【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
; j" O# s& Y4 n# \一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
/ V. a% T( W% t三、数据插值
1 ~  z1 u5 [% R3 i* j  A四、图论
3 ]' D1 x! \5 Q7 t1、最短路问题
（1）Dijkstra算法
（2）Floyd算法

  [+ x/ `7 H( Z3 E6 @# R
2 s. a, e+ ~" }' l1 J9 M

一、蒙特卡洛算法
" g! m- y% {  k- Y. \: Y1、定义


' g3 G: ~0 k3 j9 J蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。


. v  m6 V( C. ?, u0 g/ x6 B  w

- h4 `2 U* {# l' Y- j2、适用范围
8 W5 i& X- U+ H: }6 E+ v' I

, ?; U# C4 e; Y- ~- O5 `  o/ j可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。

* \" ~- I) X4 t+ B2 |2 Q* J1 A
( l* e; c/ l, O8 O
2 P, ~. K# x: v8 E' Q6 V# t3 F4 r2 A
. H. ^2 d' o/ r) z6 \3、特点
: D% G# L  s) l( ~$ _
2 Q1 q$ _" C# T% Z* x( n
蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。

6 f" |0 j$ x8 k5 e

8 F0 t& \+ O" q, g9 f7 n; F8 v
4、举例

; P; j% y6 G! T& d% i, ]. f' w5 {% f3 Q
y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。

( E; u! y6 W8 n  C4 |( c


（1）作图

4 w$ u$ C6 j( }0 y# c0 g7 e8 M
& y! b9 {& D0 r  bCode：


%作图
x = 0:0.25:12;
" M: {' o8 h( a+ X' w, m+ Py1 = x.^2;
* Y$ _# j  D0 q% x) ny2 = 12 - x;
- U$ `7 t; e& C/ e1 V, }7 z+ pplot(x, y1, x, y2)
" N& V. e* _& U) }' W2 @/ Yxlabel('x');ylabel('y');
& n9 O1 S0 @' y' M# ^& d%产生图例
( g' N3 I' @) z7 [# c3 D0 Klegend('y1=x^2', 'y2=12-x');
title('蒙特卡洛算法');
* o# E  p. E. O  K6 U8 b%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
axis([0 15 0 15]);
8 ]% Q. h/ r- [text(3, 9, '交点');
8 P7 M" D9 N& z%加上网格线
. ]. Z* |9 T/ o5 W) dgrid on
1
; [# w* d/ I3 H+ t2
3
" O1 J9 W7 T* e& {0 L6 @1 d/ l5 s4
5
0 }  |1 k/ t% @  A9 e0 O1 g3 g: E6
7
8
9
10
11
12
13
14


( ~) `7 g1 j- M! x( d（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
! w8 c5 H( F, o

) G- \" K7 E0 H5 ^' hCode：
# L5 X' M* i3 X5 z, z  J
$ J# d% _2 D* j
%蒙特卡洛算法的具体实现
1 K# a* l+ M3 x%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
4 i. ~  l2 r5 G7 h# D  lx = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
area = 12*9*frequency/10^7;
disp(area);
. I$ a1 f3 x* m; Y& n5 o- E% C$ `1
7 ]) ]  m1 P& e* c+ X2
3
4
- N  [% E" @8 y# B! p* Q5
0 a3 E. Q3 I1 i6
7
2 `% b0 M! J( q. u. w5 l所求近似值：
% J& h, H- N# r. o+ u


4 ?, I& q  ~1 }  I1 f* m5 q7 l
/ v& o3 {& F- F! D- `( y

参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898

8 N# S" r9 `: P# O$ C& Q% k



, C* l0 E% y8 `8 t
二、数据拟合
1、定义


已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。

) p1 B; u( k- H# Z; q1 K5 W


2、常用方法
9 {* K5 b  V: u

一般采用最小二乘法。
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
6 Q8 C- a+ h3 C
7 L$ U9 K$ G* L" F0 u
3、举例

