数字信号处理matlab——系统响应和系统稳定

杨利霞

数字信号处理matlab——系统响应和系统稳定
" i. N0 f) r1 W& a时域中，描绘系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应。
: l7 [$ e: e( d8 _频域中，描绘系统特征的方法可以是系统函数
系统线性时不变特性，因果性，稳定性
稳定性是对于任意有界的输入信号，系统能得到有界的响应。
% \3 }+ M4 |  ~$ Q; y; s3 q8 L0 m% q系统的单位脉冲响应满足绝对可和
4 i7 F* E! {1 G2 g系统稳定性可以从差分方程系数得出
% X# T2 T( S+ C2 p" G检查系统稳定性最普遍的做法是：输入单位阶跃序列，当n→∞，系统输出趋近于一个常数，那么系统是稳定的
4 _: o3 Y' u! u7 B2 q

/ M" c7 [5 p  D0 L3 z. O例一
给定一个差分方程
0 v9 ?0 z: r3 Y. H/ Q0 Q8 g8 Ey(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)
输入信号x(n)=R8(n)
求x(n)的系统响应，画出波形
0 {/ R# {- L" P# ~( J求出单位脉冲响应


clc
close all;
clear all;
A=[1,-0.9];
2 e; |% a) e! T  {0 U$ U  NB=[0.05,0.05];
xn=[ones(1,8),zeros(1,42)];
5 K: h9 Q3 g, |* S# Xn=0:length(xn)-1;
[hn,n]=impz(B,A,length(xn));
5 `8 m% t) d. r- e' ^yn=filter(B,A,xn);
/ L, F! Q8 R3 r8 K4 efigure
! {, l% B# j5 {2 F# Psubplot(2,1,1);
xlabel('n');
ylabel('y(n)');
3 s7 r  E* H$ d$ a) s9 Ustem(n,yn,'.');
axis([0,length(n),min(yn),1.2*max(yn)]);
. |+ }6 L6 l- G' Qtitle('System response to R8(n)');
' [- s5 C1 v9 @0 y4 W. {

subplot(2,1,2);
. V% b* \: ]$ B" b( M0 K9 J$ ]; R; vxlabel('n');
ylabel('h(n)');
stem(n,hn,'.');
! s  H0 V2 [! K. Z# v0 p# J  Eaxis([0,length(n),min(hn),1.2*max(hn)]);
) x- |5 P* Y5 d* h! ^9 |# [- [title('System unit impulse response');
$ M: d8 _0 K3 P" z$ g! i1
6 w; [$ t# ]; t) m* G8 W2
9 N; b" J5 i! a$ S5 p2 q3
1 l# Z. s" t4 O4 L4 d& @7 A1 H4
5 f% y8 p; ^7 D1 _+ Q5
6
7
8
/ }) g1 Y# y" n7 {/ N) F4 A9
0 ^7 Q. G+ K" K" H10
9 c: ^# t8 H1 N11
" Q# W3 D0 Y, Y* l. l12
13
; O9 k  C" s) r- I14
15
) W/ w0 @; q+ V  g16
17
( d7 U: m% b# q2 J% U" A0 z# y18
# d) i" ?$ Q' e; T& L0 b7 ]19
20
: I$ @! R! k' ^+ b21
4 Q' H/ {* N" h  g( g/ H22
6 w* l  p) W) j( ]: q8 F# |23

) @6 R& C/ ~, H9 I7 \( [


$ z) V1 W# i6 S; w9 s信号经过低通滤波器，信号的高频被过滤，时域信号的变化减缓，在有阶跃处附近产生过渡带。因此输入矩形序列时，输出序列的开始和终了都产生明显的过渡带。输入为单位阶跃时，中了也产生明显过渡带

