实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数
2 w: W+ t7 u: Y2 A
### Logistic 回归原理

1. **Sigmoid 函数**：
2 U0 @2 G% b( I! i4 h   \[
0 Y0 M5 K3 C1 z& [8 v   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
   \]
   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。

2. **损失函数**：
   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
   \[
/ @4 g, I" i2 B! H+ G% L# [   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
   \]
7 I+ C8 r5 r1 s* M   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

% I8 n; B& z* F7 J/ z# j4 L3. **梯度下降法**：
   梯度下降更新参数的公式为：
   \[
% M- Q, n. g' C* G( q   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
# S, [3 N+ D) w! ?) `   \]
   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。
  w  N" z6 q: y4 w) ?( r
+ f) Y1 p7 J. t3 G5 `3 Z
7 r  ~" v, @* ^7 x# h5 |

: L7 y8 t, s2 e/ G6 d