Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
' I( j4 m. \, K1 Y' j以下是Kruskal算法的简要概述：
" e( M+ g& ]8 g4 l# H# I6 u, q) Y
  `0 s# d6 U) r! p/ w" r+ L. A+ u1 @1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
: o1 S) j2 V2 Z6 L# u( ^, F$ K" _3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
' q0 A- O( \, a4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
7 M. c; b) \) D1 v5 K* b; ^5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
) @. b# s  d3 U# A; Y- `' m9 q* L; m
/ ^6 L7 o: b/ Y! Z; ?5 e以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:  M. b# E0 l( T! ?
   
2. 
     X- T& v( R6 m3 w
3.     def __init__(self, vertices):+ i2 C6 O% S  i7 _  _
   
4. 3 {% f' H/ y; [( E
   
5.         self.V = vertices
   \" y9 W6 a& r3 S+ s  W$ p
6. 
   ' ^3 c# ]% x0 L1 N4 W
7.         self.graph = []5 ~/ m; k3 X3 g$ Q6 U
   
8. 9 s8 {, `6 _) i- G/ x
   
9.   q$ }\" O/ c/ {4 S
   
10. 
    * P1 m) j% W4 B! W% L\" T) `: ~( P
11.     def add_edge(self, u, v, w):9 y+ r% A# i7 L7 ?7 g% ~; h* m
    
12. 
    + M; B8 M6 f. d- b; F
13.         self.graph.append([u, v, w])
    8 P# v: A: o' I$ v
14. 
    6 E. q1 k: g/ U% X+ {0 i
15. # f+ w- `5 J7 a% ^3 J
    
16. ' A2 x# H7 l\" A0 [) U# R0 ~
    
17.     def find(self, parent, i):
    4 ]' Q' v# Z\" y( u1 c
18. 
    7 ?& r3 `# S7 s
19.         if parent[i] == i:
    ; |\" w$ j; }  F: v. k
20. # _8 n7 O5 L% g/ f
    
21.             return i8 S. u0 t* z9 k$ w5 ^
    
22. 1 W2 ?* P+ E/ l' {8 x. Z
    
23.         return self.find(parent, parent[i])
      V* T/ ^- p' j5 E) s# r: N
24. 
    $ b  A8 H! |4 C/ E% _
25. 
    ! n: T+ K- n0 g6 ^5 W
26. 3 x' g* Z5 W9 @, m( s9 O
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):/ w: U) b9 o/ |8 f$ M' C6 C2 @
    
28. 0 |, z0 d/ _7 }1 \+ r# l3 y
    
29.         x_root = self.find(parent, x)4 K; B8 |% s; e4 q) l
    
30. % M* _. {6 F: Q, m7 z* z% e3 M
    
31.         y_root = self.find(parent, y)5 @- w' }- \# x, ~
    
32. 
    % i: b  A/ P: @; C\" d  k
33. 
    5 l( @9 W) l7 N( E
34. ' i% A; d3 K# `  h
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
      H' h6 s: I/ D5 h: _3 @; i8 d) j
36. ; W8 p5 Y, T\" M, e4 K8 ?$ O, x! O  z
    
37.             parent[x_root] = y_root- S# k9 U! y& i% g$ c) e
    
38. 
    $ G4 W+ l7 W\" m9 r+ I' N- Y3 u. o5 V
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:) n: U8 N2 Y0 l  J, N% ]: s
    
40. 
    \" t6 ?8 z, M) j* y7 y' @* m( L, ^. ~
41.             parent[y_root] = x_root& @# T+ i) H' ~3 H
    
42. 
    & e6 m+ p) p0 d0 W! r$ n0 }
43.         else:
    , u7 e; K5 w' W/ c+ N
44. 
    ! R7 z+ r0 U% ?- Z% C' X, }
45.             parent[y_root] = x_root) o0 B+ \. w3 T2 F
    
46. 
    $ P7 W( V; c: f$ \: J+ y
47.             rank[x_root] += 1
    8 m& [5 I% G2 U\" `% H9 R
48. 8 E\" X* Y8 W8 F6 j2 v+ \
    
49. 
    ( q* L! L0 x( a
50. 
    4 G* H3 O  t$ X' a! w2 _
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    5 r6 |% y4 L! y7 l% E; [* G
52. 
    * l: O/ \! U' r2 x/ I
53.         result = []3 [\" \; k  j: A+ J2 |: g\" Q0 j
    
