高等代数一道习题分享

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作者：数疯菌

题目：设A是n阶实矩阵, ，且满足：

求证：对于 ,若存在n维列向量 使得 ，则 。

(引：其实满足这样条件的矩阵A的转置 为马尔可夫矩阵，它有性质为：（1） 是其最大的特征值。（2）其余特征值的绝对值小于1.（3） 也是马尔可夫矩阵，且每个元素非负，每列元素和为1，读者可以查找马尔可夫矩阵英文原文献）

证明：首先， ,将第2，3，...n列全部加到第一列，得到：

，第一列提出（ ），则有：

=0，所以A必有特征根 ，

令A= ，则 =

,则每行元素相加，有：

, 所以 每行元素和为1，由数学归纳法，易得： 的每行元素和为1.又因为 ，则有 .

假如 1" style="max-width: 100%; vertical-align: middle; margin-right: 3px; margin-left: 3px; display: inline-block;"> 成立,当k充分大时，上述等式右边向量中元素趋于无穷大，但左边不会趋于无穷大，所以， 1" style="max-width: 100%; vertical-align: middle; margin-right: 3px; margin-left: 3px; display: inline-block;"> 时，等式 不成立，所以假设错误，故而 。

由上题，可以得到推论：若一个矩阵每行和为一个定值K，则这个矩阵必有一个特征值为K。

数疯菌对这个题作出改编：

（原创）改编题目：设A是n阶实矩阵, ，且满足：

求证：对于 ,若存在n维列向量 使得 ，则 。

证明：

令A=

即： , i,j=1,2,...n; ,q=1,2,...n;则 推出：

则有： ，i=1，2，...n;

设M=max{ },则推出： ,即有：

，因为要对任意的 都成立，所以 ,i=1,2,...n;

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