[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：
  U3 {+ c, w5 A9 E* n
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
7 k4 t( o1 j+ H1 v（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
) a) e) @4 j+ p% ^6 w9 m（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%

+ M( Q. g. `4 Q; N, i. y9 M, d- g数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

: R: W* \& F) LLehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：

$ i0 ~0 F( _9 C: L  I. D7 |+ i（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
) p/ v$ G3 \' H2 _（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
+ g; H0 ^  y! O& d; u- A5 X( i; T) Q6 V（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%
7 O& C% P* }, z' `% W' p
同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
; j9 e" c: f, a7 C6 _0 M2 B2 M$ W: i
& l+ O; y( _4 b' t" ]9 aRabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
1 L$ U, k* w9 `, b
0 t& ?* R# g9 A+ w% V8 H" F1 ~首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
5 E7 G  Z0 e2 i" l9 m3 a
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
- u3 U8 G! A3 z& F+ b" j( F（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
! w! z8 |: K4 h4 T4 j（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
. d+ N- ?& R% ^. x（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
* g  s4 x$ D" B: i+ D2 J  h（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
' A$ _9 ]- c" S
4 u- L5 A: ]* b. j( ]3 Y0 Y% i这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
+ z8 O0 j$ c  x# t
实际考虑：
在实际算法，产生素数是很快的。

. e6 j, E8 ]- q, U: R3 c（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
( a$ B$ R) i! X! K. I/ g2 o5 E（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。

! d& Q4 r8 I4 y* o6 U0 O5 z# d9 S2 B
在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数