Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
0 Z5 A/ {* U! h* y! O, k; f以下是Kruskal算法的简要概述：
, c8 u, u8 j6 p+ h4 h# q+ p( s
' c1 t8 ?; y8 R1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
7 y& f/ j- Q8 a5 T: m
以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:% r5 k0 @  x% @: }6 C0 L
   
2. 
   $ l; |* e% I3 ~
3.     def __init__(self, vertices):
   3 G8 D: E; U\" R. {3 S: M
4. 
   - i: z$ X7 ~( `2 }
5.         self.V = vertices3 R3 v' M! E6 A
   
6. 6 k7 b) ]1 B, K\" A- D8 |# P
   
7.         self.graph = []
   7 n# j. X9 r7 ~) V! |/ f
8. 7 P; t+ V; c  ]' t
   
9. ; b' F\" P\" L: x4 ~6 |+ `; h( B0 J
   
10. 9 u* U7 |* k0 \0 o& R* \1 g# ~
    
11.     def add_edge(self, u, v, w):; y; X6 F; ?1 r$ m, L8 c
    
12. 5 h7 s8 H6 J$ T* ?8 ~4 Y
    
13.         self.graph.append([u, v, w])
    3 i: m3 o2 D/ P- W1 q) X- f
14. 
    - d! F1 o4 x# ?/ n1 e7 U\" {- x# O# V
15. 
    2 A/ `* P4 I) o
16. 
    + o5 |( w1 {/ Y! J' l\" _
17.     def find(self, parent, i):
    $ q  b- W7 ^/ E/ ~& b
18. 2 J* D, S- V) H( J
    
19.         if parent[i] == i:1 F# H. N$ I% P, }\" h
    
20. 
    8 P* E* D\" k6 ^9 g- e
21.             return i
    ' P- ^( C9 {0 b( k$ x\" H
22. ( p/ V4 w/ v; f, }/ b' k) `
    
23.         return self.find(parent, parent[i])% T5 I3 E4 H( M* Z
    
24. 
    7 g4 h7 a) N0 T
25. 
    6 {  n( Z: d2 e8 y; h
26. 
    3 U% D  k: ^4 V, q- U9 C
27.     def union(self, parent, rank, x, y):5 A6 t4 ]0 }, l' A2 g8 q
    
28. 
    + J8 [: a( [$ s
29.         x_root = self.find(parent, x)/ U/ _2 c* a\" e\" x/ C: n
    
30. 
    * R2 R\" [& w- v+ q5 U) C3 p
31.         y_root = self.find(parent, y)
    9 Z0 k& B2 J7 l: C, p% L
32. & M# S5 x/ ?4 E
    
33. + d0 S/ Z! D9 p8 i5 G, _; E
    
34. 
    8 i3 K; e* }2 L; ]
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:! y3 F- k! s3 ^. [* \1 `+ w
    
36. & o0 Z1 M' N( J) \
    
37.             parent[x_root] = y_root2 @: {; V6 f) W, \% V
    
38. 4 ?5 f/ D$ C, m, _1 j8 c: Q
    
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    $ X9 f5 y' S7 |7 ~\" _: i\" J
40. 
    9 a7 K+ N* Y. A2 t, s
41.             parent[y_root] = x_root: t4 Q4 l9 W( C3 @, @8 o
    
42. 
    ) \9 j1 B# R4 c5 X$ e
43.         else:
    \" e, O+ A* l# d) ?$ H4 m  p
44. 8 V4 n4 x' m5 o9 q9 p& L
    
45.             parent[y_root] = x_root/ |! x7 f9 D& B/ }# U, {
    
46. 
    8 x6 A2 F: V) t6 w6 X7 Z
47.             rank[x_root] += 1* n. P  h( {6 K6 g\" S: L2 P
    
48. 1 x; A% M1 K4 x) h. X
    
49. 
    + t1 w! n/ s' i/ `$ W9 j4 z* h4 V$ W
50. 
    , m' w0 w\" h9 N
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):: f1 y0 v% P1 F' _2 b. G, Z4 h1 D) z
    
52. 
    \" r+ y% q( `- }- z% @
53.         result = []
    8 z1 X) B2 d\" M
54. 
    * k$ D( I; Y- A
55.         i, e = 0, 0
    ; Q\" e3 M. x% m: G, L) W8 A
56. 
    1 O! k' X' L* O- V
57. ! F5 z  F( X6 h; \  G% Q3 C% ]% P
    
58. 
    , O. Q' q  F# w  j
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])2 T; w( C: o& h9 [
    
