谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：

8 D  i; ~! j" A/ _1 V8 Z: y从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
5 ]7 f$ z+ j# e最好地说明这个问题：
" z4 i% R+ H7 k. ?0 v; Q
How could someone as brilliant as von Neumann think
/ Y4 G+ z) k; R9 Q2 t! Chard about a subject as mundane as triangular factoriz
-ation of an invertible matrix and not perceive that,
with suitable pivoting, the results are impressively
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
9 W8 B, M. R9 J0 C0 _! @experience, concentration on the inverse rather than on
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
% g$ ]  U6 R/ O& {for at least two years after the appearance of QR? Why
! Y# A$ g' j. u& y+ Xdid more than 20 years pass before the properties of
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
the explanation must involve the impediments to
& U! [9 z  N& m9 Y& ^, Dcomprehension of the effects of finite-precision
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

5 E8 t. v( b& b既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
2 C' V  }/ f) ]: @* e前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。

- c! B$ w4 A# U侯一钊（加州理工）
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
http://www.acm.caltech.edu/~hou/

鄂维南（Princeton大学）
" i: G7 U2 ?9 X北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
: b' m. \! M* e
包刚（Michigan州立大学）
吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
http://www.mth.msu.edu/~bao/

金石(Wisconsin大学)
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
动力学理论等
http://www.math.wisc.edu/~jin/
, [& R: X# x, f  o5 z9 ?
汤涛（香港浸会大学）
中科院，研究方向：移动网格法等
0 ?/ m( A% }7 C1 P- Q( Whttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
9 n8 K" @6 G  `8 k, J3 E% p1 d* K( [
/ B6 |. C* @4 r- T舒其望（Brown大学）
% ^4 Z9 ~% W; R; u中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
, f' m) X% ^$ M9 Uhttp://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
# c2 W: y) _; Q# y  Z
陈汉夫（香港中文大学）
0 |) _5 c* e$ }2 {. H研究方向：数值线性代数
" w. L$ g: K5 k3 ehttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/

# {; g& K8 F+ Q7 ~0 y; D, r5 o8 e许进超（Pennsylvania州立大学）
; n3 N1 m& L! B4 A北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
http://www.math.psu.edu/xu/
0 C6 O* v) t, o: n0 N
, B% H! T4 I% Q0 F$ B/ t( p袁亚湘
0 w# I5 v& \  s2 ?7 F中科院，研究方向为非线性最优化
' s3 ]3 x1 [& p8 _http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

3 x7 Y/ H% I* ~4 R, R1 h, k8 X张平文（北京大学）
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
模拟、移动网格法等
1 y3 J6 h! I0 h7 F3 {http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html

* b. J2 G8 Z' C" u! `陈志明（中科院）
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

9 G, X3 g6 j+ [* E0 B9 E( e其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出

% n3 ]- U9 L+ t4 V4 A) P' E作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
0 d, ^; [1 I% n- z是颇有裨益的。
理论：
( `  I2 D. y; U& m" B最好的基本是
" h, v# e5 Z# `! nMathematics of Computation
& Z# @  H+ L% F4 [( P. gNumerische Mathematik
* Z; j6 a$ Q/ R& M2 V4 Z& ^SIAM Journal on Numerical Analysis
8 m$ _! i1 _+ ~" i5 GSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
SIAM Journal on Scientific Computing
较好的有：
9 I8 R& ~& O, M7 w/ @BIT
$ g) G% l: L6 k+ @IMA Journal of Numerical Analysis
7 S  g6 X$ `: k2 sAdvances in Computational Mathematics
Inverse Problems

还有应用性质的杂志：
: @( Q3 p. {+ DJournal of Computational Physics
# r( B6 ]* A( D: cInternational Journal for Numerical Methods in Engineering
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
International Journal for Numerical Methods in Fluids
Computers and Fluids
7 J' W. F! |+ R# dComputational Mechanics
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
Computational Chemistry，Computational Material Sciences
6 F6 ~4 k7 S4 t9 j也可以浏览。

