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Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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发表于 2024-1-3 09:57 |只看该作者 |倒序浏览

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
# \\" O' {+ h- Q8 D
) O4 `3 U1 }4 F5 o6 L
for i = 2:n- z2 h2 s% F$ Q0 _6 |
. _. | I! C7 p0 J* C* p( ^# h
l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);, u0 m! ^1 [$ ~1 @0 P
8 F! ?7 d) p2 M; Y2 ^0 L
end4 s* U' {$ I0 `) {- X% o
/ }& F) O8 U; d3 u1 a: @
) x* L) X5 P. m; g5 d* K9 t( a
0 D\" }4 l5 ~; |) M' e/ V
for j = 2:n' o7 b2 V% o' M9 r8 g H9 Y
: E5 l# ~/ I# u# E
sum1 = 0;$ S+ U% R! \* T4 v# @2 `6 G
- j2 m/ @( W5 [0 X. \8 Y- r
for k = 1:j-1
4 z& X O- F) X9 \
' l8 Q, F2 [( ?6 s
sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);\" t# H7 b5 Q \5 P+ o3 E* B
\" [/ P$ U' ?+ L( ^5 _
end
$ f0 _4 z8 M1 F( Y\" Y
. g3 q2 c7 _8 E+ @
l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1); a# |/ S+ C. O% ~9 T# ~) o
+ c. Q6 e' [; c3 x L3 x6 @
$ B5 w0 ^) f8 }# P6 j
; R; V. f+ i6 J! b) t
for i = j+1:n: d) ]. M& F4 Q4 q\" j
2 I1 A\" N# q7 r( P9 V
sum2 = 0;3 E& z3 l1 F: x; \
! }8 m/ s+ N+ ^7 W
for k = 1:j-1
. n }9 L8 M+ t( f# o( ~2 E
; O/ v% S. b$ u4 f0 G! Q& S
sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
. K( a& ]: N0 } }- F
/ L9 c( h/ y& l0 [
end4 u1 N1 A! J% {
\" n2 s9 J# S9 ^+ F
l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);$ g, b0 ?4 k' a5 u; D
1 Y& u\" t) N7 D& M
end
' H1 u! o8 p( o$ |1 {# {
, G g% t7 k2 ~5 L
end

复制代码

在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

y(1) = b(1) / l(1, 1);) U# C) A* B; y+ `1 Y6 a* d
/ f% A# ?9 n+ a, F* S: M. j8 N
for i = 2:n
2 M& O, G\" {) v7 k, \9 k
) I* k0 D! _* K m3 T* i
sum3 = 0;( Y! M$ i. h/ O: B5 e- M7 h4 _
9 B9 s* l1 x D- ] M8 t' W# h
for k = 1:i-1
+ z! } B/ t9 E& R! x( h
+ v+ y# Z8 ?/ ]2 T6 ]
sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);& d' g) ` R- G: W3 P! }7 M6 A
5 M8 o7 a. ~( I+ m7 T& N' v
end
4 p9 C! _( ~4 d
9 a9 d# F5 I$ [$ B3 V; w4 ]3 _
y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);% i& l$ U# n6 K! J8 o; N
) O; N: N ^% Z
end

复制代码

4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

x(n) = y(n) / l(n, n);
! v. |% W) T* u) t* A- ?
( o- K5 J+ \6 W7 T
for i = n-1:-1:1
& T9 \+ b( f# g9 w5 E- b5 C; |
}; V/ d: r* t# h
sum4 = 0;5 t6 U, }8 B9 |8 N) T L- z
. J+ L# z' M+ b( k* {3 H
for k = i+1:n7 c; G5 O' \! e
; d5 n( t9 e: W) H
sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
8 [: f& B7 E( c8 j
- `9 ^ Z, c2 I2 c K
end
% O) }2 v* t* P6 w: D, @
* U) Q: m# |/ e3 p( _
x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
7 v; \0 Q# Q7 O; H) \1 r
( k j8 l! T+ _) f
end

复制代码

这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

5.Cholesky 分解：