【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
( N7 H7 ]. O  @: A一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
三、数据插值
四、图论
" f& [' V: C9 g; L+ f2 ^! f1、最短路问题
% A/ L1 f9 S9 `; ]7 {  }: B. t. m（1）Dijkstra算法
4 S8 S. x" m, ]6 j. x* k- g（2）Floyd算法
! c5 L' a; x0 X
0 W3 V8 Z# _% x; h7 `5 n" a' V! e
) q! r  u$ d. B

  R$ k2 J$ a9 S4 `+ M一、蒙特卡洛算法
9 L; P- Q6 s. |- D1、定义
9 N/ P6 T' d" t0 f+ w

蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。


2 l7 K* I, B4 @  e
, `  e- O- a) [; R
2、适用范围
4 j0 G7 x, e( M+ I* U
! }- b) T0 o5 |& I
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。

8 M! U/ u( {' g: O, e

! ]$ t; S/ ?/ ^/ z) R' [$ _; z+ V
3、特点


蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。


1 t! x' t) }7 }6 Q; w
6 G, a' |' a" w& y  w
( F% I  n$ U5 g% M2 @. a( Z5 ^4、举例
& G7 C- x% u2 r0 ^: s) o+ Z9 o

y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。




: m2 \: U/ B: f# H, L; D8 \（1）作图
* c5 T- b9 t- c; `2 J
3 L/ B& P* V$ D6 K( n5 {6 V3 D
Code：


%作图
x = 0:0.25:12;
y1 = x.^2;
y2 = 12 - x;
plot(x, y1, x, y2)
* c! P8 S1 g1 M( z, O; Qxlabel('x');ylabel('y');
%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
title('蒙特卡洛算法');
, n8 ?# j  X+ c! G0 J4 B%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
axis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
%加上网格线
' A" ^# S  g% M, t! _2 Ugrid on
1
2
5 K9 o: A/ W* J) U" @7 U* @5 \3
4
" ~* c7 ]9 p; X. w6 O! x' }5
- u+ |& W9 N) W$ ~6
8 D& f% U3 Q. l! u7
, g' ^$ O3 \  i0 n: \3 I* {8
: ]2 o' [+ _; o+ I9
2 ]" M. C, G$ i2 Y9 Z10
11
12
% i7 V7 r) q! C4 k13
14
# W. w1 M$ p4 r7 Y

（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
/ k7 r9 a3 `: H7 Z* _' x
6 n  c7 H! d3 ?; J9 M4 L% O
- V5 S# m6 B, B) v, x' ACode：


%蒙特卡洛算法的具体实现
9 z6 p& L' I' s8 e" J%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
& L7 W) n' Y: C  P* s9 e, _area = 12*9*frequency/10^7;
  Y# b) b) f2 ^" l1 p& `- Udisp(area);
3 m, Q% v3 w7 y  k9 k1
* {8 z4 k  ~; U& q5 {2
( F$ m# J& }4 j& t& M5 U' u3
5 K9 v/ C; |% l; {% ?6 s0 D4
% n# _) F7 @) `4 b5 M0 y5
6
7
所求近似值：

- i7 c2 G+ C4 L/ `

' C8 C& \2 r, Y! M# ^
. H. w; U# @, C3 V+ b
9 y& Y( C; z- Z* e: b7 t  U) w0 [
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
6 |- t$ H9 T1 ]( l1 D6 l% x3 a

: l4 ?# g: L$ z6 j9 Z
6 r  Y& B: h2 K& Y3 S" x
% J. ^8 O6 {+ W/ O' c
' G- _# D/ O# V8 q
. x8 m5 M/ C; z/ Z6 q, X二、数据拟合
3 {5 G! Z# m* M: g7 ]: D% C( F1、定义

( K  {, S: b6 N  t1 j
已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
4 ?; R) l6 J: r4 p! G5 ^* q
/ i3 d. N9 U3 j: U! ~  v
0 f' Y9 d9 M' e1 p. n+ E/ m3 k  |
. C  ]! U3 y. w  Y# S9 {2 e7 B
5 ~1 s5 X9 K) Q. F8 K) |2、常用方法


3 J3 i: ~6 k, v2 e一般采用最小二乘法。
7 V+ @" k* W* I. E- }, l2 `拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
$ p" q  ^0 F, y* M% V5 W, U! J

