【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
三、数据插值
2 D  a/ O: N+ u8 Q" I4 M5 w4 u: R四、图论
1、最短路问题
: s4 S2 v% q! D% }8 X9 j（1）Dijkstra算法
（2）Floyd算法




. {' A- G7 ]0 Z5 ^% _. y一、蒙特卡洛算法
1、定义
: g, `  x, P' u
9 d* g0 I! ?) G/ e# v. a
! w7 L- U' W( \5 t1 {5 c7 C7 t蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。



! ]0 r( H) e1 r2 P" B) G
2、适用范围
3 L+ P( g' K: a2 l6 q' B; x4 e
  N" q! w* _* k2 K
6 H1 H1 }+ h" t, Z6 S/ ]7 a可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
; e$ H4 U3 K1 h% g

, |& w) C! m3 I9 G- b
. {% l2 @9 B% Q" V" h
3、特点
1 x( ~; i9 q5 F

蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
# u9 O. v/ p; J4 W) w( ^# J& I
+ A# v5 d+ ]* W3 M1 ^* y


4、举例
3 j: Z/ _0 E9 ?; C

y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。




（1）作图

8 Z- n9 @, y$ q/ |% v6 m
. I  w- M! L& ^4 S- kCode：
7 n0 u1 g( O8 o) J
6 w8 [2 {5 Y2 m" g) j3 `* o
%作图
( `$ S2 G- w/ o. m9 p3 fx = 0:0.25:12;
y1 = x.^2;
y2 = 12 - x;
plot(x, y1, x, y2)
, n6 v8 A- ^- W# F# D/ dxlabel('x');ylabel('y');
3 f  s9 H- o" G: l' P%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
; U% Z- W+ O% |2 stitle('蒙特卡洛算法');
%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
axis([0 15 0 15]);
: ?* f5 M3 J- ], [text(3, 9, '交点');
  c/ G5 M3 K$ ?2 J%加上网格线
( i1 S  g* d7 k' Cgrid on
/ w( p7 S; \7 v1 ]/ b% b) h0 L1 a$ k1
6 z! z  g: b6 s: i8 f' L! k8 E2
) F* X7 \1 s! u5 d& V" o3
4
5
& T" d5 W% F. g8 l- s" i2 F: i+ m, A6
7
6 b/ M+ I! m0 B! r% D: Q% Z8
6 `( L( Z( f, F$ Z% k9
10
" s# j8 k! Z/ ^11
2 E7 M6 O# d6 C2 s2 X* L! M12
13
14


# J. h2 D2 i8 R6 i9 |) \5 l/ ~（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
& G/ f6 d2 B1 S. o' T+ \$ L, `
3 b8 I. _5 u1 Q2 Y% h7 M3 H8 q
Code：

. J! K) H5 I2 f/ u; q& }8 }
' Q9 n1 }; K. ?+ b%蒙特卡洛算法的具体实现
7 K" q6 H* i- c; Q5 E6 n: B) G%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
; g% \2 w8 K, b. O5 y, dy = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
area = 12*9*frequency/10^7;
9 l: P0 |/ ]+ U& V+ E* I# Kdisp(area);
/ y  A9 h7 H: L) ~7 }1
2
3
: b& C7 [4 q7 C& F! G4
2 S+ D5 m& v$ ]7 Y' ?5
) l& p* s6 S4 U  a0 }6
5 A- R! E, b0 ]$ S7
/ ~9 n6 j% F; G, N  M* m) Q+ N所求近似值：
4 D' a( V2 S% z2 B" s1 z7 M

8 j0 ?, [4 Q# u' I* n" D
4 q* X/ ]( J- s0 x8 K
  O8 T9 s' G' y) W6 N. U" W2 R

参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
+ S5 L0 A* M! @  l) ]) Y/ F


6 j& U$ a9 @9 d" W& y4 d; P
* K- C. B2 H/ I

二、数据拟合
& Z# e" m7 q* f% D. q0 [" a  c1、定义


已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
8 K1 N) L# q5 K3 J5 X, r
" Z& {) t7 u! M# K! \, g


2、常用方法
  s# l) ^2 `, \! s3 i
: t2 K9 h% J; x& v' ]
一般采用最小二乘法。
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。


