数字信号处理matlab——系统响应和系统稳定

杨利霞

8 Q8 |& a3 o0 w/ J: a数字信号处理matlab——系统响应和系统稳定
时域中，描绘系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应。
频域中，描绘系统特征的方法可以是系统函数
* O: n  o- ~9 p6 N* Y* g系统线性时不变特性，因果性，稳定性
$ G* b- f  F9 I. G稳定性是对于任意有界的输入信号，系统能得到有界的响应。
系统的单位脉冲响应满足绝对可和
系统稳定性可以从差分方程系数得出
5 w5 u9 @+ o6 i/ R, [6 [+ F检查系统稳定性最普遍的做法是：输入单位阶跃序列，当n→∞，系统输出趋近于一个常数，那么系统是稳定的
6 r( M0 t6 q. Q* l& f8 y& U, y8 m
5 @  ~4 l6 y3 u5 y
例一
8 x3 x3 {  u& Y; P5 K给定一个差分方程
y(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)
9 ~* O. N1 e# S& G6 @输入信号x(n)=R8(n)
% n5 m6 Y; d. |. r0 `求x(n)的系统响应，画出波形
求出单位脉冲响应


clc
close all;
+ X8 W& B/ x4 mclear all;
A=[1,-0.9];
B=[0.05,0.05];
xn=[ones(1,8),zeros(1,42)];
2 }6 x7 z2 y2 }7 }) M! y/ T2 bn=0:length(xn)-1;
5 N: d- \% q$ [5 g. J[hn,n]=impz(B,A,length(xn));
7 b: l' F. C4 n6 ?yn=filter(B,A,xn);
, o% I2 h8 k6 U, }  ?3 w+ pfigure
subplot(2,1,1);
xlabel('n');
ylabel('y(n)');
stem(n,yn,'.');
axis([0,length(n),min(yn),1.2*max(yn)]);
title('System response to R8(n)');


; m) S+ m+ G& G. B7 ?, f  g' \subplot(2,1,2);
xlabel('n');
ylabel('h(n)');
/ J5 p! I- ?" \) M1 ]0 j5 ]stem(n,hn,'.');
axis([0,length(n),min(hn),1.2*max(hn)]);
( u' ~0 n* Y; Y! a( o3 W. wtitle('System unit impulse response');
  F. u# o6 u/ i' }( v1
  ^8 v- J2 E* Y0 s: X, c- ^# I# ]2
3
& o; p; D: c: k% h6 s7 F4
- Z* q+ n' b! a% M  h7 j5
6
! ?2 U$ n& k2 |" D: ~2 z' G7
8
9
# E) N- ~3 x, _10
" V9 M2 V; ?. o! O; e11
12
) w( D, F& a5 r7 z. n/ h9 N# ]13
$ v: T' @% X1 `/ [: w( b14
2 N5 X0 g% w; s, P1 g6 _1 \1 Y15
& ?' v3 b- c8 O5 [16
17
18
, A9 }& X  c! Z5 \4 n4 n7 @19
" Q3 P. U" D0 C! k% n/ b" u20
0 D! r$ i% ~/ F% v" s21
22
23

. H8 u' f7 {# r, J' b8 |
" E' l7 P% F' ^. {

( B# w' L" B$ z& r4 B信号经过低通滤波器，信号的高频被过滤，时域信号的变化减缓，在有阶跃处附近产生过渡带。因此输入矩形序列时，输出序列的开始和终了都产生明显的过渡带。输入为单位阶跃时，中了也产生明显过渡带


. T% ~, q* G9 {3 h' `9 D例二
给定一个差分方程
" S% w0 l0 o& C- g' my(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)
) p* l: z5 p5 w: C& ?/ l0 l% l输入信号x(n)=u(n)
& C  M  T3 O) T% y9 e. T求x(n)的系统响应，画出波形
求出单位脉冲响应
* t9 l4 [# G  O' D% Q) u& C
7 {# ?+ `2 }, r4 G7 l& S. g
clc
close all;
4 J; ?1 y; x% pclear all;
A=[1,-0.9];
1 r' G" j3 ^% k0 J, UB=[0.05,0.05];
xn=ones(1,100);
n=0:length(xn)-1;
[hn,n]=impz(B,A,length(xn));
6 C, N6 Q6 u0 _% r7 s7 _yn=filter(B,A,xn);
% q2 i) w! i3 q1 P, _figure
subplot(2,1,1);
xlabel('n');
ylabel('y(n)');
& y7 c; I* y: g$ @stem(n,yn,'.');
% G1 q2 a7 f( e% U- zaxis([0,length(n),min(yn),1.2*max(yn)]);
! n( |2 C3 D4 u/ s4 Dtitle('System response to u(n)');


