[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：
$ H) G* ]3 Z% M0 \
（1） 选择一个小于p的随机数a。
% S+ I- ?* Z" ?& A（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
2 Z% v0 [8 u! H4 b3 \4 Z- Y, P: v（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
: {+ w% x0 h$ Y7 V; @) z（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
+ b! E1 l% d- a9 }4 \! x
! M* c4 ^4 x4 O& R数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。
# J- @5 j) J9 B9 t
3 H! T4 D* t# ^6 p* xLehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
# ~3 R% N1 K/ y
% ^7 Z! @* d3 F# S（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
; d! T, d' u& W9 C+ L9 ]' g" O/ e（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%
/ M6 k2 ]/ S; Q- u$ X$ I5 T/ B
同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

" B. T& T" u! ?! M! n" XRabin-Miller
% L+ L. R. i. Q: T这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
4 J# y9 S2 ]/ R8 h3 a% U! M
( _) _& N! B1 k4 r首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
5 E2 f/ A( e- k+ D! @. }  Z
2 @2 V) E- [- d$ G# a) |1 g, Q（1） 选择一个小于p的随机数a。
1 P! y/ m) \! {6 ]（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
8 m% c* a" G/ p9 B/ n% J  s% o7 ~（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
8 V1 k9 x. l: W$ E
这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
8 ?6 H7 `. G$ D  |# E7 ^
& K' n  _+ V9 v6 U3 |/ v- @6 j实际考虑：
1 b1 m' a, h5 ^& R* j3 q; c在实际算法，产生素数是很快的。

（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
% C3 t9 K" a7 `! G0 \（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。


- N" j% m; V" T$ Y在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
: C/ F5 t9 C2 J' W& ~' h24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
% M" K- S5 S' ^7 e- G5.1分钟产生一个1024位的素数