Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

0 A) H0 O1 X# M% l/ a1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   ! t1 o* y$ H8 G: K  o
2. 
   0 \$ T: Q2 _. _: W' \2 I7 F
3.    for i = 2:n* n* m' F' M; z3 Q( Q: r0 S
   
4. 
   6 a3 n7 }) }6 y. h' g
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   * M5 U: E& p% w' a
6. 
   % |. E* d! @; C
7.    end% {/ j4 O6 B2 l, Y% B0 t
   
8. 
   $ W1 P7 B/ j  z9 r
9. . a# {, v0 A+ m\" q2 w9 }) C
   
10. 
    & t7 w5 F( R4 ^' c6 e9 ]1 `! [# e
11.    for j = 2:n
    3 O6 H$ e; r  S/ w1 g, i$ B+ I) ~
12. 
    ; H( j* d4 A3 K1 v8 B
13.        sum1 = 0;
    - B4 h- P  W( @  V6 m
14. 
    5 Z( O+ A; X2 {8 f
15.        for k = 1:j-1) Y\" u3 g; j( F
    
16. 8 N. s% ?% Y  i* [5 e% d
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);: d3 H# F; n) o! d7 T7 Q3 H
    
18. 4 U8 f8 w& I' ?# N2 A& Y
    
19.        end& {. i1 g- S# ~* `
    
20. - _$ s% o. B7 _' |0 ^2 T2 O# e
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);* X  v6 P  k% C: j' x
    
22. 
    # _9 A) H' `6 Y; W
23. 
    & J/ W6 d: F0 E) D
24. ; V, u0 @/ V. r5 H, X4 m$ N\" t, K5 I( k
    
25.        for i = j+1:n0 Q$ Q- s' U! j\" F
    
26. 
    2 I0 c- b+ M- N- t! y3 X
27.            sum2 = 0;
    % ]8 x3 a# ?# a  I
28. 
    5 E9 ^, U, W& Q$ t: h4 ]1 s
29.            for k = 1:j-1
    - K' D! i. f- B\" q9 ^$ a9 F  [
30. 3 R5 i\" R6 ~3 r* v\" R; e* R
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    6 e  j2 l' P7 K: ], Z\" A/ z
32. - k: }9 T. R% l- [/ Z
    
33.            end! D4 ~. ]; ?2 O+ _& q% p) A' ]: v
    
34. 
    : A: K7 H2 Y1 r7 _1 S+ x
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);\" Y9 G4 t) z7 O  X, C1 z% f: C
    
36. 
    5 b! k. h8 p! C9 i0 h, N
37.        end
    : i1 j& w5 R+ B: U! V) |2 g5 k
38.   Z9 N/ v. R( t4 c2 ?
    
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
0 t0 x) u& t3 l
7 ^8 c; [* p* u7 ?- e3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);\" ?7 J7 L0 ?, U+ O8 G9 g
   
2. \" n+ p\" G/ h& g1 S+ f: a
   
3.    for i = 2:n
   \" w# o0 ]0 j. ~. i4 l& ~
4. 
   ' z) D6 h2 S7 c/ Q
5.        sum3 = 0;
   6 O/ j  V$ W5 R- {: F3 S6 j) U
6. 
   $ k9 G9 A2 `$ A
7.        for k = 1:i-1
   ) j% ^# x\" s5 v
8. 0 ~\" x% H% t/ q. J/ `
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);, W% C$ ?) w# ]
   
10. ) g6 O8 O4 b( w0 I$ z& q! n% B
    
11.        end
    ' P8 E7 n1 c7 B5 u7 i
12. 6 {5 d4 F; |8 \+ E% _
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    ! j0 u, a6 V  h\" u) M
14. 5 V! [: L* @4 q
    
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   4 Z& E8 u: B1 [7 C
2. 7 c8 C8 L( u* G! ]- S1 v3 j
   
3.    for i = n-1:-1:1) V/ d, C9 j8 e4 J& A, @
   
4. * W3 w' T& F% \. I- S) O5 V/ m
   
5.        sum4 = 0;\" Y; m, \, o+ u; f9 K1 E7 O% V
   
6. 
   3 N+ |. Z, P! m+ ~. b) u$ p
7.        for k = i+1:n
   6 e4 S* E3 u- p4 W% |
8. - U2 q, a0 N& h5 p7 W! _\" T
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);3 }/ T# g' x! i2 y: U4 I1 ]: e
   
10. 1 P! v, X% O# Q# h) X6 n
    
11.        end+ ]. A4 ]- @( D
    
12. \" n: U% O* k, ^2 N) T: V
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    ' h! W3 S, t+ @8 ^: `! A  [: L
14. 0 j1 s% Q' S* v5 ]- m& E3 s
    