# L1 h% }* C! I, \" n/ Csubplot(2,1,2);
4 W& U$ H9 [4 w& q. Ixlabel('n');
ylabel('h(n)');
2 S9 D" V8 L9 |- O0 xstem(n,hn,'.');
; v* E1 i2 y; b7 q8 C$ |. h$ taxis([0,length(n),min(hn),1.2*max(hn)]);
title('System unit impulse response');
1
2
3
4
5
" S( j  u- D# I+ y  |! M6
7
8
: o9 ]8 }' U' B' H2 q0 q. L% L9
10
11
' l! x2 v$ _$ w: ^2 |* g9 u12
, c! Y, V$ G5 j: q: V13
14
% \% O) t% X( a+ t/ p15
5 O) `6 P* [( U, e% B5 }2 P16
17
18
19
4 N8 y2 f: O+ l) d$ ^20
21
22
23
1 ^8 O3 _. ~  _0 K& _8 f( N4 N


* v. t- b9 ~( \, R" t5 N
例三
% q# Z! X$ W1 M3 F: l! O" [2 ?给定系统的单位脉冲响应h(n)=R10(n),
( Z: T" c6 J4 a* n2 p- H用线性卷积法求x(n)=R8(n)对系统h(n)的输出响应y(n)

$ T: Y. X1 F  Q# Q9 i
; O4 J* ^8 Q! e6 h# M" {" mclc
0 B+ P$ m; G$ u* u' jclose all;
clear all;
xn=ones(1,8);
9 `! P6 T4 h5 T. s5 j! on=0:length(xn)-1;
3 O/ ]2 x, z( H+ R: ffigure
/ w4 M+ {7 {: S5 A% wsubplot(3,1,1);
+ D' h* ~* t0 C( g3 [  p, t6 }stem(n,xn,'.');
1 K& r  E# R4 m( {0 [- J! Oxlabel('n');
ylabel('xn');
axis([0,30,0,1.2*max(xn)]);


hn=[ones(1,10),zeros(1,10)];
) i- S9 n. i  B2 _2 E9 k( [m=0:length(hn)-1;
2 Q' R- s* ]% v! G6 fsubplot(3,1,2);
& g1 ^/ H. m0 t" ]4 m; N. istem(m,hn,'.');
2 m( W! X+ }8 {xlabel('m');
ylabel('hn');
axis([0,30,0,1.2*max(hn)]);

2 q. T4 P& S1 E" [
yn=conv(hn,xn)
' y0 }$ d# C2 ~2 K8 fl=0:length(xn)+length(hn)-2;
) B- _& T6 n  l0 ~; ksubplot(3,1,3);
stem(l,yn,'.');
& F. L# a3 M# X# dxlabel('l');
- A$ y  b. ?7 m' D* F$ _ylabel('yn');
, v( B( d4 r  T* H1 r! Q6 ]( |, Baxis([0,30,0,1.2*max(yn)]);
! x  n6 i3 B1 T0 \; M7 Q1 c
# }: e: o+ V/ b8 W( q! a6 e
( Y! u! }, Z9 n# t& d1
  m8 ^' ]- p" \. |9 q2
; ~! w2 m! t7 S9 e: I4 u: w8 w3
4
) S. O* N1 g0 L9 n. G$ t5
* S& @; c1 p1 x* C% u$ m, W% u7 A0 F' W6
* K  \& b) Y6 i  D& D( S! ^  z0 N7
8
/ E" z" h- c! y9 H9
10
5 P1 y1 Q9 D9 [( j# u1 W11
12
* l; ~: n' c0 X; s; q) K5 j13
14
15
/ C% h2 j: j9 ^. Q% C16
17
. c) p9 T2 O3 r7 B3 H5 O! K$ s18
5 g4 h% @$ i$ l8 X1 [19
1 C# V9 c# U; k1 O20
21
22
& Q. Z& c9 f/ D/ N23
8 W& y: S% M1 }7 w$ H& Y; Q% G7 g" \24
  j" G2 w0 y# c6 E+ }, E3 v- c25
3 O3 ?8 ]* K/ q26
1 T# _2 |# y3 Y" P0 p1 P27
28
$ g1 ?5 q7 m3 c7 l9 u% F
. y$ A2 g+ D7 A7 i
4 a* _1 \/ m. U' r3 y) S  J' A
9 h+ z  j+ x  @2 q3 S
% J& R* e6 {+ m. b0 D! l8 k, F7 T例四
! |. g% E* r7 o! i6 L3 N给定系统的单位脉冲响应h(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)
用线性卷积法求x(n)=R8(n)对系统h(n)的输出响应y(n)


clc
close all;
clear all;
xn=ones(1,8);
n=0:length(xn)-1;
figure
subplot(3,1,1);
stem(n,xn,'.');
xlabel('n');
1 ~4 V" K1 u; p0 K, {ylabel('xn');
3 G9 p4 z! m5 e+ {( B4 `& aaxis([0,20,0,1.2*max(xn)]);


8 f* b" w& h% Jhn=[1,2.5,2.5,1,zeros(1,6)];
m=0:length(hn)-1;
6 `. ?( X+ c# qsubplot(3,1,2);
( {5 H% q8 H: b- sstem(m,hn,'.');
2 Z3 V) p, e( h+ z( i5 fxlabel('m');
9 x' O8 w" ~+ T8 `* f% i/ s" ?ylabel('hn');
$ {8 P6 k( {! U; @axis([0,20,0,1.2*max(hn)]);


yn=conv(hn,xn)
; K! o# A$ D- \$ b2 yl=0:length(xn)+length(hn)-2;
/ f+ ~# T4 m$ T: w( H- J( ssubplot(3,1,3);
+ z: c; d8 q& X5 {0 w" Zstem(l,yn,'.');
xlabel('l');
ylabel('yn');
axis([0,20,0,1.2*max(yn)]);

