H1 f: G) X8 E
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。9 d" w: B! T3 ^9 F4 u
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
9 m: ^, ?) e. D3 s0 A- `但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。. O3 k# K% a7 M+ F+ _) h
4、二分9 D- m! y1 M' J! u
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。5 M/ d1 B  x3 H+ b
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
+ D! j! T( S) M% ~" j1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
+ o$ q/ ~+ _/ j6 I$ h, c" F2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：( U0 a( \& F: F  t( }, H. q
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；  Y: L- ~. \6 S5 Q
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
3 ~4 }2 i$ K! C" X: Q1 J2 _ 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
; W" M: j# j0 t3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
; y9 z3 L8 [# p5、双指针
* x. h) O+ h3 ~0 B8 H# u/ \1 \% u双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
' ?# G+ W! e1 ]2 h+ R2 T% p( O/ Y1 J6 w' e- [0 n
4 c. m0 m5 i& ~9 t" I' X
6、差分法! D# x# J+ {6 ^: {2 L) q( \, u
差分法一般配合前缀和。
; P/ r3 {8 R3 T& h对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；9 d7 L6 ~  u6 o" J$ G3 y3 t1 S
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg ) A4 J5 v, @3 k2 t' f
x
/ \- z% r* d8 l& |7 P . W1 Q  s. x( N5 ~. U* u2 O: D
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
1 ]' s# A0 E% x, l9 Jr7 f; A7 a; ~3 r, q4 t  L. |/ z# w# T! ?
! @( S: C3 B% v/ z4 D
−g ' J- Z: l5 T3 J8 Z
l−11 o; e% R7 F/ T4 P9 q& K& W; ~) E2 h
$ R3 I) E5 q. T
；分别用同样的方法求出 g r g_rg - z) s# k! O2 h6 X- `  k
r
& \9 ]# g3 }  X
9 j5 W" R- [$ G4 G  和 g l − 1 g_{l-1}g
/ J5 X7 f" Q6 Zl−12 |* Q" `& U! _. ]  E

, x+ J# _% j* a ，再相减即可；! N4 C: i" C4 V, `8 y
8 X, ]6 E9 o  s9 a  q+ q0 T( S
% |- Z! j2 |) n+ Y% K. D
7、位运算
! R' `* e* h6 b2 m4 B# j# c位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
$ t. @, v: h3 |: H  c" v位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。6 z7 ^8 [! Q! v/ A2 ~
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。; o2 B; X  J" A
如图所示：
0 e4 t0 X) z# J! z0 Y/ @! }6 b- ]( n! s3 K. G; m' e
$ g& T' Q" G! ]
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
+ ]8 a2 J/ F& N' u2 ?7 e- `比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
5 }8 M: \8 [* V/ ]) @!(x & (x - 1))1 R5 q# n+ B. p' O7 u5 @; u8 W7 i
11 ]8 s/ g3 X$ v% H% j0 N/ L
8、贪心
9 Y6 d9 g$ }4 y贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。# R5 \7 ^2 `. A- q: f/ p3 M
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
7 W5 }( C9 d' j8 o. V$ h1 U9、迭代6 ]3 h6 C, P" E% J: l4 q! P( r
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。7 N/ ], b0 U6 J/ T6 I0 O" ^
10、分治5 a, J, ?% y3 t- a/ i3 B3 ]
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
: i/ V  J) r* x2 c# X; X* A% r* _5、算法进阶
; k" s% _: K9 W. M5 {; y6 D算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
, W) v$ K. v. C, L3 c如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
) F9 R# ]% c5 v% n* x  Y这个系列主要分为以下几个大块内容：
) i, `- z+ ^  R 1）图论/ ]: M2 L; T! `. ]8 e8 s2 D! n
2）动态规划
! Y  N8 ~& M& Z! R 3）计算几何% H' A. t/ ^. c/ s: U
4）数论$ Z/ r1 l6 o  U7 G6 E+ n$ n, s
5）字符串匹配
' i" @* p7 d1 F 6）高级数据结构（课本上学不到的）6 x" [, F+ W) L$ @# f
7）杂项算法1 U6 P9 U( y6 J1 ?( W
4 T2 @4 K$ P! O" X- Z# D

6 }+ B/ i% F3 O* L/ P4 S先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
7 o! _/ @; v  m0 c" n7 a+ {% U" y. @% G1 K$ _. S
( t# f0 s, C- `: q

