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matlab实现解决空间上的温度分布

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发表于 2023-12-30 19:57 |只看该作者 |倒序浏览

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这段 MATLAB 代码实现了一个求解一维热传导方程的显式差分方法。该方程描述了空间上的温度分布随时间的演变。
以下是代码的主要部分解释：

1.a 和 b：空间区域的起始和结束点。
2.m：空间网格的数量。
3.T：模拟的总时间。
4.N：时间步数。
5.af：空间步长和时间步长的比率。
6.f：表示初始条件的匿名函数，这里是 (f(x) = \sin(\pi x))。
7.h 和 k：空间和时间步长。
8.lmd：数值参数，与差分方程中的空间和时间步长有关。
9.x：在区间 ([a, b]) 上生成的空间网格点。
10.初始化向量 u，用于存储每个空间点在不同时间步的温度。
11.使用初始条件 (f(x)) 给 u 赋初值。
12.空间差分的系数 l 和 v 的初始化。
13.时间步进循环，其中使用显式差分方法更新空间网格上的温度分布。
14.计算真实解 true，这是通过解析解公式 (e^{-\pi^2 T} \sin(\pi x)) 计算得到的。
15.计算数值解与真实解之间的误差，并将结果打印输出。

这段代码的目的是模拟热传导问题，并比较数值解与解析解之间的差异。输出包含每个空间点的位置 (x)，数值解 u，真实解 true 以及它们之间的误差。

close all;
# i% P\" P* n, r8 s, B
clear all;
, W7 K/ e\" q\" ^! D6 d/ }3 ]7 t
a=0;b=1;m=10;T=0.5;N=50;af=1;4 H9 `% I9 P( T8 ?
f=inline('sin(pi*x)','x');: K# J( t, f) S1 i5 E
h=(b-a)/m;
\" |* c: ]# C: h7 \0 q
k=T/N;6 q9 ]) i5 j7 u: a9 D5 c
lmd=af^2*k/h^2;' h! P4 b, k# e- y- ]
x=linspace(a,b,m+1);: |: Q$ c) V9 o# Z* `
x=x(2:m+1);5 C5 G\" }# @0 a: x% `
u(m)=0;2 J! f: ^\" q2 ]! h- y/ K
for i=1:m-1
' Z) I' B' M; s: x
u(i)=f(i*h);. ^0 Z; S1 I; B: @\" Q
end
# i8 q3 q$ A: o9 K8 S& w8 _
l(1)=1+lmd;\" \) I$ _* {1 M2 s% N+ e) k\" o8 w
v(1)=-lmd/(2*l(1));5 Q, g i* V' B* E3 v. q p: l
for i=2:m-2
{8 B8 R) n8 z- {( L3 |\" R- `
l(i)=1+lmd+lmd*v(i-1)/2;
# u8 a$ ?\" j7 H4 z1 ]5 s0 X\" }5 g
v(i)=-lmd/(2*l(i));' _ M7 E2 R8 [\" W7 m# F\" F8 |
end( d+ S0 ~4 j! S
l(m-1)=1+lmd+lmd*v(m-2)/2;$ B\" [) S: [: L2 g
for j=1:N, H& I! [- r\" I `4 q/ X, I% Z0 u\" H
t=j*k;- [6 V6 c0 e/ r5 q
z(1)=[(1-lmd)*u(1)+lmd*u(2)/2]/l(1);5 z\" s+ ?9 N# \$ `$ K5 b' {
for i=2:m-1' |+ x A; u7 j% O4 S8 G1 \
z(i)=((1-lmd)*u(i)+lmd*(u(i+1)+u(i-1)+z(i-1))/2)/l(i);
\" c8 c, S0 V4 j: r( n\" i+ K
end
% g% _, H y+ j
u(m-1)=z(m-1);7 j\" A$ |6 X/ Z3 k; N$ z2 U
for i=m-2:-1:1
C% |& J7 K( N1 a# s: x( E
u(i)=z(i)-v(i)*u(i+1);
/ m8 M+ ?( h( w' u2 f9 E! ]
end
# g/ Z+ B9 I& t: [# E0 I0 E/ h
end
9 x- m' ^7 P$ p3 g. z& j1 c
true=exp(-pi^2*T).*sin(pi*x);
0 M2 ]; A) e l( N5 m3 x! ~
error=abs(u'-true');
2 |. u- O5 r) F* v+ ]
re=[x' u' true' error]
X, X8 P& T, N- H! m
( Q9 t# Z5 i. U' o7 U! V1 ?9 q3 E
9 |; M- V; Q4 D, K7 A' o