3、举例
7 _/ u: i3 i- u8 r
. k6 E3 p: T. I8 s& `8 K
(1) 数据如下：

8 t1 Z- H1 K5 I& V
& B: M7 H5 g1 ]$ M2 D7 Q   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
        2        465.325            0.123   1.621569
        3        504.0792        0.102        2.429227
" I8 d0 I4 M' _1 h        4        419.1864        0.057        3.50554
/ z/ `$ v% e* f7 \7 E3 Y        5        464.2019        0.103        1.153921
& B9 A# m9 E: B) H        6        383.0993        0.057        2.297169
        7        416.3144        0.049        3.058917
        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
9 q! g8 z! a# n7 k9 S! ?        10        376.9057        0.049        4.047241
3 T- j8 P& G4 ~: T6 a' ~        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
& H- X- T" C1 F+ I' B# ?' @* k        13        372.1432        0.041        3.604795
; i) G7 p* r  o9 u: t        14        389.0911        0.085        2.048922
+ K% o0 v' G- c! y- o        15        446.7059        0.057        3.372603
$ u) B$ i; ?: |6 `" Z        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
' G" ]& e- \7 U- J3 F" A        18        453.6719        0.082        1.841441
        19        388.1694        0.051        2.293532
2 @9 y  R' i& Q' G, j! a/ Y7 Z- T        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
        22        408.9602        0.078        2.291967
( P( G1 l. G/ M( C' O6 I! Q        23        393.7606        0.059        2.910391
( U. R; \, X6 {. A4 k5 ]        24        443.1192        0.063        3.080523
        25        514.1963        0.153        1.314749
- k# @3 r4 E6 A  Q        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
+ @; X& ]) c! S# ]& C- L        28        421.5248        0.063        3.005718
" Y4 H: `, b& o% W        29        421.5248        0.063        3.005718
        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
# w' f9 P+ |1 p+ @        32        421.5248        0.063        3.005718
$ a. J$ n$ k6 L5 N        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
        35        421.5248        0.063        3.005718
) B4 S2 r& K; @- L, y8 _4 Y9 k        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
        38        369.019            0.04        2.861201
        39        362.2008        0.036        3.060995
        40        417.1425        0.038        3.69532
& H/ z" [, _  I5 |3 @3 u7 X0 |1
2
! V3 L/ V8 a7 @, K4 G% n6 r- M3
4
5
6
7
8
& X# v/ v8 l1 ~! p# Q& N9
10
11
12
13
14
15
1 h; A: W$ d; E' ]( d6 g, O* K16
6 B+ s0 u0 }  l7 E8 Z6 [/ Z17
. X1 O# }2 n2 n' n18
! [* q3 H* y" q19
20
1 i. V! O" B; x  Z1 z21
7 H1 E- j( l6 ]) w. ?. U; ^22
23
24
! Y9 O& |  w" {5 E3 s; @+ M25
26
27
28
0 K( l0 p1 g+ X4 R% Z) I3 @0 o9 A29
30
31
32
$ h0 R- x0 w" ]33
34
35
36
# L% Q4 B# `4 |% z2 g3 T37
38
39
40
41
$ y) d* a; O) W+ T
$ @# A. b. Y. r$ f. |) y
(2) 方法一：使用MATLAB编写代码

+ F3 M3 t, V+ R8 O. [. t+ ?" }
%读取表格
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
- t% d) J  ^$ q# M% bB = A;
[I, J] = size(B);

+ P9 _& q) m* r6 f. v$ T+ C6 ^%数据拟合
6 Z6 H5 ^8 I% I9 f7 S%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
# B- l# d7 I6 z% C9 M# T' u1 dy = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
1 q$ \) r2 w+ h6 f) F: Q%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
2 j: z; }/ O, N9 q  o& c%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
disp(p);
) E! R7 ^2 g3 r& Q7 p% [$ V) M%下面是作图的代码
x1 = 300:10:600;
- F% R3 C* ^3 ^: i# f; P%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
y1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
* \6 L( a: i+ @0 R%figure(gcf);
- o) K/ L; w: l  ^1 k# ]! u1
. Q, N8 ]; e/ {' E; F2
3
5 }: B9 i4 M3 g/ `/ k4 d4
5
6
7
9 T7 h; |+ A$ ~! }: P0 P: [7 ~8
9
3 F! Y% ?8 d$ w10
11
/ h7 L2 }+ ]& }/ D; a  J8 K' x5 p12
9 m* X+ X- x9 t13
  z$ _' r0 ~2 \! g4 X( K7 `! e9 K* k* N14
* @( v; b1 ~/ t6 w/ t( p5 e( v15
16
17
18
19
20
21

