实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数

### Logistic 回归原理

1. **Sigmoid 函数**：
   \[
   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
! Q1 F' H& h4 D   \]
   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。
; {! ~  Y, E. Q, ]. s) Q' l
  u7 M' \0 g; q4 Z" H2. **损失函数**：
   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
   \[
   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
2 c' S  V3 p0 T   \]
3 o) |1 l) h# s6 r   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。
" Z; _4 a( @* s' S4 J  H- C
4 ~9 y7 l( ~2 D3. **梯度下降法**：
' H! Y) T5 U$ |7 A# I   梯度下降更新参数的公式为：
   \[
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
% D1 D6 ~- N' i) o$ h% B% M1 N- y' q   \]
   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。
6 I- z+ X/ X5 S
5 V1 F5 P+ v& D) f% r) q1 W

7 s" g& Y  Q, j1 o/ a; R% ]2 r