3 ~+ j$ {' K3 Z$ u2 t1 L, U! c
例二
给定一个差分方程
y(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)
输入信号x(n)=u(n)
求x(n)的系统响应，画出波形
( E# H2 K  L! o" g% L求出单位脉冲响应
7 m: H* v3 P4 T$ r

clc
close all;
. a  N) ~- {, d3 [* P/ wclear all;
; E, \6 j& \8 X* O5 R3 ]A=[1,-0.9];
B=[0.05,0.05];
xn=ones(1,100);
n=0:length(xn)-1;
9 n& c! n* p" ]. K% f[hn,n]=impz(B,A,length(xn));
yn=filter(B,A,xn);
figure
) `  ?* w0 }, Ssubplot(2,1,1);
6 D' i9 _3 G7 L+ ~8 c) C8 qxlabel('n');
% {% b7 t: U, ~# t0 J5 {9 Wylabel('y(n)');
stem(n,yn,'.');
axis([0,length(n),min(yn),1.2*max(yn)]);
title('System response to u(n)');
8 y- \1 @3 `* @9 w* p- m5 ?( W
5 k, d# j- H7 q" x% w6 i- ^- B
  P# V$ U  |2 K! t: J2 asubplot(2,1,2);
xlabel('n');
) k# h0 W* E! i0 Uylabel('h(n)');
stem(n,hn,'.');
# f8 M, }$ f0 W3 \$ `0 Qaxis([0,length(n),min(hn),1.2*max(hn)]);
- S; m; A+ P1 n1 M# W% Utitle('System unit impulse response');
1
5 K* i7 I2 F2 g, N) V7 Q. f5 P2 v2
  f6 M5 _, z1 K- X! ~1 d3
6 {; X6 N, Y$ ]4
6 f3 M) _# n3 L7 t1 g: r3 ^& ]# H5
1 O9 |5 ]2 {5 ~  P6 O# M6
5 W+ t1 n# K6 ]/ I. S1 X7
8
4 l, }+ \2 b! V  w- m9
10
. s+ ^' F$ T. |' Z6 L11
12
8 l  I1 n* b4 I% z& `13
8 f7 m! J+ F- q" H4 p# ^14
# n# p6 f" R5 O) e' o5 z' e15
5 D% I. C; x$ c. i0 z- p9 R16
( m) m. Q  b; j- f/ c9 O, X* }7 D17
! g- j  e6 k& s18
19
! Q$ y/ n! O% B! ?" X2 `/ _20
21
# ^4 ]1 a+ f: y22
$ {" I; K, ^! A! @: l/ H! d23
+ D  T% e. w# p. ~. Y

/ k% \  A" S$ d7 l
5 w  P; }0 q6 i  x
1 N5 _' m  y# G( x/ }例三
9 z* T6 ?3 h  T3 W6 R' h! P* M0 o! N给定系统的单位脉冲响应h(n)=R10(n),
& D4 D9 v( `% i8 e/ X用线性卷积法求x(n)=R8(n)对系统h(n)的输出响应y(n)
3 ?& \! }( O# Y8 s- ?! {- g. v4 |& [

* `3 H6 n& J) h. d# E& Qclc
- z+ t, s, Z3 T$ {$ ^0 I  l/ W& {( qclose all;
9 T" S; a9 b/ s  N& v  v# Yclear all;
1 |' B) T$ t: M6 P! R( z$ q: E7 Dxn=ones(1,8);
n=0:length(xn)-1;
& \9 S% V* A! B0 |6 P! Afigure
subplot(3,1,1);
stem(n,xn,'.');
/ o( b0 |( l, ~$ S* b! Zxlabel('n');
0 f: a' s! x$ Nylabel('xn');
axis([0,30,0,1.2*max(xn)]);


hn=[ones(1,10),zeros(1,10)];
m=0:length(hn)-1;
subplot(3,1,2);
, n# }% N( N4 ystem(m,hn,'.');
xlabel('m');
3 l+ Y% h  d1 W+ M, M% \ylabel('hn');
axis([0,30,0,1.2*max(hn)]);


( y6 }: \6 d# n* }yn=conv(hn,xn)
6 f2 f9 k' ], c& U& tl=0:length(xn)+length(hn)-2;
subplot(3,1,3);
stem(l,yn,'.');
xlabel('l');
& ~; l( A9 R3 z9 e- d, Pylabel('yn');
axis([0,30,0,1.2*max(yn)]);