9 O5 `5 S4 g9 ~4 H
(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
/ K1 G! J$ Y- N6 t' B6 y7 B



将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
8 W* y6 A+ E* J6 x/ O


) y8 U3 v, A- V& o9 h5 b/ e
选择x、y变量


4 q4 Y+ x# }" S$ Z, h
4 a/ G, z' C% q/ m/ j: e
# m. g7 _/ X& {" r选择拟合方式和最高项次数

: k, b  q9 B6 T& i' H7 O

8 K4 i2 }+ v* _2 ^9 p% G3 |
得到拟合结果


9 F/ h+ z0 g1 Z6 n! U8 t& r3 J
# v5 n5 Y3 y5 e1 O( q6 v2 e
使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。



6 `2 [# B6 v6 L# B& c
+ t+ L* ]: P) G& z7 l  b) X

$ A% c' s  ~" H7 o# y三、数据插值
1、定义

1 Y/ J/ K( Y+ y$ v3 \: O
) m7 ~, g7 P' Z" s. v, ]2 J在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
6 ]9 E+ n8 f' }. t, |$ M9 X4 e0 b- C

  H  Z1 q2 o* n* k从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。

6 M/ F$ j  m) o7 p0 _4 j  l
! J. h- |' c0 h' F) ]4 t) K
8 w% Z/ C7 ?% D7 u" C
* y" C4 \; Y% V% S; X' m9 z2、作用


插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。

# G* z6 t/ F2 V
4 q( Y( V2 z/ Z

3、举例
7 i+ x' c4 E9 y6 ~4 V* ^

%years、service和wage是原始数据
" H6 X, d$ t1 n& K6 d4 n' [years = 1950:10:1990;
3 W3 H: r+ M  l( }: W: ^! {+ `+ ^( Tservice = 10:10:30;
; Z% q% c+ k+ F, \wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
4 R: C: {7 U3 a5 t+ V! q, mfigure
surf(X, Y, wage)
%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
; y& `/ Q; v! Z6 l. i5 J' a' X8 m' _1 z& gw = interp2(service,years,wage,15,1975);
& N$ H3 J) n, o1
2
( l7 {, I* O( Z8 P( B1 C3
) i2 Y& P* T: H: f4 [4
2 H3 ]9 ?% p1 T) ^+ r5
6
, x8 b' N4 }1 h7
8
3 ?/ Q, T  \( z9
10
3 r" q/ d- l1 [/ l, W9 a1 W2 c; e7 Y11
! K7 W: t4 I& I! i. W! `: f! W12
& V9 U9 O8 y: {
: O% F: c4 K) N/ o8 e! U

3 h1 F) u3 \+ p. M$ O
2 S$ u3 X7 \9 p8 }7 R8 n可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合

! l# w0 m( ~. {9 X3 r' H! d


+ u! _" u* o; G* e8 i

/ V9 M$ u6 {% y: a' q" n2 Q6 Z, d/ c四、图论
4 r/ H, H1 f8 ^6 L" y1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。


. H( s1 w& w% \% Y$ @% E例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）
$ \2 h- h8 ~' z# G/ B# I. k) v+ O2 W
! t9 G3 c5 {; k% {+ P$ }/ W! d( n. W5 B
  q$ H) o6 f0 d具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
6 h$ }; O& F4 n4 @" x; j
+ H: R- W- J. [5 e* z5 U. @+ y& s9 M