% A3 J' u4 m1 v- y( s' s" c% L/ x* h+ F2 n0 v7 c0 D
1）图论
7 O/ s9 G9 K5 `1、搜索概览
4 r1 n/ z( P) w2 d6 a图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
' m3 S; L' _& D: U7 m6 K: G
1 ?" c5 P2 q7 ~" x: I' V6 V  A+ A0 Z( f" B% S0 W
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。& U6 V. E1 H, c$ C% U* h
2、深度优先搜索
* ]' J7 t; h9 {* Q/ r1 S# u深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
4 l4 w/ q0 m# H$ T( f& t7 V$ J) v" g原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
; C' p( o4 g' ?2 `. e# s但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
/ w4 `4 {' J0 n: C) I9 D# ~1 s如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
2 m: n. b9 f2 u* C# G) p+ S
" \$ R. Y. Q1 {* {9 {1 M' j6 T: A0 w! {
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
. k3 O5 n+ N2 B) {$ | 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
9 r* u  n* i" h' ~( I$ }) V17 P( i' L& Q! F% j- w
同样，搜索的例子还有：
2 A6 \1 b$ V$ z+ j3 T& F( O( i% f$ R6 r( O8 D7 g

: w9 q' J6 c7 @! U) q计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
0 h+ U' V2 ^% D% a2 q, h3、记忆化搜索
0 _+ j. f0 {0 M8 A对于斐波那契函数的求解，如下所示：
6 @+ M$ [4 q- Bf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
4 l! L2 b5 Z) {! d" s) ~9 Y6 d4 l5 x; ?⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)8 a, H$ Y, d3 V% W, Q. ~, g( O
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
# b3 C4 G# E" i' S7 ?: qf(n)= $ D6 G6 d8 S: b2 n5 X. Z
⎩
5 D4 y8 g8 l/ o* ?+ \⎪
9 G3 \2 S3 N/ z5 b8 l⎨0 e6 z) l# k! d8 w0 q* ^5 g
⎪
2 Q1 c  z! I; u5 _  Y' y! c! O. Z⎧
, w# c( c- }# G" c% |
- P* R4 q/ j% q  / p. a" b/ n0 Y, S# ]0 F* q
1
3 @0 Q( U% E0 l" J  ?1, I. b8 b8 g" n$ L! J2 l5 R6 m
f(n−1)+f(n−2)9 D7 `5 j# g6 i4 y
9 s5 t- _5 t$ {  C6 P

5 [+ A0 Z3 U/ A  z; W(n=0)1 S0 A: o2 P, g! c
(n=1)
8 f- b3 k# y* p) |2 d3 J, A6 i(n>2)
. q0 b% W" F, H) T5 i5 l, N  |& F, E
' K6 r6 Y& b% K9 ^8 [ ; Y9 G3 L/ F- c3 K( r% w, D; W' r
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
4 |+ R# i" `5 |$ _8 Y# v- I
" K+ e) \4 b# ?7 ]* N/ l
- |8 \# ~, s, M- e) l这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
  C- O- d$ A; m1 [我们通过一个动图来感受一下：
: {% x2 i4 ^' D( a0 k: O
* \: W# o% z/ Y5 K8 G$ d2 U% f" k( _7 ^" a
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。, p6 b. d/ o( Q
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。# R5 q7 t6 {' q( O" g, W2 v- x
4、广度优先搜索  v* l4 ~" Z9 r3 O: o
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。* t, m: z; J9 j5 y" c1 f
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。5 [- a0 f$ X& I, H$ s- r

' Y( R* M' d4 Y' l! k% f$ e& T" [/ ~% X

: C1 @" \5 n$ \0 Q. B8 T1 O: c( o
7 p6 ~+ p  U3 R5 H8 F2 q从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。( V6 K$ ]0 ~- t# N
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
1 B) L4 X* m  @: @! _* u这时候，算法和数据结构就完美结合了。7 X+ }  L$ e1 f! p. ]) o4 i
2）动态规划1 q$ }/ W, f* _
动态规划算法三要素：
' e4 S! G7 P' A' r; w ①所有不同的子问题组成的表；
. d7 O# o- v0 F8 R4 R( e ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
7 T* M/ K3 ]# @1 s5 K' h ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；: q- @, t& Y$ A; w; T) Z! [
& p( e8 Q" G" U7 Q1 D' Y0 T

- D, l# W2 ?/ _' S2 C8 }" `5 L如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
# k+ a$ ?: J' Q- o7 @t5 K: o, d, _4 q  _/ @
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
' t- e. c1 R4 _e' o) E, c& R4 i
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
+ A" M. G* w( W4 H9 H. u1、1D/1D
$ ^$ u6 _6 N. d# a, y4 ^- J% [d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
0 v. Q& O: C' L( qd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)) A! }/ s% h  o9 P4 N( S
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：8 S0 L) P' O4 c, D