( ?/ I- `, x2 z) h& A1
2
# x' @, V% r6 C3
9 W# `2 y/ [" f* L  u6 R4
5
, F  m* E5 c) m+ ^; J6
7
; M6 |3 f7 n! v- {# M: p8
! a( z1 T5 J6 n# B  _" J9
7 @. N4 V( \0 h% }% |" F' O1 V: \5 K: |10
11
' G8 `9 \% |" r7 J5 U0 I- R% J4 T12
% c2 h3 C( S+ I1 m0 _  V13
14
15
- i$ y$ e& p* C$ S: Y- s16
17
  i+ h1 _# N. D/ ~18
6 v- |( a  Z  a) @, ]- I19
20
; d( x( d: d* j+ L1 l21
2 K) c( A+ d( u6 A% ]9 b" k22
. U1 y. C) e  K: O4 S23
% \7 c; g$ p4 F- b- c24
: }( b" H. }& K& S+ B+ t% v0 |25
26
& G0 E8 E2 C# d/ i+ R+ I8 G' l# k1 T27
. a3 j2 X* C1 c, J& z28


" y& r; h$ k) a. }, o- K

例四
8 [: |- N: M2 z# J! s6 }3 ^) H6 j给定系统的单位脉冲响应h(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)
用线性卷积法求x(n)=R8(n)对系统h(n)的输出响应y(n)

5 c- X) b) B4 {/ a4 N7 ?
clc
% C1 f1 C( }8 e( fclose all;
clear all;
xn=ones(1,8);
7 _; J( |2 u' w4 `+ |4 qn=0:length(xn)-1;
figure
subplot(3,1,1);
) R8 T0 J/ U& f4 C, Rstem(n,xn,'.');
xlabel('n');
ylabel('xn');
7 ~5 l* o5 {6 ~. k- J# R% Xaxis([0,20,0,1.2*max(xn)]);


* B( i2 [) [& T& [; ?" uhn=[1,2.5,2.5,1,zeros(1,6)];
m=0:length(hn)-1;
subplot(3,1,2);
stem(m,hn,'.');
xlabel('m');
! P: R; p3 f% a0 W8 O) K% C& G5 Xylabel('hn');
3 i3 ?' f5 d% I' c, L5 R$ Zaxis([0,20,0,1.2*max(hn)]);

7 @/ h  `- m& z( R: _, @
yn=conv(hn,xn)
8 k' R, L8 K1 X' W& N6 vl=0:length(xn)+length(hn)-2;
9 ?: n6 {& M) c3 A3 m% B  Rsubplot(3,1,3);
9 v1 @7 s9 B! t2 [) U" j' vstem(l,yn,'.');
xlabel('l');
. h$ N5 K5 m6 a# g. wylabel('yn');
: B/ H* l: j& ~axis([0,20,0,1.2*max(yn)]);

" P& [+ K+ P, V. k0 X$ F
1
0 V1 J1 M  ~6 t* G* Z5 |2
3
4
5
( v7 f" @) N1 n$ i8 h0 v9 _6
7
- B( Z& {, [2 s/ s! ]9 `8
, i, S$ e7 o+ ^% z9
10
11
12
13
7 _* c3 p. O6 X! m1 r6 g1 o14
15
16
17
% s5 F6 K7 j( n/ a1 {% h) x! l18
& d5 n" J4 f: S0 z/ W% j19
; E2 W: u0 V+ V9 _9 C- e20
21
: b, y0 O2 p& S+ u22
, o; t( B/ Y7 ^- U7 e, `2 }$ z23
24
+ m( F) k0 T& f0 ~- n- J25
26
! u/ D4 j& C0 h27
28
6 K8 v9 \! C8 l7 O( D+ [

! v. ?2 Z( m* F6 W* E$ R
; ^2 N0 Z4 |' O8 x$ G8 e1 u
$ H6 }8 j0 M( T1 L/ b例五
y(n)=1.8237y(n-1)-0.9801y(n-2)+1/100.49x(n)-1/100.49x(n-2)
# ^/ {. R9 _( H1
谐振器的谐振频率为0.4rad
! K! H1 V; L& A& m, }输入信号为u(n)，输出为y(n)
求系统的稳定性和输出波形

