自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
' h9 Q5 N( V8 N4 u3 g$ v# T% i函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
" m  i' u+ F1 ~' H" \1 D& U2 x函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
2 o+ o$ X' \: G  J4 u3 Z4 x函数的主要步骤如下：
3 |7 l: w( h1 p; |9 P  x& l; p8 {
1 v; ]2 ~( S6 E4 @, P; [; ^1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
3 K$ C& ?- e; O  G9 R5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应0 b; Y+ T& y0 Q; X) J# q0 {) D7 c
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) 9 L7 o: j0 |2 x
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   8 n+ A; w3 n1 H\" [: v5 x
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   & ~  b: C+ l4 ^/ g; q1 A
5. : f7 s9 H& f$ z; s. K
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   # h: x: M2 D, V& V: z
7. k1=f(x1,y1);! d& c3 s/ W3 L8 W6 c
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   2 u- w3 @$ Q, m) y6 z
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
     H% m( A# a; b
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);\" R! Z; [1 X; z$ r3 L4 O$ G
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;8 O$ R$ g. F5 k
    
12. 
    , F1 J; T% y2 f5 E* G3 g
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解- M8 p% q\" D  H\" j  w5 T7 w- |4 M0 B, r7 `
    
14. h=h/2;
    * f: E7 Z, W, R) y  j
15. \" u- v$ Q% H9 P  a9 H) m' W
    
16. for i=1:2
    % A\" K2 z. ]- r3 P
17. k1=f(u1,v1);. Q4 m* V6 I, g
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);! k) U9 @, y& ?; I4 D3 x
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    9 L' x! \; Z4 R
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    \" r$ c\" V* C9 N# O1 u% ?& Z
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;: j0 p7 R3 J2 E1 x# C% Y6 v9 b9 B
    
22. u2=u1+h;/ _/ H# T\" w4 `$ a
    
23. u1=u2;
    . f/ c$ q$ v6 _* Z# M5 L3 m
24. v1=v2;5 D( T! }$ m9 O9 [% L
    
25. end
    - R0 z$ T# }% p) c
26. - Q+ z9 [: F5 e2 [& Z
    
27. err=abs(y2-v2): n) |- d* T9 m6 y! ~1 |
    
28. 4 k6 H0 M3 o; R2 \2 P3 `$ X% G
    

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