（1）Dijkstra算法
先给出一个无向图

# c  c% c& o# w) l( {* \1 K


/ H" V% h3 t, b( u6 i4 ]用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下



) d6 a$ k, q- F- y! }

, s. {0 [. f8 H, f& s+ Z  U% Z
2 z& B8 }* m" D代码模板：

- c$ Y! w, S& j) q& I& j1 U6 [
#include<iostream>  
: C6 l* {. B& p% Q: U! a4 i#include<cstdio>  
8 G' ^& Q! F- C9 ]#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
- K3 a  s& k, g4 E# |#include<vector>  
#include<fstream>  
: t* F. M# s* S7 f( J' Zusing namespace std;  
& }- t4 Z  m8 F# H  
const int maxnum = 100;  
const int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
  X/ Q# x# P, w4 Pint prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
5 m( D% c  y: y! [1 N# ~int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
9 H+ ?- A7 z, M# lint n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
; X' \) c0 u3 D$ \- \8 o+ {void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
{  
! ~$ _5 b( e( e4 d) ], L6 J    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
' {# p4 @: C1 V8 ?: [" S$ M" T        dist = c[v];  
2 A  f6 T& g' B& G        s = 0;     // 初始都未用过该点  
4 a* i/ j0 u- g8 p" x$ |) o        if(dist == maxint)  
3 b& I0 t' @: e) H. [, T            prev = 0;  
4 Y7 d1 K0 v; O4 i) R        else  
$ y% E7 S  L  m8 N* E  K            prev = v;  
    }  
' ]" C% N" ?7 p" z$ \2 d    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
  