8 e+ B7 D: ]: D+ k7 i4 U3 `" p0 y
1
+ u' b/ o3 y5 P1 }. V2
3
4
' j* _' T1 u! J/ g. s! x: K( h5
6
7
8 M: L1 y  Q3 @+ g' g8
6 X2 h; t. z# R9
/ r8 k4 `9 x. u' W10
3 b6 Y; {6 H. _! y9 ?# m7 I3 E( `11
12
13
14
0 J( l: g9 l2 K) S; u15
16
) B; Z% G. I" s" y! A# m8 d17
18
7 l( A8 i6 h& X0 p+ L19
20
% p; {! P4 N( x# d3 Z( X( J21
22
23
# T  H! w9 i% i  Y4 L24
25
" E! p( m" p& `1 |/ {26
$ P  I5 G4 P7 O8 g7 D27
28
3 ^& f( m- A% E# s+ N1 j! O6 ~
* ]5 @- C5 l6 p5 l
/ Y! b1 B3 Y, d, M
1 ?7 X* Y& {. |- B- z5 V
例五
* b: [7 B6 l4 E  E. a9 ly(n)=1.8237y(n-1)-0.9801y(n-2)+1/100.49x(n)-1/100.49x(n-2)
1
, B8 K- O- N. u! N3 N' {谐振器的谐振频率为0.4rad
输入信号为u(n)，输出为y(n)
求系统的稳定性和输出波形


. d/ |' o' c& h7 e; Z1 kclc
3 q" N, y9 P* _6 N- O- C' {8 r" Z! [close all;
clear all;
un=ones(1,256);
n=0:length(un)-1;
A=[1,-1.8237,0.9801];
B=[1/100.49,0,-1/100.49];
yn=filter(B,A,un);
figure
) A  {, w; x: ]5 Sstem(n,yn,'.');
2 w& B  m2 [- r8 lxlabel('n');
ylabel('yn');
axis([0,length(un),1.2*min(yn),1.2*max(yn)]);


1
5 W- }( u( X: L: |! ~2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
+ V+ p6 ]$ [4 H/ d: m% M6 h$ F12
13
9 P4 ~' x2 E8 g1 @( |3 B" F14

- n: P  W, R  o3 \" k3 m9 S. X
稳定
检验系统的稳定性
输入端加入单位阶跃序列，观察波形，波形稳定在一个常数值上，系统稳定，否则不稳定


例六
4 u" b; U6 {% D: {* M* r5 q. My(n)=1.8237y(n-1)-0.9801y(n-2)+1/100.49x(n)-1/100.49x(n-2)
1
8 ?; U' D7 v% J( L& s( \4 A$ r4 D谐振器的谐振频率为0.4rad
输入信号为x(n)=sin(0.014* n)+sin(0.4*n)，输出为y(n)
求系统输出波形

9 Y9 O7 ?  y9 l! I6 |
clc
3 t5 K9 C8 A' i1 F( B, cclose all;
/ w* d/ c- Z3 }clear all;
n=0:256;
  D; y6 X9 X4 B: w6 n, kxn=sin(0.014*n)+sin(0.4*n);
A=[1,-1.8237,0.9801];
B=[1/100.49,0,-1/100.49];
yn=filter(B,A,xn);
figure
stem(n,yn,'.');
xlabel('n');
ylabel('yn');
) X$ p8 {: J8 c; F% paxis([0,length(n),1.2*min(yn),1.2*max(yn)]);
" C! O; R( b$ d( v' U

6 h" u3 }) I1 K1
, ?4 \% @6 u: `: J2
3
4
5
6
7
) F' J# z0 Y; ~8
# U8 r$ Y1 }, a& J0 w, \+ A9
10
11
3 m% d' C' [8 s" v1 n12
13
14
' k$ i4 y. I/ }% {

时域求系统响应方法有两种
8 K2 ~' ~9 L* c% D" T; U1.通过差分方程求得系统输出，需要初始条件，是否是零输入响应
2.已知系统单位脉冲响应，通过求输入信号和系统单位脉冲响应的线性卷积求得系统输出
* y8 A- }6 P# C) F: X; X
, l3 c+ u/ X) q0 |. o
4 z* O# w$ D1 I2 h- [谐振器具有对某个频率进行谐振性质，实验中的谐振频率是0.4rad，稳定波形是sin(0.4n)
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, ?& }, c# _. _: R6 V( P/ m& s6 e5 [

1051373629

谢谢了！ 谢谢了！
3 I  Y2 t6 V- \5 e7 f8 L5 b

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6 }3 g1 }+ n. D/ s7 y谢谢了！ 谢谢了！
) N, v, u; G2 Q' c, R