自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
- j$ ~9 ~2 o4 C/ G& X函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
) v' {- s2 t8 N% |) a函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：
8 q# b9 F% ~2 J! p6 e0 ?- f
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
9 N  @* G& g) A- a4 w3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
- ~: ~, W' t3 d$ ?, E6 ^5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   ! B+ i- {% ~/ R' O! Y$ D
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   ' Y+ w! g) X- Q+ v# u9 L4 G+ v
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   3 a  Z6 C; _: q\" f
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用7 k4 A% Y$ x\" H. x& u$ {7 C
   
5. 
   7 h8 B4 T# ?  c1 {$ i
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解! w5 c. c* ~& t2 q2 q; Q1 z
   
7. k1=f(x1,y1);
   1 b3 l8 `( r& j2 c4 u$ V
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);* u6 s5 c: P2 |0 ?. f& S
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   ( y, B3 E* \% ?6 r) d4 y
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);4 v# u+ f7 O( @0 E8 Y7 b9 ^
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    2 \' m9 q! ^: U3 o& I8 K
12. 
    ; h2 J! }9 X2 |; F3 N
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解( O3 Y; Y$ _; F3 T: {
    
14. h=h/2;\" a4 s% c. V+ {! J8 L! y9 ~1 ?& J  D
    
15. 
    1 c5 ^7 ?# S5 p; B1 X9 {
16. for i=1:2. U* K: M; ?4 l, m5 A
    
17. k1=f(u1,v1);
    \" q5 P\" A! B# Q) w3 D. d
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    4 J8 c6 I4 b0 k, ~# d7 Y: i) C\" I, S
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    / @+ G# t8 n; z7 G1 W) W9 q
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    ! f$ o* p  @9 T( w+ J0 {, P- u
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;8 n8 j+ O3 {: R% l4 v
    
22. u2=u1+h;
    $ w$ ~# \4 b# l( Z' M
23. u1=u2;8 a( c9 l$ X4 e# _
    
24. v1=v2;
    , ?' F. o  Z8 ~5 q9 ^
25. end
    ' L% N. [& K: Z\" a7 H0 W\" }
26. 
    4 L( B1 L- u  d% V4 D' [  S8 J
27. err=abs(y2-v2)9 C4 x8 F* S) h. [
    
28. 
    * ^/ V& U- C2 j% W: n

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