【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
. D9 q' {+ L! q. Q/ g4 m7 v5 R一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
三、数据插值
4 _; z% G# Q3 E. l4 K四、图论
; ^' {1 M7 Q& a5 S7 @# t6 x9 ~1、最短路问题
（1）Dijkstra算法
（2）Floyd算法
/ l- Y$ u1 [1 X: N; R7 h7 ~  ]/ D+ d


, y# l/ }! G' @% e& |
一、蒙特卡洛算法
1、定义

. C# [: z( J4 B( u2 O8 s1 d8 O
蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
: V+ U6 x: C" }3 |0 y6 R' F
8 |* \) |9 H) W4 l
& S) j6 R' ?) m
, j* O& |, K3 {* m$ K# H
! ?2 e- _7 x8 n' T. {& k2、适用范围

- v2 l; E, Y8 D4 n
" g3 T$ j; C; R* A( B3 q) x可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。

3 H' }9 u' G& M3 d


5 T4 v5 E4 q5 X5 f( H3、特点
- o2 r1 j$ C5 B- w

蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
6 _% ^: i; a$ ^0 R4 F7 Y5 j6 p- g
1 M' `% O2 n; X4 j" f, ~" _5 |
1 W/ F0 w# N9 h, S

8 h9 S, Z6 s$ ?' e6 K4、举例
  @" s# X* o2 k) A2 L3 \. ]

y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。

* e, D" S- c+ s! P& o; [) N% Y6 T6 a
( X% @2 a+ E/ d: Y5 u1 o

: L6 U6 b7 |+ h5 F; G# [（1）作图


Code：
5 _/ E0 t! y, j; P/ m% c

%作图
x = 0:0.25:12;
y1 = x.^2;
y2 = 12 - x;
3 g* e$ h4 F1 z8 d9 `plot(x, y1, x, y2)
; n7 _1 e) W; B1 \2 a- uxlabel('x');ylabel('y');
- X2 g8 N- L  D0 S. y/ O) ~8 w%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
title('蒙特卡洛算法');
%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
axis([0 15 0 15]);
" x$ P1 j; [* N" Mtext(3, 9, '交点');
0 L6 a& t4 c2 P%加上网格线
' Z, u# P% J  t! B6 f- zgrid on
: o7 G5 L& y! V/ n- i1
2
9 S+ _+ {. T' ?& v) C4 k0 Q2 b3
+ h$ g1 z& Q* d$ g5 L4
5
6
/ E0 J; N9 i) |: `( D- s7
3 L) \/ H1 Y* i0 f% L# G+ F8
4 c  s2 T& i1 s- k. Y2 J9
10
" K% `7 ?4 V8 {" }; G* y11
12
' O9 _5 ^( x, |: o  V# ?2 E13
4 f) e  G8 V$ R6 j. z5 C9 J) ]14

: L+ \6 f: V3 l1 \
: w1 w. T( ^2 w# y) C' S1 N（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
: n& Z4 H8 b6 C; j3 @
" r/ y/ Q. }" M6 E7 ?; M3 M) \5 E
4 {( o1 M8 V$ G7 }Code：
. }6 C- q" G7 ^0 S3 [, h
  E3 S' J" ^# ~" ?
* O1 B+ \) C: G9 `' z) h%蒙特卡洛算法的具体实现
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
# f1 x+ I' r) w5 tx = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
! y& t0 n% q' p% X2 r1 s& s7 Oy = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
' n  A1 m1 N, s6 Sarea = 12*9*frequency/10^7;
; _/ F" R+ p3 c. C" f( A3 W4 Udisp(area);
5 i5 N- c( v9 U- ?9 N8 P$ M! k1
# m, X  W2 X! I2
+ H" G6 Z2 P: S* c4 U/ b0 [3
4
  H$ a1 l1 n8 L+ Q4 t5
) d  m4 K" D) C4 f6
7
所求近似值：
1 ^  ^6 l8 A# Y- B8 a

7 ]: ?- @# G* m$ f) P

8 W0 _% E1 q6 d

参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
/ `4 \/ n; q" |) x) b9 n5 c
+ f; u6 w  |; ^3 Z' g* Q

