自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
9 T: [( s9 V0 ^9 g0 @函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
- X8 q8 z  B! Y+ D, F+ P- Y3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
& G  X. \6 H" P1 H; u- }
这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应# _0 d6 |! G% U; d  X
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) % \( ^7 w: X2 M4 w\" A
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   4 ?& Q' I, S% t+ R# M* k* T
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   ; b0 O* x% ~. Y\" W
5. 
   / E\" K) J4 K# K0 L. C# V8 `; `& m
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解- `8 i  G7 b# o* ^, j/ D
   
7. k1=f(x1,y1);8 y0 I& U; b( Y( Q
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);! K  t! t+ x. a
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   + V4 @2 \4 @  c8 }
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);+ K\" I7 |8 `: u1 n- P5 D
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;/ O3 B* k# I/ {: r: r
    
12. ! o. P% d4 N4 T$ O8 K
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解8 M, d; d. W' b4 W
    
14. h=h/2;' Z+ @; X, V/ H' u7 u6 M
    
15. 
    2 }# E, B/ z$ g
16. for i=1:24 o) S8 D. l2 u# R' s% P+ t1 F
    
17. k1=f(u1,v1);' {# D\" n\" r9 c3 g  s( ]5 b0 ~
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);# E$ T\" [5 e* t
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    3 ?/ b- X5 @5 f\" Q9 p
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);+ S1 U# s' Z/ f\" s& `/ _/ q
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;) |) `! d  X* @1 L
    
22. u2=u1+h;\" [8 R* G9 Q5 \, ]
    
23. u1=u2;: |8 X( I8 H; N. y& M
    
24. v1=v2;
    ; ]; }' u9 w! z0 X! g  y) `
25. end
    # z( D+ C1 M  O6 m& J\" p; {
26. 
    ' P6 N0 ^- a/ u0 j, G/ l4 V$ M
27. err=abs(y2-v2)+ }7 S2 N; p. C! G$ }
    
28. 
    6 V; K. J+ [+ p- j

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