能否用一个恒等式证明

ftg1029

2009年四川省初赛题。设a,b,c为正数且a<=b<=c,又a,b,c的平方和等于9，求证abc+1>3a.能否用一个恒等式给出证明？

王亚东

不会啊，怎么搞啊

数学1+1

ftg1029:
        题   设a、b、c为正数,且a≤b≤c,又a、b、c的平方和等于9,
# G3 s3 e: U! C/ e0 `           求证   abc+1>3a
5 H. X7 @, B# K% G3 C% E. ]           证明   因为0<a≤b≤c
                     a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
) o( |0 R, g( m0 m! J. g4 G           所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
           即      3a^2<9
# Q6 _* X, @& z! l/ Z/ K9 ^" Z% g% A           所以   a<√3
           从而   b≥√3 ,c≥√3
8 A' @6 X8 y) }8 ~  K: O8 h           所以   √3√3a≤abc
( _# x3 H0 ^  H7 `  U, W1 V           即      abc+1≥3a+1
" n# t8 ~. M6 `+ {7 ?4 }           所以  abc+1>3a

jtdu007

不知道能不能用不等式证明,不过通过一个简单计算很容易就解决了
楼上的方法是错的

20077066

证明   因为  0<a≤b≤c
6 x; V0 E$ o# g5 d- u& P* G                     并且   a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
# x0 N5 C- T/ n" {                     所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
                        即      3a^2<9
$ a/ y' Y" w6 R. J  M                      所以   a<√3
/ L! ]3 W. q7 w$ P  D# x' t                      从而   b≥√3 ,c≥√3
                      所以   √3√3a≤abc
                         即      abc+1≥3a+1
                     故结论成立：  abc+1>3a