素数及相关问题的探讨

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素数及相关问题的探讨

- V. V3 p! q* U这是中国人在2009年前，对素数、孪生素数、素数等差数列、哥德**猜想的论证，供各位数学爱好者茶余饭后，进行欣赏。
. }: M. Y  @9 i" `$ V精彩片段：有人把哥德**猜想与孪生素数看为相同的对称性问题，只要解决了一个，另一个就应该解决，事实上并非如此：
$ J  P5 o+ B! P9 J. k5 Z哥德**猜想是大于6的偶数可以表示为两个素数之和。意味着，表示为偶数之和的两个素数与偶数而对称，即两个素数与偶数有相应的对称关系，如任意三个连续偶数中有两个偶数，分别除以3余1和余2，组成这两个偶数的素数对中的素数，最多有一个素数是相同的（素数3），其余的素数都是不相同的：除以3余1的偶数的素数“1+1”适应于除以3余2的奇素数；除以3余2的偶数的素数“1+1”适应于除以3余1的奇素数。这充分说明了组成偶数素数对的素数与偶数有关。
6 e3 D  q2 `( ^  V7 M% f孪生素数是间隔距离较近的，相同距离的两个素数，间隔相同距离的两个素数是客观存在的，客观存在的孪生素数与我们所取的范围，而范围本身并不影响孪生素数的存在，范围与孪生素数的存在没有直接因果关系，如不论我们取32，34，36，还是40，这之内的孪生素数组：（5，7），（11，13），（17，19），（29，31）都是不变的，这充分说明了范围不干预范围之内的孪生素数的诞生，不影响孪生素数的存在。而孪生素数只是素数等差数列的一个方面。
4 r5 p* H' ]; h+ M3 ^) b( U不论是素数，还是孪生素数、素数等差数列、哥德**猜想都是研究素数与素数之间的关系，素数的分布和素数的结构问题。
哥德**猜想，分为两个命题：
命题1，大于6的偶数可以表示为两个奇素数之和；
8 L. y+ v+ O9 O0 q' m  `命题2，大于9的奇数可以表示为3个奇素数之和。只要解决了命题1，命题2就不攻自破了。
% P1 u: P" c/ B/ ]6 D7 a! M一、证明思路
因为，哥德**猜想涉及素数，所以，我们得从素数开始说起。
0 ^: [/ W( C( t( ]1 l5 |* R4 S    1、素数，只能够被1和自身数整除的数，叫素数。（自身数≠1）。
素数的形成线路，就是素数的分布。素数有两种计算方法，计算结果是一样的，一种计算方法，说明素数随着所取自然数范围的扩大而变稀疏；另一种计算方法，说明随着所取自然数范围的扩大素数个数，会不断地增加。
    2、孪生素数，属于素数的个性关系，它的分布也与素数的分布大同小异。同样有两种计算方法，计算结果是一样的，一种计算方法，说明孪生素数随着所取自然数范围的扩大而变稀疏；另一种计算方法，说明随着所取自然数范围的扩大孪生素数个数，会不断地增加。
# w4 `- n- X, ?$ P7 L    3、哥德**数，人们把能够组成偶数素数对（1+1）的素数，称为哥德**数。它的分布也与素数的分布大同小异。同样有两种计算方法，计算结果是一样的，一种计算方法，说明哥德**数随着偶数的扩大而变稀疏；另一种计算方法，说明随着偶数的扩大哥德**数个数，会不断地增加。
& n; S6 M/ ^/ G! B5 Y" b所不同的是，哥德**数与素数、孪生素数的区别在于：素数和孪生素数个数是取自然数范围；哥德**数是取具体的偶数。范围没有个性与共性之分；而偶数有个性和共性之分。我们把不能够被所有素数删除因子整除的偶数，称为偶数的共性；把能够被部份素数删除因子整除的偶数，称为偶数的个性。共性说明偶数的基本素数对，随着偶数的增大而增多；个性反映偶数素数对参差不齐的原因：是共性偶数素数对的多少倍。
哥德**猜想与孪生素数还有一个区别：相差2的，不能够被素数2和3整除的奇数组，每6个自然数就有一组；而不能够被奇素数3整除的偶数，不能够被素数2和3整除的奇数对，即素数2和素数3删除后，平均每12个自然数剩余一组奇数对。由此，造成了取不能够被所有素数删除因子整除的偶数作为自然数范围时，孪生素数对是不能够被奇素数删除因子整除的偶数的两倍，相当于只能够被素数3整除的偶数的素数对。
8 t8 |  D) I8 F- I0 v二、素数
; M5 I/ o1 E1 b: k. H. W; w素数，只能够被1和自身数整除的数，叫素数。（自身数≠1）。
8 j$ b- `1 C  `4 ]; M6 a（一）、素数的分布
素数的分布，又叫素数形成线路图。它的分布是以除以素数删除因子的余数而定的。素数删除因子是指小于所取自然数范围平方根的素数。素数的分布图为：
    1、第1个素数删除因子为2，以素数2的删除形成了素数总线路，素数总线路为除以2余1。我们把它用等差数列表示为：1+2N，即大于2的素数存在于1+2N这个等差数列之中。
+ r8 f- a3 x+ N    2、第2个素数删除因子为3，以素数2、3的删除形成了第1分支。我们在总线路1+2N等差数列中，取与素数3相同个数的连续项3项有：1，3，5。删除能够被3整除的3后，剩余1和5。因素数删除因子2*3=6，我们就以6为公差，形成第一分支的两条线路：1+6N和5+6N，即大于3的素数存在于1+6N和5+6N这两个等差数列之中。
    3、第3个素数删除因子为5，以素数2、3、5的删除形成了第2分支。我们在第一分支的两条线路：1+6N和5+6N两个等差数列中，各取与素数5相同个数的连续项5项，1+6N有：1，7，13，19，25；5+6N有：5，11，17，23，29。删除能够被素数5整除的5，25后，剩余1，7，13，19和11，17，23，29。因素数删除因子2*3*5=30，我们以30为公差，形成第二分支的8条线路：1+30N，7+30N，13+30N，19+30N和11+30N，17+30N，23+30N，29+30N，即大于5的素数存在于这8个等差数列之中。
% Z1 k0 d" Y; O) E    4、第4个素数删除因子为7，以素数2、3、5、7的删除形成了第3分支。我们在第二分支的8条线路：1+30N，7+30N，13+30N，19+30N和11+30N，17+30N，23+30N，29+30N等差数列中，各取与素数7相同个数的连续项7项：
1+30N有：1，31，61，91，121，151，181；
7 g! }; S( w- S8 B$ K7+30N有：7，37，67，97，127，157，187；
13+30N有：13，43，73，103，133，163，193；
19+30N有：19，49，79，109，139，169，199；
11+30N有：11，41，71，101，131，161，191；
17+30N有：17，47，77，107，137，167，197；
2 B: ]' S$ y# y; W$ v" a7 i7 T23+30N有：23，53，83，113，143，173，203；
29+30N有：29，59，89，119，149，179，209。
用8个等差数列的首项1，7，13，19，11，17，23，29乘以素数删除因子7，得到素数删除因子7，在这8个等差数列在2*3*5*7=210之内的删除数为：7，49，91，133，77，119，161，203。删除后剩余48个数，因素数删除因子2*3*5*7=210，我们以210为公差，以删除后剩余的48个数为首项，组成素数形成线路的第四分支的48条线路，即大于7的素数存在于这48个等差数列之中。
9 d, h6 N1 m" z, s( c0 t/ G' W    ………………。
& P- G6 _0 U' V$ o! n当我们把这里的素数形成线路，第一分支稼接到总线路上，再把第二分支稼接到第一分支，把第三分支稼接到第二分支，把第四分支稼接到第三分支，………，就这样一直稼接下去。从而形成了一棵巨大的素数形成大树，这就是美丽的素数诞生树，也是素数分布图。
说到这里，有些问题还得在这里说清楚：
（1）、这里的48条素数形成线路，说明大于7的素数必须存在于这48条线路之中，无一例外。并不是说这48个等差数列的数都是素数。
0 `7 J% j& t% N, S0 R2 Y9 B  m4 b（2）、这里的48条线路中有：121，143，187，209，169并不是素数，我们以121+210N为例，它表示除以2余1，除以3余1，除以5余1，除以7余2这一房素数，在这里是不可以缺少的。只有当121+210N等差数列取11项：121，331，541，751，961，1171，1381，1591，1801，2011，2221，素数11删除时删除了121，121才完成了它的历史使命。如果说，我们在这里删除了121，就等于删除了121+210N，那么，就漏掉了331，541，751，961，1171，1381，1591，1801，2011，2221这些数+2310N这10个等差数列，这10个等差数列都是可以产生素数的。我们换一句话说：在素数形成线路中，只有当这个数能够被组成等差数列的公差中的素因子整除时，这个数才算完成了它发展素数的使命。