& }0 f; [: i. C


二、数据拟合
1、定义


& @5 G8 ^% ^% S已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。



) b8 V+ e1 C5 `
2、常用方法
8 I* g* U( o' j$ `: z+ @& V' N# T

一般采用最小二乘法。
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
1 W! L. O- g% d! e

3 F1 K0 j" t3 {) `3、举例
' A- _# u& ^! T  ?( A4 ]
: S1 D) @$ p" ^  ]
(1) 数据如下：
0 L! y* K( K$ e# L$ D

& q& J, u8 P, w8 K   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
        2        465.325            0.123   1.621569
. L- _! W( J2 N9 h        3        504.0792        0.102        2.429227
        4        419.1864        0.057        3.50554
" `+ U5 P2 a; ]        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
        7        416.3144        0.049        3.058917
* e. _( g. K3 b4 N        8        464.2762        0.088        1.369858
6 I! b* l, R3 W- y; b        9        453.0949        0.09        3.028741
        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
+ Q* H8 |! W* `        12        449.4363        0.079        4.120973
; L# X. J& w4 v0 `+ T. G$ l        13        372.1432        0.041        3.604795
        14        389.0911        0.085        2.048922
4 A. ~7 m7 @$ j% s2 s# g        15        446.7059        0.057        3.372603
        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
        18        453.6719        0.082        1.841441
- _# F$ s2 b" x) |) @. D. W0 p; Z        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
4 B+ |3 p2 R! Q; B        21        437.4085        0.056        3.984765
( S3 h' _2 X) C6 |        22        408.9602        0.078        2.291967
' j9 {$ e5 ]7 v' l% p        23        393.7606        0.059        2.910391
        24        443.1192        0.063        3.080523
        25        514.1963        0.153        1.314749
; V0 Z. r/ N" l' k# I% B        26        377.8119        0.041        3.967584
" x+ {' K  r/ p1 B$ Q        27        421.5248        0.063        3.005718
        28        421.5248        0.063        3.005718
2 {# M0 Q/ i; t$ ?% W7 ]3 P        29        421.5248        0.063        3.005718
  H  ^- j8 c) L; L; g- z% ^! I% K4 O( n        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
4 ]& V0 a" ~" m: q3 a6 c        32        421.5248        0.063        3.005718
        33        421.5248        0.063        3.005718
; j. W8 F; ]" m$ D        34        421.5248        0.063        3.005718
1 C2 G6 Y( ?( C, X5 u0 g3 f        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
6 X; m+ D% w: |& o% @8 G& U3 y        37        416.1229        0.111        1.281646
5 J1 X5 ^( o) z* A, t& M1 J        38        369.019            0.04        2.861201
7 s- C, d8 ~( y6 m/ L6 i4 x* _" f        39        362.2008        0.036        3.060995
        40        417.1425        0.038        3.69532
, B  S0 s" @1 Q# [+ |1 _1
/ h% T/ x2 ^" i6 T3 w' z; ]% F6 |  Y$ C7 N2
3
4
5
/ {' s4 X2 K. a9 t6 T* u- o6
7
8
) l; P" s& G& u3 l0 c9
10
11
12
13
14
15
9 S& @: d+ ^# [16
17
18
19
2 V9 R8 y* X8 o: \7 |: U; |20
21
22
23
24
9 I, T/ v$ t1 @4 Y0 ?$ ]25
26
27
$ M, l) U3 C$ T1 z28
1 z  @, m# |. j# p7 ]29
) L. B& z3 |& i& i$ L: O30
# t+ b+ q2 K0 i" E# Z' S31
2 q. q! b' t( |7 q3 c' w7 P) S/ K32
+ M2 @6 @8 E, f6 R33
34
35
36
37
) A! b( T$ B1 j; c. a( W# C4 e38
39
40
41
# O. n% x8 J4 {& r2 p. E% y6 v

: M- W/ E' V* r6 E7 [  B(2) 方法一：使用MATLAB编写代码


%读取表格
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
B = A;
" j9 f$ U9 P' \/ ~[I, J] = size(B);