3 ?# t* e' F, l3 Y& x' @# p
  v4 U! N  C1 X+ E(1) 数据如下：


1 {; r. Y- s9 d. P   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
        2        465.325            0.123   1.621569
- S3 G5 c; Y' R6 ?$ }        3        504.0792        0.102        2.429227
5 }9 v! I+ K7 x/ V        4        419.1864        0.057        3.50554
  R/ M! @) M4 L- `+ D& ]        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
; [* A- g5 M* f        7        416.3144        0.049        3.058917
8 b3 h7 C/ s- P$ u        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
        10        376.9057        0.049        4.047241
. _* Q  X  P' ?7 L; _0 k        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
: K6 Y- [% N6 f2 z! h, x3 t. z        13        372.1432        0.041        3.604795
. ^, z: |( r/ P2 V. |  `: b6 a        14        389.0911        0.085        2.048922
  n: V" J/ z) [        15        446.7059        0.057        3.372603
* A; y0 O' S: L( l, e) Z5 a* [' d% M        16        347.5848        0.03        4.643016
8 C3 F! ^: g& G        17        379.3764        0.041        4.74171
" X. X0 W% o, \: M        18        453.6719        0.082        1.841441
        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
6 A' h3 U3 G* A  h7 t        22        408.9602        0.078        2.291967
        23        393.7606        0.059        2.910391
! [8 h, B( e5 q        24        443.1192        0.063        3.080523
' G& ^# _! B" d7 s  u. Z        25        514.1963        0.153        1.314749
        26        377.8119        0.041        3.967584
# s9 g7 F" j4 c  U7 [9 \' `        27        421.5248        0.063        3.005718
        28        421.5248        0.063        3.005718
0 Y1 x  `$ `4 P2 x        29        421.5248        0.063        3.005718
9 ~, b, a6 }  w+ D        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
        32        421.5248        0.063        3.005718
/ c; y. ?: m$ e  V  R5 \" r8 _        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
        35        421.5248        0.063        3.005718
8 {1 H' A! t' h- B        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
        38        369.019            0.04        2.861201
        39        362.2008        0.036        3.060995
        40        417.1425        0.038        3.69532
1
2
3
7 U9 T* W/ a4 b, w/ B$ a1 |0 [4
5
6
! v' b( p' r( Z9 f  q0 X' ]4 O7
8
( q! @, ^! f5 j, i! q7 V. b9
10
2 a$ G& h; V! Z. g% ^11
12
13
14
  n* ^2 ~# V; ?$ \7 d4 H: W9 }15
$ k# K* ^$ H5 e' k16
: u4 j" v+ |( Q7 U- [9 a6 I17
18
, \( S+ G+ z3 }$ p! @$ c1 p  T  t19
/ R- x0 Y$ Z: _! s; v( b20
21
22
23
3 F/ [& D+ o7 a" m; r1 p24
25
26
8 H$ D$ q9 t, h% i; n27
28
9 k* U" `5 N" ^: M9 e) X9 t- c29
% z, f9 K1 e# C5 {30
31
7 x# d0 N: \; b: s/ }& [32
33
34
35
36
37
38
- Z6 w5 l: w9 w7 _39
40
! k. Z- Z9 L6 `41
& g1 D0 F, ?0 B- J

(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
  S8 L% H% D8 u$ m. u
4 R8 E! q& R+ Z! |0 [$ w% c- _
%读取表格
/ O9 X+ D$ p, N- M/ Y. cA = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
0 ~' w* u1 C' o$ ^B = A;
1 u4 M9 h+ ~7 C9 r, u# \8 [[I, J] = size(B);
- ^4 j1 j$ B. U" J& O' O5 G7 }
%数据拟合
%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
y = A(2,;
  j6 I4 j) {* R& y5 a4 f2 H%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
% W' U$ g; k9 ]( G1 A%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
1 b' d4 R& p6 v7 [9 M%返回值p中包含n+1个多项式系数
' P7 i" D' W' Q7 W% l$ x2 ?& bp = polyfit(x, y, 2);
1 x! \' o. n3 z+ ~5 Q- J4 Rdisp(p);
* m4 e8 C! U" o/ L- Y%下面是作图的代码
x1 = 300:10:600;
* T  x7 p% r# L) p' n%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
y1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
( [% e# \$ j$ J/ G%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
- |# m4 \) Z; o, Y# H$ r1
2
- P9 h" R( e$ H3 J3
4 T/ X+ ?2 i% j6 Y4
5
0 e+ x& A( }! h: W. l+ d. n6
7 }+ ]* f# }% P9 d% Y: K7
8
9
10
; R( t9 v' Z/ U2 T11
0 Z0 @* g0 l+ S  Y12
13
8 f# |. C2 d  A* G# q. N14
15
( L6 A  e% I% i* [' ^16
17
$ O( o0 w4 s( Q1 T) P' n18
* X: h/ K4 f6 Z! D3 e* l$ t0 _19
20
9 c# P2 c6 e6 F  `21


