​简单动态模型示例

普大帝

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​问题描述 本章开始提到的魔术，表面看起来很神奇，其实就是一个人人都可以做的化学实验.问题是魔术师是怎么知道变色的时刻.或许魔术师是依据经验，但我们可以应用微分方程精确地计算出变色时间.作为一个简单问题，我们来仔细分析一下微分方程模型是如何建立和求解的.

如图3.2所示，在一个容器里加入粉红色的氯化钴溶液，然后逐滴加入浓盐酸.当氯化钴溶液和浓盐酸的比例分别变成1 ∶ 0.73、1 ∶ 1.07和1 ∶ 1.53时，容器里液体的颜色就会分别变成紫红色、紫色和蓝色.例如，在一个干净的试管里加入0.5mol/L氯化钴溶液3mL，然后逐滴加入浓度为36%的浓盐酸.当加入浓盐酸的体积分别达到2.2mL、3.2mL和4.6mL时，溶液的颜色分别变成上述颜色.舞台上的水箱稍微复杂一些，因为观众并没有发现水箱里的水多出来.事实上水箱中有个隐蔽装置，在上面滴入浓盐酸的同时，下面以同样的速度滴出混合溶液.在实验中，我们用一个较大的容器，先注满粉红色的0.5mol/L的氯化钴溶液.该容器上下各开一个同样大小的口，上下口同时开始以相同的速度开流.上面注入浓盐酸，下面则流出氯化钴和浓盐酸的混合液.那么什么时候是容器里溶液变色的见证奇迹的时刻呢?

图3.2 变色实验示意图

思路分析 我们来分析一下.溶液的体积不变，但容器里氯化钴和浓盐酸的比例一直在变，在一定时间里，它就是一个时间的函数.变化的原因是比例较大的溶液流走，补充以纯的浓盐酸.我们要求的是某时刻的浓盐酸在溶液中的溶液比例，所以不妨设在容器里浓盐酸的含量为未知函数.这个含量的变化率由两个因素决定，一是注入，二是流出.注入的速度已知是个常数.流出的速度也是这个常数，但流出的浓盐酸量却时时刻刻在变化，这个量依赖于该时刻容器里的浓盐酸的含量.这样我们就清楚了这个变化率应满足的关系式.在一个很小的时间段，浓盐酸含量的变化如下.

浓盐酸含量在这个小时间段内的变化=注入的浓盐酸-流出的浓盐酸=注入的溶液的速度×时间段长度-流出的溶液的速度×流出溶液里浓盐酸的浓度×时间段长度

模型建立 现在我们已经做好建模的准备了.我们先用参数代替具体的数据，将上面的关系式用数学式子表达出来.

先设定变量：问题的自变量是时间t；容器里浓盐酸的含量为函数L（t）；容器容量为R（单位为L），开始时容器里的溶液浓盐酸的含量为0；溶液注入和流出的速度均为D（L/min）.然后假设注入后溶液里的浓盐酸立即均匀分布.

从上面分析的结果，取小时刻Δt=t2-t1，用假设的字母，可将文字式翻译成下式

这里在Δt这段小时间段里，我们假定容器里的浓度一直保持着t1时刻的水平，即.然后让Δt趋于零，我们得到一个关于L（t）的一阶常微分方程

以及初始信息

L（0）=0.

这样我们建立了一个数学模型来刻画容器中浓盐酸变化的规律.

模型求解 如果参数D、R都是已知的，那么就可以解出方程

如果知道了D和R的具体的参数，如D=0.1L/min,R=5L，就可以知道各时刻容器中浓盐酸的含量和浓度，从而可以精准预测出此时此刻溶液的颜色.

变色曲线如图3.3所示.换句话说，我们就可以求出溶液从粉红色分别变成紫红色、紫色和蓝色的时间.读者可以自己算一下，也可以自己做个实验进行检验.

图3.3 变色曲线

可以通过颜色变化来估计氯化钴和浓盐酸的混合液的溶液浓度，但很多化学试剂却没有这个性质，不过我们仍然可以通过上述计算来算出特定时刻的化学试剂浓度.

从这个例子可以看出，当一个变化过程的规律已知时，用微分方程的方法建模可以精确地刻画出这个规律.对于其他问题，具体问题需要具体分析，需要请教相关专家，学习人们已经掌握的这方面的规律（包括经验公式）.读者可以通过对大量实际问题的讨论、学习和研究，提高这方面的能力.

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