3 Q! i  U. P9 l8 l' \$ I    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
5 J# A; C, Z8 Z. `. E    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
        int tmp = maxint;  
4 x- V3 H6 w% Y# z1 {        int u = v;  
- J; J1 G9 l+ Q' k4 Y7 I        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
: C8 E6 B+ d4 f        for(int j=1; j<=n; ++j)  
$ T; `. ?! [( a( g) G9 I            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
% l! o" S$ b& Y                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
( O# E7 l, O/ o4 N! }% J1 H                tmp = dist[j];  
! o. |: G$ S  m" y( V. a) h" G            }  
        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
3 W) l( H, ]1 G9 e        // 更新dist  
% ~( a9 V* \' R3 W7 J        for(int j=1; j<=n; ++j)  
  J$ y5 A) N) f* H0 x            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
* ^. `9 V1 V; d& D3 R1 E* K; P                int newdist = dist + c[j];  
                if(newdist < dist[j])  
- ~- S% f2 _9 a( {/ ?& e7 P7 @" n9 z. T                {  
' V* u3 r# k+ h; c% m# w                    dist[j] = newdist;  
                    prev[j] = u;  
                }  
3 Z, m6 R2 P# ?  ]; I0 I5 Q            }  
  ~3 E* r0 ?/ l) k    }  
}  
$ B. h4 C+ f2 t0 J( Xvoid searchPath(int *prev,int v, int u)  
{  
    int que[maxnum];  
5 X3 ]( [" m- }7 _1 M6 ]* ?1 h7 F    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
    tot++;  
+ R& l7 \" @0 T: n' y8 B, X/ K    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
, R. ^! {3 q9 E8 e, i' v9 b& {8 _9 i    {  
; B9 O, d) o* `9 r        que[tot] = tmp;  
        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
    }  
    que[tot] = v;  
2 ?! K) D' Q5 U- A0 r4 V    for(int i=tot; i>=1; --i)  
        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
        else  
            cout << que << endl;  
! r5 m( i( ?" O* `1 I8 }7 g}  
3 W) ]7 ]" ]/ P- Y6 N0 I8 J  
, k  B( Q0 F, @8 b1 yint main()  
3 P" p" F: V" b& U8 \! R{  
    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
, S9 H+ z) ~+ E' X- j3 e    // 各数组都从下标1开始  
( o$ Y3 j3 N8 F" H0 j  m    // 输入结点数  
8 Z7 h9 i% ?1 ]/ p7 ^% C3 Q    cin >> n;  
/ }9 e' Y: Y2 T2 a8 z8 r) S( N    // 输入路径数  
    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
4 V8 K7 W2 J  M7 V9 }        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
% ~- X* M6 y8 [    for(int i=1; i<=line; ++i)  
' Q9 m; [' e3 \% |8 U    {  
8 p* r: m1 [# ?6 u# Q# X        cin >> p >> q >> len;  
: p( |+ l! Q1 c3 B2 G        if(len < c[p][q])       // 有重边  
        {  
" d; o( Q) g! h7 C0 J8 T. E            c[p][q] = len;      // p指向q  
" |' j: C( _+ G; A/ }0 \: F2 o' q            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
. O5 E; r4 C( L* Q; D8 j        }  
4 P0 X/ W# }: }; k3 }7 }; v( R/ L0 `    }  
   for(int i=1; i<=n; ++i)  
8 r! k: S( f: y/ d4 h5 I9 r* ]( m8 L& p        dist = maxint;  
6 V, r+ p7 B1 g0 f    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
9 c4 v1 \3 J$ v1 S        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            printf("%-16d", c[j]);  
        printf("\n");  
    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
. d! |* K& ~# R0 @0 m: E" t" x  
//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
( o9 `0 Y0 Y% D$ e* l/ e//    {  
3 H& y" I- c9 s5 |3 C& u. k) L//        printf("%-16d", dist);  
" `9 s- S/ R1 a//    }  
    printf("\n");  
3 R6 g/ T$ t8 q1 d     // 最短路径长度  
( @: y! q/ J! I* R& S: b    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
5 S* |3 U( U" n2 ?8 Z3 H% R. f, E( m    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
2 w+ @& z, S9 C5 H- T- }    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
5 _8 [+ Y9 u, l3 C6 A}  
* Y6 a, \( ^) f6 r3 Z) r  
  g7 R9 I( X7 W/ z, I8 ?  
/*
输入数据:
5
+ \- Y7 n/ g* Q# P6 l! x 7
1 2 10
1 4 30
) F1 H4 Q' m1 d& y- d 1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
9 M5 |; C( m: c3 T 4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
5 Y% {5 [; t+ h- |0 Z- j 100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
, U& ^! I7 J, F/ _& C$ a; O*/
1
5 l5 u' r3 B+ ]3 e/ m, C2
3
4
9 S. l7 X$ ?* y: U5
- ?7 O" Z8 U5 a- J9 [6
  ?: i6 W: ^8 @2 R4 s; O1 h7
% x& M- ~9 p3 r, o& |% t; s/ n8
* F) _/ @4 V9 P" N9
$ w4 q8 A; Q/ f# `10
' w( D( h1 T* y6 ^4 d+ [) O8 B9 \11
2 h2 j  ]/ n2 K  @6 ~12
13
. ?& a& s+ K3 E1 C: \; N: R14
! {, P9 \+ S: k1 H& J' ~15
% Q% ]/ ~; N1 d16
17
18
0 A. X0 x2 T$ q( k19
% V! d8 W" X1 M; i' t  s20
21
0 _( t: X& M  i8 N* B22
23
24
( ]- l9 L5 l/ m6 x" l25
% I0 ^* g1 B! ?9 w' b1 [) o26
. \8 J3 h7 M7 a8 x4 E27
28
29
30
31
# e  L  L7 J7 ^6 `/ j32
33
" v9 P7 |; w+ D) I34
35
36
6 o! _  v+ a6 T  B+ r4 g' V5 G37
38
39
40
41
: m: }" F8 V; c6 X42
9 l8 e4 |2 \( f( |% G: D5 p0 _& k43
44
9 I: D# a; Q. M4 a' p4 y& _45
% Z$ U6 n7 i. b- ^" U46
47
& v; V1 R7 d' s; \9 E% s: @48
49
50
6 ^! `! z' |9 h4 C, r9 o' P; Y51
52
5 {5 u9 t" ^% e$ V53
- ?% {& [/ a5 z. I" D54
, h% \4 `5 a  J0 ?5 i! y55
56
57
58
4 G% F( F0 x3 x0 p59
# E: P* f# F1 m( Z/ r( N1 R/ T60
61
6 \: z7 c3 o) h8 e2 X62
63
64
' j0 x; G) d' ~65
66
67
# t. X0 \2 A! M# R68
69
70
$ t4 ]* m! _/ ^! O. O' W/ n71
) s8 ^: G  v6 ~) E72
73
/ r% f3 }9 c$ U& R/ m+ l74
# w/ ?% B! p; [2 Q; [75
76
4 _& e0 e# G/ s  n3 z$ l77
78
0 w9 _; A+ d/ l6 j5 l79
80
81
. O+ y! B+ ]' q9 C" r82
' v5 I' S6 S" }7 X83
84
85
86
& H0 G: j% O2 }- b1 k# f6 [& g+ v5 S87
% K2 }; a) a' A' P. E) d( b88
: b) d4 O5 A9 _# C( z1 _2 p89
5 P9 A  f. f( e9 ]& h+ |90
91
% O- Z, I3 ?2 M1 ?' b( [9 s92
1 j1 I+ I9 M$ _* W4 {8 B' i93
1 t$ d; K* Z; n1 I* P1 L/ X94
95
96
5 h0 d% x+ f6 m2 n/ J; k' n97
98
99
5 j% q, h% ~* [2 }8 p" U3 w100
101
3 J' s" D& K, e7 I$ `) [102
103
) v1 \3 ~- o+ [# ~) o3 T104
105
$ D( ?  \& v6 @) X6 ]106
5 t. _. S  l/ B9 H( D6 P( C- R107
0 V# r/ W+ y. B5 Z108
  x0 g/ Q* \3 J109
. N; O# N7 _; T' q# t! [5 b6 e110
5 S# l4 B4 b2 {' j# _% t111
112
0 a3 W& J# l# A) D% C; u6 S113
114
  \' H5 {$ Y1 Z( e8 `/ E115
6 e* ^; h7 g4 V9 H6 i3 {116
117
118
  `: T. v+ p4 Z119
& W( F5 G4 I( f# U% u4 ?+ N120
; J. {0 i, t' z. A2 P5 @% _121
: l, R6 s% O3 L% K5 W- r# W122
5 k- Y  ]: A; K7 j, B7 }& g123
- s3 {0 R' [2 N# X, d124
125
/ }" P, f  u) O$ c126
127
128
7 @. ?) |( @9 L5 l129
130
) L, n# y) \3 |131
132
- `2 H' q3 u* R; @) H133
. p, s! l* O# R8 P% X) |7 w134
/ U& g; X' R7 k( l& v( l: ?& l135
  n0 K- |' f% ]136
1 U6 Y  Y* N4 H6 f3 ?- ^7 M137
138
. _% D" [. C; B1 a139
140
4 Q# m1 Q; ?8 _3 R/ z141
142
143
144
145
146

