[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
: ?! u, g  B0 ~  ]- IRobert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
9 i3 q5 e/ j0 d$ D. C0 L6 s（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%

数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。
% q" s7 J3 N& E7 y
3 g- _( x) w* YLehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
  o" ~" M# |2 ]6 X（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
$ l- c0 F/ a" W$ A$ Y- R（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

2 \" l& p4 v* g# q" ]( v# N同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

2 E- d6 N7 X0 C2 \" ARabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

4 C' U- q" j) d& @4 ^% f, q# |6 m首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
3 O. t; Y2 f1 F8 k6 [: W
7 s# m# g# [3 V0 t% U（1） 选择一个小于p的随机数a。
) G& L/ R& r" q% t（2） 设j=0且z=a^m mod p
6 s" J7 B/ Q+ w- c8 Q（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
. ?! |! S( ~# f% U) d6 X（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
& L$ f5 I0 y' {0 [7 m# c（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数

这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。

9 c6 c6 I: r" \; t% h  ^实际考虑：
在实际算法，产生素数是很快的。

9 t8 E) M. S1 G8 s; h6 z3 @6 d) t（1） 产生一个n-位的随机数p
+ s) i5 `* z1 q. E; x0 W) g（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
  R' a6 Q4 k, j（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。


; t& t, c) P; t" _5 P+ J# W在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数