自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
. A- i0 B: F' D, q7 Q) |函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
& T/ ?3 \7 N; h# g0 U& R+ l% p函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：
3 l2 {# V: }+ d$ U+ x7 w5 Q# a
$ C6 F0 B/ Z2 |) R7 V1 K# h0 I1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
, ~) o: K4 G8 M# A% M2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
$ I* X: z5 }, b5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   $ ^5 T5 i! M1 d7 L2 E, v
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   ; s3 B. {$ ^9 C\" h' F9 F% k/ \
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   . G1 K; W\" u1 Q9 y% E: p; }
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用( u5 S9 ]/ |% N% w. T
   
5. 
   6 q7 H9 ]  L8 V& D' f( [
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   ( F# f\" L% G* U- V
7. k1=f(x1,y1);
   1 x- j8 f; ^6 G1 P\" F, a
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   & L* I8 F, K: Y0 l: ?2 N
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);( U\" X+ V6 ]' T# U
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    1 [% E6 r+ W+ w' \
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    \" s6 t0 E+ L5 w2 u' K* y
12. 
    4 q0 Y6 ]+ R& P2 i, Z: H$ b
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解1 Y7 R7 l7 ?9 Y4 H- F; M( r1 |
    
14. h=h/2;+ h& _2 `+ A8 q* _8 `$ s) n8 [1 b+ z
    
15. * X8 u  ~$ b+ {2 _& u. ]( j
    
16. for i=1:2
    + H0 v\" U$ z( c: C
17. k1=f(u1,v1);
    : M6 W8 r4 X. G! H
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);6 S  a. L( E\" x' a: X
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    4 K( Q+ L+ e0 ]
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);1 z: |) c5 F/ k1 e4 j3 Q
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;6 r) x2 Z* A7 n+ D+ F# U
    
22. u2=u1+h;
    . i  j) t\" w% o. U5 }) y1 m7 ~9 _
23. u1=u2;
    ; Y! f# W  b7 f1 D1 ]! B) q
24. v1=v2;
    8 p) c3 n6 Z* B8 ~5 n
25. end9 V( z/ X: J& S
    
26. 
    * f8 s3 n8 h. f3 V
27. err=abs(y2-v2)6 q0 R) a3 K& x. J; Y  Z7 T3 k$ P3 l& V
    
28. ' s% V' J, L+ \8 n# i) u- f
    

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