1 ?* t5 w3 B  Y( E9 ](3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
) K; m" F! A% D9 y2 S; ~: ^4 E

2 A% R; j. A9 u. e* ?8 _, r* d

将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包

6 B; `( l* Z* ?. }% R. \( T
9 _6 r' D3 o- B

选择x、y变量

) e7 F+ a4 \' ?/ S: S& d+ _
. G- L5 i- s& G

选择拟合方式和最高项次数
1 j; l1 e9 x* m- u7 s8 A5 s
8 i) S! X" d1 ]3 x$ v
5 i& z0 G) @# C. u% x# w- N
8 z, t3 l; Z. F. T2 V2 {8 _! h
- W: T) d: c1 x  k( V8 n: x( X5 J得到拟合结果

& ]  z- c) a; s6 r! V

2 p+ n6 G% }+ s0 }5 W
使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
! o: E' M$ }) L$ h" z& N: d
0 }6 m( f) d# M) X& R* g

9 G$ Z! V( W' s# a9 Z! w' B6 z7 m% {
9 ]# F! M) x. m, O

三、数据插值
1 A) l; _$ N. U: _5 l+ ?8 h1 n* u1、定义


" I9 n7 h% z2 R( s2 {) u0 J5 f在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
3 @* M* Z2 w: M3 q" j4 F
+ b: a5 [* ]9 O5 y
) O' G8 J) g! ?& a9 L从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。

0 n6 S: P: ^9 T

! M( H: k! p- e$ I) G9 m  }8 s9 T) Z
2、作用
; f. l  _7 }# y5 \% l
/ f' a9 \5 b/ {7 ]8 S
7 s5 R3 O8 |( J. m插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。

, e0 d$ u' a3 H6 `) ^


; z) B& B. @! _) U. |' c3、举例


%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
2 U- f5 X$ @% {. `/ r0 U0 |6 ~3 zservice = 10:10:30;
( ]& R& h, P9 R; G/ Hwage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
/ z( X/ N% c& `9 v1 b% % 三维曲线
% O" z8 }- t; I7 B; O7 @* d2 ]% plot3(X, Y, wage)
, R# i; z8 N  }! d( V. J# O$ b% 三维曲面
1 d% p5 v; c' w! G/ K: o8 \figure
. }% `% }$ x7 B) M3 v9 N: b4 @0 Csurf(X, Y, wage)
: v; z4 K  O, s$ [: k; T; X%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
: J" \4 W+ \9 ~* {w = interp2(service,years,wage,15,1975);
1
& k" z* ]6 b% f) |$ h2
3
4
5
& L( v# K: g$ c' ]$ }9 |6
7
8
3 w& H8 @( _. G! X1 s. g9
, }' h3 ?& k) H5 A6 E! ]6 \10
8 o, N$ s) [5 w- K/ `11
* F" H2 F) g; M$ M12

6 }! _% r$ V$ a/ n


4 N7 r- k7 t& _. K/ K; Y可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
* A8 w- M: @/ Q
. [- R; \8 m! b& l$ e( {
- I7 {8 C6 {) W) f" N  Z8 s6 T

0 n+ S" v# E: P
; E. {. N& f# `5 K% q
4 ^. u( [3 \8 L; f! y四、图论
! s3 z: L4 D$ G0 d1 v: a( ^6 {1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。
8 r) n' w, V/ b- b9 w
7 o7 t7 s& {: W! g: Q/ i+ B
6 f" s) c+ @9 u/ B8 t7 F& ]4 C例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）

% l) |2 I+ H+ i1 X/ }
6 M+ U$ O& i9 g7 h) Y具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
' Z5 Q- D# l' e/ K1 j

