Kruskal算法生成最小生成树 实例

2744557306

Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
以下是Kruskal算法的简要概述：
/ }9 T- V6 N9 ]7 p" r
1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
  L9 U2 y* z% u& s+ y3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
7 x! B7 s) U/ m1 f. z; C" N5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
8 }: |1 m3 @/ j* D4 z
2 Q1 P& v; @- ?以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   * _6 r: E2 t2 y( }5 I
2. 
   # E. g* d! ^3 S8 Y: Q; U
3.     def __init__(self, vertices):
   7 x6 a& L. M. t0 o7 {\" C
4. ! R% l: D' d! G2 D
   
5.         self.V = vertices5 q4 Z: a! \8 i* E* w$ t
   
6. 
   # J! }6 ^% o/ g0 v6 P
7.         self.graph = []
   ' `$ x! q( o  \0 X3 K) l
8. 
   ! W; f7 B. x1 r  J& V* ~- @& F
9. 
   6 F% |0 _9 A! X3 l
10. 3 C* s# X: o' D) f6 V  v& }
    
11.     def add_edge(self, u, v, w):
    ( \8 l4 m  h3 m, G\" w* u
12. \" M6 }& X1 m9 \- C9 i4 m( c9 v
    
13.         self.graph.append([u, v, w])
    0 p7 f% ?6 x4 y% ?* G- T8 ~. I
14. ! D: Q& f; I6 r6 r: t3 a. v; k
    
15. 
    / P) ~0 P# T' y
16. 
    + E% P: }) `, D3 W/ c
17.     def find(self, parent, i):
    8 ?% |9 d$ J\" o
18. * N3 U& Y7 @4 C% Y% C\" v7 \+ U1 ?
    
19.         if parent[i] == i:$ ]1 P) m% v, u$ f3 l2 W- f- X
    
20. 9 L+ x! [; |& y/ c; p0 L, a\" r
    
21.             return i
    6 P) u* C6 {* F/ @/ ^# Y' d
22. ; L, m$ V- b2 f- N/ Y
    
23.         return self.find(parent, parent[i])& |& z7 m6 G7 d' F, B4 `6 c9 j
    
24. 
    % I% K6 D  T7 K2 @
25. 
    $ D/ a4 B/ \; }+ [3 Y
26. 
    5 t) |5 A9 }- J$ T
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    * f% r5 K. k$ h: s- u
28. ! _2 C+ c\" }2 _1 q4 \2 p! D+ w- @
    
29.         x_root = self.find(parent, x)' t) N\" U0 ^( S  C! H# s  e
    
30. 
    - Z* `5 ?  J! c
31.         y_root = self.find(parent, y)
    & ~  Y. ]) S! `  c/ c
32. 
    9 z+ L6 q) M& g' i7 O% i\" d* E
33. 3 y; i1 w: U. A' f9 ]; [\" Q/ |& [
    
34. 1 K6 L8 L. B2 O/ p/ c! d8 k1 u3 v& w
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    6 U/ ]- {# c\" N3 h; N$ r& p1 l
36. 4 v* a9 B7 r& I. Z% u6 Z+ O
    
37.             parent[x_root] = y_root( P6 K  v2 T) u
    
38. 2 n% W: H% ]4 U4 S
    
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:  x* t\" @3 J+ [+ P7 ^% b' J0 h1 t
    
40. * p( ?\" K  a5 D# k
    
41.             parent[y_root] = x_root
    # e. i5 {  \/ _) z' @6 q, U/ k
42. & k5 C& G9 a+ I
    
43.         else:
    * w4 }! x& O8 Q* D7 a
44. 
    # b! H7 {3 F3 H/ L, I: l. `% s
45.             parent[y_root] = x_root
    \" m3 S# {1 r$ V# b9 \
46. 
    . i$ D! V$ E: U  ?
47.             rank[x_root] += 10 B' k# A0 I& B) Z1 z; R
    
48. + H  m  V. ~' t4 m  Q+ E
    
49. 
    $ q, S. G& _& G! P% Z+ w5 v
50. ; i& E: a& B: f/ N! a
    
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    # b+ M, n% _( h7 m7 |, e
52. 
    + a; H' a& i8 q
53.         result = []# x) `: o\" k4 b8 _& e
    
54. 
    2 I4 _: M7 z, F  j6 {
55.         i, e = 0, 0: `; p4 f0 _, I; X; X
    
56. / S% u! R  L9 S& g& B
    
57. 4 _+ p# s5 z1 O% \' B2 K. P- H
    
58. 
    & Q1 O) E( Q, N* ~! N\" A
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2]). p9 A  n\" H8 a& Q8 D+ }
    
