Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
以下是Kruskal算法的简要概述：
9 P( h0 R" l9 P2 V9 u
1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
3 ~/ V' k. j0 z/ S% q5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

8 C6 |; q# q" `, \: Y: b9 L以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:5 J' ^( h* v6 S* x0 P, m, M$ x' V
   
2. 
   ; i  U% s) N& {- l  f
3.     def __init__(self, vertices):
   ! ~: J. i\" V# g+ L% \- K3 u
4. ' ]! d: t0 b/ X9 x1 H/ d' b. U
   
5.         self.V = vertices0 N- K5 C% o+ j1 d% C8 m* ?: p9 `* x
   
6. 
   8 y+ Y5 Z) |0 [* y. x# L$ q
7.         self.graph = []
   , G1 V  }\" k0 V+ z. v
8. 
   6 h0 y% ^! V/ R' ~4 ], ]+ L\" _
9. $ V4 A) G9 A; B$ @- s$ u  }  p1 J
   
10. - o; ]0 Q# Q9 x# u! S8 u
    
11.     def add_edge(self, u, v, w):* E. s. f! k! _) \; g2 ]
    
12. . E9 }+ f% S0 R' |- ~4 d6 c5 t! M
    
13.         self.graph.append([u, v, w])
    0 `1 C% f8 ~' b, H. d+ H( G
14. ( B! i' M1 z7 U' r: f. I) ]2 t
    
15. 
    5 u; s! b9 G2 ~
16. 
    , L7 B7 @4 M, K
17.     def find(self, parent, i):
    , t5 o0 b8 o! s% \4 _8 g; B* L$ q
18. 6 p- V7 m( g: M& |* M
    
19.         if parent[i] == i:
    ) r# y) m% r; I$ Y
20. $ t8 U  V; Z: a. o* Z1 Z, r
    
21.             return i# e6 P$ k, E: [! F4 `
    
22. , D+ w8 ]% _( W0 N
    
23.         return self.find(parent, parent[i])
    & K4 T  D\" _! {; ^
24. 6 Z: v! I* G7 \- l+ _% M. I
    
25. 9 w- V6 r2 C5 j! r: c0 H9 T3 w1 A
    
26. 4 c3 z) }3 k) q9 q
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):9 _% w: _\" |7 Z) y$ C
    
28. 
    2 f/ Z# z( e# z7 j. H5 S+ P
29.         x_root = self.find(parent, x)( j9 ]0 E% P) b% I/ l3 Y5 c
    
30. 
    ! k' t2 R) W2 W+ C( \' [) }\" @
31.         y_root = self.find(parent, y)' r& t4 }0 G/ Z2 I, R) q
    
32. / X2 f6 I4 {4 B6 J8 V# N! v
    
33. - ?+ M: X2 w6 C. D: G' a\" h8 o# d
    
34. : E/ W7 ~8 o- y2 U! X
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:( i9 g0 O! w' B! R) G/ C$ u
    
36. 
    3 H# _) e3 o- @\" j* f+ g$ G, K7 d
37.             parent[x_root] = y_root
    8 f% M$ @6 ^/ L1 L
38. 2 q6 |* A; N3 W
    
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    % Q+ V5 y9 K. h# S
40. 1 `2 d1 E/ J\" h! M) ?4 @
    
41.             parent[y_root] = x_root7 w* ]- Q& Y, N1 D8 O
    
42. - `1 g  ~5 b' [) g; D
    
43.         else:
    % }: s' F\" P- p+ B
44. 6 d) r2 h2 I! a\" K9 M. I) H
    
45.             parent[y_root] = x_root
    ! I* R* g6 }3 p. g  R1 d
46. 
    # r0 F) |% M+ v$ r# [
47.             rank[x_root] += 1* {* d4 t# \% W  g* w
    
48. 6 _! E& r7 p/ I& Z
    
49. 
    , u& i. O; y3 x  I6 u
50. ; |8 E3 ~\" m# B
    
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):  A* D7 o( a; D4 Z% v8 v
    
52. 
    0 O1 |3 V  V% W: N$ }
53.         result = []
    % |# L, g3 S. b% e
54. 
    ! A2 n! X4 z$ S, [/ W% S( b' i
55.         i, e = 0, 0
    ! X1 p+ _) z% [3 p5 c/ j+ P
56. 3 `/ n0 g9 w! G8 s0 N6 Y
    
57. 
    5 i( ]6 X0 h: ?: v- K
58. 
    ( F, ]/ \# i2 N6 q
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])  [1 Q0 L/ O8 A
    
