虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：. B+ P: G- d* I8 ^, W* v8 g
7 R. Q9 v3 c* v
从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调 9 d- t) b4 u/ O# s) v- H了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能& T( t1 h& @( `; f4 c
最好地说明这个问题： 4 x I. |/ Q5 B/ w+ d3 e! |4 g! K0 G5 { y8 Q" ?
How could someone as brilliant as von Neumann think 6 S0 j1 O# j1 \, [3 V4 Chard about a subject as mundane as triangular factoriz4 Y0 x0 x: Y' }4 @0 q
-ation of an invertible matrix and not perceive that, 4 W, c. k7 ~. X5 m% C$ U; R6 ^with suitable pivoting, the results are impressively % g. D9 H. a J. V2 m. u e$ wgood? Partial answers can be suggested-lack of hands-on$ @% ~& O# c! U; ~5 r1 d
experience, concentration on the inverse rather than on ; s0 p& C) U2 a% Rthe solution of Ax = b -but I do not find them adequate.( Z% s$ M- @: w' k( F/ J
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a - F5 v; v$ E; ~, {& j4 oLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem7 p/ ^' O5 C6 s0 z3 p4 J
for at least two years after the appearance of QR? Why: j% a% {6 P1 m
did more than 20 years pass before the properties of - W+ e" y9 ^8 s* [6 S8 Mthe Lanczos algorithm were understood? I believe that 6 E' L s1 w& y2 Rthe explanation must involve the impediments to % A; a& P0 m3 y$ Dcomprehension of the effects of finite-precision , i- h( }2 B$ H! J1 \7 Jarithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)+ y) ~& z+ ?/ P) ^6 W0 [
! ~0 C) F6 p4 c* d; @) E+ D既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所 ( q1 l; Q* `( e e$ b" o了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康 ( ?( U; O2 q0 y5 @7 r院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里' e% @ \* S% M4 \3 i% T
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当5 b ?; F! o v. a7 X
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。 , N; r7 o. D" r7 b' c ' z, o; A+ x0 `$ d侯一钊（加州理工） " g' m4 Z& @* H. b# f研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流3 n* w4 p+ n3 ] http://www.acm.caltech.edu/~hou/ 3 G* U; H% ?7 ]4 M& Y+ p$ `
9 |2 N# I/ b2 Z( H2 [1 k0 j; O) o
鄂维南（Princeton大学） 3 y. s4 q" t/ u北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟 7 n8 K4 ^# w) y+ A6 f) L! Ihttp://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm 4 T% X% N& e/ D1 n# `; P" | 4 x) f; u1 y, n' B" z$ w+ @1 ^) R包刚（Michigan州立大学）7 |- n; n/ a* @+ h) C+ B# d
吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等 6 y( c! j- ?+ f+ ehttp://www.mth.msu.edu/~bao/ : j1 s* d( n$ r0 K( v z5 [9 O
0 o S5 ?* L( @0 n. g' p% w% Q金石(Wisconsin大学)- M2 D! d: v' S
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、( S) B9 J4 ?) Q2 y! q* ~+ ^
动力学理论等- c7 m! q% P o4 F http://www.math.wisc.edu/~jin/ . {* o% _% n% @0 g
, c; f; R& P1 o9 J汤涛（香港浸会大学） 2 [" `8 Y6 u8 a# T( G中科院，研究方向：移动网格法等% p* u) j+ |% l' `% n& E: u% W http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ $ y* h1 F K+ V& N3 N \+ \( f( l- K ; r+ _- `8 Z' K. b4 \7 j4 Y舒其望（Brown大学） ) u% T7 v# v) \* y中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法 & z ?4 X. C1 j7 Lhttp://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html % d0 e, |; T- b- ^' I+ }3 \ : a2 h" r( n7 ]1 G% y! d陈汉夫（香港中文大学） $ Z2 F' ~8 x4 Q/ j研究方向：数值线性代数 h# A3 M2 q& r' I: |) E* ~ http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ : m) k5 A: X! o* Y3 {: ~) \' r
$ r: V/ B" Z. k/ x9 j
许进超（Pennsylvania州立大学）! v3 G9 y: l7 S
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法) o, H/ g" l7 J1 D- r' Z http://www.math.psu.edu/xu/ - K! E$ K7 ?, X n1 K0 ]
* F& K7 L5 z, }1 `6 M8 P2 e) F9 t8 Z袁亚湘 * F' o7 D x# i A" @) _中科院，研究方向为非线性最优化* G+ w: m& D( {( Z http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ & k* s8 {) u' V* `* }
- H3 B% r3 d6 I4 Q张平文（北京大学）8 K! X7 A7 M/ W4 O" `! ^( u