3、举例
/ S1 u0 P/ i' s8 [# a8 [

# e! B* a5 Z3 Z  l! u(1) 数据如下：


7 ^: L7 _% t" R8 W% A% u   序号         x         y       z
% u/ ^  W6 M! {& p6 I5 @- R        1        426.6279        0.066        2.897867
        2        465.325            0.123   1.621569
        3        504.0792        0.102        2.429227
$ k9 [- m# x0 D        4        419.1864        0.057        3.50554
        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
1 ]& G0 n. D+ ^' [        7        416.3144        0.049        3.058917
6 u% z" m- R5 n9 i        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
        13        372.1432        0.041        3.604795
        14        389.0911        0.085        2.048922
; e' N+ h6 `5 ^" b        15        446.7059        0.057        3.372603
        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
& q! P  A( W6 M3 j        18        453.6719        0.082        1.841441
" x8 e! Q! T. y* C3 \0 J        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
        22        408.9602        0.078        2.291967
        23        393.7606        0.059        2.910391
        24        443.1192        0.063        3.080523
, [  L) y" K$ A        25        514.1963        0.153        1.314749
8 _) D- u& B# B$ b0 I2 z* E2 ^9 T        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
        28        421.5248        0.063        3.005718
# N2 L! r3 t& L0 X" ~2 F% k        29        421.5248        0.063        3.005718
        30        421.5248        0.063        3.005718
) s* D' N: m+ B- f2 [# Y" `" O        31        421.5248        0.063        3.005718
: m5 k  m; _& Z7 Z$ d- j; z        32        421.5248        0.063        3.005718
% I& U; a( R5 y2 d        33        421.5248        0.063        3.005718
/ M' K- s8 E& g+ L2 H3 J        34        421.5248        0.063        3.005718
- J* g. M2 R+ p, _" e- {6 m+ [        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
        38        369.019            0.04        2.861201
' W' L2 x4 q' ]/ _8 @0 W. M        39        362.2008        0.036        3.060995
! W( A- ?$ {  ?        40        417.1425        0.038        3.69532
: e3 T9 o$ H6 J1
( ~+ s4 l  N4 r0 k: h0 f2
3
6 s- y2 v+ T; H, c, x& i4
, T  V+ g4 P; a: i0 H5
! O4 e" F6 g7 i# f* H* A' h9 ?+ A, n6
( f+ w' p. I8 f% ^7 j7
2 P7 M" _2 }6 D( j5 L8
9
10
8 z$ O) F1 A& b+ o0 Y# v9 ~11
* I7 {2 d4 }; G: j& v% ]12
13
# e7 F( C, s4 Z* e9 Z0 u4 K, b14
8 z7 G  E/ {$ _4 d/ t% H15
16
17
( G1 t* X) E6 q- D8 w: @18
7 |6 k& L4 V! c7 _5 l8 |1 S19
* Q# P7 H: A; D" J7 R, C20
21
22
23
24
7 d: o/ ^! P( |25
% \# z1 J) H+ a26
27
28
29
30
31
32
33
34
' P& R! V) _' G4 R35
; x2 B9 s! _' b% u36
37
38
/ d- G; _5 W* K" R1 z  f  R/ w9 s39
40
41


9 P. `7 |, {! o(2) 方法一：使用MATLAB编写代码

- z: n, x2 v+ I  R
; V$ K# ]) v8 I! O% S7 y%读取表格
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
B = A;
[I, J] = size(B);
, y; p8 U( S4 b* Q& S2 w. a
%数据拟合
%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
y = A(2,;
, N2 k) j. D7 x, X! r& Q' k%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
  L4 [! a' ?1 }6 K7 e; V7 m- M%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
2 u- p' P& k7 K8 Q  ndisp(p);
0 @4 r2 J+ j; _/ r3 A" \%下面是作图的代码
x1 = 300:10:600;
# a! s- `& a$ n%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
# T; A6 N4 r2 H1 D; a/ _/ r0 Ey1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
0 _$ ?. \; Z* j3 m2 F0 e" D' s/ B  ~1
/ ^0 a2 J. w6 k2
+ I3 K( q# M& A# ]# ?6 p% n5 V4 L& {3
+ Q5 F6 L5 B  h/ r) b3 O/ g4
5
6
7
8
7 w/ K$ L  R, t' ^7 n9
. @6 X' G( B) Z% e* `10
0 O9 H4 K$ I2 n5 A0 i) g' Y  B1 M( }11
12
13
$ J' X( y1 s; G' ~$ S1 h14
* L3 M$ \4 d. e15
16
5 H  v, d' X) G: M/ }17
& R$ l" K% M# z8 y. I8 P1 v18
19
5 p; F" U  |3 A3 y) ~) m20
21
# h5 X; P# \3 L
) b% b$ D/ ^3 z9 y( ~  X& i
: d0 q( Q- H% U: [$ q- g* @3 n(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）