6 T; c1 P( S9 @1 s%数据拟合
%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
) Z, e+ E. n2 W# Ly = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
/ Z* k. N: T9 ^. O6 v$ k5 Q' k2 h%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
disp(p);
%下面是作图的代码
x1 = 300:10:600;
  ^2 D  M& D  y%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
' K" E1 S0 v0 k9 cy1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
2 n5 e* o2 z7 G6 S& m& Q5 t%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
4 x/ L( a* Q. ^: ?' Y* `1
; c" F9 p' l& T3 Q  G( X( a1 X2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1 H) D' w/ U% M; _5 Y4 o12
0 Y" n7 S+ f3 E13
14
' H, I0 o  P+ e- h/ x5 h/ f15
% K5 C& k% g6 |9 I- h* K6 o, U16
17
18
19
20
21
: Z. f9 t: i" `( P

(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
/ R4 C( C0 c4 X0 `' U# B
* z$ t. t" a, b; \
1 x# n; H1 i% L8 T) R

; t+ j2 u; O+ ~' O将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
# D! f% ]+ R8 i, k  Y% q) ]

8 c6 g: o) |) X) K
1 _, G0 ^9 v0 |) g3 c/ U
. ?# V1 Y* b! E2 B) Z" e; i& d选择x、y变量
9 F9 o+ v4 X. D+ U0 v, K; G

. v2 L5 C( k: i8 }0 ?
  u+ c( j- ^# k/ s! T2 j
2 |  g# M" ]) a* D2 d1 T选择拟合方式和最高项次数


7 v3 D, |1 Y8 Z  A) p) M" M1 l/ E

- w8 }# J6 Q2 @/ z* P. s4 [/ X# }得到拟合结果

' s0 _3 M0 F! u. M7 \' b8 K

3 Z. Y  b7 j  N
6 G$ V* o$ ^* b# f% c使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。



  R4 U; G# ~' B% x+ O
& ?4 r/ n. _# f9 T' L4 |
& i! I2 f1 c3 @$ h
$ ~$ ~2 m& s' E; N3 P4 s3 W三、数据插值
1、定义

* L$ j1 N7 q$ i& P; R6 j. S
( Y7 K, ^8 C- {4 A% m7 |在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
9 ]& t) I/ X" f( O% |

从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
9 y* C( O' H- j



7 g9 T. y+ X* W* k7 Y: @$ d2、作用
3 b+ N! c) S. s7 E% Z
4 v+ {% V1 S  c  U  B2 H9 ]0 `4 B
- R! Z# H  L; c+ f% z插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。



5 _5 z% A4 s' N
3、举例
8 v( I' p9 P" R* X1 {2 ?  I
. \8 _$ t- q# V) R! i; v
; q8 \; ~5 v$ v* u. k; J& p) Y%years、service和wage是原始数据
% C7 s. u) k5 [1 zyears = 1950:10:1990;
service = 10:10:30;
1 J$ `( Q: X4 Y* L- p5 r! owage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
figure
- y* p1 a3 ]1 w  M3 @0 [2 ysurf(X, Y, wage)
* S. v+ w( v1 p! J) T' d4 e%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
1
2
; I' V. A7 G: V$ C9 z3
% V0 A! s% J: V: f4
! g8 M1 O' `& v7 a$ C8 m5
% D# B5 o. S& d8 ]9 H0 b2 F6
1 `+ X- r" L( e) a7
8
' N% Z" j$ B  V; X9
10
11
12




可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
2 Y  _/ O3 \8 N
8 h2 P1 `( r3 b" [3 b5 i
5 d4 O) g5 G- S  H) e' F8 M
# M( p' O1 x: A" M: {
0 j7 }3 D7 c( n2 j# M4 e

四、图论
- Y8 @/ {! C* i) ^  H: a8 E. T1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。

- }" C$ {1 L: W6 N
例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）
  ~: S8 f; u8 L

1 w+ Q- j6 p2 ]9 N" Z1 v0 g! P+ h具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
# c' ^( M4 h5 T6 Y5 w. T% Z



. y# c3 }1 G6 B5 C8 p6 `9 X/ g4 k/ T（1）Dijkstra算法
先给出一个无向图

/ [$ s  |6 {+ Q* q5 k3 w; S( }

/ @% P7 N2 k3 g; I( _
( i7 {# N! _) D2 Y. {用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
8 R' e8 M* b  `. s9 g
$ A0 D0 r2 i  `0 K% v1 R
7 d" q$ J3 c$ T4 T
+ Y9 f  f- {, F