（3）、素数形成线路图与合数数列

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①、素数2的删除形成了两个等差数列：1+2N和2+2N，两个数列平分自然数。1+2N我们把它作为能够产生素数的数列，2+2N我们把它作为合数数列，2+2N除素数2外不会诞生新的素数；
    ②、1+2N数列，由于素数3的删除，分成了3个数列：1+6N，5+6N，3+6N，3个等差数列平分了不能够被素数2整除的奇数，1+6N和5+6N我们把它作为能够产生素数的数列，3+6N我们把它作为合数数列，3+6N除素数3外不会诞生新的素数；
( a6 r* q4 f- F$ r0 G& Q* V) a    ③、1+6N和5+6N数列，由于素数5的删除，分成了10个数列：1+30N，7+30N，13+30N，19+30N，25+30N；5+30N，11+30N，17+30N，23+30N，29+30N，10个等差数列平分了不能够被素数2、3整除的数，我们把1+30N，7+30N，13+30N，19+30N，11+30N，17+30N，23+30N，29+30N作为能够产生素数的数列，25+30N和5+30N我们把它作为合数数列，25+30N和5+30N除素数5外不会诞生新的素数；
    …………
1 E2 r$ K3 d1 Q" `    一方面，从合数数列不会产生新的素数，而产生素数的数列不断分离出新的合数数列。因为，随着我们所取自然数M范围的扩大，√M的值会增大，素数删除因子会增多，造成素数形成线路的分支增多，分离出来的合数数列也会增多。说明素数的密度，随着自然数范围的扩大而变稀少；另一方面，从素数的形成线路永远存在，说明素数永远存在。
1 V( I! O4 `2 L: e    从素数形成线路图，诞生了素数计算方法。素数的计算分为两个方面：对素数个数的计算和对具体素数的寻找。
- R" `( P4 F3 a    素数个数的计算又分为两种：一种反映随着我们所取自然数范围的扩大，素数的密度越来越稀少；另一种反映随着我们所取自然数范围的扩大，素数个数会越来越多。两种计算方法的结果是一样的。
% S4 m. W! ?" |& v; R+ k- x2 k    （二）、素数的计算
, w0 j  p5 G) F- O7 W    1、素数个数的计算方法1。
& o, l0 p$ B* n# v/ B    设所取的自然数范围为M，我们以“√”表示根号，√M≥N，N为M的最大素数删除因子，那么，M的素数删除因子为：2，3，5，7，11，13，……N。
8 Y1 N* T1 h; G& A' k    因为，从前面的素数形成线路图，我们可以看出：任意素数删除因子N删除自然数的1/N，必然剩余（N-1）/N；每个素数删除因子在删除中是把素数删除因子自己给删除了的，根据这一原理，我们得出不包括素数删除因子的素数个数的计算方法为：
    M内的素数个数为：M*（1/2）*（2/3）*（4/5）*（6/7）*（10/11）*（12/13）*……*（N-1）/N+素数删除因子个数-1。这里最后减去的1，为自然数1，因为，自然数1不能被所有素数整除，但它又不是素数。另一方面，当我们所取的自然数范围扩大时，对于这个自然数1的问题，我们也可以忽略不计。从实践中得之，这种计算方法是相当准确的。
& }* ?! p3 n) Q6 p2 s1 `$ a" D    我们从乘数（1/2）*（2/3）*（4/5）*（6/7）*（10/11）*（12/13）*……*（N-1）/N可以看出：
    （1）、只有素数删除因子对合数进行删除，而小于√M的合数是不直接参与对合数的删除的，小于√M的合数的删除是由组成合数的素数的删除所代替了的。
: G" ~8 B& W7 c# T    （2）、素数删除因子N，对合数的删除为自然数的1/N，或者前面删除后剩余数的1/N，剩余（N-1）/N的数不能够被素数删除因子N删除（整除）。因为（N-1）/N<1，当M增大时，素数删除因子N的个数会增加。故，当M增大时，素数删除因子N的个数增多时，（1/2）*（2/3）*（4/5）*（6/7）*（10/11）*（12/13）*……*（N-1）/N的值会变少，所以，当M的范围无限扩大时，素数的密度会变稀少。
2、素数个数的计算方法2。
    因为，根据分数计算式（1/2）*（2/3）*（3/4）*（4/5）*（5/6）*（6/7）*……*（N-1）/N=1/N。
6 d# R1 {$ e6 P/ `    我们在上面的计算方法中，增加不参与删除的合数的删除，上面的计算方法就变为：
    M*（1/2）*（2/3）*（3/4）*（4/5）*（5/6）*（6/7）*……*（N-1）/N+素数删除因子个数。我们把（1/2）*（2/3）*（3/4）*（4/5）*（5/6）*（6/7）*……*（N-1）/N=1/N代入，M*（1/2）*（2/3）*（3/4）*（4/5）*（5/6）*（6/7）*……*（N-1）/N+素数删除因子个数=M*1/N+素数删除因子个数。
    如果要叫M*1/N+素数删除因子个数恢复原来的近似计算，在这里乘以了合数删除的剩余数，恢复必须乘以合数删除剩余数的倒数。
6 y+ H9 @/ q3 O# C. U+ P% I    我们按合数剩余数（N-1）/N的乘积：（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N有：
    （1）、当合数N≥9时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）<1/2，即当最大的素数删除因子大于9时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的2倍；
    （2）、当合数N≥16时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N<1/3，即当最大的素数删除因子大于16时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的3倍；
    （3）、当合数N≥25时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N<1/4，即当最大的素数删除因子大于25时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的4倍；
( B( q" n2 K/ i( G0 ~$ E- Y    （4）、当合数N≥33时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N<1/5，即当最大的素数删除因子大于33时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的5倍；
. A9 D- ]4 n2 b, n    （5）、当合数N≥45时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N<1/6，即当最大的素数删除因子大于45时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的6倍；
7 Y  `1 h$ Y- h1 ?) w    （6）、当合数N≥51时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N<1/7，即当最大的素数删除因子大于51时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的7倍；
    （7）、当合数N≥60时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N<1/8，即当最大的素数删除因子大于60时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的8倍；
! |7 o/ [1 |+ U+ q    （8）、当合数N≥70时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N<1/9，即当最大的素数删除因子大于70时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的9倍；
, l/ R9 L' Q6 Q' f4 m5 u/ I" W    （9）、当合数N≥80时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N<1/10，即当最大的素数删除因子大于80时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的10倍；