0 T; W2 {) E3 U: c9 {  x9 x- O1 ~
# [% r8 Y4 l/ R$ B& R4 _
（1）Dijkstra算法
先给出一个无向图
0 ~& T' ~( I0 F



0 X7 c. h0 p- @! I, w( {0 ^! _: I用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下



+ f: k8 U7 U7 }2 b! _/ U


代码模板：


9 M, T. V1 h( `6 o0 s#include<iostream>  
9 U" B2 ~& O9 S7 P#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
  C, r. o+ [' r2 T- G#include<vector>  
#include<fstream>  
/ Y9 _- E0 q9 B+ x( C& eusing namespace std;  
3 r% ?$ l+ P1 r" c! D& H( h( m1 M  
const int maxnum = 100;  
const int maxint = 2147483647;  
/ ~: B1 R6 ^; {% [5 i- Zint dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
0 s! Q" _+ _' @' r4 o# A, [2 sint prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
% m3 q: t8 B3 v$ Uint c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
  J+ A/ A) A+ G' z& k6 w; Cint n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
{  
7 u; D3 D  W. U) O$ H1 V$ `7 R4 t    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
* v/ D- X2 Z# \1 B+ p1 ]* ^    {  
        dist = c[v];  
% x) [: f5 `3 U2 [0 O; o        s = 0;     // 初始都未用过该点  
        if(dist == maxint)  
& J2 L' u7 |/ w9 Y            prev = 0;  
        else  
. f( R5 ^  H0 J+ w: u+ Y* f) F            prev = v;  
# e' S' s$ N2 D    }  
1 S) T# y0 g7 O: G    dist[v] = 0;  
% B3 B+ {7 B7 {# w  N    s[v] = 1;  
! w# p. G# T( Q1 K; E! z  
3 h  ?6 {% C( U9 x; _+ }1 k" k6 k$ }    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
% O! X& u& y7 f9 C. D; k! e& }    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
        int tmp = maxint;  
4 I1 y8 ^2 n- t( u3 D9 I        int u = v;  
( d5 ]3 D/ C  n9 w        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
: O# i0 v' K4 \+ R' O, @            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
& d* O: A; T2 K9 H/ Z; w                tmp = dist[j];  
/ Z: j) R2 \* M# b* I' x) o            }  
# p* H; J: p; v) O- ?* h/ `        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
        // 更新dist  
3 r2 S' ^1 o; s, y        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
: V7 \& o! X- q; l& q$ q8 S                if(newdist < dist[j])  
                {  
                    dist[j] = newdist;  
                    prev[j] = u;  
                }  
            }  
# }  G, ?& C" L% D" Z    }  
$ K  ?1 X* h/ c% b! m% M7 G}  
3 i0 M3 P. S( k& wvoid searchPath(int *prev,int v, int u)  
{  
    int que[maxnum];  
; L' C+ H% q. y  X4 i' @& T# V4 k    int tot = 1;  
) f2 d( D* D8 U9 H& m    que[tot] = u;  
2 t) T1 e4 ~* C. p& q    tot++;  
    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
    {  
        que[tot] = tmp;  
/ C+ J! Z* k& Y' o' J0 v        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
    }  
    que[tot] = v;  
    for(int i=tot; i>=1; --i)  
  D6 z- K( k% H* @: ]0 e4 g% L        if(i != 1)  
4 h% ?- C* ^! Q0 A2 r+ [. o            cout << que << " -> ";  
1 p# ?2 @; v7 v# `6 U5 M5 m8 h' @        else  
            cout << que << endl;  
}  
  