7 K0 z* V( O" j, O
clc
- z) p, z, p' ?+ Pclose all;
clear all;
4 j- S( f2 K) }) mun=ones(1,256);
n=0:length(un)-1;
A=[1,-1.8237,0.9801];
, Z8 U% j. W( f1 fB=[1/100.49,0,-1/100.49];
# w' E/ N5 I; K2 Syn=filter(B,A,un);
- e" s: s8 H1 a2 i- Vfigure
stem(n,yn,'.');
% Q1 f" ?; |; r/ N% Axlabel('n');
6 Y2 D8 B1 N1 ^6 Uylabel('yn');
axis([0,length(un),1.2*min(yn),1.2*max(yn)]);

, ~# _5 k, Z" c; p2 [
1
9 v9 C# P" N/ y/ T, e- H2 r2
3
4
9 w  L  ~. ^, A7 A6 c* m4 x5 {1 }5
6
7
, I# ?9 H4 n; x8
& b3 l' G$ B7 e1 n, u& _4 C9
10
11
12
" a% c- L1 }% ^) M0 w7 d13
14

8 ~9 F$ s5 Y( s. \  d$ W! Z! W
) o7 L8 h" }1 Y稳定
检验系统的稳定性
输入端加入单位阶跃序列，观察波形，波形稳定在一个常数值上，系统稳定，否则不稳定
9 v4 @, j8 ~+ R$ `" E

$ c1 a1 b  T+ N. I. n例六
y(n)=1.8237y(n-1)-0.9801y(n-2)+1/100.49x(n)-1/100.49x(n-2)
1
谐振器的谐振频率为0.4rad
) g* l, L4 d/ _9 u$ N5 ?输入信号为x(n)=sin(0.014* n)+sin(0.4*n)，输出为y(n)
$ r: P5 G3 x8 K求系统输出波形


' B6 X7 v- {8 b, P% uclc
close all;
6 I- b8 L! c7 ]5 k+ t& Vclear all;
n=0:256;
6 A" j8 G4 L: R9 i( `xn=sin(0.014*n)+sin(0.4*n);
2 g- R& T; }- ~  Q! T% QA=[1,-1.8237,0.9801];
B=[1/100.49,0,-1/100.49];
yn=filter(B,A,xn);
& {* I8 J# l" v8 k9 W( |figure
stem(n,yn,'.');
xlabel('n');
ylabel('yn');
axis([0,length(n),1.2*min(yn),1.2*max(yn)]);


1 Z/ V* Y0 y- w) c7 e  \# z7 T1
& ~: p* J! h3 Q" v6 d* G2
3
4
' E' E+ @% l& `" E! F' D7 q5
6
7
7 z6 l4 t; c; \% S8
9
10
11
: j" Z* R, L  v' w8 J: J12
13
6 @9 M- B6 C" h, @4 Y- U" R14


; N) f* _7 G& Q/ ?; F时域求系统响应方法有两种
$ \9 n& f; {; R1.通过差分方程求得系统输出，需要初始条件，是否是零输入响应
2.已知系统单位脉冲响应，通过求输入信号和系统单位脉冲响应的线性卷积求得系统输出
/ U. m) g( K: y5 M" k5 Q) k

( \2 q" ~1 A, Y谐振器具有对某个频率进行谐振性质，实验中的谐振频率是0.4rad，稳定波形是sin(0.4n)
2 z- G% s$ h3 V- j1 `' n————————————————
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9 S% O7 S! A: G4 v原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_41129832/article/details/118405258
- {5 F4 s2 _$ \3 b. S( J  ^2 O
  x; ?; X! A- u- \/ |8 j8 b
( b. J% v& T4 [' s, E* ]0 {: g

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谢谢了！ 谢谢了！

1051373629

! E, }- f1 R; u: s谢谢了！ 谢谢了！