9 ?8 q7 \* |0 }; \    （10）、当合数N≥90时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N<1/11，即当最大的素数删除因子大于90时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的11倍；
" r- [# ~3 G) T! r; k    （11）、当合数N≥99时，（3/4）*（5/6）*（7/8）*（8/9）*……*（N-1）/N<1/12，即当最大的素数删除因子大于99时，M内不包括素数删除因子的个数≥最大的素数删除因子的12倍；
( o# k* E1 i- P    ………………。
1 l- }) f& ?# C5 r    这里的N，指我们所取自然数的范围为M时，M开平方的值，也就是说：M≥N*N。上面素数的个数≥M*1/N，当M的范围增大时，N的值也随之增大，M*1/N也随着增大，素数个数会增多；上面还说明，当M的范围增大时，N之内的合数会增多，合数删除剩余乘积会变小，当合数剩余乘积小于1/K时，M内不包括素数删除因子的素数个数≥最大的素数删除因子N*K的值会增大，这充分说明了素数永远存在的道理。
    3、素数的具体寻找，请搜索《公理与素数计算》。该计算方法的特点：除素数删除因子外，不会漏掉任何一个素数；优点是：随着所取自然数范围的扩大，将寻找的范围按自然数的比率随之缩小，改删除由与素数删除因子试除，为与素数删除因子相乘，达到了删除的准确性，减化了计算步骤。比如按试除法，要寻找一个大于10000的素数，必须用这个数除以小于100的26个素数删除因子，方能确定这个数是不是素数。而用相乘法，只对前面删除后的剩余合数做一个乘法题就可以删除，所有合数删除后剩余的自然就是素数，如果您不信的话，您可以体验一下就知道了哈。
# B* w5 ^" W" r" ^4 @1 x% H    三、素数等差数列
6 B; Y: n4 Z# C3 k- X8 i    素数等差数列，指等差数列的各项都是素数的数列，人们的探索都是指这些数列有多少项，这里我们来共同进行探讨。
9 p+ B# `8 z% \- F9 V1 u    1、因为，大于2的素数，存在于1+2N这个等差数列之中，这个数列的公差2不能够被素数3整除，故相差2的等差数列，每3项必然有1项被素数3整除（删除），所以，相差2的素数等差数列，如果首项不是素数3，最多只能够存在2项的素数等差数列。如果首项是素数3，最多只能够存在相差2的3个项的素数等差数列。因为，大于3的素数删除因子，没有形成对于素数3删除之间剩余的2个项必须删除1个项的删除要求，所以，相差2的2个项的素数等差数列必然存在。

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2、前面说了，大于3的素数存在于等差数列1+6N和5+6N之中，这两个数列的公差为6，6=2*3，因为，首项1和5不能够被组成6的素数2和3分别整除，所以，这两个数列的各项都不能够被素数2和3整除。
    又因为，这两个数列的公差6不能够被素数删除因子5整除，故，这两个等差数列的每5个连续项，必然有一个项能够被素数5整除（删除）。即这两个等差数列的首项如果不是素数5，最多只能够存在相差6的5-1=4个项的素数等差数列，如果首项是素数5，最多只能够存在相差6的5个项的素数等差数列。因为，大于5的素数删除因子，没有形成对于素数5删除之间剩余的4个项必然删除1个项的删除要求，所以，相差6的4个项的素数等差数列必然存在。
    3、大于5的素数存在于等差数列1+30N，7+30N，11+30N，13+30N，17+30N，19+30N，23+30N，29+30N这8个等差数列之中，这8个数列的公差为30，30=2*3*5，因为，首项1，7，11，13，17，19，23，29不能够被组成30的素数2，3，5分别整除，所以，这8个数列的各项都不能够被素数2，3，5分别整除。
    又因为，这8个数列的公差30不能够被素数删除因子7整除，故，这8个等差数列的每7个连续项，必然有一个项能够被素数7整除（删除）。即这8个等差数列的首项如果不是素数7，最多只能够存在相差30的7-1=6个项的素数等差数列，如果首项是素数7，最多只能够存在相差30的7个项的素数等差数列。因为，大于7的素数删除因子，没有形成对于素数7删除之间剩余的6个项必然删除1个项的删除要求，所以，相差30的6个项的素数差等数列必然存在。
    ………………。
    因为，大于N的素数存在于1*2*4*6*10*……*（N-1）个，以2*3*5*7*11*13*……*N为公差的等差数列之中，这些数列的各个项都不能够被素数删除因子2，3，5，7，11，13，……N分别整除，设大于N的第一个素数为K，公差2*3*5*7*11*13*……*N必然不能够被素数删除因子K整除，那么，这些等差数列的K个连续项必然有一个项被素数K整除（删除），对于这些等差数列中的任意一个数列，如果首项不是素数K，最多只能够存在K-1项素数等差数列，如果首项是素数K，最多只能够存在K项素数等差数列。
    定义：设大于素数N的素数为K，公差只能够被2，3，5，7，11，……，N连续素数删除因子的乘积整除的等差数列，素数等差数列的项数：如果首项是素数K，最多只能够存在K个项的素数等差数列；如果首项不是素数K，最多只能够存在K-1个项的素数等差数列。
9 X, }; q  J6 _+ K0 n' _& `    数学家陶哲轩发现的23个数的素数等差数列，因为，首项不是23，而且有23项，所以，该等差数列的公差必然能够被素数删除因子2，3，5，7，11，13，17，19，23整除，即被2*3*5*7*11*13*17*19*23=223092870整除。又因为首项不是23，所以，该素数等差数列的首项不可能被素数删除因子2，3，5，7，11，13，17，19，23分别整除。只能够被这些连续素数乘积整除的公差，所构成的素数等差数列，如果首项不是素数29，最多只能存在29-1个项。
    四、孪生素数
1 h9 i. M, Z5 q3 s; ^1 p    孪生素数，指诞生距离较近的素数。
. }3 Z6 T  R8 s; \% ?5 Z5 B    1、诞生距离最近的孪生素数，只有一对。那就是素数2，3。它们的间隔距离只有1。为什么只有一对呢？因为，素数2的删除是每两个自然数必须删除一个，素数2删除了除2以外所有的偶数。所以，只有偶素数2与第一个奇素数3之间的间隔距离相差1，其它与奇素数相差1的偶数都是偶合数。
% n. n7 U$ ^) O/ l# x3 w    2、相差2的孪生素数，我们知道：大于2的素数存在于等差数列1+2N之中，因为，公差2不能够被素数3整除，故，素数3对于等差数列1+2N的每3个连续项必然删除一个项（能够被素数3整除的项），删除项与删除项之间的两个剩余项，这两个剩余项之间的间隔为2；又因为等差数列1+2N的公差2不能够被大于3的素数删除因子整除，设大于3的素数删除因子为K，K对于1+2N等差数列的K个连续项必然删除1项，但素数删除因子K没有构成对素数3删除后，删除项与删除项之间的两个剩余项必然删除一个项的删除条件。只是偶然删除这两个项中的一个项，它对这两个项组成孪生素数起破坏作用。因为，偶然删除，不是必然删除，故，这两个项仍然存在组成孪生素数的可能。即有生成孪生素数的机遇，所以，相差2的孪生素数永远存在！那么，能够具体的量化吗？
    3、我们首先说个小插曲：相差2的孪生素数与哥德**猜想的起源区别：
3 Z0 K! V0 }: j/ F( d    孪生素数的起源：
4 D3 a3 c/ l9 Q& Q0 Y8 y    ①、因为，自然数是相差1的数，可以表示为等差数列1+1N，这里只有一个相差为1的等差数列，公差1不可以被第一个素数2整除，素数2的删除为每隔一个数删除一个数（偶数），每隔一个数剩余一个数（奇数）。剩余的奇数可以表示为1+2N；
    ②、前面剩余的奇数表示为1+2N，这里也只有一个相差为2的等差数列，公差2不可以被第二个素数3整除，素数3的删除为每隔两个数删除一个数（能够被3整除的数），删除数与删除数之间隔两个数，即，相差为2的两个奇数。剩余的奇数可以表示为5+6N和1+6N；
" c4 i6 B' \* |' j- J% h+ Q    ③、剩余的奇数表示为5+6N和1+6N，为两个公差为6的等差数列，因为，公差6不可能被≥5的素数删除因子整除，设≥5的素数删除因子为K，那么，素数删除因子K必然对两个等差数列5+6N和1+6N，都坚持每K个连续项必须删除一项（能够被K整除的项），因为，差距2小于K，2不能够被K整除，素数删除因子K的删除起点都是从0开始计算，基于这三个方面，故，素数删除因子K不可能同时删除相差2的孪生奇数组。所以，素数删除因子K，只能删除相差2的孪生奇素数组的2/K，剩余孪生奇数组的（K-2）/K。这是没有变化的固定数。孪生素数的产生相对于哥德**猜想素数对来说，是相对固定和稳定的。
