自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
2 ~3 B4 g  x/ G* |1 r0 w- |* q& M+ `函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
, W4 D1 S1 `4 v, y函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
* J3 V4 K! _8 y7 v/ Y7 U" |" w5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

# x" Y( r6 H1 F# ]) G这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应- p% b4 R* s8 u& R4 l
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   , ]* \+ L* o' T8 U5 S( Z
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用+ K* T\" ]! P- \; x6 K1 Y2 I# k% b* }
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   $ M. O# z4 m\" m8 a1 T
5. 
   ; ~' S4 u$ n: i2 l% t8 l2 a
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解! J& C! B* o: H$ b
   
7. k1=f(x1,y1);
   % W! x- }1 ^7 d9 x4 p
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   , ]* }; T$ _) c
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   3 q/ J  S9 l, I; d) g. W
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    . }  {, j/ d4 y. u\" R5 R3 t
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;: y0 B- ^6 K0 t\" q+ w/ ?
    
12. 
    ; Q. d% k7 A6 j\" P7 C8 S
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解: A\" {/ g\" l0 c; t
    
14. h=h/2;/ x4 T3 Q3 a\" P, Q& ~! W
    
15. 
    - Q; k7 l( |- k
16. for i=1:2  H7 N4 n/ t( Q$ |# `9 f
    
17. k1=f(u1,v1);* V; ^( a: u+ [/ J; V
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    ' }( P% U* A6 B7 y  B- Z
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    ! z\" G. a6 j8 d5 O8 T/ n
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    \" M3 V( z* P, r
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    ' z$ t, k, G$ D4 W7 H4 u' ]
22. u2=u1+h;+ A# O. F# V  \2 o( F
    
23. u1=u2;+ Q% H4 f: ~# b; A
    
24. v1=v2;& K. t7 i# K2 F
    
25. end+ C. _! _1 W* H
    
26. 
    \" N% u$ w3 p0 a\" o' E7 w) e
27. err=abs(y2-v2)
    ( V3 m$ \* V; {! Z. u
28. 
    0 T' c; {$ W/ Q

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