用MATLAB求矩阵特征值与特征向量

普大帝

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特征值与特征向量是线性代数中一个非常重要的概念，在工农业生产实际问题的求解中有着广泛的应用。

求矩阵的特征值与特征向量

特征值λ与特征向量x满足关系Ax=λx，而对于矩阵A和B，其广义特征值λ与广义特征向量x满足关系Ax=λBx，这里A与B为同阶方阵。在MATLAB中可用表函数求矩阵的特征值与特征向量。

求矩阵的MATLAB命令

求矩阵

的所有特征值及特征向量。

解：在命令窗口输入以下命令：

结果返回特征向量矩阵v和特征值矩阵d，其中d为对角阵。

求矩阵A的特征向量和特征值。

若将eig（A）换成eig（A，B），则返回广义特征值与特征向量，且满足Av=Bvd，各特征向量的范数为1。若B可逆，则广义特征值问题等价于求inv（B）A的常义特征值问题。

矩阵的对角化

下述函数用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0。

例：矩阵对角化。

当一个矩阵可对角化时，用该矩阵的特征向量P得到对角化后的矩阵，即特征值矩阵，这里P是可逆的，且inv（P）AP为特征矩阵。

实对称矩阵都是可对角化的，并且存在正交矩阵Q，使得inv（Q）AQ为对角阵，这里Q可由特征向量阵正交规范化得到。事实上，对于实对称矩阵A来说eig（A）返回的特征向量就是正交矩阵。如：

例：实对称矩阵的对角化，输入D=[0　1　1-1；1　0-1　1；1-1　0　1；-11　1　0]然后运行以下li5_3_4.m函数程序。

结果显示为：

输入的矩阵能对角化。

小行星轨道方程问题的模型求解

用MATLAB软件求解，即利用命令A\b来求解，其中系数矩阵和常数向量分别为

计算结果为：x=[0.0507　-0.0351　0.0381　-0.2265　0.1321]

因此小行星的轨线方程为

0.0507x2-0.0351xy+0.0381y2-0.2265x+0.1321y+1=0

小行星轨道曲线的绘制

1）将椭圆的方程写成矩阵形式：

然后利用变量代换（平移变换和旋转变换）化为椭圆的标准方程。

首先利用平移变换消去一次项。令

x=x0+ξ，y=y0+η

其中，x0，y0待定。将它代入式整理得

其中，F=a1x0+2a2x0y0+a3y0+2a4x0+2a5y0+1。要简化消去一次项，只需选择x0，y0使上述方程含ξ，η的项为零，故令x0，y0满足方程组

求解得　　x0=2.7213，y0=2.4234

将它代入式（5-3-2），则平移变换后方程为

其中，F=3.2488。

再旋转（正交）变换化椭圆标准形，令

利用MATLAB命令eig可以求出其特征值

λ1=-0.1694，λ2=-0.5502

和特征向量

显然特征向量ξ1，ξ2是两个互相正交的

单位向量，故构造正交变换

将式（5-3-4）代入式（5-3-3），可将二次型化为标准型，从而得到椭圆的标准形方程

其中，a=4.3799，b=2.4299分别为椭圆的半长轴和短半轴。由此得到参数方程

2）椭圆图形的绘制：

利用参数方程式（5-3-5）计算出变量u，v的离散数据，然后通过旋转变换和平移变换

将其还原为原始变量的坐标x，y的数据，可以绘出图5-3-1，图中“*”表示观测所得的5个数据点所在的位置

MATLAB程序如下：

程序运行后，将绘出模拟小行星运动的动态图形。

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