int main()  
{  
' E8 A  h% ^) d8 P  V% m) h    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
3 e# \* q$ ~' e8 a3 T. u& o    // 各数组都从下标1开始  
4 }8 ]& n7 _! x9 z; e$ N, W8 k( }) S* R    // 输入结点数  
    cin >> n;  
    // 输入路径数  
    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
: O4 L3 o- g- ^# h3 a  ~) q; @( B    // 初始化c[][]为maxint  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
* R- s1 a. @1 \        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
7 P. W2 y! L# Z! c0 X    for(int i=1; i<=line; ++i)  
9 L0 F3 R, A1 j* z; p# y9 ^    {  
1 S2 _* k; N; A/ Y        cin >> p >> q >> len;  
, Q8 \% k  @$ U        if(len < c[p][q])       // 有重边  
, C" F8 @7 u9 V+ h        {  
; b, P, V+ s4 c1 V7 U1 A            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
        }  
    }  
: T7 ?& y% D. f3 l+ l   for(int i=1; i<=n; ++i)  
        dist = maxint;  
; S' O, {. E, p. v+ |: b    for(int i=1; i<=n; ++i)  
; ~0 v! ~! L7 |; ?- b- L( P$ L    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            printf("%-16d", c[j]);  
        printf("\n");  
    }  
4 `, T7 J' D6 F8 J  F' k$ {/ C    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
//    {  
//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
9 \. K$ D' I' w2 K    printf("\n");  
% t+ A1 f7 T- [     // 最短路径长度  
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
0 [9 N# g' {; @    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
/ _2 p7 E; S1 P% `# t2 c}  
. Q; I$ r  D: e  
  
/*
5 T: ?2 U! W5 ^. W$ X输入数据:
0 [9 \# _5 ?% v4 A# \! O 5
7 u  u; m+ a8 k) A  }5 J. x 7
1 2 10
5 \6 D" V2 y! _ 1 4 30
5 h- z1 A; G: l 1 5 100
2 3 50
6 T# [5 Y! _0 l' Q) o# v1 ~ 3 5 10
4 3 20
4 5 60
. R) q( B( B# T* F 输出数据:
999999 10 999999 30 100
7 y) o4 j5 C# ~; m: i  u 10 999999 50 999999 999999
0 ~6 C' ?& D7 |- Y8 m 999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
1
" U0 X( C1 t. E$ D' I5 s9 j8 `; S2
3
4
9 Q* g- }8 A9 j9 e; S5
6
$ ?; {6 H* a4 c7
8
: F, T  M. N; U. b9
: o- \; L, n7 w4 O& _$ P10
11
) S7 s5 G) Z- \7 n* b( G12
13
( J- M4 p6 Z7 K: N+ t7 \14
15
16
17
2 Y( a+ t; {8 d2 t* Z( p  ]18
19
20
21
22
+ E& }8 M! W6 e1 C/ I23
1 S4 X  _9 D' P, a+ O) h4 T24
! u" C1 h! T  W4 }; Q+ r" f25
: _% `) q9 i! S4 t' |, |6 s26
+ M- t7 x5 E7 @* U, h* o9 Y( E27
28
29
30
31
9 R; a* b% L4 W* N- u32
( V( D& |4 u/ n& q' z7 t33
( h# Z0 h3 _+ w$ X& l, f34
35
36
. [' g8 ?: a0 ^& V+ Z: V37
38
39
; C$ J8 J  k! ^0 }& s6 P40
41
42
  R+ p6 z9 W+ J+ D' M7 L. D8 V43
44
' F, o' [* f( f: m/ r45
" ]. p2 s! I& o' o; ]46
' w, D* t" Z* W1 G7 t) V4 G47
, j) }' q' Z0 B0 _1 `3 L# q48
- U: w7 _+ c) R% \& [: e49
& F3 D/ {! f7 d2 L% v50
51
, Y( w( x9 a5 W- n/ i6 f1 ]. V52
53
) o# p4 ^' U& i; T54
55
56
57
58
4 ]! i' u& }% l" }" g' ?( J59
60
61
7 o  w' `3 G5 W62
- @) p3 M. h3 ~0 l( D63
64
7 g: ^, r% W8 I5 R& K% Q65
7 R2 M( f3 ^9 R. n" t8 R66
67
68
69
70
8 b( ?/ \; Q8 S' q# e  [( D3 z/ V  T71
; x& i+ f; d, H# U, Q- J72
/ h% F- c- a# M$ t3 |8 r$ M% _73
74
75
. i1 P; u* @5 l76
77
78
79
80
3 w) O) Z$ A( j6 z+ E# w81
2 a8 a9 i' W) [/ h9 k" H82
83
84
85
6 T7 }/ I/ p6 i; j9 `86
87
0 U" U# _; @+ ]- y) a/ g( J2 `' A88
; ^4 W4 h/ X; ^2 [7 S. d1 y8 W89
  b4 |0 y7 c$ A# H7 k$ G90
" ~/ M9 h, [' _& z  t91
92
93
5 n: A$ X" ]0 U$ z7 M94
  v- W) d; T9 ]0 d" K# M2 |95
96
97
2 B; S! W* Y9 |* r3 m# [: f98
" z2 N5 @# o& H( \% h& D* k99
100
101
) n# f, s2 {7 ^102
' W* e/ I  U1 ?( ~8 ]6 l& z103
104
105
$ H  D& x6 T4 k8 V$ @! f6 \106
* F9 [! f2 C) W0 G8 U107
- h  ^  k6 y5 ~& @108
109
' @, m" j+ K3 l$ p2 p110
2 q2 l2 [6 d& G4 \2 D) b) @. B) d: G111
2 }  U1 c) Q" z, {# u! o112
/ G0 _% Y; o. H" F( W+ a. d# o/ n113
' _. L8 [( |6 w114
115
! w& m5 p8 Z5 r  I116
117
118
119
120
3 @* B/ m& S7 A/ P# R7 g+ d121
& z' `6 z: S/ g+ J- e9 c3 g- Y122
! e* a4 i. t/ z: f123
124
. k9 A! ~' P7 Y9 t* P125
6 i/ S. T4 Y0 ?* n& A3 @4 Z126
127
' `- S- }2 a0 d' b. H( ]& D128
129
, k7 f0 j; G- B- e. C( c3 \130
131
" D( Y7 z% S* L! Y- Z" v132
133
6 ^0 f4 [7 r  b& f134
135
136
; O+ P' @5 A1 L137
138
( v" y* K3 p1 P, e: v139
140
! K4 b7 z( {5 S1 n4 d8 M/ w4 w141
6 l# D( v2 l" x3 K2 R142
0 }0 n. n9 s) M; l# m, E) K143
144
145
) V' l. \* N* ?  }) \$ c146