+ H3 K/ f0 f# ]; i
# L) t! r& k6 T7 w
, m9 v, a  k/ E0 J* v& V
将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
6 D- p7 J5 O% ^* [; \6 x
( w1 y7 V  J( u

/ _+ C2 @# f6 n
9 f( S0 [% n. z& J/ @0 q选择x、y变量
' w9 [8 G: J' E  h: r( K
* Z. W2 ^& K+ I3 ~5 G  A6 A( b! Q

/ Y1 B, c, {  g
选择拟合方式和最高项次数
! N# P6 Z8 q& i8 Y6 f, m  L

% G$ j) D$ `& H4 J5 H2 |( z
3 q' {3 D/ H8 e% r1 f+ ~5 T
* N: z& l) w& R' e9 a  ?得到拟合结果
) _" _; [* u7 D* N

. K3 I. k0 G. C* l( r2 c) r+ N

使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
. Y; c6 ]7 B( L8 O- W' W/ t
1 W1 \* m3 h! R4 o

; r( d; y2 e9 `* u4 y+ q( e, K
' z- c- Q0 ?) P6 F4 n3 B2 n9 u

' [8 Y7 s5 x* n% q$ o, z6 g三、数据插值
1、定义
" J# e. T( f0 }0 Z" k- x0 P

7 }" B7 ]% H8 z6 g, k4 [0 w在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
+ {* u# ]( ^" `  _8 ^! [8 `7 f
& [, N* S: d/ X: ]8 Z
+ U" K- N1 `/ V从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。

! }& s2 v: p8 h& K3 f1 n. |
6 X7 o9 K" Z! M1 @: W( e
! T2 ~2 B3 I8 K7 M' ?/ }$ F0 W; [
2、作用


插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。



: H- ]8 y. |' u$ W( J) B0 {
3、举例
5 _* g) ?, X& }! G' b  y

%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
" N6 ]  N! \9 ]8 q" Dservice = 10:10:30;
$ D* H1 t3 `: a. P! c1 l; Wwage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
# h5 L' c7 C7 {- P' ~2 \[X, Y] = meshgrid(years, service);
! T3 f9 ]5 E. R  }) v# P7 y# g; p6 T& w% % 三维曲线
% plot3(X, Y, wage)
# [% z& l0 z5 z5 k% 三维曲面
figure
surf(X, Y, wage)
%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
- b/ @$ P5 R0 M- t) bw = interp2(service,years,wage,15,1975);
1
2
) K' @( w! l# T3 z/ F3
4
5
7 Q6 f3 I/ r7 z$ S2 v" n  H6
( R' d+ }$ D' s7
% `2 ^% f) r. W- f) ?7 {, L8
9 s4 z$ n9 L% F9
7 _2 ?' V( d/ P10
11
3 M! G" n) N3 x" P+ L12
. J! ^8 T# d4 s8 [

5 E) x2 j4 ~4 \0 _
( c8 R  J% m) g$ q  T6 s- b* _
0 r1 S( a. V2 k2 S% x1 R$ @可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合

, u) Y9 Z1 ~7 E" n/ s+ U* b
. B& ^8 P# U. p* _1 U# d5 P. W

  W- ~2 f; j( e7 u9 I

四、图论
1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。

% A* k5 d) ^! ]' c
$ C/ L% x1 s! F9 {/ Z' N* p7 K例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）