8 y* G% {" _1 d' H) C# c. F, j
代码模板：
1 K* N6 f4 @% V
9 c3 s8 _1 F" `# Y
#include<iostream>  
1 x  J8 @9 s8 k; u, |#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
6 g* F" O' f) L6 t#include<cstring>  
; |2 r$ C$ K8 D1 ]" S; A#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<fstream>  
' j" P9 z% M- Q+ O" z/ Pusing namespace std;  
  n% T7 A' F; F+ e4 N  v  
const int maxnum = 100;  
" r+ e) ~1 ]7 M/ E, S# pconst int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
8 j/ O; e7 I, s, i" ?int n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
{  
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
& B5 M/ P2 q4 D2 o. Q    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
9 K+ E& @7 J. R        dist = c[v];  
) H; Y/ C  W2 H9 m- K2 L        s = 0;     // 初始都未用过该点  
        if(dist == maxint)  
            prev = 0;  
" @# Z& ?$ @3 |. v        else  
+ a; k2 Z- Y7 z$ J+ y0 E            prev = v;  
    }  
    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
$ \+ q2 t* a: z; {% |8 Z- o1 t  
, r! z5 @6 P  c0 i$ X$ }) s! y2 C$ n7 @! A    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
- c  Z  j& h2 i- x( B  ]    for(int i=2; i<=n; ++i)  
5 K5 W4 w+ ?) g& _5 X    {  
4 n% e) K0 \  j" w8 G$ |3 j. Z        int tmp = maxint;  
        int u = v;  
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
3 `- _1 t7 a9 c# J! x: U        for(int j=1; j<=n; ++j)  
& {3 B/ p- ]" P            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
+ M% ]2 ?8 N: w            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
4 G: l2 I. N7 Y- C. B                tmp = dist[j];  
+ C8 p' F# I, [. H5 v0 c; Z            }  
! n: m! v5 e) x5 }4 s        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
- C  E6 A* N+ G8 f+ A, i$ r        // 更新dist  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
                if(newdist < dist[j])  
7 g5 c. O  L2 g1 V                {  
3 D; x$ ?4 G) ]/ }+ Y7 k& |7 R% ]                    dist[j] = newdist;  
% j1 F3 D0 |- d                    prev[j] = u;  
                }  
            }  
    }  
7 @- _4 z8 E. V9 }$ I}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
{  
    int que[maxnum];  
: {1 p# y2 j- w9 d" S; m" @6 u  X    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
, I$ b- s: ?; z8 c- b' m: W+ @    tot++;  
1 J$ @" r7 ^8 L. y8 [    int tmp = prev;  
( R' X; s, P/ }    while(tmp != v)  
    {  
        que[tot] = tmp;  
        tot++;  
+ {8 f# @; s' M( C1 q' S        tmp = prev[tmp];  
: c* S3 U) A2 q4 F3 b5 J    }  
    que[tot] = v;  
% O3 y2 w( F$ u/ r9 q6 m6 v    for(int i=tot; i>=1; --i)  
        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
        else  
            cout << que << endl;  
' k9 ?6 Q. h& W+ u' W* G. q}  
  
" e+ ^- q7 Y4 ^1 l( Q, }int main()  
  ~$ P& Q  e- D{  
    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
; t! B6 n5 j7 {$ K% `2 k# P( I$ E" x4 [$ l    // 各数组都从下标1开始  
    // 输入结点数  
    cin >> n;  
    // 输入路径数  
    cin >> line;  
+ S" N: X. w/ f    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
1 v9 p, A. L5 w/ }- A; L        for(int j=1; j<=n; ++j)  
) w' S* `5 E) e3 W$ V" x3 z            c[j] = maxint;  
, o+ h7 @! {% s. \    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {  
3 W) @$ o0 C, a0 F7 W        cin >> p >> q >> len;  
- ?4 ]( F3 q0 ?  p- W5 K) _8 x5 r  l        if(len < c[p][q])       // 有重边  
0 w+ f0 B* ^6 U* Q/ A        {  
            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
        }  
    }  
   for(int i=1; i<=n; ++i)  
        dist = maxint;  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
- E% q1 {# M4 Z7 Q* K    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
+ a- H: N& g8 a  [* k& B/ k            printf("%-16d", c[j]);  
        printf("\n");  
    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
" k. [' P# I4 G//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
! k5 `6 l  S' l- Z. V7 B//    {  
0 a' Y* G7 X, f  s( T//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
4 l- K- N$ C+ W, F$ k0 Y. V) @0 @    printf("\n");  
     // 最短路径长度  
+ W" h+ C) ]2 v; O! C    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    searchPath(prev, 1, n);  
& h6 c( f% J! A. B# _+ `$ I    return 0;  
1 Z- }! d! p; K7 L" O0 }}  
  