' g9 a2 a, |0 u9 h' M; `( J哥德**猜想的起源：
: E" W, I, H" v" d6 t    ①、因为，在哥德**猜想中，两数之和与偶数对称，删除数与剩余数是分正面与反面（对称）。素数2的删除，正面从0开始，素数2删除能够被2整除的偶数，反面是从偶数开始，反向数删除与偶数对称的偶数，因为，偶数能够被素数删除因子2整除，所以，素数2的删除正面与反面是完全重合的，即删除偶数对，剩余奇数对，剩余数不管是从正面，还是从反面都可以用1+2N表示；
    ②、素数3的删除分为两个方面：
    一方面，每三个连续偶数中，有一个偶数能够被素数3整除，素数3的删除正面与反面的删除是完全重合的，即删除奇数对的1/3，剩余奇数对的2/3。
  D  N- R+ E: \% b5 ^    另一方面，每三个连续偶数中，有一个偶数除以3余1，有一个偶数除以3余2，素数3的删除正面与反面的删除是完全不重合的，即删除奇数对的2/3，剩余奇数对的1/3。
/ L: k8 C) k4 \  A: j7 S. p    ③、设≥5的素数删除因子为K，一方面，每K个连续偶数中，有一个偶数能够被素数K整除，素数K的删除正面与反面的删除是完全重合的，即删除奇数对的1/K，剩余奇数对的（K-1）/K。
    另一方面，每K个连续偶数中，有（K-1）个偶数不能够被素数K整除，素数K的删除正面与反面的删除是完全不重合的，即删除奇数对的2/K，剩余奇数对的（K-2）/K个奇数对。哥德**猜想素数对的产生相对于孪生素数来说，是不固定和稳定的。如我们取孪生素数的范围与哥偶**猜想偶数为同一个数时，有素数对只有孪生素数组一半的，也有比孪生素数组还要多的时候，哥德**猜想素数对的活性较大，它的活性受什么影响呢？后面再说。
8 g: r# P9 p7 x# ?& P    即，孪生奇数组，素数2，3删除后，每6个连续自然数中剩余一组；哥德**猜想奇数对，对于不能够被素数3整除的偶数来说，素数2，3删除后，平均每12个连续自然数中剩余一对，这就是相差2的孪生素数与哥德**猜想的起源区别。
    4、孪生素数个数的计算方法
    哪些素数+2不可以形成相差2的孪生素数？
    （1）、大于3的素数，存在于等差数列1+6N和5+6N之中，这两个数列平分了大于3的素数。因为，等差数列（1+6N）+2=3+6N，3+6N数列的每一个项都能够被素数3整除，3+6N等差数列除素数3外，不可能形成新的素数，故大于3的素数有一半的素数+2，不可能形成相差2的孪生素数组。即删除1/（3-1），剩余（3-2）/（3-1）的素数有可能组成孪生素数组。
    （2）、大于5的素数，存在于1+30N，7+30N，11+30N，13+30N，17+30N，19+30N，23+30N，29+30N，这8个等差数列之中，这8个数列平分了大于5的素数。因为，等差数列（13+30N）+2=15+30N，（23+30N）+2=25+30N，这两个数列的每一个项都能够被素数5整除，不可能形成新的素数，故大于5的素数有1/4的素数+2，不可能形成相差2的孪生素数组。即删除1/（5-1），剩余（5-2）/（5-1）的素数有可能组成孪生素数组。
    （3）、大于7的素数，存在于以210为公差的48个等差数列之中，其中19+210N，47+210N，61+210N，89+210N，131+210N，103+210N，173+210N，187+210N这8个等差数列+2，能够被素数7整除，不可能形成新素数。故大于7的素数有1/6的素数+2，不可能形成相差2的孪生素数。即删除1/（7-1），剩余（7-2）/（7-1）的素数有可能组成孪生素数组。
    ………………。

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这就形成了孪生素数组的计算方法：
    设所取的自然数为M，M内的奇素数为P，M内的奇素数删除因子为3，5，7，11，13，………N。那么，M内的孪生素数个数为：
    P*（1/2）*（3/4）*（5/6）*（9/10）*（11/12）*………*（N-2）/（N-1）个。
    又因为，M内的素数为：M*（1/2）*（2/3）*（4/5）*（6/7）*（10/11）*（12/13）*……*（N-1）/N+素数删除因子个数。
$ o3 n. c5 m4 E1 m4 c  G: E& v    说到这里，我不得不说一下M内素数删除因子与素数的比率问题了：
    当M为10时，√M≈3，素数删除因子占总素数的1：2；
( i$ H6 z. i: L+ F    当M为100时，√M≈10，素数删除因子占总素数的2：6.5；
( {, P; w2 y% a# A: O9 E    当M为10000时，√M≈100，素数删除因子占总素数的1:47.27；
    即随着我们所取自然数范围的无限扩大，素数删除因子可以忽略不计。正因为如此，所以，我们对这里的孪生素数组的计算方法，不要看小范围，要看大的范围是否正确。不能够被素数删除因子整除的小范围涉及（1，3），自然数1不是素数。
    那么，M内的孪生素数个数就近似于：
    M*（1/2）*（2/3）*（4/5）*（6/7）*（10/11）*（12/13）*……*（N-1）/N*（1/2）*（3/4）*（5/6）*（9/10）*（11/12）*………*（N-2）/（N-1）
    =M*（1/2）*（1/2）*（2/3）*（3/4）*（4/5）*（5/6）*（6/7）*（9/10）*（10/11）*（11/12）*（12/13）*………*[（N-2）/（N-1）][（N-1）/N]
    =M*（1/2）*[（1/2）*（2/3）]*[（3/4）*（4/5）]*[（5/6）*（6/7）]*[（9/10）*（10/11）]*[（11/12）*（12/13）]*………*[（N-2）/（N-1）][（N-1）/N]
$ {+ o: x2 \: v. }0 L    =M*（1/2）*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*（11/13）*………*（N-2）/N。
    该式中的（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*（11/13）*………*（N-2）/N，也说明只有素数删除因子N，参与删除，删除前面素数删除因子删除后剩余的2/N的数，剩余前面剩余的（N-2）/N，因为（N-2）/N<1，当M增大时，素数删除因子N的个数会增加。故，当M无限增大时，素数删除因子N的个数增多时，（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*（11/13）*………*（N-2）/N的值会变少，所以，当M的范围无限扩大时，孪生素数的密度会变稀少。
    （4）、我们在上式中增加不该增加的奇合数的删除，上式变为：
    M*（1/2）*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（7/9）*（9/11）*（11/13）*（13/15）………*（N-2）/N
) r& S* s1 f0 t; U    =M*（1/2）*（1/N）=M/2N，按M内的删除因子的计算方法，M≥N*N，但当M无限扩大时，M>N*N的大于，可以忽略不计，我们把M≈N*N代入上式为：M内的孪生素数个数≈M/2N=N/2，该式的计算取整数。
+ W4 Q* m% K) S) ]) l# ~: a    因为，孪生素数的个数≈N/2，是在增加了不该增加的奇合数的删除的前提下取得的，要恢复该式的原来计算值，必须除以不该增加的奇合数删除乘积，我们有奇合数删除乘积为：
    ①、因为（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）≈0.488，0.488<1/2。所以，当自然数>33*33，即M大于1089时，M内的孪生素数组按理来说应该大于2*33/2，因为，素数删除因子的删除参差不齐，我们只能说：不包括素数删除因子组成的孪生素数组近似于33个。这里所说的近似是指：孪生素数组的个数，在自然数大于1089时，实际个数与这里和下面的计算正付误差不超过20%。
    ②、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*113/115<1/4。所以，当自然数>115*115，即M大于13225时，M内的孪生素数组大于4*115/2，即不包括素数删除因子组成的孪生素数组≈230个；
6 Q+ Y7 d+ U% r# y( l    ③、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*327/329<1/8。所以，当自然数>329*329，即M大于108241时，M内的孪生素数组大于8*329/2，即不包括素数删除因子组成的孪生素数组≈1316个；