  @) m: p9 o. H8 J0 I# `* ?
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

, Z- [" `+ v% @: t8 V3 H* V7 _7 F
$ q1 h) Z' F0 s; s3 n& P" w) A

1 w& \7 J5 j9 n6 c1 e6 R+ K3 n（1）Dijkstra算法
先给出一个无向图

) b4 m7 z* Q8 O9 W9 u
- w" @+ f" K7 m; _  J6 f

% K) s3 L. V- c/ Y( [用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
( c) h0 H" `+ ]$ }1 b& o



, K9 l9 |" y, X$ ~4 `

8 Y2 z" H; q4 p$ l代码模板：
# ]% g8 J) E3 [$ h& C0 C

#include<iostream>  
+ s8 Q0 j; ?; I0 @; k; A( b: i" @#include<cstdio>  
" L% F4 A9 Q/ {#include<cstdlib>  
- `2 m4 M9 a  o7 g- p" E2 u#include<cmath>  
2 H( G# V: F; D#include<cstring>  
$ s: ~! |& k, w8 j, r#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<fstream>  
7 y+ W; |# p) W4 _using namespace std;  
; G; W! r3 T: o& @5 G  
- \5 V5 `* y( K$ `) M2 _: {  Gconst int maxnum = 100;  
2 i  ?; }* X1 O7 _const int maxint = 2147483647;  
( \& n2 Z* \( H. eint dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
int n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
  d/ ^4 b6 V2 Q1 jvoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
. V1 s+ i8 f* K. V1 a( X{  
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
# n) R9 \* _0 T# f# y    for(int i=1; i<=n; ++i)  
) r) }' p7 F2 `0 T" E7 r" ]    {  
1 k" l0 L7 i) l8 R% O        dist = c[v];  
3 a; o8 F& {+ B) i        s = 0;     // 初始都未用过该点  
        if(dist == maxint)  
( r! u3 ^- Z: c. F, `1 E* y: T5 F            prev = 0;  
        else  
2 {# Q+ e8 f7 \8 |' W            prev = v;  
    }  
% |" P5 f2 f+ A" T    dist[v] = 0;  
5 A2 V5 g, y  _9 Y' e    s[v] = 1;  
  
  h" ^2 w9 q2 L. A8 W9 K    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
8 J5 X9 X: Z( [2 J6 h6 f    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
    for(int i=2; i<=n; ++i)  
+ `; _- z( a( B, k    {  
7 ^. X# F$ R) b, |/ I9 H( g* {. y        int tmp = maxint;  
& o7 \8 g& T, G/ c; j7 q- ]' Z        int u = v;  
, {  g5 ]+ z) v/ n* Z% G8 v/ e        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
) l2 Y8 J3 L2 B$ T- l! c/ x! A            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
                tmp = dist[j];  
7 B* }& v- @( [' ?2 F4 u! B            }  
6 o0 W2 q: F* m        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
% t$ ?9 W% @9 o  }3 k  
        // 更新dist  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
, O7 ^6 u  f. _! g            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
                if(newdist < dist[j])  
                {  
  J7 G  d4 }1 @: c                    dist[j] = newdist;  
2 P7 C. _4 w- ~5 o+ h) _                    prev[j] = u;  
* U; v) F: [$ ?6 s                }  
            }  
- j! B9 {' h0 ^, J$ O( p5 U    }  
}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
+ i! V" x& h8 |8 C, ~' h{  
    int que[maxnum];  
    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
    tot++;  
: m' ]- g# _7 J    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
9 C1 x  R" h5 q: }! ~" X+ o0 Z    {  
9 z5 p; V  i: P        que[tot] = tmp;  
4 V2 N: x% u! u4 K5 u        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
    }  
    que[tot] = v;  
, l- J4 k  B" M- s+ C4 V2 {: y    for(int i=tot; i>=1; --i)  
7 A# r7 o4 B' Y: K: V        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
        else  
! i5 T, P4 ]+ K            cout << que << endl;  
}  
  
