[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
5 a- a! a2 K+ b; b& i% N2 gRobert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
  ~4 s& K) Z% s( Z! S（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
1 c, A/ v. O4 I1 s4 v, b（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
, `4 k/ ~# X9 f) N（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
" C8 u' k3 V) }- e
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

Lehmann
& ^( D; C# N9 M1 \* E' d6 {) w另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
3 y6 {. l0 H# a$ H
+ w( A, l2 J) r（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
! k3 |3 n. S& k+ ?; A$ \（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
  n9 Q- ?# p4 F" m（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%
* ^* |2 f% J1 x
1 b0 h; C- i% x- u同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

Rabin-Miller
& I3 ?4 [# x/ G, M6 G2 r这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
7 W+ n* M% v. f  s2 l（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
( s8 X) m% Z* y' {/ p4 O" K（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
+ i# s2 U5 ]6 I$ _2 z# p" o: d（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
8 x0 w( d* B8 s# J
& c- w- z, M# x7 q+ n: P4 o这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
4 Q* L  m8 Y- V
实际考虑：
$ i6 a  z7 w# a/ n6 o/ |在实际算法，产生素数是很快的。

  r' ?% P& Q. v& d6 t（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
9 S/ |4 `0 I  v# d  f+ [0 J（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。


在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
+ O0 g8 m% }4 W, ~2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数