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与; G# Q7 V" U( `; |- p; M/ U2 c/ ^
模拟、移动网格法等 9 `/ W3 |4 p+ k- t5 \+ |/ ~http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html 4 ^+ [; D- B' a8 h7 U% p+ m" n: y
) h: r' r6 n; V8 L1 b& u
陈志明（中科院）" K/ W: j: t& |" l/ I$ o7 B
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法* n4 Y+ W0 z( B& z http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html ' l$ s* G; l3 _, T
) |% Z% H' d- h1 R
其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出, o$ M0 H3 O8 b- H/ f# S
7 c* n. V$ T8 m) ]
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许 : R% h9 _1 B" e/ j0 i是颇有裨益的。 o1 q7 F$ k% P6 O8 B5 H+ K
理论： " g4 E' q: f o4 |* I Q: ?最好的基本是 6 M9 ] ~; @) L" P2 uMathematics of Computation 7 A" Z" ]# C! D/ u# z6 X4 GNumerische Mathematik) s) J1 g7 \. L6 `1 Z f! F
SIAM Journal on Numerical Analysis) s8 A7 f$ Q$ O5 I
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications) L7 W& } ~# h3 m
SIAM Journal on Scientific Computing* X/ N; P; C. B5 i& a' x8 X
较好的有： 1 i% U0 ]3 g7 m" G/ kBIT 7 }! U( k# R& J+ Z2 RIMA Journal of Numerical Analysis3 J5 v+ M8 o. N5 ~
Advances in Computational Mathematics ( ~1 ~ D4 t- H$ e; wInverse Problems9 b! j" {9 t6 V X& r
% u7 m6 S6 n' m6 p0 c还有应用性质的杂志： @6 r$ P- w1 [4 K0 @9 F) N* o: @5 a: NJournal of Computational Physics# I* ]3 a$ x2 b( b! k6 _2 b
International Journal for Numerical Methods in Engineering. N# b& @) I% S+ k: P* q
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering e9 m; }3 d. k1 u
International Journal for Numerical Methods in Fluids $ g3 `1 D8 N6 [0 bComputers and Fluids# z# e! U1 z" ?$ J# a; x1 Z
Computational Mechanics & q5 O1 b& A; `; U' G- b) i还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of 1 `+ y4 \7 Q7 H- Y1 T6 f) dComputational Chemistry，Computational Material Sciences% e5 b( i u4 I) o5 F
也可以浏览。9 T7 ]6 m" t0 x: ~! [7 C
* h9 ]0 K2 n/ {, o5 I% B但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握. S( P: J6 w B& R
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大5 A# U" y: d2 g9 V
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出 ) s" o6 D$ n- b. Q6 @4 Z( }2 j+ o版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法' t7 b7 I4 V" ?' u
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写& N$ p$ ^* n( D# \; i" C
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy 1 G* f, O1 C& X2 Jstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等% U4 @- e; q- z
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我 $ f7 k8 N/ b5 i# t. o. r这里大概也有二三十篇，可以提供上载。 . |- p6 V( ?5 m! L4 Y7 A4 w% x$ @" z
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文" P% ~' @( F: \
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或 j) b$ v" J7 S% C* ?者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于 " e: v( a" U- z' N. f1 [% i, \( m计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。 / ]$ o2 x M2 ^! v# a8 D7 `, ~) A. K0 U a& K6 l" s
作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以 " b% K& H& A- a4 P称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。0 u0 l' ?$ }! s* y. |7 m
3 W3 R# f3 O6 z) O+ h; r
微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分 . d4 D1 Z* L4 r: m法、有限元法、边界元法和谱方法。 ' e) P7 ] o/ P9 }. }1 M q }3 g! C$ E; Z f1 _; }
有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程1 m n* R x N+ y/ w, e
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。3 e2 O9 O7 l: `, g9 S
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value 8 e0 p2 w4 c. A# C$ Y* h9 Y. B. v$ eProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本 i1 @8 ~ ]+ |0 r5 b/ H0 b3 {6 m《Finite Difference Method for Differential Equations》也很 8 d; T9 a9 W- M! }有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的' J5 `) K6 k& M0 y2 D2 E% F6 H
