能否用一个恒等式证明

ftg1029

2009年四川省初赛题。设a,b,c为正数且a<=b<=c,又a,b,c的平方和等于9，求证abc+1>3a.能否用一个恒等式给出证明？

王亚东

不会啊，怎么搞啊

数学1+1

ftg1029:
. c$ K4 x  l: S8 Y2 Z! c) q7 J        题   设a、b、c为正数,且a≤b≤c,又a、b、c的平方和等于9,
           求证   abc+1>3a
& [/ {* Z! q! J' T, P7 m7 H) O7 ^2 V           证明   因为0<a≤b≤c
                     a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
           所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
           即      3a^2<9
' c7 }9 @8 W% ~1 t2 @' `           所以   a<√3
           从而   b≥√3 ,c≥√3
1 H3 |$ V! E$ j0 J           所以   √3√3a≤abc
           即      abc+1≥3a+1
7 h( h! ~" p5 o' O9 `) i           所以  abc+1>3a

jtdu007

不知道能不能用不等式证明,不过通过一个简单计算很容易就解决了
楼上的方法是错的

20077066

证明   因为  0<a≤b≤c
- m% {) S' b7 b                     并且   a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
                     所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
                        即      3a^2<9
                      所以   a<√3
9 V; ~% o8 z% }8 N/ e                      从而   b≥√3 ,c≥√3
) C7 d& K- R* m  r, D                      所以   √3√3a≤abc
                         即      abc+1≥3a+1
                     故结论成立：  abc+1>3a