    ④、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*589/591<1/12。所以，当自然数>591*591，即M大于349281时，M内的孪生素数组大于12*591/2，即不包括素数删除因子组成的孪生素数组≈3546个；
) R0 H- t4 J5 `0 k$ T    ⑤、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*893/895<1/16。所以，当自然数>895*895，即M大于801025时，M内的孪生素数组大于16*895/2，即不包括素数删除因子组成的孪生素数组≈7160个；
1 X! G5 O# A0 ]- G$ ?    ⑥、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1209/1211<1/20，所以，当自然数>1211*1211，即M大于1466521时，M内的孪生素数组大于20*1211/2，即不包括素数删除因子组成的孪生素数组≈12110个，实际孪生素数组与这里的计算值正付误差不超过20%；敬请各位老师进行检验，也欢迎按这里的方法延伸进行检验。
    ………………。
    这里的N，指我们所取自然数的范围为M时，M开平方的值，也就是说：M≥N*N。上面孪生素数的个数≈N/2，当M的范围增大时，N的值也随之增大，N/2也随着增大，孪生素数个数会增多；还说明，当M的范围增大时，N之内的奇合数会增多，奇合数删除剩余乘积会变小，当奇合数剩余乘积小于1/K时，M内孪生素数个数≈KN/2的值会增大，这充分说明了孪生素数永远存在的道理。
1 N. R! q$ e+ ^9 Z! g    5、相差4的孪生素数
    因为，大于3的素数存在于6N+1和6N+5两个等差数列之中，我们有：
    （1）、（6N+5）+4=6N+9，相当于6N+3的等差数列，该数列的各个项都能够被素数3整除，不可能生成素数，故6N+5的等差数列的素数与（6N+5）+4不可能组成相差4的孪生素数。
    （2）、（6N+1）+4=6N+5，即6N+1的等差数列可以生成素数，6N+5的等差数列也可以生成素数，6N+1的数列与6N+5的数列都是素数时，可以组成相差4的孪生素数，具体个数与前面相差2的孪生素数的计算方法基本上一样，结果也基本上一样。
( p( i* \; U' y: w* p8 S0 l6 i1 ]. B6 |( G    6、相差6的孪生素数
4 S5 x4 c# ^( w/ |; Q( |    因为，大于3的素数存在于6N+1和6N+5两个等差数列之中，我们有：
( r) j* t$ S) K" N  h" L1 K2 Y    （1）、因为，（6N+1）+6=6（N+1）+1，相当于6N+1的数列，即存在于本数列之中。
& y- o- w3 {+ k    （2）、因为，（6N+5）+6=6（N+1）+5，相当于6N+5的数列，即存在于本数列之中。
    因为，它有两个组成条件，比相差2和相差4多一个组成条件，按理来说：应该是前面相差2的孪生素数个数的两倍。但是，这里存在这样一个特殊条件，前面涉及了这方面的内容，这里我们再把它说清楚一点。这是前面所没有的：这两个等差数列的公差为6，6=2*3，公差6能够被最小的两个素数删除因子整除，因为，首项不能够被素数删除因子整除，所以，这两个等差数列的每一项都不能够被素数删除因子2和3整除，而大于3的素数删除因子都大于或等于5，即删除间隔为4个项及以上，必然存在4个连续项都是素数的情况，如素数41,47,53,59。素数47与41是相差为6的孪生素数，素数47与53也是相差为6的孪生素数，素数53与47是相差为6的孪生素数，素数53与59也是相差为6的孪生素数，如果是算3个相差为6的孪生素数组，那么，相差6的孪生素数个数，就比前面相差2的孪生素数的两倍还要多。
    这里，我也就不对这个问题进行探索了，我在此，留给数学爱好者们2个题：
. |+ ]  W- Q' I0 p8 n. y5 Z8 m    （1）、在任意自然数范围之内，相差6的4个数都是素数的素数等差数列有多少个？
    （2）、在任意自然数范围之内，相差30的6个数都是素数的素数等差数列有多少个？

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五、哥德**猜想
" b) S7 t* b- ?5 u    哥德**猜想，分为两个命题：命题1，大于6的偶数可以表示为两个奇素数之和；命题2，大于9的奇数可以表示为3个奇素数之和。只要解决了命题1，命题2就不攻自破了。下面讨论哥德**猜想命题1：
3 ?+ o& q4 h2 j    我们在此，把两个素数之和等于偶数，称为偶数的素数对，简称为素数对。
! U9 }) C6 O* b. m* `    按照本人对哥德**猜想命题1的定义：在偶数内的素数，除以素数删除因子的余数不与偶数除以素数删除因子余数相同，必然组成偶数的素数对。简称不与偶数同余的素数必然组成偶数的素数对。我们又把能够组成偶数素数对的素数称为哥德**数。
根据这一定义，我们不难知道：不同的偶数适应的素数生成线路不同。如任意的三个相邻偶数，它们之间的相差距离为2，如果前一个偶数除以素数3余2，它适应于1+6N线路所形成的素数，那么，第二个偶数必然除以素数3余1，它适应于5+6N线路所形成的素数，第三个偶数则必然除以素数3余0，它适应于1+6N和5+6N两条线路所形成的素数。偶数除以不同的素数删除因子余数又不同，它适应的素数也不同，为了说明这个问题，我们还是给大家一个哥德**数形成线路图吧！
* F* ?. F# Y4 c    （一）、哥德**数形成线路图
, F9 x/ q2 l- q1 }2 q    偶数不同于前面所说的范围（区域），范围只有大小之分；而偶数不仅有大小之分，它还有自己的个性之分，所谓个性是指它是否能够被哪些素数删除因子整除。偶数的大小之分决定偶数的最少素数对个数，偶数的个性决定该偶数的素数对比最少素数对偶数多的比率。
! J' z) n4 v0 o  t( u. {/ r' s8 W    设偶数为M，素数删除因子为2，3，5，7，11，……，N。N≤√M的最大素数。
   ①、素数删除因子2，因为，偶数除以2余数都为0，而大于2的素数都是奇素数，奇素数除以2都余1，故偶数除以2的余数不与大于2的素数除以2的余数相同，所以，大于2的素数的对称数不能够被素数2整除（删除），素数删除因子2不影响大于2的素数组成偶数的素数对；
    ②、素数删除因子3，偶数除以3余数有三种情况：余0，余1和2。当偶数除以3余0时，与上面①相同，素数删除因子3不影响大于3的素数组成偶数的素数对；
    当偶数除以3余1时，我们知道：大于3的素数除以3只有两种结果：余1，余2。各种余数的概率基本上是一样的。大于3除以3余1的素数的对称数，必然被素数3整除（删除），即素数删除因子3影响大于3的1/2(除以3余1)的素数组成偶数的素数对，必然剩余大于3的1/2(除以3余2)的素数作为组成偶数素数对的基础；同理，当偶数除以3余2时，素数删除因子3影响大于3的1/2(除以3余2)的素数组成偶数的素数对，必然剩余大于3的1/2(除以3余1)的素数作为组成偶数素数对的基础。从这里开始，就给偶数的素数对的存在留下了余地。
    ③、素数删除因子5，偶数除以5余数有5种情况：余0，余1，余2，余3，余4。当偶数除以5余0时，与上面①相同，素数删除因子5不影响大于5的素数组成偶数的素数对；
; D, E( h3 y& l; K! R0 E# s& J. R    当偶数除以5余1时，我们知道：大于5的素数除以5只有4种结果，余1，余2，余3，余4，各种余数的概率基本上是一样的。大于5除以5余1的素数的对称数，必然被素数5整除（删除），即素数删除因子5影响大于5的1/4(除以5余1)的素数组成偶数的素数对；当偶数除以5余2时，大于5有1/4的素数除以5余2，即这些素数的对称数必然被素数5整除，当偶数除以5余3，4时，同理，素数删除因子5影响大于5的1/4的素数组成偶数的素数对。必然剩余大于5的前面②剩余素数的3/4的素数作为组成偶数素数对的基础。
    ④、素数删除因子7，偶数除以7余数有7种情况：余0，余1，余2，余3，余4，余5，余6。当偶数除以7余0时，与上面①相同，素数删除因子7不影响大于7的素数组成偶数的素数对；
" `* q# S. [$ [4 H; z6 {' y    当偶数除以7余1时，我们知道：大于7的素数除以7只有6种结果，余1，余2，余3，余4，余5，余6，各种余数的概率基本上是一样的。大于7除以7余1的素数的对称数，必然被素数7整除（删除），即素数删除因子7影响大于7的1/6的素数组成偶数的素数对；当偶数除以7分别余2，余3，余4，余5，余6时，同理，素数删除因子7影响大于7的1/6的素数组成偶数的素数对。必然剩余大于7的前面③剩余素数的5/6的素数作为组成偶数素数对的基础。