0 M1 B" e# s, s
（2）Floyd算法
; [% x4 C0 }0 K& o#include<iostream>  
# D8 k- U6 E# Q7 o/ w) J#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
! }1 Y5 C1 ^9 t) q3 h# v#include<cstring>  
#include<algorithm>  
1 d9 }1 ~3 {; F+ w#include<vector>  
. d( M/ [# P" T3 ~/ X) H#include<fstream>  
  v) t: g$ S2 F5 {' P* _  F& musing namespace std;  
  
( c- V: P+ c8 t. Q8 s//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
const int MAX=1000;  
double dis[MAX][MAX];  
+ B, V' Z% f  R1 {! q* bdouble a[MAX][MAX];  
int path[MAX][MAX];  
# `2 }1 u: C0 ^) i" x1 N9 L. Pint n,m; //结点个数  
* s' l/ g5 X$ b) i2 O  
void Floyd()  
7 e6 }7 M# X# y{  
3 X, C6 W0 f3 d' d7 z2 [' T    int i,j,k;  
2 x+ d4 Y8 o" y    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
: g! f6 R- }' x. E# k! V/ q/ C0 o        for(j=1;j<=n;j++)  
7 z$ x  Y, C" z" I& P4 f  x, ?        {  
) |+ l" f- c" E            dis[j]=a[j];  
( q& F9 k& N2 ?& T            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
4 J' A& t: ^( }0 T* o6 Z                path[j]=i;  
            }  
            else  
! v1 E/ K1 z) l4 t4 E8 @/ X: c; r                path[j]=-1;  
        }  
    }  
  
4 S) `" q- `8 I. j: W' Z% x    for(k=1;k<=n;k++)  
/ y$ y- {$ p5 J9 K; Z    {  
# Q6 g  b) j: ^# d; G- b* O$ k        for(i=1;i<=n;i++)  
        {  
5 L. ?7 J$ L2 S" F            for(j=1;j<=n;j++)  
* \  F- O* z& g6 c* Y( d; t; S            {  
6 {9 O* ]' w% K1 r  R8 t                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
7 _3 f2 k6 ?- m' U3 {. p" o& E& J                }  
1 [9 A- ^. Q" C) E/ U' h/ t            }  
- b1 @! y3 s6 H- }( p; U6 ~  j        }  
    }  
# M/ K# S5 w0 H9 z6 @: u}  
  