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另3 l6 f+ t8 J4 U6 S
外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律 $ d) w0 d" O; }! e4 j6 J数值方法方面非常出色的著作。 , L5 m7 G, W2 k: ^; S0 k" D0 \5 Y) r
有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method# M1 g0 R: R( S$ Q- X
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner( ?+ F9 V& W+ Y+ @; k* \
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element 1 r: U/ C- P0 L# Y8 `3 wMethod》据说也是不错的。2 Q4 i* {$ `0 @ j2 |
/ R: X) T( P7 |谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的: c: y/ E8 S+ ^6 U C9 t
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods " }' B; @2 e' W; f. V% |and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有1 u9 b1 N$ A4 Y. d
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/) { Q$ _* u- W5 m* D: A8 p
） 6 R1 R4 h9 x+ M' P上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的 6 }5 M5 g3 [/ s+ N6 n0 X9 b入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还 5 H O- A3 _0 V* u有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过- }$ z9 ^3 Q- W3 v
不知道能不能再学校里找到。 ; Y; z' J% U2 i" c6 n1 h! p ! P% E0 b, e& ]0 B0 y: ^除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可4 I5 e6 J5 ^* R/ w9 g: L5 K1 v
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。 ; F' | c. Z( \6 T + Y2 ]. d$ A. k3 }6 U计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional ; V6 @4 t0 k$ r) C0 \Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的( J: H$ H& ?9 |4 E* Q! v1 _" V t$ p
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常 ) `. |# I% H; w2 V9 y2 n经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理7 |6 L2 \* J9 z1 {
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东 / m1 _5 m) `! c0 U# k8 l. F西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。) l" g, [) O, w/ r
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导 4 p x% n* x" Y" m" `* W0 E出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛* y* x' v. i+ @7 |
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面 * d/ Q) f \9 E& w* O也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。 8 o- X" h9 Z3 s5 M, K7 F- T4 ~2 O6 T7 x" ~8 s7 {4 ~; C9 o
计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流 5 ^& C- H1 w: ~1 G体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没 3 e4 M) p: w# u! Y有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。# | ^0 o$ }8 x" v
5 O5 c3 u' \5 G7 W' _& k最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于' a3 ^3 `7 s3 E: z2 e
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下 6 r* S4 D0 s, a* F& t8 _+ O面的网址注册3 R0 y3 D. a. n$ P http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html : Z% N8 ~2 t: {- D0 p2 p$ D
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册 9 L4 b7 Q2 y9 ihttp://www.netlib.org/na-net : X2 d& h: h5 X# k2 ~ _ J; d# U9 }0 I8 F0 E' q/ m' c# p, }8 [9 ]* Z- t7 y
% r/ a6 n& Y0 V' U% A/ O Z
先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我5 p2 d t/ E+ ~! P e
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆2 }2 Z3 R) R0 T. O5 J
都有中译本的。& [3 |0 _# h1 c+ A- Z$ @
# E6 T. ]6 q$ `9 e' i
接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师: R1 {+ E9 ]- S$ z, x8 M
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐5 g% U5 h9 g. q7 z7 c
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方' i5 m0 |/ v- m/ j+ {. ^% R% ]7 y/ u( p
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面 5 r& O U! E, }/ v* J8 P" \有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列. @, V4 {8 x- w* b5 q# @
出来。 1 T) ~( ?; q. G2 y' I% K( M# w# ]0 W
国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。 / X. z/ `0 F) \: z+ m( B2 wKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen, 1 b$ U! g/ J: Q5 Y! HHigham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面 : x* d& L) R- O5 [8 d4 _的大家。 ( Y$ X) r9 g$ |' c- Q4 w0 I6 ~& E
