实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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发表于 2025-1-23 19:06 |只看该作者 |倒序浏览

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数

### Logistic 回归原理

1. **Sigmoid 函数**：
\[
\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
\]
这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。

2. **损失函数**：
Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
\[
J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
\]
其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

3. **梯度下降法**：
梯度下降更新参数的公式为：
\[
\theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
\]
其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。