实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数
9 F, P. v* q% X! I( y9 X. N+ y- F( ^
### Logistic 回归原理
6 @5 j6 `# P8 W9 m+ B; x9 G: |" ?; \% E
) l- L9 [; {- t5 t0 Y1. **Sigmoid 函数**：
  p2 r( M) e6 r$ u+ _; X+ y! V   \[
- I$ c/ \* b6 B; Q8 d   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
   \]
   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。

/ P" [3 G9 f8 p4 F0 \2. **损失函数**：
* `3 s* o) \# E" u8 X   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
   \[
   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
   \]
   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。
6 z7 }* a& Y+ T2 _8 Q9 \: P
3. **梯度下降法**：
   梯度下降更新参数的公式为：
- V% S; j, Z0 S, b; R/ `& N   \[
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
4 M+ m$ }& y/ ?: E9 ]6 }* }   \]
  f9 C9 A1 K: u$ p6 i5 {1 a   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。
+ k/ Y- J9 w8 b9 q& y+ Q  T+ Q

$ Z, z; s7 J" _
- F% c8 _& K, ?4 H( N
' B1 N7 p; {, X# n* \( G