int main()  
0 I( y3 O( O0 Y2 [/ A; p& Q$ u4 F' w{  
    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
    // 输入结点数  
    cin >> n;  
    // 输入路径数  
    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
# V0 R0 e: U) |/ j1 Q    // 初始化c[][]为maxint  
4 `9 c7 @. Q2 e6 c3 ?    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
+ r5 K' q- Q* ?) G, x2 W2 D! k    {  
' [3 l$ o, H8 Z/ n        cin >> p >> q >> len;  
( `7 o- ?/ d6 \0 a/ n2 ~        if(len < c[p][q])       // 有重边  
1 \% ?  k$ I. `6 z( N        {  
            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
        }  
    }  
) a+ u" v* M; M7 ?% u1 Y   for(int i=1; i<=n; ++i)  
. o0 V4 y4 B5 S7 ~/ @        dist = maxint;  
0 f# V" \6 `/ V& H" n4 S4 U- H6 D    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
! _2 |+ v' ]( ~$ {- O" J        for(int j=1; j<=n; ++j)  
4 P& ^2 V. B0 l9 P' D            printf("%-16d", c[j]);  
5 T  x, y* V0 y# Y9 a        printf("\n");  
  E( _6 J5 G2 k2 c+ U8 x    }  
  o! f* f# I) G; v: x    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
& v0 m$ N9 k; k4 e: I, f  
  B, V! e- h7 \1 Z//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
* e! s: g3 k$ {//    {  
//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
    printf("\n");  
, `+ E% C: F. I" O% g     // 最短路径长度  
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
6 ^2 }$ ]- J$ R; J5 `     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
* g* x8 x& ^3 D% T  I    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
8 a4 w0 P5 \6 c- x) G}  
5 n6 z) n' M8 j# y" @  p: Y+ P  
0 |4 j  d9 T2 J3 }  d, \  
/*
2 N- N# O) Q5 h8 W' t" G输入数据:
5
7
( x7 ?) P/ T$ z# V# r8 b3 P 1 2 10
$ @$ v# {1 g( G" @1 C3 Q 1 4 30
$ U, Z2 T: e! q4 o 1 5 100
8 C% L. c% l! d, r 2 3 50
7 R0 S$ ~; o1 L  u8 G- M5 s. j) A 3 5 10
4 3 20
4 5 60
4 K2 T/ @2 v. L* W2 y 输出数据:
999999 10 999999 30 100
3 J6 H& X3 S/ m% b1 A9 y0 C 10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
& }( n0 r: E3 y8 @5 P 30 999999 20 999999 60
* F( q* j4 A$ S7 k8 h. g 100 999999 10 60 999999
3 C# y' d( G0 _" l6 V# M9 G- U" D 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
2 j* I) v& [5 C0 `+ d& k 源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
