Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

2744557306

这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));5 ?: r: V* T\" V8 E; s. p. w( P
   
2. 8 h9 v8 y: {2 ?7 k  N0 E* L# a
   
3.    for i = 2:n$ N) z' f4 h3 e7 m* ]1 s3 j4 v
   
4.   U1 ?: j1 D0 C7 Z6 J: k( J* P; x, |
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);  G6 W6 @  G4 P3 f
   
6. 
   + X. J6 m* A4 r' x: o
7.    end4 h' n4 U; F% Z% H) {9 I. @1 k
   
8. 
     W8 u2 m* z: `8 a% F
9. 
   * t2 N) s# S7 Z9 N$ m1 o' g( w
10. ' l/ h  D  X. D' M- Z+ y
    
11.    for j = 2:n9 U- [7 B5 c# L' J1 J
    
12. 
    ' @- f) f  l5 x. {7 B& l) \# s
13.        sum1 = 0;
    ; F# @\" p8 \# e+ |
14. 0 r) h: p- G\" K  S+ @7 b
    
15.        for k = 1:j-1+ Q8 ]* [+ ^' p  G: y/ Z
    
16. 
    ( j\" r9 }+ C  f
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    % ?5 i- F# J3 ]7 p5 A2 U* G
18. 8 J# Q+ C5 r% d! t( I8 t
    
19.        end
    - i, P- w! W  A9 C  n( o8 c, K
20. 
    6 U5 S- z0 H' h3 g5 M- \
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);4 b3 Z- C/ ^/ E0 n, _
    
22. $ }8 o3 p) h3 \\" R) [
    
23. 
    / [: E/ H: \2 }* S6 M
24. 
    \" y5 L6 f: J. h0 k! A4 c2 T* ], o
25.        for i = j+1:n# ?2 g* K4 v$ Q
    
26. 
    - R& ^7 E, }- F! w/ K+ f
27.            sum2 = 0;) g  R9 J$ j, {0 N
    
28. 
    0 V3 q2 Q. x, u
29.            for k = 1:j-12 G! \\" S* R+ E9 h4 Y  x/ T7 q
    
30. 7 c! g0 S7 g  J4 F7 g
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    6 o/ ?! j, K1 V  l\" p
32. 4 z: {. c. x+ v3 p
    
33.            end! D) d4 P! s% }# q/ d/ e' C; `3 S6 [
    
34. * f! [, m1 I& I1 _# J
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);( t3 N6 a2 D8 b6 I; e
    
36. 4 `; ^! I' l% I5 t
    
37.        end
    , p* k& t8 N* Y2 @: X
38. / |4 P1 U& u% T: t$ E0 i
    
39.    end

复制代码

在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
; A& B+ t0 e  g, H8 V, l
3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);
   0 H7 O3 _* p' ^7 r0 C+ N: {
2. 
     O8 T  r- K6 {, n5 D% n1 ^
3.    for i = 2:n) e; W* c' k, K8 L8 J) ^
   
4. - V\" h8 W! O$ N
   
5.        sum3 = 0;
   / p& M3 P2 Z/ U. T\" b) M( W. q$ [8 H
6. 
   9 Y) v! [& G1 }% m% v5 ~6 t# H5 |
7.        for k = 1:i-18 k! i6 {1 v& E+ ?
   
8. & d- x7 m+ `3 B9 g
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);* |+ S- Q% S% G3 ~9 w, W0 l
   
10. 4 o+ X7 z3 T' t# G
    
11.        end
    : X. S7 _5 e% \/ n% V; ~
12. % J0 v, H6 `* `
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    ; P8 O! ]+ S( |6 z( C& R
14.   K5 f: j8 u( s
    
15.    end

复制代码

4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);, Q# k- b7 T+ A, e
   
2. 
   : b* L7 M( z. Y7 b( i
3.    for i = n-1:-1:1
   ! R+ K. X+ _9 Y+ j2 M* k
4. 
   ) A7 S$ d2 C  E. W( _
5.        sum4 = 0;
     v+ j, A0 i* C1 E  ?/ T
6. 
   4 M2 U, I3 w& v- `
7.        for k = i+1:n) W* d' t/ p& i. W9 B4 @
   
8. ( j( V  e  k5 e, O
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);0 T7 H. U/ O+ L) j
   
10. 
    8 T7 ~' H8 z' w/ C7 Z& `  W9 ~% ]
11.        end
    4 l; v* {2 o. o' \( {5 ]
12. 
    7 t& f. I8 S/ s+ U1 T
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);- o$ Q5 ^8 z3 }1 p) e  v2 s% U\" x
    
14. 
    # g- |, h, h' n' v& l. g
15.    end

复制代码

这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

7 _% b, f7 Q/ _9 @4 |: C# w* H5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   / J2 G9 L9 J$ T
2. 
   , S. R% s% H1 b9 N  b  W+ b7 k
3.    for i = 2:n
   * e1 {  G  s% M& @
4. 8 K( V5 ?9 A# o6 |* M\" ?$ g, ~$ l* _
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);& g3 @' ?  q$ ^9 G\" e' A
   