9 @4 z, r: {6 I, b  
/*
. R" P7 q# N* k: o输入数据:
0 w! q0 B+ Q8 o+ {6 H  ] 5
- H  k( V( g+ U" j+ S7 N 7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
( ?. i  F% D+ L7 B 2 3 50
3 5 10
$ ^$ w+ ]9 ~/ ]6 x 4 3 20
4 5 60
/ U! q0 T( k6 x$ r* C& v 输出数据:
. Y9 i: i& r3 D' I2 q 999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
' U! [8 k' `. f& G$ H 999999 50 999999 20 10
: D* `% W6 a7 q" t5 H1 K; I 30 999999 20 999999 60
0 `+ E/ _/ o' d) h2 R 100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
2 l4 M$ w6 c" f( Q& q 源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
4 j) I5 \# Y9 `. u! h) V*/
& g  k& C! @4 Y1
1 u! z" j" b9 V5 m6 G) p* y: a2
3
4
5
6
# L" Z6 u! k+ ^7
+ f$ j* z/ d& m. a. W/ P# u8
: s$ C# x1 U1 ?& z9
* ?; L" w( h! J, h. z$ b10
& [) `6 k0 q) g1 b6 n' F- t9 D- r11
5 G+ `3 a: l( Z8 ]12
13
14
! Y( f& x: n" `: {' |$ j3 [15
& G, i2 S+ m' _' B3 c: ]16
( p4 ~0 s9 F; ?8 H. t17
18
: E* U% Q: P3 \5 v8 N1 W19
' O0 p0 G. X/ k20
- W' b2 l1 ^3 w5 {21
' h5 N8 u- A  c/ v- P9 }: ~22
5 S% H7 y* ]4 ?% ?& e23
( r5 v, U4 J( v: R: p24
! E+ |. y/ H0 y9 ?  ]* ]25
26
4 @! j8 U( k+ j1 k" D& @27
28
: h9 p  k( T* C$ e. Q29
30
! ]" C" W% R2 O; z* Q3 g31
  k; R; Y4 a; U! _( t* y+ r6 s32
3 k0 o# E4 c  X( Z/ O9 r33
34
9 ^6 T. e6 R$ R35
' G0 E0 ^4 u, H: [3 f6 P7 w36
6 s1 n7 l+ Y0 `% s37
4 N; l2 A3 B: |4 k- S38
39
40
41
42
43
44
45
46
, }" M0 m1 L" F47
48
49
$ F' `" {/ g+ a1 U3 `# ?50
; b, U, X" L" p- h51
52
53
54
55
; N' {3 E8 a2 E56
57
# h9 Y7 Z, u, g7 X58
59
+ Z8 X) t. w! f60
9 J9 M- q' G4 p2 _% R: N7 G61
  B& k) P5 m& @, z62
) B7 F" g+ ]" i& c; D& ?63
64
65
66
- j( k/ `* N2 \" G( n67
1 x4 n$ [9 ~+ b2 F* @/ A68
69
% C+ g8 X2 E5 d0 ]70
71
; ?2 J4 p1 f7 y5 I5 q% ^2 z72
73
- i; ^3 j- E; n- y8 M74
75
76
/ _3 O  e" x* _, g! k) M+ k, w77
5 {& I6 I! t0 x3 t( A, a5 I+ t78
4 ^/ n+ }' Y: r4 n1 v79
2 H8 H, C9 F" Q1 q80
. N1 A0 x( C; m# q4 d81
: ~# t  P$ g8 R& w( P82
83
  }5 Q$ `' ?) V8 n% B84
7 O/ H2 n5 p# y: u2 [2 v* n: W85
% U4 f! ?  q7 A8 |86
87
88
89
90
91
9 L3 v7 V9 }# x. s" n5 |92
93
* d6 U' B0 j8 W, B- R2 t94
6 r; q9 t# X) T4 x" `95
96
97
98
99
; ^4 v8 o' ]6 F9 ^$ S100
5 \6 a% D) \( g7 {( C7 }/ |8 c101
% D3 R  O' K) k: O% z102
3 e# y; j1 E3 B103
104
: y" v5 }0 O- l* o* q105
106
: ]. V- Q" b  L) V2 f$ ]9 T8 O107
9 F- R- I, t! ]! F/ U6 n108
109
110
111
+ H! h0 \4 }: ]4 ^1 I' ]112
4 |/ ^, G7 @' f/ q2 f5 j' \113
) T  P* _# A8 O- M( _* n! O114
; ^* j/ e6 g7 W  `( P115
8 _. j2 a: T  p. q( Q, Y2 c/ T116
117
( \4 P5 R" O/ I1 @- J" B118
119
0 H+ [+ b2 m; \- R: b7 B120
* J+ x( ]( w; R% Y* C121
$ l( h% u; |. Q2 K8 E122
123
; d0 }6 n4 C% M! l# n' O124
* f, @/ L% D. b  k125
1 ~2 ^2 ]1 \( _$ U126
127
# t9 }/ H4 U3 x+ v128
! o, j3 v( ?3 F% E6 p, }7 S129
1 }4 ^7 C  f4 r130
; Q; D* u( F) ]* \131
132
  n) k* _4 g6 O/ r/ b3 I# ^133
134
6 ^3 d) V  P2 ]( y7 t135
: Q  M7 q3 K" b- r1 B136
' k6 t1 Z* v& N* R6 ?0 u5 D137
6 Y/ b; y: V; a3 g138
. Z1 q$ k. k( W& }' ^: W139
140
141
142
143
( |  `) J# V9 x144
% q8 z7 A) o: M) Y. z# p7 R) C145
146