9 A# L+ ?) r' o1 T) [*/
# M& S3 ~  S3 L9 m2 m" w1
2
  ]$ C; S' C2 o0 a4 h% j  E0 q6 F3
4
5
8 Y  V2 l/ `: L* d6
7
# Y7 u  A- h* C4 C5 _- k0 P- J8
9
: j% M9 A! h. {2 ]4 J! ~10
11
/ h; j% Q5 u' i, p' M9 \12
( c! S" Z8 L! v# w2 M. m13
14
15
16
- \& U( X2 z# y  t17
+ u# Q. ?. |) {+ f- b) x18
6 b* p' Q6 t. r& E19
) B" d1 v: j8 [3 A/ R$ g3 V$ {8 K20
21
2 b4 ~" z9 L  }) X22
2 R5 ~6 Z1 M7 N1 p# [- f3 R0 q8 _23
: K& q% T/ I! ?- c; g5 X- _) b24
25
: @+ H& z2 S; T4 X5 h0 H6 l0 W26
/ u! B" @' b6 Y+ O9 f( J27
28
29
' t1 F! d% M8 b  C% `# @30
31
: q8 o! J6 T% T$ r32
33
: |( r) e" W4 O, W3 e34
9 \( _2 u- V( ~  u2 q1 D' g35
36
: E+ b) t4 M* x4 J: M37
38
39
40
41
4 c% t3 ?. \( F4 j' R42
1 E7 b3 C6 c. {: I/ z' a- J; j43
5 N8 C" y- G* S44
45
46
47
48
8 k+ m/ A% d7 D49
7 s( O2 ?9 ]& q0 }- h) ~50
51
52
5 t) A3 v$ U& {) i, a7 s53
2 t' d* l+ _0 P! p54
" {0 o3 R* D! b55
" b% g; ]( r' y" l, a3 `56
( k$ i7 \1 Y3 R' ~4 S57
; ]' f9 A9 V$ F. j) P+ ~; m58
( q( D" o% k3 h- K. j4 H6 x/ R59
: M+ P, [2 M( N60
+ r8 I. w; V& G! e. L6 h61
62
63
64
65
66
67
( J: X9 v* V3 `9 y( X68
0 h; Q4 F1 s1 t" X, H1 b69
6 n; `$ R" _/ a, c0 }" h70
71
$ I0 o$ w! i' Z0 K1 D72
+ e! L' W, h# A! w( ^73
1 M# j$ n) x6 e$ l3 }3 F74
7 M: w- ]) Q6 ]# I75
76
  m! q/ P2 G$ [+ T% V# \77
( J# Z5 c5 p( i4 [6 U, X+ c78
79
80
5 J2 C( Z( w) a+ b- g81
% Y) j' |* \. d6 t7 ]82
$ ]- j4 W1 N! o6 L6 p9 E2 |: a83
84
85
86
87
88
89
7 l7 _8 j$ o: M5 h7 O' t90
91
& C: G3 H' c  o9 `/ @0 ?92
1 U6 x* s# n, J93
94
95
96
97
! Q) l! F: \* _& J. _( o98
99
' s1 l7 n: c8 s" T, i100
- H8 Q* [) G: d7 @( l' r101
102
103
104
105
106
107
, B6 \+ W6 x: c- K$ K108
3 y' V/ o' ?( k, n# X. M109
110
& I2 I2 n) j* O111
112
113
114
: f# I' ~' a! l1 r7 S115
$ C1 _5 e7 v! z6 C$ G& [116
117
118
119
/ B* l: ~0 c" T9 C( ?. U120
121
122
123
124
* Q/ k3 X9 h. N& `125
/ l8 ?5 V- s; P' W- E: u( c3 q126
1 i4 [/ b* d7 b( b( [! _( ?127
128
4 c% R' v: X' _& ~. U; i9 p+ e& C3 X129
130
6 A4 k& L4 _" Z' k3 _" G. N/ M131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
6 x5 Q) G( b0 |( S( {- |* x8 t$ o141
2 n% {/ p" V( Y# l  t142
4 M% M6 p6 B5 u' T) I* k0 H' |/ v8 X143
' |" L( u  J7 I# b144
145
146
6 l2 u5 `2 H8 p- a/ L: }7 Z# o- d/ w