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The/ |( d8 H2 h5 v
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等 ( R& S: h, s1 s1 _人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有， - I$ J( w. I5 g( j' A6 S0 ^系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是 1 z1 ~- z! Y; r# p很有启发的。现在的经典是Golub和 : ^5 y6 X' ]( w: qvan Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，; ?& S( Q7 i- I2 M/ L7 v
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上" @6 d! e* N* i# T, p
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear ! ]4 }0 M& c, Q8 \% U0 W. Z, FAlgebra》，Trefethen & Bau 的+ F" G f' F) `* D, Z; V( `
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef 8 v6 O O4 @+ r9 U0 Z: x2 dSaad有两本书《Iterative methods for sparse systems》 . t; E/ m8 L# C- f6 K和《Numerical methods for large eigenvalue problems》， \+ t$ j7 R7 y" r写的挺有意思的，在他的主页 7 J2 m9 O7 ]- {: y（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）0 S7 L7 _) v5 B6 J3 n# s
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老 1 m, g* [7 @4 c$ B书，《The theory of matrices in numerical analysis》( m# B! G9 y# {, T" Q
(有中译本，系里中英文版的都有)。 9 \+ N* N( x1 b2 h! A" ]8 g ' X1 w. A4 X8 g- YLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，& Z' T7 G3 A9 @' G
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，% S& S b% G, o4 w
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference) V& o9 v3 Q! k% M4 |4 T D* n
and Spectral methods》（在他的主页上可以+ S' i0 A7 ?3 I# t- w
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）$ j9 @& K" r+ ^1 K
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。7 D# M" X" J* S
& B4 l' F2 ~: w5 [# A0 O他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经 6 P, w& w' V! W典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文) w( s L9 A9 ` j
献，也许对大家有点启发。 & j8 q8 C) ?' z7 k/ @6 J7 [( w8 K( L0 U+ j/ K
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform- ~. h, N$ L- G. c6 L
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE2 y; b1 {9 J S0 S/ m
3. Householder (1958) QR factorization of matrices0 G$ b+ |, p/ j" c* @* G, ]) r
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas , C3 x. c1 _6 g9 [5. de Boor (1972) calculations with B-splines5 {: O& `3 f& ]/ {2 d4 M
6. Courant (1943) finite element methods for PDE( H* M: d4 c6 L
7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition$ Z/ {$ `2 m; S G6 I6 }$ z
8. Brandt (1977) multigrid algorithms! @ s) y+ T0 D v$ @9 B0 [
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration : ]: X5 z- U, G- g$ f. H# d9 F10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates! U8 q4 R& j# M& C4 E3 f
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE ( a, s; |2 P/ f5 |% c6 w0 Q12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.9 O% L4 L" `. C, u
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles+ D$ F8 V' C3 E$ m" }0 g
3 j- x- o/ w& Z' o
他的remark也很有意思，We were struck by how young many) ]* H$ S: I+ @# f
of the authors were when they wrote these **s (average: [& w, J" B% T# w
age: 34), and by how short an influential ** can be . _6 x2 u' w: o5 G(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家 * n/ S( `/ k, f( Y+ p% d! d都还是很有希望的，呵呵。 : ~0 @7 d _( o1 n* v) H8 W% y. R3 A# o
4 d( C1 N# K" {3 m! ^
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下 ' m+ V3 R) g1 E. ^- F1 Y! h& x; j$ s8 \( L
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed& R# r6 ^. {8 o9 Q* ]& i
* [* B# g5 y; t: z& o, B Y/ MProblems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前& f, f( y7 p/ o7 ?3 g
; \8 R0 D4 h) f1 V. K叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂: W) ?" H2 P f9 v- z
IP卡
狗仔卡
发表于 2010-1-23 09:06
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