实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数

### Logistic 回归原理
/ a# a7 a: K, ~1 g* a
1. **Sigmoid 函数**：
% i3 q( d* }, j& x; D   \[
" ^& O9 ^2 |: }, }  @   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
- K) ^& Q  X! ~% H/ @  f' g2 C9 G   \]
# y/ z. r% F" B/ `0 X4 j' `( a  g   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。

2. **损失函数**：
, @7 o* n- j$ D& q5 N; {' h1 k   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
   \[
   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
* d  n1 c: ~  g& l: b2 ?9 l, B# `   \]
& s& O6 T0 b/ o, ]( F2 k3 Y1 `   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

3. **梯度下降法**：
4 G' D; s, s- R0 Z   梯度下降更新参数的公式为：
- D1 o. _% H& V+ `   \[
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
   \]
: r1 v% ~: \, L   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。

% K3 ]8 V# o8 Q: d" X) [* a, V

; M9 k0 Y% E) L4 L" a! h
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