( a/ }4 z! _8 i1 D（2）Floyd算法
$ K! L7 ^$ }; h) p. [#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
5 q) [% [5 e+ F! P# \# J#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
6 u! k( b# Q5 c5 c9 A#include<vector>  
8 z' j1 L4 p  W  h: t#include<fstream>  
+ T" _+ X  I( f& T" A2 n0 w6 M. Ousing namespace std;  
3 v* I( |) A" U" |, _  
//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
, t; y; @  Y8 ~+ _  V; Econst int MAX=1000;  
8 N7 J# T$ i+ J) ], _double dis[MAX][MAX];  
" n+ t" u) G5 D' s- h# v, w# e) cdouble a[MAX][MAX];  
. K0 z: F2 \3 O7 j" R( z" Lint path[MAX][MAX];  
/ @8 E  Y0 N* r' `" l* iint n,m; //结点个数  
  
void Floyd()  
{  
; t1 i. J- h" L    int i,j,k;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
  p% t, E' X0 }: _, B1 W/ w        for(j=1;j<=n;j++)  
        {  
            dis[j]=a[j];  
            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
                path[j]=i;  
' o8 d& r8 _" L% r, ?+ P            }  
            else  
: S6 V( m% _" n2 ?# p                path[j]=-1;  
$ O& K: W, x* j        }  
( z$ S, j& w2 {! b. @. C& g( l9 H- V    }  
  