: P$ Q9 z4 F/ i. kint main()  
8 k, E; a2 W( u; P2 a$ }{  
# c) m; _" L# u* ^6 F& U, y# N    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
. c4 V, Z. M1 e& \+ w5 }    double dist;  
9 r" B) b- t' y9 q) U( d* ]: T    scanf("%d%d",&n,&m);  
* p+ m; x8 P2 Z/ G    for(int i=1;i<=n;i++)  
+ r+ E6 x6 H1 V( O  ^, Z7 X    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
9 z# j: k  A# j) O* d  T: h/ S       {  
+ Y) H# W5 p" n, z3 X            if(i==j)  
; {% d# l, n- R7 }- i                a[j]=0;  
8 ]8 M) K" }0 ~- D3 ?6 S, V1 \* m1 W            else  
                a[j]=INFTY;  
" u, v! F+ e6 |       }  
& s* z3 K) r1 I* m4 c5 s    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {  
        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
/ f0 J: u* x% e        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
- e7 v  d& ^+ a. ]    Floyd();  
& Q, j6 ^# o! y. X3 W# X& v    for(int i=1;i<=n;i++)  
4 v& S3 g) n! \3 H2 z" \    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
- Q0 u1 {7 q4 H       {  
  Z% M" Z3 \4 S% a/ a0 K" n3 b; B  q            printf("%-12lf",dis[j]);  
       }  
       printf("\n");  
0 |( |( m9 w  f4 d( \8 w( A    }  
7 g8 A% ^( I! S# {6 \    return 0;  
}  
1
2
3
3 K% {# f* V% M" l1 \* D8 b4
0 Z1 `8 @* p7 l8 x5
( H* {0 Q, c( m5 @  G# j6
7
) z9 s( ?# b; q- l0 q) l8
# N2 U* P% d. f9 `: R$ n& D( _9
10
9 v3 K6 G' \8 R11
' l6 J4 G) w  V  V12
13
14
7 @* d( t9 b. w8 I15
; ~& c& E" ?, s# S* J7 ?16
6 T$ q, d3 H+ r! B+ K! m17
18
19
" C% Q' o3 ?0 w% {% c9 [% t, e8 u20
* \! r/ [' W3 x- w21
22
23
; b  @3 I: }7 U& B' X* Q24
25
26
+ m! k0 G/ a5 g. P# {27
; H3 r4 G2 i- [3 g. B# L' X28
29
' |& h' Z" C- f! X. r30
3 l$ Y( |; U: C+ s31
32
33
: {! F( f9 a1 M: s0 F% |; d34
35
36
37
38
39
8 I; q7 x$ f( q; Q' [40
41
) u! {; W. ?/ Z6 E42
43
$ ]% x$ R( w2 D( r) W3 w44
45
+ H' i$ C* l/ E* |/ |0 z5 s# D46
- Q1 ], w& f; l; [$ y47
48
/ A6 b3 \+ t5 W2 c49
( t: h) E, }4 E& I3 e, v/ [: O50
51
8 {7 l# S- O3 ~- I( L52
. K% F0 e& M+ S- X3 s- x9 J  @53
  v5 n  i. `; b8 T8 c' o0 f) p54
55
  C' ^3 b/ H1 x+ u' e56
57
58
59
60
61
+ A0 ?# a3 k3 g5 d7 D! i62
' z4 C5 _5 T, E' m; G2 j; ~- l63
64
* C# g6 ^' n; h+ |1 C. I65
66
% T/ i" V6 h' z$ U. X, K$ K+ e67
% B) P: {) H, W68
/ u' W7 _  V' l9 V$ F+ G69
- S' G% _& q1 {5 i' w( I$ e70
1 f" P& ~3 c% n) Q- ^! e1 m71
72
73
74
- ^/ `0 H  F1 G- d/ G! z75
76
77
5 R; a5 d4 u. u* `2 Y$ e/ ~78
% u; w" y% ?& x- Y: @79
5 Q* m- Z9 S+ f80
5 d' m$ e/ a' }" ]/ ?/ x81
82
83
1 Z/ C' _% c" c) E) F% L

" A6 ^6 M! f! d————————————————
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# K( f, e1 m+ g: \. Z原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_44668898/article/details/106607288

8 P3 S0 ]  G" k7 x$ H
/ ^9 o  Z; {( @" @# d