60. 
    3 R% S5 {9 E$ H7 G$ r# x
61.         parent = []* N- u2 O0 }1 ?6 F2 A0 s' O
    
62. 
    ; c: w/ d4 D4 R/ U$ H2 L0 |- P' ~3 q
63.         rank = []8 R* a6 p5 }0 V
    
64. $ u. p6 \! e3 n4 X* g
    
65. 
    4 h4 B+ y+ i0 C
66. 
    & [! g  g* r$ t
67.         for node in range(self.V):0 S2 W2 X6 I$ O# o
    
68. ' m* Z7 ?) ~3 B' Q/ B# b+ Z
    
69.             parent.append(node)
    5 W1 O0 k\" A  b$ S- Z! s$ i\" S# W
70. 
    ! U3 q' ]9 Y  X' N3 W\" S
71.             rank.append(0)
    ' T\" r. |8 [) D% v* b. N
72. 
    5 N1 ]- |. V' D+ \
73. 
    ( g  E$ |% f6 o% j. J$ H
74. 
    ' f) b- P4 R4 ^' ~
75.         while e < self.V - 1:+ y& w& e& V& \* b* `6 t; D3 m
    
76. 
    ) {6 m) C- D3 B' _: j! N
77.             u, v, w = self.graph[i]  ~$ u# j- v! j* p8 [: o
    
78. . r7 A$ }( f$ d' \+ o
    
79.             i += 1
    9 j2 k6 U+ Y7 N5 p$ E7 Z( p' ]
80. $ o6 X. e7 p  _7 K( \
    
81.             x = self.find(parent, u)
    % o. ]0 Q5 |' J5 s/ Z, D' }: G
82. 
    $ R& d+ K4 N& a5 k. \
83.             y = self.find(parent, v)4 \$ o: U# }: M3 R
    
84. 
    3 e2 r7 c2 m( o
85. 
    - k, J- E& v  i3 _
86. 
    : c* Q5 ]\" m; r- ^
87.             if x != y:  ^- l, d/ o  w5 ~! U$ I9 g
    
88. 
    ' S1 M* y. ]+ }0 P6 D
89.                 e += 1& o- M6 D9 l0 m
    
90. 
    & C' s' V  n: @% ]/ ?0 y' h+ z
91.                 result.append([u, v, w])
    4 _* E! w  P+ a- Z2 j) z
92. + H5 [) O6 k+ m2 a1 B
    
93.                 self.union(parent, rank, x, y); J: x+ Q' ^  `3 X; {
    
94. # \6 B& D  h# @0 y1 D
    
95. 7 S6 s6 O5 m; E
    
96. 
    # r$ l0 E- w) _8 r+ G
97.         return result3 W  ?0 \: V- u: p! j( i4 p; @
    
98. \" g/ ?\" ^6 r* D! a
    
99. 
    % b# D\" l+ P1 }; Y3 q, A) q
100. ' k( N0 A4 u/ k/ J2 ^7 @* V) V! P6 W
     
101. g = Graph(4)
     : L. R: T  x2 j4 X% J; n
102. 
     4 T! M: M6 B! w\" C$ d1 d  C& ]7 g
103. g.add_edge(0, 1, 10)6 h% r2 ^7 ^\" V# I\" P
     
104. 
     \" B, Z\" ]! f0 C( y) C\" l' T. q
105. g.add_edge(0, 2, 6)( R, e4 S' ]: n/ d7 q
     
106. 
     % [5 G  t: g, z: @$ s+ R
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     # p7 L- W; M; r- E' Y
108. 
     6 E; l* r+ m' q! m
109. g.add_edge(1, 3, 15)
     & f5 B; Q! n% g- n. Q2 Y
110. 
     * K\" S3 Z5 C8 f( h* |% M- k& e6 U
111. g.add_edge(2, 3, 4)1 Z( U7 x( t8 Q2 H, M1 h$ I) N3 m; F
     
112. 7 Q, Q, x9 w* b& N4 Q3 P  W
     
113. 
     / x% Z% a6 z0 ]9 L4 N7 K8 S
114. % n. o7 Q; N( ~) s* C
     
115. print("最小生成树的边:")0 ~+ n6 @4 ~0 K\" P9 W* S0 k# X0 e+ A
     
116. , O4 l( j  a# K0 \5 v
     
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。

! r$ e% x  r7 Q& M" y
/ o/ D  ?8 ^4 T! v) H5 ?% y& _