60. % }  n& J\" D( F2 N
    
61.         parent = []
    % `* ^% c  J1 ]  p
62. \" {8 U4 ~0 s- h$ ^8 J
    
63.         rank = []
    , U* H' t9 z) {9 o
64. ' |. U4 P5 A3 \+ V. t
    
65. 
    # ]: @) g2 Q( n2 ]$ M& h
66. 
    ( @9 x& ~' \! G- v; i
67.         for node in range(self.V):
    + u) z2 k' z! X6 I
68. / X- k# y/ T! i+ u  h
    
69.             parent.append(node)
    ) t1 o/ q* a/ r- z3 p: s1 x- v4 B
70. 
    0 A8 L) ^) H' y7 M
71.             rank.append(0)
    0 S0 ]2 D1 q6 h9 P$ Q- Q7 Q9 e
72. 
    9 p- j& c. C: W5 N- }4 O
73. 
    : {# {1 o7 O$ x3 T. _' B
74. 
    $ e9 c( W) [' o4 e( W( s( i* V4 x
75.         while e < self.V - 1:. l7 y6 Y1 A$ o: E) r. B$ ~- {
    
76. 7 ~' Q/ y7 t\" x- v0 ~- y
    
77.             u, v, w = self.graph[i]- [% h8 P7 r4 W
    
78. 
    ) s; X1 y, @4 M\" t\" s+ l* C6 Q3 i
79.             i += 1
    # ~: q6 @* U; x) g# e
80. # B# ~3 ~2 G, ?/ W+ }4 F0 i
    
81.             x = self.find(parent, u)
    8 ]. ^( o* ^9 |7 |3 w; F% {  F
82. 
    8 Z  d0 ]/ ~1 ^6 L/ G9 [4 ^
83.             y = self.find(parent, v)
    4 b' T- ~1 s6 j! l$ K4 w
84. 
    : Y8 Q; y\" o# ?( q1 }- V6 E
85. 
    0 m% {9 g5 I6 E0 j- x8 `0 W( e
86. 
    ' }+ ?1 r2 \) w( k3 {' |9 l
87.             if x != y:
    0 S; b' X7 O- p/ Q6 h' f
88. 8 c2 ]- q2 }! P. C8 R
    
89.                 e += 1
    4 i2 _1 g; ~! D( C# z. a
90. 
    7 o, G) ]/ O' ]7 Y% P0 L+ x0 m3 Q
91.                 result.append([u, v, w])  K9 H  y- s$ ^
    
92. & {9 i4 g) k; D: o3 O5 E1 v+ O5 [
    
93.                 self.union(parent, rank, x, y)1 ?1 w- w5 ]( X: s3 s  i3 \
    
94. 
    : K/ o6 z3 R$ ?4 [' A
95. 
    \" ]0 O8 y! l) x7 A/ }
96. * Q- z9 H2 b! ]1 `7 ^
    
97.         return result, O* b0 f3 ]3 N+ i- R
    
98. 
    0 c* [- l' A5 k% H
99. ( u! L6 p  x2 M; c! A/ C  K/ a
    
100. + t* x& i- n; \! M* o' j/ D$ h
     
101. g = Graph(4)  c3 L2 w: k5 A\" E7 F/ J& \
     
102. 
     \" }: N& b. R3 ^* d
103. g.add_edge(0, 1, 10)\" q& v9 t: A& }1 i
     
104. ; X% j* [8 N) B! ?. k# e+ _6 G. k7 L
     
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     0 @  G- D. ^3 s( r9 n2 C
106. 9 |$ Q+ |3 ~* a. R% R4 E& V% u5 ]
     
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     ; x; a9 b! @. d3 `+ T7 k/ ^1 K5 J
108. & @% N. }. g1 r9 l
     
109. g.add_edge(1, 3, 15): b5 ]3 x$ m6 J4 S& k0 Z
     
110. 
     ; D) Z4 U/ j% H$ H# _4 f! U5 {2 D
111. g.add_edge(2, 3, 4)
     - [4 f0 i! o% M. z7 _! g
112. 
       E# N/ x3 R6 D' y; y6 T\" x\" y
113. 
     ; [2 ?0 o1 ^: O: u7 U: M1 s9 I
114. 2 s) S5 ^$ u: \- f7 v
     
115. print("最小生成树的边:")
     % Y; H  ]9 J/ @7 |- D6 S8 D\" a3 E# h2 E
116. 
     , |7 r9 O5 f- Y
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。