60. 
    : @% a* X2 N5 b( M8 ]+ i
61.         parent = []+ S) Y$ S' C9 h( y& Q5 ]
    
62. - u5 L8 |( G+ z8 t8 G
    
63.         rank = []) V% Q& B# c. ^/ S
    
64. 8 i& v) j2 f  O' w4 H
    
65. ( M) t5 ?2 O# V/ N. ?$ G
    
66. ! }. F1 ]9 _- ?; r' a
    
67.         for node in range(self.V):
    % c; j  s/ k, H' O9 v8 I
68. ! d8 z7 b1 a, ]5 _% _- g/ R7 W
    
69.             parent.append(node)
    . s$ R9 F! @/ X\" Q\" f  a  t* ~  u5 Y
70. 
    6 P\" i5 t% ~3 Z+ ~% `
71.             rank.append(0)  q0 N3 I8 Q' o; E! }  D
    
72. 
    3 T8 d. ]/ w6 }1 O; ~2 O, _
73. : Z- O9 X\" a+ Z4 u1 O) c+ z/ R' y
    
74. # k, N2 F9 N1 j% x
    
75.         while e < self.V - 1:
    ) z' q4 b1 Y2 u+ C\" A
76. 
    4 j( J\" w' n- o, Z% c; O
77.             u, v, w = self.graph[i]$ h' @9 c$ }$ R+ w& |: g, Z8 M5 S. q
    
78. 8 n5 H. t8 s+ s% c$ y
    
79.             i += 1
    - K; R) _2 L0 `
80. ' C$ |8 K$ p\" R4 [6 Q9 g\" J
    
81.             x = self.find(parent, u)% {\" Q5 Q' t\" N5 h+ v* z, K% L
    
82. 9 U2 p: A, F4 E\" b* z% ]7 v  I' q
    
83.             y = self.find(parent, v)
    * {+ ]( ?# V6 S- m4 z
84. 
    4 ]( G) p! q4 [8 n/ y
85. 
    \" L' f7 w' u2 C8 v7 @3 s  d$ v6 ]
86. : P1 H* q# K& Y+ a! [+ n
    
87.             if x != y:0 T- a. J' j% w2 c1 f
    
88. 
    4 P2 `% M1 N6 p9 j2 [$ U' i
89.                 e += 17 E2 t! n4 I0 o% g& O: d
    
90. , w( V6 n, k\" S# v5 j7 _\" X* r
    
91.                 result.append([u, v, w])
    5 }1 o3 ~$ {  Y7 c9 B* D, U  d8 ]
92. 
    % m0 A, t. |% H2 C
93.                 self.union(parent, rank, x, y)0 i2 C% H5 ^6 Y& C
    
94. . Z9 @* j, \* ~5 T' O: X
    
95. 
    4 g# w  q# k3 E8 [2 E
96. 
    ) V8 M& J4 Y/ q. Z- ^( c; e  _
97.         return result
    , Z/ j0 {! g& d( a\" n8 v; M/ f
98. 
    5 E0 ~  c% T+ j+ Y
99. 
    ( P8 J$ |5 p0 J- u
100. 7 ?% f4 M2 N5 ?) x
     
101. g = Graph(4)8 B% J  j\" f: t$ J
     
102. 
     , p' T, `% L1 f$ T
103. g.add_edge(0, 1, 10)& p4 G# ~) {7 l& q2 q
     
104. / @6 j. A: ]( h9 o& \
     
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     ! m; f( M* N4 O+ o' i
106.   P) e8 i/ y6 H% \\" c
     
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     0 W2 l0 M0 s. l  g0 h/ J
108. 
     8 L6 }. Q& g( ]5 C% I: F) a/ q
109. g.add_edge(1, 3, 15)\" g! Q2 O; [! q7 B5 y4 D: ?& x
     
110. 
     9 W* `+ s# d2 Z) v1 q. K
111. g.add_edge(2, 3, 4)
     ) N6 E7 _* j% |: g& D+ H8 h
112. 9 e/ ~  H' p' c
     
113. 
     ! w$ Y) q; G6 X2 A\" u
114. 
     ) S' _. q\" r3 k  y/ v
115. print("最小生成树的边:")
     2 x$ W' v- Z8 w: B7 X3 a
116. 
     $ o/ e3 W0 I' q8 P7 P6 o
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。


' W% p: `# L. Z" e1 l% k: r