自适应步长的龙格库塔算法

2744557306

这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
1 {' T9 ?! ]$ Q0 j) u3 Y5 |函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：
4 G; e5 f# ~2 T% t/ y* E  I
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
  H8 R, l4 m" q/ ]6 O9 |! B2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3 U* i* t/ [- g+ a8 S' e3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
' G" `, F  H1 P. I; ^
9 N5 E8 z9 K' x" X8 s2 Y这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   , h9 d+ ^/ f0 R& W$ h
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) - i' {  J; i+ Y# A
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用; F  @8 j+ A+ S8 S# f( t
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用% z/ v9 ]; b6 K; c
   
5. 
   # a- J# T/ r/ a( n! u  p5 z
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   / s9 j\" z7 q) y$ e
7. k1=f(x1,y1);: J2 R: L& t' ^$ z0 `! m8 e
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);: K4 u% x\" ~7 u\" D0 Q& c9 W
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);3 z, Z1 u9 n9 u4 V7 N1 a
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);2 [. }; f\" P- L9 u
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    . q3 p( k) q4 R) ?1 h6 H
12. 4 u& m/ P# C8 U8 c# H
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解2 M- s# S: F9 _% r# ^6 j% g! x
    
14. h=h/2;
    + ^( K6 a9 s! B% Q
15. - Z; w) s\" i( I) P8 z0 y  ?3 f
    
16. for i=1:20 Z3 J2 F4 O2 D
    
17. k1=f(u1,v1);
    ; ]5 U5 q# h4 @( g: W
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);( }. J5 n% S7 g\" h
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    : u- X& d\" P) U1 a+ Q
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    % ^: l2 N3 \9 u7 R6 z4 z$ J
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;7 o, V& B& p  D# c
    
22. u2=u1+h;8 B+ f6 ?7 a: ?0 ?: t
    
23. u1=u2;( L4 ?\" c6 {6 o; o* c
    
24. v1=v2;
    8 u' \' J6 M3 f' R5 U& Z5 g
25. end
    : v9 _- t% r+ `2 _. l
26. 
    * N$ u/ I+ J4 b1 b
27. err=abs(y2-v2)+ f\" n& U; C$ c6 z7 U
    
28. * b$ P; D( [) H' `/ y, ^
    

复制代码