[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：
# f& D6 o1 l) K
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
. s% X2 O3 ~5 Y+ Y! P+ ?3 g( E（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
! D& R4 j! E4 g- V6 z, }6 k（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
  f( }$ u: h1 H4 c8 W& v
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。
; S0 p) K" e- @; |2 k; F# I" W# L
Lehmann
% s, e; @; g( j4 K5 P1 ^% a3 h另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：

% h( r& C$ e) K5 _4 e（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
7 R* C7 t9 }7 M' }. P! J9 `（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

' J1 w& u/ D9 M( C同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

2 P$ B  y; C0 ?Rabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
( K0 C+ a4 U4 R  w4 k5 }1 s" ~% w7 s
首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。

0 r; C$ i# c  }7 n0 p8 _（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
9 k( L0 O% U9 B3 L4 n' i# Z" k0 S（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
  m/ Q: G4 e5 w0 E7 R1 x4 x% m8 ]（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
1 c2 e: m: Z+ X9 M" a1 L- Z) W
这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
1 O8 x: u* b+ `8 C% K$ @
9 _9 K0 [2 v! F, e7 I实际考虑：
在实际算法，产生素数是很快的。
. I6 |3 j" s8 M: ^& D" Y8 C
1 N* A& P$ U4 z" |（1） 产生一个n-位的随机数p
; ^3 Y" q6 L9 z  @* x3 g" @（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。
& o; V& E- ?0 i2 u& v! O) Z
; Y+ T! A# `* e; ]1 O' \6 ~7 B2 r7 M
在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
, X) S4 R2 C2 `0 i9 j! F24.0秒产生一个512位的素数
/ y8 o6 o7 g  {3 a2分钟产生一个768位的素数
* e: y7 ^: o/ P7 I, C# I  t5.1分钟产生一个1024位的素数