模拟退火解决0-1背包问题

2744557306

0-1背包问题是一种经典的组合优化问题，其目标是在给定的一组物品中，选择一些物品放入容量有限的背包中，使得所选物品的总价值最大化，同时保持背包不超过其容量限制。

具体来说，0-1背包问题中每个物品有两个选择：要么选择将物品放入背包中，要么选择不放入背包中，不能选择部分放入。每个物品有两个属性：价值和重量。背包有一个容量限制，即可以容纳的总重量。

问题的数学描述如下：
给定n个物品，每个物品i有一个价值vi和重量wi，背包的容量为W。要找到一个选择向量x=(x1, x2, …, xn)，其中xi表示是否选择将物品i放入背包中（xi=1表示选择放入，xi=0表示不放入），使得目标函数
" H; ~1 y! }# }5 j7 C∑(vi * xi)最大化（0 ≤ i ≤ n）。
1 A6 c/ v$ e. l2 N6 p同时需要满足约束条件：
∑(wi * xi) ≤ W。

在文章中物体的重量和价值分别如下：
重量（d）：[2; 5; 18; 3; 2; 5; 10; 4; 11; 7; 14; 6]

价值（k）：[-5; -10; -13; -4; -3; -11; -13; -10; -8; -16; -7; -4]

其中，重量和价值的对应关系是根据物品的顺序确定的，即第一个物品的重量为2，价值为-5。依此类推，最后一个物品的重量为6，价值为-4。

该背包问题的背包容量限制为46

下面是对代码的解读：
" W" ^- b6 R5 }6 r8 ~9 ~

• 首先进行数据初始化，包括物品的价值k和重量d，背包的限制条件restriction，以及物品数量num。
• 定义模拟退火需要用到的变量，包括当前解对应的目标函数值E_current，最优解的目标函数值E_best，当前解sol_current，最优解sol_best等。
• 设置模拟退火算法的参数，包括初始温度t0，最终温度tf，温度衰减系数a。
• 进行模拟退火的迭代过程。在每个温度下，进行一定次数的迭代（这里是100次），每次迭代生成一个新解sol_new。
• 对新解进行检查是否满足约束条件。如果不满足，则根据一定规则进行调整，使得解满足约束条件。
• 计算新解的目标函数值E_new，即背包中物品的总价值。
• 根据模拟退火的策略，更新当前解和最优解。如果新解的目标函数值更优，则更新当前解和最优解；否则，根据一定概率接受差解，或者保持当前解不变。
• 降低温度t，继续下一轮迭代，直到达到最终温度tf。
• 输出得到的最优解sol_best，物品总价值val以及背包中物品的重量（sol_best * d）。
  
  ; k7 \: l9 j6 U2 o, k" U$ G

对于该问题的代码如下：
1 O8 {" U. ?, S
1 g- k, r# `5 C" e% e
/ {1 x: s3 y9 s) Y2 s
$ }1 P, I3 f7 w) d  a