% r7 @! }) @& @3 ^* l& K（2）Floyd算法
#include<iostream>  
0 ^+ {  J6 s9 R! l" V. z9 q#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
% X) J1 X/ ]; x2 a1 D& j5 p; Z#include<cmath>  
7 t4 A- d2 F8 @6 ?4 O#include<cstring>  
, j% I- V$ \, V8 I2 C' G#include<algorithm>  
#include<vector>  
$ ?4 M  h$ q( \% x#include<fstream>  
using namespace std;  
% F  k/ Z' L8 q  
" h' g9 G0 p; _9 O- I9 E& E9 e: r//设点与点之间的距离均为double型  
) b6 K4 ], n* h5 I5 ddouble INFTY=2147483647;  
const int MAX=1000;  
  C. j2 [0 {7 y! W3 K: Odouble dis[MAX][MAX];  
2 e4 @8 I9 G$ m! e& k5 Q; ndouble a[MAX][MAX];  
int path[MAX][MAX];  
8 F( i4 C% z, `' \4 k1 H5 hint n,m; //结点个数  
  
- O5 ^6 g8 c3 s' u$ K0 d' [void Floyd()  
+ k+ ^* e3 A4 f$ J9 F( ~{  
    int i,j,k;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
        for(j=1;j<=n;j++)  
8 s8 M' P) I) n, B2 [. N        {  
            dis[j]=a[j];  
" `4 i- W- ^) ]5 L. g! y7 q            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
                path[j]=i;  
            }  
            else  
) h9 \# ~4 @+ p9 N                path[j]=-1;  
        }  
    }  
8 ^" y2 u# V6 G3 ]  
  F9 I7 L( s. a, a7 R( ]    for(k=1;k<=n;k++)  
    {  
1 N/ p- p( S3 o0 Q% A2 w        for(i=1;i<=n;i++)  
9 @0 p$ {0 h% S  c( M9 g, P. W( Q        {  
            for(j=1;j<=n;j++)  
* j7 l2 ~/ M8 Q1 Q            {  
                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
. H( R, W& x4 P3 o' o                }  
5 J! \# f$ l6 R4 }# W  F- ?" g            }  
        }  
    }  
}  
0 f0 @4 }- [" z5 a  
: D: {6 l# l+ r$ x: b) Wint main()  
{  
    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
    double dist;  
$ @- f0 C9 k2 z: t3 @6 I    scanf("%d%d",&n,&m);  
3 [: Y( |2 c+ k    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
% a! w- v' w4 P# u9 Z# {       for(int j=1;j<=n;j++)  
' d* q- J8 C1 v; x3 v$ V9 g       {  
            if(i==j)  
0 ~; Z, r1 o( ~5 _% N                a[j]=0;  
            else  
1 c' G5 _  Z* x" P+ S. _                a[j]=INFTY;  
/ e8 V7 `! T0 V! p       }  
    }  
7 q1 M6 E! |) h: o    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {  
$ j. a8 |9 E; }5 \2 ~        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
0 A7 ?) o: N5 ^* N        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
7 d# Z$ j3 t7 g8 }3 K8 s6 s) r    }  
; b" M0 ~! @2 d: c) {2 Q    Floyd();  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
% ~6 H. K1 b3 X6 v2 A       for(int j=1;j<=n;j++)  
4 x. m/ N# |: [- K0 ~% T! y       {  
            printf("%-12lf",dis[j]);  
       }  
       printf("\n");  
    }  
    return 0;  
}  
1
. \' S4 T" u/ x* y  W2
3 L7 G6 G- {( R+ e$ |$ D3
% T* O; s, n" e4
- ?) P! q+ f9 w5 O2 `5
6
7
8
9
! l- |7 N. C* m' ?10
" Z; h8 f6 X7 ~5 L/ y11
( K: {: a- Q1 ~' h12
13
14
15
* X. s5 o* K% c( J8 k0 u* I16
17
18
19
20
21
# h- Q! C2 E6 F, z22
9 V3 w: t- u( J; c' I0 ~& t23
4 P  l$ I6 [" b* ~( Y24
. q, B7 h" Q+ C- p" G' ?9 s9 H' G25
% E% p  g  K* @- u) o4 Y! K- r8 }26
27
28
29
30
31
8 d! ?4 F7 j* V2 U32
* |, ?4 N! Z* F0 m. W, N4 P5 q33
34
# s2 t2 N8 ]7 Y- h8 n4 r2 d35
! V" g7 O' ~/ Y* L* [! P36
) S4 ]+ x, l0 M! P37
38
39
; U3 P. Y. U2 Q, h& B2 i0 L' P9 ?40
& a/ @1 D$ @4 W' U3 \' N41
% y& R) k: z/ ^2 [42
43
# r, q; V% I* `9 N4 A44
  I8 q$ W1 v4 t: [: p45
' [1 G  C+ @! }3 I6 z6 t46
47
48
49
50
51
52
+ @! E, _7 i: W$ j( x2 I53
; d) m2 G) G8 j% w, ^$ T! Q54
55
" G5 ~; ?9 [- h1 x56
2 q% h' `3 R0 Y$ t57
58
59
60
61
  k, L" E( m" n  u62
$ ?/ x# D. _4 r4 j, Z6 W2 ]63
64
65
66
67
' T6 t4 F$ H8 \9 @' r- x8 U68
69
: O$ T* |9 T2 f3 g7 C70
  G) x# U+ U6 q4 z/ s71
72
2 R; ^6 s% I0 u4 P$ j73
74
75
76
. `5 ]6 u8 I  `( f77
; ~: r6 r3 _% j8 f+ o' O+ D/ c78
5 P/ h/ X3 g7 ?. v2 }79
6 u5 T7 W5 r1 r5 L' r80
. _; a( O0 R+ t$ m, w81
82
83


2 P2 V+ ?; t- v! N————————————————
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2 R) w$ Z% e, c: V, {- _- M, U
1 ~6 f4 w1 e2 v& T8 C8 k
" r/ ]; W2 Z) e! S2 ~# D, F1 U* s