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   8 ^1 _4 d4 i/ b( K
2. 
   5 Y( _2 V2 `2 V% j. r7 j- a
3.    for i = 2:n
   4 f; S/ V/ b' N* v$ A
4. - E: K\" j\" E# G  T' ^
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   5 u3 j3 T- t2 K6 q. J
6. 
   7 b0 o* k( \/ }. f! l' z  @  v% o
7.    end: I, s- Z0 b' p' j' R6 n
   
8. 
   , Y  ^8 w- ], M$ m2 m$ R
9. 0 {: d) b9 [* |# L
   
10. # g! J2 s6 F: h5 |7 O; X
    
11.    for j = 2:n2 @- E. S8 E5 c* w  v8 {  O
    
12. ; w# S- N\" i8 ?0 p/ F) v' D
    
13.        sum1 = 0;
    ; D. x/ n& h8 \7 n; @
14. 4 Z& p, B5 y1 X% \9 F) _0 {8 [; X
    
15.        for k = 1:j-14 z& o3 H+ V9 J\" m0 b
    
16. - N4 c' G: z- I; g
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    0 ]; r9 a3 Y! f
18. 
    ; W5 C7 q. M* _  q. h0 B, h
19.        end
    % f, X+ f\" g6 S\" }% C( o
20. ) r8 h* `1 e+ V: N; C) _/ s
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    ) s! Z3 ?. l8 Y# N4 h9 G- V
22. 
    2 [4 A6 e/ k( y6 H
23. 2 ?; F\" a$ v( j9 X
    
24. ! s- v: z/ o) Q6 n* p8 r9 F. m
    
25.        for i = j+1:n* M, ~/ C3 T2 s6 J+ t) O$ Q1 S0 j- [
    
26. 
    , m. {8 C, M8 Q4 w$ c# I
27.            sum2 = 0;: U\" y; h/ P% j; a3 \7 f& v
    
28. 7 o, G# q& b; T3 z% a1 j
    
29.            for k = 1:j-1
    5 V7 q6 Q$ ~# V
30. 
    ) v' X8 i, Y+ O8 ^0 y
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);\" F2 j4 e% H* ?1 b5 y\" P* o
    
32. \" g, X( D; w  J( \% M( p
    
33.            end
    $ }7 j- m\" Y7 f! M
34. . y' Z6 i/ \9 J4 ?) v# Q
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    - M: [; {& K2 s% K
36. 5 h' K7 x8 K/ s: H% \+ K* {( @6 M
    
37.        end
    / t1 a/ h: Y$ b2 h; Y% y5 ^& F, ]  j( u8 n
38. ) D0 {6 k6 p6 V% e5 d
    
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。

6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);& M8 K! w1 q! H, K) K  @
   
2. \" J# N$ S5 t- ~& m+ ?1 [
   
3.    for i = 2:n) V! y( n. e+ {) [8 Y2 v
   
4. 
   ' X' r\" x! t$ T- V
5.        sum3 = 0;
   , F; T. y- ^2 S* w! Y4 }9 I. _
6. 
   9 Q( b8 @1 e& O' g
7.        for k = 1:i-1
   5 G. G8 }- F, n5 a- f) w
8. ; Z  f, T8 h: L8 `
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   ( n1 Q, e% _4 ]: S
10. 
    7 w\" g+ {8 U. u; @8 k! u5 q
11.        end
    % `* f, ^) W: P  @- x0 m/ c\" a6 ?* ~
12. 
    - Y, f- T2 i& v: g8 R0 A
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    - i% j% l! G6 ~( ^
14. 
    % g& u7 ]0 k: T/ Z\" m) r# o
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

3 \& o+ o, R% @  _7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   2 a* s& S' _1 z) f; m+ L# w% x
2. 
   + @# B9 x4 C6 r. E/ h6 [4 t
3.    for i = n-1:-1:1' M! B+ v% }2 Q  X) c* ~: }
   
4. 
   9 [/ U! ]( [% M7 s, i
5.        sum4 = 0;7 z' A, w8 J! t0 e! }# Q: {  D
   
6. - c  z8 f7 Y! t' E3 I# k
   
7.        for k = i+1:n/ v, u' a, P2 ?/ Q7 ]. Q
   
8. 2 r6 ~1 x8 S$ R/ S9 j
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);! b\" S* M. M6 q$ Q
   
10.   q% |0 \2 A, k* C: L5 j
    
11.        end
    & S9 P) f. p9 W+ I' q
12. 
    * l5 q  j( ?9 s, X
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);, R7 X1 M( s) ~& ^) O3 Z% T
    
14. & p5 s! C( B3 p$ f; p' R, p
    
15.    end5 Q\" {2 z% C6 l2 V4 s2 j
    
16. 2 |8 K4 h* w+ f% W# ]% k1 u7 N0 N) P
    

复制代码

在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。