[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

1 \  G1 Q7 S1 q: d（1） 选择一个小于p的随机数a。
% D0 _( [& `8 ?& z# c: W（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
8 A4 T# V2 q7 L& L  n! U1 K' G（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
( O, N2 X- P8 O* U3 ^: g
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。
/ e* q2 p% T' ?7 k1 q4 }' E  d1 w  D
Lehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
2 ]+ V2 {% L# u+ @) t, J* ]" _
（1） 选择一个小于p的随机数a。
; z( U0 m: k. O9 F. x$ K& o（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
( _4 K9 B6 z, ?5 U/ t（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
+ j+ @+ {; S8 N, V  p8 G; p& z1 ]; P
Rabin-Miller
6 C+ v7 P0 d) h这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

" o* Y4 z# b  Z8 D, [6 p2 Q+ Z首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
' t+ I7 e: y" e; v1 L
（1） 选择一个小于p的随机数a。
; f" y& V  Z# g8 V6 v（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
5 |6 g4 y" S) P/ ?9 L（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数

这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
8 ]9 l5 w1 p' y& M* I- t- p
+ t+ K( x9 N$ i" H实际考虑：
" u* c7 [7 T+ l4 c  m4 X在实际算法，产生素数是很快的。
9 D# t( d; N2 o
3 B; E! a) U* j3 A' Z（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
! N. x0 f' {# Z6 w. L& V6 L# g5 r  b（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。

1 M; @5 g- a- Y0 {3 l$ S
4 ~- |* t% ]. J( U! a8 T% o在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
. [7 G6 Q' r7 w* v, A* }2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数