( U+ `# d$ _8 m/ T& x
（2）Floyd算法
#include<iostream>  
) X$ [# Z' I" L( {: c& ]9 G0 d#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
4 I' P: @! }% `#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<fstream>  
' D0 j: H+ g' ^! }  K% |using namespace std;  
' Q7 X7 u' W& }& t2 P) @4 \1 I6 y  
5 u% F# V& H5 |4 J, B//设点与点之间的距离均为double型  
5 X4 M4 f* \- Kdouble INFTY=2147483647;  
! t$ [, F. ~( z% i# Bconst int MAX=1000;  
double dis[MAX][MAX];  
double a[MAX][MAX];  
3 M/ t! i" p# s! I! A: ^6 h. Aint path[MAX][MAX];  
int n,m; //结点个数  
  
void Floyd()  
7 |' x' B, d" `7 S{  
    int i,j,k;  
+ F: R9 @) b0 _% J    for(i=1;i<=n;i++)  
) o9 t/ x& i* ?9 E    {  
        for(j=1;j<=n;j++)  
        {  
* G2 ?5 X: i( k3 i) s/ l            dis[j]=a[j];  
            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
3 |5 \& I% V$ ]* p: e9 h! ~+ X            {  
                path[j]=i;  
$ i* H7 q# w/ V) R. m            }  
; u) m5 m) J7 R" ~; Y! M: m            else  
                path[j]=-1;  
        }  
2 D+ ?$ @2 b& ?3 K, H) y    }  
& f) a! D3 F; Y7 l  
    for(k=1;k<=n;k++)  
: o* |8 ~; C2 {) Q2 z) @1 p    {  
        for(i=1;i<=n;i++)  
4 ^, ~' S) D' J; `4 u        {  
            for(j=1;j<=n;j++)  
            {  
$ k- n8 x( o) d                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
+ d/ w7 c5 H4 G$ A' v- j9 p                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
                }  
            }  
" e* ^+ f9 E4 Y. F0 ]        }  
    }  
& w; S/ U* j6 \# s+ E1 Z6 P}  
  