54. 
    ) k. y& c' A( E4 [3 A6 s, }
55.         i, e = 0, 0
    ; [6 `- Y; q9 H\" W
56. 
    9 }3 H, {4 x4 a
57. . y- B5 T, M7 P
    
58. 
    5 ~5 t  Z, l' e& E
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
    - M5 R$ s' j7 R7 j1 w. F\" h
60. 
    8 I9 V4 G6 l+ t
61.         parent = []
    $ v7 l, U6 U5 H, F
62. 
    7 \5 G& {) T\" J- ]
63.         rank = []
    4 ~; T$ O5 R, C\" H$ Z4 l
64. 
    3 W7 x# Y- z4 x8 G  d
65.   B) [+ D4 N4 C4 i
    
66. % c2 F+ h* X+ Z. t5 \\" E8 u- L4 C9 O/ |
    
67.         for node in range(self.V):' Y  r: a1 X, P
    
68. / ?6 l: d6 t  [
    
69.             parent.append(node)) }6 `\" R3 o( p
    
70. 
    8 i8 h8 D/ P1 k2 b
71.             rank.append(0)
    1 ~( R3 `% R4 P8 C
72. / d- W/ i. j  c- C* K) L
    
73. 
    \" }7 N6 h, R' l* i9 c( h* T1 U
74. 5 T2 E6 @4 _; I( z
    
75.         while e < self.V - 1:
    6 t. X1 W0 z3 g: R
76. 
    ; z- A1 c6 f$ q. I' q6 C0 D
77.             u, v, w = self.graph[i]
    3 m7 c\" X' C4 d8 g0 r2 T) X
78. ; I. D+ I3 ~2 H4 |
    
79.             i += 14 E- m* v9 {) ?, X
    
80. 
    : T/ H/ P- |% _: q; b8 [
81.             x = self.find(parent, u), Z0 \5 w7 {% f3 }8 n, C7 n3 N
    
82. * m\" Q7 d8 P4 a8 Q9 U/ X
    
83.             y = self.find(parent, v)
    3 x7 k  t6 k# J- `8 o
84. 
    . f* V- d- o8 c7 j9 Y+ L4 _/ I
85. 
      z5 }# G! C8 U% G0 j+ ]
86. 
    0 P4 \/ R, [0 I/ n
87.             if x != y:
    , f' u* i! I  n, _
88. 0 x6 v- x: D' h7 Y6 Z
    
89.                 e += 1$ W% @1 U% ?, D) z
    
90. - ^/ {1 n6 p$ |7 s3 l
    
91.                 result.append([u, v, w])
    4 {# k  r! K' F! l  _7 U- h* w
92. 
    6 k, k# P5 A$ A& c. p0 K
93.                 self.union(parent, rank, x, y)$ L8 h5 x2 n4 ~0 ?
    
94. 
    1 z9 u* M- r5 G4 [2 p
95. 
    7 i, M( n8 C! z& d# g5 R
96. 
    : K- ?0 `% V' ]( ^: F5 q6 [
97.         return result; }* c( x) ~( _% m4 |+ F- C2 p+ \. I
    
98. 3 e; D2 M\" Q6 b  {7 d) s$ X; A( q
    
99. 
    % ]8 T  e7 _7 u; T- P) h9 c+ N
100. 
     4 k- f& n& r- _/ q; h( ~
101. g = Graph(4)
     5 ?7 p1 N2 e% I
102. : Q3 ^2 [/ I- g
     
103. g.add_edge(0, 1, 10)( V8 K3 ^- r: K, U) @
     
104. 
     9 {4 O: s+ F6 r9 h1 O
105. g.add_edge(0, 2, 6)& _5 J\" J6 `\" K0 Z, i
     
106. ! ~+ o) r: o. q  K+ d
     
107. g.add_edge(0, 3, 5)+ k! D2 O; h) G6 P9 E1 j
     
108. 
     ) l0 m6 c$ t) i8 c) J4 a& M9 W
109. g.add_edge(1, 3, 15)* y, B# ?3 {\" G' J2 E9 Q4 y* [
     
110. 
       E8 R' T1 {4 u: G. T
111. g.add_edge(2, 3, 4); ]  ~. K) P% e8 u  m3 X% Z
     
112. 
     ( x( `; ?& S/ j  ?$ V( y2 g
113. : s. u3 \6 A+ f4 p  j
     
114. 
     ) u9 h4 p( S( d5 y( z$ j) [6 k
115. print("最小生成树的边:")
     8 ?! D9 K; X1 |& r
116. 
     ; c+ n1 i* o* {! W. ]
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。

& l9 m; X5 n  G7 j