( C0 _1 L! h& D. D# U    …………
    ⑤、素数删除因子N，偶数除以N余数有N种情况：余0，余1，余2，余3，余4，余5，余6，……，余N-1。当偶数除以N余0时，与上面①相同，素数删除因子N不影响大于N的素数组成偶数的素数对；
1 l$ W, L8 [7 @" w    当偶数除以N余5时，我们知道：大于N的素数除以N只有N-1种结果，余1，余2，余3，余4，余5，余6，……，余N-1。各种余数的概率基本上是一样的，大于N除以N余5的素数的对称数，必然被素数N整除（删除），即素数删除因子N影响大于N的1/（N-1）的素数组成偶数的素数对；当偶数除以N余1，余2，余3，余4，余6，……，余N-1时，同理，素数删除因子N影响大于N的1/（N-1）的素数组成偶数的素数对。必然剩余大于N的前面剩余素数的（N-2）/（N-1）的素数作为组成偶数素数对的基础。
    即哥德**数形成线路图因偶数而异：在前面的素数生成线路图的基础上，如果偶数能够被奇素数删除因子K整除，奇素数删除因子K不改变前面的素数生成线路图；如果偶数不能够被奇素数删除因子K整除，奇素数删除因子K在前面的素数生成线路图中，删除与偶数除以K余数相同的素数生成线路，剩余（K-2）/（K-1）条哥德**数生成线路。因为，（K-2）/（K-1）≠0，所以，永远有哥德**生成线路存在。
3 \; T; W/ |& R& D0 E0 h% M3 K    小结：用偶数内的素数，偶数与素数同时除以所有素数删除因子，不与偶数同余的素数，必然组成偶数的素数对。反过来，除由素数删除因子组成的素数对外，其它能够组成偶数素数对的素数，除以素数删除因子的余数，必然不与偶数除以素数删除因子的余数相同。
3 w0 ?3 R- K2 ]! I    因为，偶数既分为是否能够被哪些素数删除因子整除，又分为除以各素数删除因子的余数不同，决定偶数的素数对适应哪些素数，不适应哪些素数。对于每一个具体的偶数，哥德**数的形成线路不同，我就不将偶数的哥德**数形成线路图进行具体的描述，如果哪位老师要将它绘制出来的话，只有选择一个具体的偶数。
    （二）、最低素数对偶数的素数对计算
    最低素数对偶数，是指不能够被所有奇素数删除因子整除的偶数。
    设偶数为M，素数删除因子为2，3，5，7，11，……，N。N≤√M的最大素数。
    偶数内不包括素数删除因子的素数为：M*[（N-1）/N]*……（12/13）*（10/11）*（6/7）*（4/5）*（2/3）*（1/2）-1，这里的减去1为自然数1。当然，随着偶数的增大，减1可以忽略不计。
" [# ]$ p6 l9 T4 U    上面，我们在“偶数内哪些素数的对称数是素数”的探索中，得知：偶数如果能够被某一个素数删除因子整除，该素数删除因子不影响素数组成偶数的素数对；偶数如果不能够被素数删除因子N整除，那么，素数删除因子N必然阻止1/（N-1）的素数组成偶数素数对，剩余（N-2）/（N-1）的素数作为组成偶数素数对的基础。由此可见，不能够被所有奇素数删除因子整除的偶数的素数对，必然少于能够被部份素数删除因子整除的偶数的素数对。也就是说，我们在此选择不能够被所有奇素数删除因子整除的偶数进行探讨，如果说，它们都有素数对的存在，那么，其它偶数更应该有素数对的存在。
9 w$ H7 t+ R) `' E8 @  W& l! p: P# n" [    不能够被所有奇素数删除因子整除的偶数，偶数内不包含素数删除因子组成的素数对，即大于素数删除因子的素数的对称数也是素数的计算为：（N-2）/（N-1）*……（11/12）*（9/10）*（5/6）*（3/4）*（1/2）
$ O+ N2 R& [7 ?. ?    我们将偶数内不包括素数删除因子的素数，与素数的对称数也是素数的计算相乘，得哥德**猜想数为：M*[（N-1）/N]*……（12/13）*（10/11）*（6/7）*（4/5）*（2/3）*（1/2）*[（N-2）/（N-1）]*……（11/12）*（9/10）*（5/6）*（3/4）*（1/2）
5 V, I8 y% r* f0 t" ~/ @9 b    =M*[（N-1）/N]*[（N-2）/（N-1）]*……*（12/13）*（11/12）*（10/11）*（9/10）*（6/7）*（5/6）*（4/5）*（3/4）*（2/3）*（1/2）*（1/2）
; C/ t" j  ^& N8 U8 M- I; _# {7 B    =M*（N-2）/N*……*（11/13）*（9/11）*（5/7）*（3/5）*（1/3）*（1/2）
; ?. ?0 t* M* S4 R* k    素数对的计算方法一：
' E6 y' M8 M; q& Q4 K6 y    上面，只能说明偶数内有多少素数可以组成偶数的素数对，我们知道，一个素数对为两个素数，我们把上式再除以2，即乘以1/2为偶数内不包括素数删除因子所组成的素数对为：
    M*（1/2）*（N-2）/N*……*（11/13）*（9/11）*（5/7）*（3/5）*（1/3）*（1/2）
    因为，M≥N*N，我们把它代入有：（N*N/4）*（N-2）/N*……*（11/13）*（9/11）*（5/7）*（3/5）*（1/3）。
    因为，（N-2）/N<1，当偶数M的值无限增大时，√M的值也随着增大，素数删除因子的个数也随着增多，（N-2）/N*……*（11/13）*（9/11）*（5/7）*（3/5）*（1/3）的值随着减小，说明了偶数M内能够组成偶数素数对的数的比率，即哥德**数与偶数的比率随着偶数的增大而变小。

wangzc1634

这里有两点要进行说明：
& {0 h/ l1 y' Y3 P' |+ j    1、这里的计算，按理来说，偶数内的最大素数删除因子N≤√M，该计算结果应该≥偶数的实际素数对。（1）、N≤√M，有N<√M的时候，当然也有N=√M的时候；（2）、当N<√M时，因为，随着偶数的无限增大，这里的小于之差与偶数之比是微不足道，几乎可以忽略不计，所以，不能够冒险运用大于符号。（3）、探索者们都知道：不论对合数的删除，还是素数对称合数的删除，比例都是相对的，而不是绝对的，所以，这种计算方法只能是近似值，而不是绝对值。这种近似程度到底是多少呢？经本人的多次验算，当偶数大于270时，偶数的素数对计算数与实际素数对的正付误差不会超过10%，最低素数对偶数我们不说正付误差10%，说个保守一点的数字，当偶数大于270时，就打算正付误差20%，偶数的实际素数对也不会低于4个素数对，更不用说在下面向大偶数推进的计算中，正付误差20%更有素数对的存在。
    素数对的计算方法二：
% }4 d/ W8 d$ X    我们知道，从素数3到最大的素数删除因子N之间的奇数中存在奇合数，奇合数是不直接参与对合数的删除，也不参与对素数对称合数的删除，故在上式中缺少合数的删除。所以，（N-2）/N*……*（11/13）*（9/11）*（5/7）*（3/5）*（1/3）≥1/N，这里的大于，是在3到N之间没有奇合数参与删除的前题下。那么，我们增加不该增加的奇合数的删除，上式变为（N*N/4）（N-2）/N*……*（11/13）*（9/11）*（7/9）*（5/7）*（3/5）*（1/3）=N/4。为素数对的计算方法二。
* F8 z$ w7 |3 [    说到这里，当看到“偶数的最低素数对≈N/4”时，可能有的老师又会列举个别小偶数，说这种证明方法有误。如偶数68，（√68）/4≈2.06。为什么不包括素数删除因子组成的素数对，只有31+37。对于偶数68来说：一方面最大的奇素数删除因子，只能够是小于偶数开平方的奇素数7，而不应该理解为√68≈8.24。奇合数都不直接参与删除，更不用说小数了。按7/4=1.75，素数对不可能是小数，只能够取整数；另一方面不能够被素数删除因子整除的奇数对，还有1+67。要彻底买过不能够被素数删除因子整除的1+（M-1）这个奇数对，偶数得大于270之后。最好是请各位老师从以下偶数的近似素数对≈K（√M）/4去检验，即下面的推理为不能够被所有素数删除因子整除的素数对的近似值，这里所说的近似值指计算数与实际数误差不超过（保守数）20%。
    因为，最低素数对偶数的素数对≈N/4，是在增加了不该增加的奇合数删除的前提下取得的，要恢复该式的原来计算值，必须除以不该增加的奇合数删除乘积，我们有奇合数删除乘积为：
& ^1 J8 W! X- `5 r' S$ e/ x    1、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）≈0.488，0.488<1/2。所以，当偶数>33*33，即偶数大于1089，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈2（√M）/4。这里说的是偶数的实际素数对与计算数误差不超过20%，误差有正付误差，就打算实际数低于计算数的20%，有2*33/4（1-20%）=13.2。即不低于13对。如果我们按计算数,素数对与偶数的比≈16.5:1089≈1:66。
