用MATLAB解线性方程组

普大帝

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设有n个变量，m个方程，方程组的系数矩阵为A，常数项列向量为b，则A为m×n矩阵，b为m×l矩阵，方程组可写为Ax=b

其中x为n个变量构成的列向量，若rank（A）=m，且m=n，则方程有唯一解，称为恰定方程组；设B=（A|b）为增广矩阵，且若rank（A）≠rank（B），则方程组无解，称为超定方程组；rank（A）=rank（B）=r<m，则方程有无穷多组解，称为欠定方程组。若b中元素全为0，称方程组为齐次线性方程组。

齐次线性方程组的求解

对于齐次线性方程组Ax=0，由线性代数知识知，它至少有一零解，若rank（A）<m，则它有无穷多组解。在MATLAB中有一个非常有用的函数B=null（A），它返回了矩阵A的零空间的标准正交基组成的矩阵B，使得BTxB=E，B的列数等于矩阵A的零空间的维数，即B的列向量构成了线性方程组的一组标准正交基础解系。

例：解方程组：

在MATLAB中输入：

因而，原方程组的通解为

其中k1与k2为任意常数。

例5.2.2　求方阵A的含有最多零元素个数的解。

在例5.2.1求解后，运行：

则有

故方程组的通解为

恰定方程组的求解

恰定方程组Ax=b的求解比较简单。一般可用两种方法：一种是利用逆矩阵求解：x=inv（A）b；另一种是用除法求解x=A\b。两种方法的异同点是：算法上都采用Guass消去法，但用除法求解时，无需求A的逆，这样可以很好地保证求解时的计算精度，还能节省大量的计算时间。当然也可以用Cramer法则求解方程组。

比较多种形式求解恰定方程组：

结果为：

由结果可知，用除法耗时最少，大约只有逆矩阵法的1/3，而Cramer法则约是它的85倍；而从误差分析来看，仍然是除法最精确。可见，用除法求解恰定方程组，既省时又精确。值得注意的是，利用逆矩阵inv（A）求解时，若A不是方阵，则要用广义逆pinv（A）来求。

超定方程组的求解

由于超定方程组无解，而在实际应用中，能求得其最小二乘解也是有意义的，这时，方程组的求解仍可用除法和广义逆矩阵法，不过这样求得的解不会满足Ax=b，而是其最小二乘意义下的解，即解x=inv（ATA）ATb。如：

方程组的求解的除法和广义逆矩阵法。

执行后有：

欠定方程组的求解

从理论上说，欠定方程组有无穷多组解。这时，我们仍然可用广义逆矩阵法和矩阵除法求解方程组，但前者所求的解是所有解中范数最小的一个，而后者所求的解是所有解中含零个数最多的一个，因而两种解法的结果一般会有所不同。但它们求出的解是所有解系中的一个特解，要求其通解，则先解其对应的齐次方程的通解，然后再加上自身的一个特解即可。值得注意的是，用除法求解欠定方程组时，会提出警告，并给出系数矩阵的秩，但警告并不会影响方程求解，如用除法求解欠定方程组Ax=b。

结果显示：

故方程组的通解为

或

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