但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
$ G; J) m0 ]# @' a了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
) q4 V6 ^7 m' y2 R/ W' r的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
' R% k( |4 r6 J5 |$ v/ l- |stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
& K: r/ M) m& S( S等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
/ B1 @  h; Z' e% W. `& E这里大概也有二三十篇，可以提供上载。
" X% Z9 Q$ ^5 m6 V
3 R' \3 F' c0 B0 ], i( y0 [% D另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
& F+ n( k2 X4 t7 W0 p0 S6 v1 G者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。
1 b) P+ `/ ^8 f: t5 K! @0 K
7 H+ ], i4 y, X3 m0 n# J& C作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
% Y$ o$ q' P% V5 j+ Q- h$ o0 M称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。
: w- g& ^0 y! L/ r' |' }3 i1 @
3 D3 |1 }- _2 B5 ]) s8 U微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
法、有限元法、边界元法和谱方法。
2 `0 a# Q8 L# O8 }
1 N0 c; Y" q% y: ^有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
; _% v6 P4 B# l# e1 ?( {数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
; A* D( e* _( Z' n6 w. o% t《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。
, w# K! D- _  S- r5 S0 c& y* a6 A
7 ?: v$ M: h% R有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
Method》据说也是不错的。
( T5 m6 T' v* }# i" O7 {* |8 Y2 }' D8 B
9 l3 q. W3 c1 X) g谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
）
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
不知道能不能再学校里找到。
5 X# c4 U5 }6 f8 V& E9 z5 O( h
除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
9 E& I6 R9 B1 q" m) X以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。
" u5 C( z8 V2 U; B3 _) R
1 [# B# f) h8 m9 @( }计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
* P2 ^5 t2 I+ o7 Q  s$ w《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
6 V. k$ ?" Z+ \' t* ~8 a在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
) H  M# o) m, Q7 y0 O* b# ~2 Z! K西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
/ q- b3 h0 s9 _" H* ?( ]( `0 b3 F3 e这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
$ J& r8 w- N2 _也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。

计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
; {' d; A! I- @体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
5 O' G$ d8 U& q7 b! i有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。

最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
# Q5 H/ B. ]; p: E- h1 H  c面的网址注册
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
) x8 ~* t+ _' I/ S5 ihttp://www.netlib.org/na-net
$ ~$ q7 T/ x% h( g- d& L% ?  l


9 ]3 Z3 t/ C, J5 y! R先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
. b1 ~- P  H3 m1 |/ _8 ]. N记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
都有中译本的。
' g' ^4 A; f- a6 Y5 A3 k2 i
! N- z9 Z% N- X/ U8 v4 R接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
9 C' t0 M' J2 s; t! i* ~在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
0 P4 e9 k' R" a  w5 O, W& u: {有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
& v+ k# G4 C# t# f出来。
! g8 w; }% q2 {& H9 l; c
国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
的大家。

1 a; `! ~% }$ T2 j% e. h$ A) T矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
  i# q% k2 b/ a6 n+ UAlgebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
% y; O2 ~  l5 c1 t: A系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
! [) e! E6 ~: c; F0 h" a/ P+ I8 K很有启发的。现在的经典是Golub和
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
6 m& w3 Z2 m: O  y" p《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
* P- y- M8 w' r# m! S找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
2 X* ?" G. v: |+ k8 ^: XAlgebra》，Trefethen & Bau 的
* A1 x8 ?) z) k《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
, j- o& H" v3 J) Q7 `3 c% B/ i1 u( h写的挺有意思的，在他的主页
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
/ R; T  [3 V! k/ E& i书，《The theory of matrices in numerical analysis》
! v1 W; D( L1 Y(有中译本，系里中英文版的都有)。
' p# Y9 H5 O, h, N- w1 W" ~
6 M3 L' [7 o0 l  WLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
7 ?* V1 f3 Y, W( l  ?+ h1 |前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
8 b/ P2 H$ |9 g; w6 K《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
and Spectral methods》（在他的主页上可以
8 W8 }# P4 a$ S( f2 f  S3 K& tdown，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。
- z( H2 }6 C9 I8 {2 c
, \( S8 C8 }7 `" W他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
献，也许对大家有点启发。