) r( W& {6 g5 ~4 m$ G7 K# r8 w. p
, W& m& A/ G" C" M6 k5 v这类状态转移方程一般出现在线性模型中。5 u7 d0 f0 G5 N- p5 Q5 b
2、2D/0D
) x* N7 a- w2 U5 O4 U; o6 w; Yd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
3 `* T0 w8 x3 H2 a. W0 Id[j]=opt(d[i−1][j]+x
  f8 S7 `" \, D; v% h% Q5 ^6 Fi3 N; U$ N% I6 c) B. M% `

+ c+ J- u$ t: H ,d[j−1]+y
8 S; c/ T) j5 W: I$ q/ N$ oj0 e+ o) A+ p* n/ u9 i1 D6 m& ~; |" B: m
, Q5 O5 q* F2 p( j; K4 y7 w
,d[i−1][j−1]+z - x8 X: [: G" w2 w
ij
8 a6 l" ~" B+ v2 |3 N; J, G 4 l+ l- Z& T) S0 t- |: q1 E9 W$ U
)8 e9 J: _$ [8 _( B( |
状态转移如图四所示：
7 B# s# z- D3 w" |; a
" [0 q4 q9 e2 w, f( @/ u, T' f8 Z+ ~/ Q- h% c0 F
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。4 u# B- G0 u7 I' S
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列( H! o) \7 C' ]' R
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离1 h- ]- d8 u& x' L5 A0 ~
3、2D/1D
6 q6 y. E* @0 J* hd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] ). I, E, b( q" D! ~
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])" n. x7 i1 l: a, C2 R$ s, ]
区间模型常用方程，如图所示：( _- q8 x2 K6 x; H
: m& c9 ]+ o" q* Q- U

5 U; [4 f1 ]; i另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
1 b  x2 D. Q3 ]# G, n3 j; E( Wd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )7 h4 u" F- Y0 ^+ b! d  o: S- J; P
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
3 p# d' C* ^( C区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
3 I7 f; V/ s0 j0 B$ Q- _) g* m4、2D/2D
) L2 S. q: M( z& dd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)! x2 e# N5 Q, _* W% S  S0 i
d[j]=opt(d[i
; P9 \4 y% |4 H) `′
+ c9 v( v( p; h) M% d; j ][j 3 U; s; e/ j! R3 T3 X8 L
′9 t6 e2 A3 O- \$ V0 r! t4 D
]+w(i
& C) f! k7 q) a. N/ y8 Q1 I, l′7 P" `+ \3 h( J1 G# }6 M
,j ' F  K+ K" g; u5 ]2 ~/ M
′
) N7 s/ a$ G6 M ,i,j)∣0<=i ; O4 a8 j9 w, g9 w0 W  y
′
+ R) R, y- w9 B3 q- I <i,0<=j
7 g. p  c+ b/ t& P2 w′8 ?2 ?* p) A+ d9 H, q4 _
<j)
; j) ^; r# d- q1 g如图所示：$ V* |. V/ k' w4 d1 @
( f8 K, c6 N/ k1 P" S. ]+ t& u
8 d* y5 ~- d( O& Z0 S
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。/ h; c% \, h; Z: }- z2 @
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
6 r4 A" N6 f1 K' h2 }7 n% }" {t+e
1 V1 ~* Z3 L, B$ P+ P- j )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
) ~. M& G2 u* r" st6 T. S3 h+ j' b) r' A# p8 \' ^) e
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
* Q: S$ q# N3 ^3）计算几何
8 j% K+ t" P$ k" B6 K4 {计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。5 R- p% [9 I+ |8 u$ h/ \
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。; W$ s$ [7 |* |! I) f
1、double 代替 float" B* \6 q( i; W/ v& v) f1 m3 m! u
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；7 ]* P$ R7 [2 x4 L! B* ^
2、浮点数判定$ F  i' b3 ~! [
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
+ c. d7 c- L" U' g6 }两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：  p, N4 b* e, }* j+ x2 I
const double eps = 1e-8;
1 n6 H) z- z+ z. sbool EQ(double a, double b) {
& {" S, y# w8 v( ]" b return fabs(a - b) < eps;- G; l# ^+ P2 b) @
}( i  z2 U; h1 x3 X* e& m# n& t
1
; c5 J4 h* ~/ I$ ^3 s+ H2
! J( F7 C8 O" |9 L, }* C) g3( z* z& e, j4 y# Y7 F1 q
4+ W% g' _* E" A, `8 B3 J
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
* o6 `7 {& e3 b' R1 }  \* k9 q& rint threeValue(double d) {0 z& B& w! r/ \$ X0 ^3 d3 L
if (fabs(d) < eps). m$ D0 P- f' q
      return 0;
! [, ^- o- L, u/ _( c return d > 0 ? 1 : -1;
, ?) Z& S1 ~9 f3 g' y3 V$ Z# O7 Y}
0 e8 A: I7 b/ p: P, E1
7 q- I0 T1 e/ n6 H7 R21 u" V% h/ k1 x) \! [5 H
3) s) c" s7 J7 b1 K  n. j6 R& }
40 f  `+ ^% c* k; Z* @8 z
5
1 X$ Y9 W6 S* A3 Q' S8 Z+ [3、负零判定5 z7 @$ }: a( |! Z+ o8 X
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：: f& L4 ^* j5 A& h  |; J( X! i0 I
double v = -0.0000000001;
) m3 M; q7 z6 e1 X8 D# a/ X! w printf("%.2lf\n", v);+ T% d$ I9 k: O7 B! D( ]2 _
1! h* M6 N+ F( V: a" n
2
. ^! k" b: W$ Z; s! f' U9 `5 l避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：6 F7 E& Z  E& M! F" S
double v = -0.0000000001;
7 G7 M) I' K8 t if(threeValue(v) == 0) {
: O! `) e) _) i  h       v = fabs(v);, g% [2 o) I- v+ p8 _8 h
}2 E0 s& N0 s5 W% x& T' J
printf("%.2lf\n", v);
; k1 Y- P7 f! X2 G0 b1
, ?( Y# x) j& `5 |! \+ K: ?" L$ p2, }( o7 A. P9 Z4 D7 L
31 m0 T8 ^7 L! l# D( G) u0 l
4+ P# l; l* s+ e
5
5 X" x/ X  T: z4、避免三角函数、对数、开方、除法等, G6 D4 F) k3 X/ I) n
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
! b! c( s) z2 ^+ l3 [除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。' C$ ?- a, x. o0 v
5、系统性的学习1 ?% O' X7 `7 f5 J0 B, E; Q  r5 h
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
6 d' D) N" S3 d% e进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；& \4 T6 G. ], B  q2 C
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。9 p- C& P! ~+ c. w