int main()  
# i1 Z& r" ~" |) \5 A, t{  
    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
& k: y& M6 ?0 M7 r! M& u    double dist;  
9 H6 [" [" p7 Q3 x, F/ u    scanf("%d%d",&n,&m);  
" `- T+ e; Q# Q: U, J$ c! a. |    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
: [$ T( s& Y8 a# R       {  
2 Z! _+ ?+ a) B! P            if(i==j)  
4 [2 ]" j* F3 L: f/ n" g                a[j]=0;  
            else  
                a[j]=INFTY;  
* i  P5 }  R3 P% S5 Y0 i3 y       }  
3 V/ D4 f* w) J6 D2 M& k. R$ l    }  
6 m8 e& B9 T3 o. {    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {  
) I1 D- P6 k  _% C% B7 T. J        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
& v( K* L5 z( o3 j6 y/ a8 ]7 {4 }        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
% G! ]: t0 c% P& Y- F& B    }  
    Floyd();  
% P8 _1 o$ ?8 W1 j( _    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
0 y$ R5 w$ a! t% r            printf("%-12lf",dis[j]);  
       }  
       printf("\n");  
    }  
    return 0;  
% a8 M! V8 {, S) D# m}  
- \+ b2 @7 \$ w& \% ^8 `- y- k1
2
6 i) }& Q" j: a9 ?/ m3
  z" J6 y8 K* \( {2 O! |/ h4
; b+ s# i$ T9 U) {* _5
" ~; Q- E% {4 e6
  c6 F5 w3 {; q+ G7
8
6 J0 J; f, `" d8 o$ c& W4 X1 h9
# m$ l7 ^# o9 H5 V7 l! W( H, J10
' d- A$ g% v" ~3 e/ z. ~( V11
: D" B/ d0 d6 x+ W12
13
14
15
( E& j+ ]% }9 B. Y% q1 @5 [1 N8 q16
6 E: [7 _) i) I) N17
18
19
20
5 [' X+ Y/ ^$ e' u+ Z( l% D21
- M3 G6 P! e1 p6 ]' m22
+ T2 _0 p, p2 N& L+ p# C$ h23
4 Y7 y! m, N0 e5 `) z; y24
0 M' {6 a8 R) w" v9 q25
26
9 ?* x# U0 m1 g( ?. f27
28
- o# Z8 G- {1 E+ M+ `# @29
30
31
* G9 K0 r6 D8 Z9 ^# n/ x32
4 ]4 a; r7 s, q% S" Z33
8 M  B( Q# D6 A4 U! R3 `: c34
35
36
* V& n1 g0 S( c2 ]5 s4 Z' l37
3 N* Z  L! F$ z" ]8 f3 Z7 c38
% a; Q) c( p5 v; t) {# n4 W  v; R4 _& q39
' f( C8 X3 N8 `* S! w$ T, o7 L9 G40
41
42
43
9 L& h1 f) r$ @' J44
# V& U( c4 o& R+ w2 t" F45
46
47
! ^! V, @: f1 _) s; ^# a48
49
6 r5 W; J, \7 y& B50
51
4 ~1 f2 |5 @- b52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
, f$ ^/ O8 |  Q4 E  S& F62
$ ?/ c% Y& s8 K7 X' {( W63
- D- O" s/ {) k9 f, `64
5 n' t3 j6 L" T% k+ B65
66
/ c! D: Y# d* V9 w5 A  f67
68
# m: ^( y9 }+ D; B' y7 a) s2 N69
4 f, I, v' S. J) Q70
  Q( p0 {) I( {. [71
' \7 {( t- S2 Y72
+ K5 c7 A( A9 C  p% X; w( U+ \) ^4 a73
3 m0 E5 w+ X: D! |0 \9 x74
75
76
77
. U% l+ r% i( _) p* u78
! Z) P( M1 Q/ w% H$ i5 E. W79
80
1 z! ~( [) B! q1 b/ I1 m" e9 b81
1 A2 g! f0 u8 z/ N82
83
% I3 R% b% c3 y+ N
9 @* H, N$ ]" {/ F
6 X% H; B9 f2 d0 a$ o0 Y————————————————
( L+ w" V3 T$ Z2 N0 @# G/ v2 e/ W- G版权声明：本文为CSDN博主「跑起来要带风！」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
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