虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内： : F x) d6 n& w( r+ _8 o2 c9 \+ \2 d1 k+ `
从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调% f- c" q+ r+ j
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能 ' R/ V g: b6 e9 S3 o最好地说明这个问题： : M. y8 `. K' z! k4 K# n7 r/ ]- w. d- F" _3 T% C
How could someone as brilliant as von Neumann think5 ^6 {$ O" D1 j4 c" ?6 u9 S- q
hard about a subject as mundane as triangular factoriz , u1 n; t2 [9 k/ z1 C7 B* Z-ation of an invertible matrix and not perceive that, ) d) g* o$ Y/ p( ^- zwith suitable pivoting, the results are impressively+ K3 }% ?* P: l5 [7 ^" r C3 N* r
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on 2 E1 E$ n3 D; t% X7 t, gexperience, concentration on the inverse rather than on 4 L3 h b0 i( w# Fthe solution of Ax = b -but I do not find them adequate. 8 r! D2 z7 B+ w FWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a+ j0 i: `# X0 e3 y
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem 4 d7 ~* c5 g3 Q* H# X8 ^for at least two years after the appearance of QR? Why- E% V7 M% _0 V& ~. r
did more than 20 years pass before the properties of 7 r2 G1 p* F8 W: ]$ n4 xthe Lanczos algorithm were understood? I believe that8 }) _( c0 b) m9 W" \1 F4 n0 _- R
the explanation must involve the impediments to - e1 H5 q; `6 D9 @1 Ucomprehension of the effects of finite-precision $ X" M, {2 I$ Marithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf) " [% x& I: t* r. b2 n; [- D- f) v7 u
既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所! B8 B3 k- o$ f/ m3 N) k* ^
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康& J4 D+ C5 z3 ^7 n
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里5 t9 \: U3 K9 Z6 J2 D& N8 y
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当7 Y' m+ @$ y) s7 S& v
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。8 f7 X2 V0 ?; M& L
, b# d* K, Y3 |' d& h侯一钊（加州理工）6 @ b0 \3 |% ?7 l. V/ F
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流- Y& {; E3 S, h% T4 e7 |4 z. o http://www.acm.caltech.edu/~hou/ 5 q; Y: r) L! z1 p" ] O3 Y3 h" x {
鄂维南（Princeton大学） 5 D1 F$ M% \; {. I2 o# ?北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟/ U5 Q0 A0 Y+ y# f: g) q( I h http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm ' [) n5 u" T6 q: n' q7 A . K4 s2 q3 B! V! g包刚（Michigan州立大学） : J) A! q+ f" T. c8 A吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等2 B b6 n! G. x5 g* r4 z% F http://www.mth.msu.edu/~bao/ / X! G5 ]" V1 l5 e/ r3 s 5 v) {7 t, C* f; Q) ^. v金石(Wisconsin大学) 7 W( ~3 E: h% W% ^清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、" v2 ]; ^8 n H' ~
动力学理论等 1 c& U9 d0 x+ x0 _http://www.math.wisc.edu/~jin/ 5 w. e3 T3 s3 ]0 ?2 K& K 5 w# a7 u1 c9 u) S4 N/ W汤涛（香港浸会大学） 4 f- w) m0 E7 t; D/ X8 i中科院，研究方向：移动网格法等# ^- e2 o' p( \" C; l http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ & m; w8 C- r [5 ~8 G& Z
# a' @9 ]- O' D7 F) g+ H7 {; n1 g% @有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher; l. ~, O; t+ u1 i
; U, E7 O4 k1 ?7 P: U$ z
的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一% O) i* Y; c, L# Y. H+ b. U. P
) d0 O& f6 w( }3 a c, }& Q个综述和展望，值得参考。 * ~5 N9 }9 o1 w0 K, q! p+ W1 o" \9 {( z/ p' D/ o
反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of2 [, @! I+ M0 j$ g: u
Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学8 B! ]. ~+ H- y& i$ m
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基% {3 d0 ` C' B3 b2 [
本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但" O" C, `# I+ h9 F% A- f
是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问 5 ?; j$ U5 E7 M/ F" {# J, @ e: ?题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘8 d: d) J6 ?/ s: @+ X
记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov # V* Y/ \" u+ o" X( M2 nregularization for Fredholm equation of the first kind》 2 {1 B0 `; {/ m$ `0 z, P5 X! \是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本 2 U, T6 q- q2 _ J1 |书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的 1 t6 B, t/ k3 F! W《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction- S$ l4 v6 d0 [9 ~, [5 X# G
to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错) v0 t ?: P8 T& L. x
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的 # o# h7 _8 I {5 n8 O! z《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以- n' ]; w! b8 [: ^! A
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的 ' B" j$ \9 Q$ E3 e《Inverse problems for partial differential equations》，8 Q* ]) f8 _0 J: H1 _) G
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for ( m5 t, k& Z6 f7 f, ], _Ill-posed Problems》应该也是不错的。 . d2 e7 B. i7 u $ _) D" j0 ~% s+ N* }在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-7 G+ w4 Q* |; Q
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的 5 k0 _7 a4 G3 W6 t4 O8 y《Computational Methods for Inverse Problems》。两本 6 t) u) P9 c! o+ ]$ Y书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基& r) O. q$ N0 b3 z
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅 ! Z3 q0 e" g7 d0 ?$ ^. \读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学4 m* q$ u. z6 ]) i
化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total ' q) o$ z7 N- N. V t0 e/ mVariation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是 5 `' V" C8 X0 qVogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该- i5 B7 b' H2 L, P
也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论5 G$ Z$ p& Z8 D' t: l; S6 t
了。 % r+ i+ g$ H* l" ]( D Y4 H. u! t " H) A" S" q0 z h6 Q反问题的reading list 可以在下面的链接中找到： * Q) Q' r: h! M9 {$ v0 m* fhttp://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html 1 a7 Z* ?4 {; a- d( g' D+ e
9 V, N9 M! Z: A. M! i) x5 y F
计算的热点似乎有两个特点： 8 v7 F7 p! C, q% q! x: Y0 [: f$ D9 A一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、8 |( }3 x: V, q# X
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学 6 k; X6 f/ @9 I( i0 [: b科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三 9 s7 q' O9 @7 ?. b5 P$ w种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学! [$ A6 z" Y; F, b3 h9 ?
中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。2 V# E8 ^. [' B4 N
+ s% s. c+ J/ H4 w一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微" o" x7 X; M' [
分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能1 P$ L. D! J; Q$ p, W$ D
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。) ], U2 v5 [9 c, V; P G: f% |6 ?
这也应该是一个值得注意的地方。
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发表于 2010-1-23 09:06
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