0 b9 ], c* i: D    for(k=1;k<=n;k++)  
1 c: ~1 x( N. c    {  
' |9 A" n! |7 F0 u+ c. p( [/ w        for(i=1;i<=n;i++)  
! e, [5 W/ M% @        {  
            for(j=1;j<=n;j++)  
            {  
9 `7 x2 d( t4 }# e$ F                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
; c- ?% Y& Q4 a7 k. w                {  
                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
  \! X( \6 D6 V2 U- i                    path[j]=path[k][j];  
) n. S& O0 a% p9 {/ U( q                }  
+ W" G* c5 V: Z2 F% C& s            }  
/ c3 x. S: B1 w5 k, }( A, {' \$ c        }  
    }  
; n# X7 O" z5 _1 x5 O" P$ A3 B}  
  
int main()  
{  
! H+ R$ U8 H2 y7 V& p9 G) Y    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
! B2 d, f4 I4 {  B# ?    double dist;  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
3 ~' l. Y5 N, I4 d    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
            if(i==j)  
6 z* b9 W& t3 H% |' ?                a[j]=0;  
            else  
* u+ O) C  D% _                a[j]=INFTY;  
. e, q/ G/ m- g+ u. \/ y! ?' T, S; x' b       }  
" P# w) R: i* H) ~5 ]    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
! h2 i- Z; R0 l6 C9 W: \    {  
        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
7 Q3 V9 T) J7 U" j- L. @  P        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
! E2 w8 |$ d6 z; a0 n0 b) O    }  
    Floyd();  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
' ~7 _( W. Y/ H0 I' k: X0 g    {  
+ q8 `- N" |! d/ t       for(int j=1;j<=n;j++)  
" j0 ~* U, u. o9 l       {  
2 x, h+ A' O0 l% R5 t# Q            printf("%-12lf",dis[j]);  
0 c( K/ z7 J% X$ V- l       }  
2 c8 s3 ?+ _( I. _2 |7 O       printf("\n");  
    }  
' Y/ D1 k( e" m6 v( F    return 0;  
6 ~: d% H9 o3 L4 ]}  
1
2
+ ~/ f6 B4 z" O( Z3
' Y) U+ s7 b+ M/ F" {. F# u4
, o  {8 j' ]7 Z7 z5
# c" Q7 M' m! q# ~6
7
/ H- |- M( D% z' W0 ~5 A8
  F9 N1 k+ P8 U9
10
3 j7 _6 }$ X) U11
3 L; M6 n, _  W7 z5 U5 ?12
) B2 G! ?5 [( V9 ^13
14
& B/ F- M% Z2 U! z15
16
17
18
9 ^; L% o2 C: M7 O# y- T19
; s7 ~  b. ?# R; U' S$ B1 ?20
21
22
! b" |$ [; e' {( ~( c6 d23
% Y! H9 f- H" L' r. w24
25
) \9 y! e: K5 T" I26
27
28
29
4 ^7 t" E3 f0 f" c& V- |30
31
  x& u4 Z: x7 z: \, b; e32
  Z% t* u# _" }. K33
34
35
/ w5 p. c) f6 o5 f36
! v2 j( {" u! E/ m; m1 K3 E37
38
39
' i1 n% t; a# @' O8 y40
" W" e5 S% a4 s7 r( d$ d9 ~41
42
43
& I% R3 O3 U0 N1 j8 o# N44
45
' ]( S: q  o" d: A: v4 `$ w5 K46
47
; S7 v4 Y/ Z( s* Y. C/ t8 Y48
. N% \& H1 h7 _: O2 l0 ]6 r7 h9 e49
) W0 X1 W$ b6 G4 N# W50
' s5 ?) n7 O8 w# m* |3 L51
52
53
54
55
& e/ G% n, v, b! T& `56
57
58
59
60
. @6 s  V( }" I* O, B61
5 P1 }1 u3 U" `; m% i62
63
64
4 K1 ^9 E/ U- F% z# O! [8 L65
2 j9 h- i9 q5 b  p- a5 |. I+ G66
67
5 e+ v" e) e4 \' o6 o4 z6 q0 u68
; T2 A6 u- }0 Y, D69
70
71
72
73
5 w6 L6 U* o: g8 ]& g* h74
( w6 ?$ J6 H& q2 W* ?75
76
4 N# v* K( p# l& y3 k: w77
78
' ~( p; ]7 N, \8 H. P79
80
: ^( ^# P& O+ Q- a7 T' r81
( u$ o6 _+ E: f1 y5 C4 F0 m! L82
, J$ H& N' I; A: T8 P83

+ b* M4 Y7 |7 f$ w7 x# m/ c0 p: l
: L/ Q- G' ~9 t; M————————————————
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1 Z, X# N% g) @2 N# U