1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
7 H; r  W. z5 o0 r2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
3. Householder (1958) QR factorization of matrices
$ U5 s+ }- j; N& I5 X4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
6. Courant (1943) finite element methods for PDE
# R8 V! ]$ ~$ C9 ]1 `3 t) P; k7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
8. Brandt (1977) multigrid algorithms
3 v/ U" v7 x: e9 W9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
8 W* X% E9 n" T8 p" P8 n: ?10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
8 g9 m  {$ M6 U' V1 L0 M11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
0 T. B6 s$ o8 g/ u- I' C( h' F12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
8 }3 X; }/ P3 n) p
! M7 g- O4 t! A& N' V他的remark也很有意思，We were struck by how young many
of the authors were when they wrote these **s (average
age: 34), and by how short an influential ** can be
9 Y% ~/ r0 c: i" f, {, H(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
都还是很有希望的，呵呵。
4 h) ~. i+ X1 X! Z8 a, h
  W) S% @+ `  j/ s
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下
: `0 ]  G& P, P; o, Q
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed
5 s: ]1 R0 T' O: o2 z8 U
& i# D$ f8 W7 e* q2 h$ kProblems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前

, A4 e0 P2 J2 m2 @7 K% D叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂
2 f6 B$ ], i% |9 f7 x) F
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的
6 Q7 T5 ]# l2 d; S
. `) u1 \7 q2 m, [! M9 T杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical

Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM

7 |& U/ `7 e: A0 x, S6 W. R8 BJournal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on

Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
3 V0 ~& T) t/ i8 ~
4 b" i/ X& r" W' `0 b, j) B/ _" w在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问
9 L5 `5 U' ]5 P
题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好

9 ]+ g% H9 x; }8 Y, G( l9 O# e7 b的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他

们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW

7 s# I3 h$ n  LEngl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin

Hanke（德国）， Isakov（美国）等。
! I$ S! T2 {6 z! |
反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根

4 w& w0 V. ]9 |6 x; N' T据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应
3 ~: q8 i' w5 Y. {3 L
用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。
% K/ M" j- f2 y
水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
7 B+ E+ R, G$ G+ x7 `- H的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问
# ~% x7 [# H4 e! x
题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水
! `5 G- t3 t  i: ?
0 S; P- w# G; p2 W1 `1 j平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上

有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher

的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一

1 d& J1 L9 `# F9 g5 }" z% R3 G个综述和展望，值得参考。
' X& B5 q( W: H. }3 T
反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
+ {1 }* [: |$ o2 kIll-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
3 \/ v  @. D& `9 ?6 T1 C0 [是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
# V: L) l+ y. M. n+ Y+ ]8 X记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
* i7 \3 v  f2 iregularization for Fredholm equation of the first kind》
- C; z8 g1 f7 j是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
7 g1 q# O5 o7 v8 @# T; J' y- M作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
《Inverse problems for partial differential equations》，
6 P; @7 l% l  N2 z, ZMartin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
# `  Q/ s" x) E+ k( vIll-posed Problems》应该也是不错的。
- q2 H- U7 d! y
在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
- |+ ^/ e$ z7 qdeficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
) d; q* L9 y5 `% Y书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
% i/ {0 r9 d1 q; x& N本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
0 ~! C& N' W4 ]$ B7 J读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
2 g9 A: s- l2 pVariation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
3 d5 y, r; L# @6 K9 ]. `; c: G+ bVogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
7 z5 l, w/ [. F9 {也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
了。
. v) X/ F* a) H. d* d
' T+ f, z6 l% I  ]* e$ ]; s反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
( c( b! W$ {8 c$ A0 ?. Q$ M9 Zhttp://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html

; I" k9 q* |6 d' I9 y6 Z( [计算的热点似乎有两个特点：
一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
8 f0 Z" V/ ?8 F: p* b* }# w  i科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
" F' R; x, |( r/ Q种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
" d' `( ^) \2 x3 q* f/ |7 v$ [# v中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。

一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
' u7 N8 A: l* d! A这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
" z2 z8 \2 f0 l. g2 ^# D' w你看了吗

5 ~% J6 e8 m7 n( a
+ B: T# D. H5 C) C回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