    2、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*67/69<1/3。所以，当偶数>69*69，即偶数大于4761，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈3（√M）/4；
2 m% E$ z, X+ \1 j/ L    3、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*113/115<1/4。所以，当偶数>115*115，即偶数大于13225，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈4（√M）/4；
; t  n# [9 p  g* U    4、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*157/159<1/5。所以，当偶数>159*159，即偶数大于25281，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈5（√M）/4；
    5、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*211/213<1/6。所以，当偶数>213*213，即偶数大于45369，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈6（√M）/4；
: T7 P7 ~( h9 b% `  c    6、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*265/267<1/7。所以，当偶数>267*267，即偶数大于71289，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈7（√M）/4；
    7、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*327/329<1/8。所以，当偶数>329*329，即偶数大于108241，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈8（√M）/4；
    8、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*391/393<1/9。所以，当偶数>393*393，即偶数大于154449，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈9（√M）/4；
5 i7 G6 N+ @* C+ S/ x7 i    9、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*457/459<1/10。所以，当偶数>459*459，即偶数大于210681，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈10（√M）/4；
    10、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*531/533<1/11。所以，当偶数>533*533，即偶数大于284089，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈11（√M）/4；
! B. o! |1 [( Z* o9 ^    11、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*589/591<1/12。所以，当偶数>591*591，即偶数大于349281，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈12（√M）/4；
/ ~# i; F3 z0 q+ s    12、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*669/671<1/13。所以，当偶数>671*671，即偶数大于450241，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈13（√M）/4；
1 i- I+ T! j, s& h- b; g    13、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*735/737<1/14。所以，当偶数>737*737，即偶数大于543169，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈14（√M）/4；
& D$ t5 o6 b# _3 E; S% Q; P    14、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*811/813<1/15。所以，当偶数>813*813，即偶数大于660969，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈15（√M）/4；
    15、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*893/895<1/16。所以，当偶数>895*895，即偶数大于801025，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈16（√M）/4；
% a  f3 k1 d! M9 Z" E    16、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*963/965<1/17。所以，当偶数>965*965，即偶数大于931225，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈17（√M）/4；
8 s7 b; n4 |+ Z2 ~* t* ?+ e( R6 `) d$ d9 s17、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1053/1055<1/18。所以，当偶数>1055*1055，即偶数大于1113025，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈18（√M）/4；
    18、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1135/1137<1/19。所以，当偶数>1137*1137，即偶数大于1292769，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈19（√M）/4；
    19、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1209/1211<1/20。所以，当偶数>1211*1211，即偶数大于1466521，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈20（√M）/4；
    20、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1303/1305<1/21。所以，当偶数>1305*1305，即偶数大于1703025，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈21（√M）/4；
    21、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1383/1385<1/22。所以，当偶数>1385*1385，即偶数大于1918225，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈22（√M）/4；

wangzc1634

22、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1439/1441<1/23。所以，当偶数>1441*1441，即偶数大于2076481，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈23（√M）/4；