  ^/ k' B3 G5 u" F, Q4 C* X" Y8 o0 B! |; \- [
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。8 a  {& k6 o5 v+ Q) c4 T2 ?
4）数论
# Y3 n5 X- u  {( h! a) S刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！. e/ w8 J) y  j: F; |- g& i. @% F
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。: Y: \( \' @9 T* l- i
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。: o" ~0 \7 g$ Q2 y: Y! U
1、数论入门" j7 Q2 {1 C, [4 J: N% Z4 y
主要是一些基本概念，诸如：
  L# a* p+ i: @2 O: j; D1 D整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；5 f2 T& U2 R3 J2 }7 X) d. d6 s
2、数论四大定理
. H4 [* p8 F8 K9 M( ^这四个定理学完，可以KO很多题：" Q& k  u. s  @7 T/ `' N! h9 i2 }
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理8 ^/ X9 @" _- |* k8 G
3、数论进阶
! Q) w( i" U2 I1 w系统性的学习，基本也就这些内容了：
7 K% a. N1 [& N' m6 g; E1 L扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。, M+ C7 g; b; s& x$ ?9 ^
5）字符串匹配- ]* S) O1 i( M- z0 M# t2 [6 v
字符串匹配学习路线比较明确。& Y- h" E4 l, l1 {
先学习前缀匹配：字典树。( G6 @3 _' L$ I) u$ R
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
; m, Z+ @6 L8 v0 f以及经典的单字符串匹配算法：KMP。6 x7 I6 X. c5 q* i
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
" d+ v  ?7 L4 [" s2 z' r& ^& }0 o然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。0 U& T# {2 H& [  X
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
( i, R+ u/ p+ U$ @" k" a8 c如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。" K" V& u3 X3 O9 z) `9 A" m: @
参考资料
& z9 ?* Y1 K( W* r$ P【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
1 R9 U4 V, O$ b0 L5 L1 w【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
. J* w( }& b- F2 A【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）8 z7 |" M1 u' i3 l% s) T5 o. a5 g
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）% L; }7 U& J* A' m  U
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9 R# S, t* o% B/ y原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/1183822286 O1 u( D# K. q7 T; i
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