6. - s/ R( a( y/ c- o* e
   
7.    end/ t6 d1 [+ H: h* D* N3 ~: \9 p2 O: j
   
8. 
   7 {  R. M: B+ x& u
9. 5 h0 \/ B9 K& O8 Q
   
10. $ O+ j  f  {: p+ G
    
11.    for j = 2:n
    & x. v% L4 W0 q% N
12. 
    ) f2 s; h  B! m1 p% s
13.        sum1 = 0;
    # e2 L\" G\" K* C5 p\" ]4 m
14. \" _2 I5 w9 c- B
    
15.        for k = 1:j-13 O/ \9 q/ A, M' A/ H' f& S
    
16. 
    2 s  }\" z1 R2 i- F' h
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);( J# z# n4 V  l3 P4 ~/ G
    
18. + G  G4 \3 Z  ]2 z5 U* g8 @1 @
    
19.        end\" Z; N; C7 w# m- c7 w. S
    
20. + a4 S8 G3 D  q+ C+ m  F
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    ; r. o* ^2 ]! `; I- H
22. $ A. J% S  J- q6 y
    
23. 6 a2 {! s# d6 D1 S8 f9 @. S7 N
    
24. : z, T( O/ n! Z) _* K
    
25.        for i = j+1:n2 N4 k9 W4 X5 Z; A1 C) [/ B  A4 L6 T5 p
    
26. 4 P! R% d  y\" T: N# s4 x7 q
    
27.            sum2 = 0;
    6 T: X$ y7 Q) W- r
28. 8 x2 O3 T3 l$ x+ j. \  ]+ ?
    
29.            for k = 1:j-1
    0 o0 m! H9 s! ]' e0 U# W6 o
30. 
    3 w- r; a\" S8 r4 f$ j7 @
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);6 v7 {# ?) p; f\" o  `3 I
    
32. 
    - z8 Q3 l# N1 k  ~
33.            end
    ; G) `3 ^8 y. z# b4 |
34. . k( j% N7 p3 Q3 S  ^  F
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);7 K8 L3 {/ \5 x
    
36. + P) m. N/ f3 ]7 n. t; A2 d6 |
    
37.        end2 @' b2 c) Q5 c6 c  G& e9 i, f
    
38. . p% W1 a, A8 C7 R% O
    
39.    end

复制代码

在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
) S- i3 a# F5 i$ J" o/ ^
6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);( k) N9 v: v% A7 ?# \8 Q
   
2. ( m- A# q\" \& n& X! k  |4 ]4 i: S/ P( Y5 t
   
3.    for i = 2:n
   7 [  f1 j\" c/ Q7 m
4. + ?. i& f9 R+ {) q4 D& Z* d* a3 X% S
   
5.        sum3 = 0;
   % L- o: x2 t/ L* u  r# g3 K\" o5 I
6. 
   ' S& d& {: w8 ^
7.        for k = 1:i-1
   3 c$ H. s7 h4 b5 T* F4 W
8. 7 h0 Y\" R  C6 a2 b, X$ {: c
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   5 w; G: k; i6 t
10. - d\" f6 }; y! @6 n* q9 s& b
    
11.        end. Y1 g% w3 i0 t
    
12. 3 F5 K( Y% H% h
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);% S\" t+ Q3 U6 ~6 ]- K$ j
    
14. . z# T+ s. ]3 v! s# `* P
    
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。
2 A  ~9 w! o& \4 S
  E  v, f! F3 B$ w" k, q7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);3 w% e2 [* s. x+ `. H2 v# Y% O
   
2. - o( X; |1 d+ d6 a/ P
   
3.    for i = n-1:-1:12 o+ X3 z% {2 `6 l( T
   
4. ; z6 e  Y2 y8 j5 q+ l6 k  o  W7 d; R
   
5.        sum4 = 0;! v$ C2 a$ D1 L7 q# ?
   
6. 
   # c6 X1 ~0 \; O- f* k
7.        for k = i+1:n
   - a  Q  V% ]/ h0 [& [0 X+ j$ s% V
8. - O, ]- V+ V8 D, K2 X! C! B
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);- v1 z3 ]8 M4 W, A$ P
   
10. 
    ' l6 |& a% D% P
11.        end
    - y& Z' t9 y9 l\" z\" ^7 G4 d/ ]
12. 
    5 E( u( c& R' ^8 g
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);' N+ h: \0 b1 Q+ D3 `. Q) z6 Z
    
14. # A. z* n1 I% S7 R$ H0 P
    
15.    end5 A/ j7 d* B  e' f. |8 c
    
16. 
    ! a- i  }6 j. `; x# v1 o\" m& U

复制代码

在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
9 x  p. n' {& I总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。
9 I8 _+ ^9 t# P. \
. c2 h/ X* g" }$ v5 x, S6 {, D
1 d: \# W6 I# q9 o* P* V