    23、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1563/1565<1/24。所以，当偶数>1565*1565，即偶数大于2449225，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈24（√M）/4；
    24、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1653/1655<1/25。所以，当偶数>1655*1655，即偶数大于2739025，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈25（√M）/4；
    25、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1707/1707<1/26。所以，当偶数>1707*1707，即偶数大于2913849，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈26（√M）/4；
  W0 o  z" h) l. p4 x6 S6 G    26、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1793/1795<1/27。所以，当偶数>1795*1795，即偶数大于3222025，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈27（√M）/4；
) G* N+ o# f% C8 \" e: J    27、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1885/1887<1/28。所以，当偶数>1887*1887，即偶数大于3560769，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈28（√M）/4；
    28、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*1965/1967<1/29。所以，当偶数>1967*1967，即偶数大于3869089，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈29（√M）/4；
    29、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2063/2065<1/30。所以，当偶数>2065*2065，即偶数大于4264225，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈30（√M）/4；
3 d$ t- H4 l# h: m    30、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2161/2163<1/31。所以，当偶数>2163*2163，即偶数大于4678569，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈31（√M）/4；
    31、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2251/2253<1/32。所以，当偶数>2253*2253，即偶数大于5076009，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈32（√M）/4；
    32、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2353/2355<1/33。所以，当偶数>2355*2355，即偶数大于5546025，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈33（√M）/4；
2 G! a1 {% K, f$ }" \    33、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2413/2415<1/34。所以，当偶数>2415*2415，即偶数大于5832225，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈34（√M）/4；
    34、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2505/2507<1/35。所以，当偶数>2507*2507，即偶数大于6285049，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈35（√M）/4；
    35、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2597/2599<1/36。所以，当偶数>2599*2599，即偶数大于6754801，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈36（√M）/4；
    36、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2695/2697<1/37。所以，当偶数>2697*2697，即偶数大于7273809，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈37（√M）/4；
4 S4 t7 p7 t8 T1 u1 X) k4 d    37、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2803/2805<1/38。所以，当偶数>2805*2805，即偶数大于7868025，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈38（√M）/4；
    38、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2897/2899<1/39。所以，当偶数>2899*2899，即偶数大于8404201，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈39（√M）/4；
    39、因为，（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*2991/2993<1/40。所以，当偶数>2993*2993，即偶数大于8958049，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈40（√M）/4；这里说的是偶数的实际素数对与计算数误差不超过20%，误差有正付误差，就打算实际数低于计算数的20%，有[40*2993/4]（1-20%）=23944。即不低于23944对。如果我们按计算数,素数对与偶数的比≈29930:8958049≈1:299。
: F# `, ~/ C- Q4 E& a& @    40、因为，当（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*(R-2)/R<1/K时。设：偶数>R*R，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈[K（√M）/4]*80%；
    从上面对最低素数对偶数的素数对的近似计算，我们可以看出正反两个方面的问题：一方面当偶数从大于1089增加到大于8958049时，素数对从16对增加到29930，说明最低素数对偶数的素数对随偶数的增加而增加，小于或等于计算数的80%（绝对值）；另一方面素数对与偶数的比从1：66减少到1：299。这充分地反映了随着偶数的增大，偶数内素数的密度减小，也反映了随着偶数的增大，偶数内能够组成偶数的素数对的素数的比率在减小，这完全符合客观规律。从最低素数对偶数的素数对的近似计算，完全可以证明哥德**猜想成立！
6 E* A0 L% a) b: _& q5 q, h0 X     （三）、较多素数对偶数的计算方法
# O6 s$ y0 j* U1 c9 Z1 G    上面为在某一个区域内，最低素数对偶数的素数对不低于计算数的20%。我们知道偶数的素数对参差不齐，这是由偶数的个性决定的。比如说，3个连续偶数中有一个偶数能够被素数3整除，它的素数对多于相邻2个偶数；5个连续偶数中有一个偶数能够被素数5整除，它的素数对次多于相邻4个偶数；7个连续偶数中有一个偶数能够被素数7整除，它的素数对再次多于相邻6个偶数；……。这一性质就决定了偶数的素数对多与少的问题，为了解决这个问题，我们设偶数能够被奇素数删除因子N整除，就在上面的结论中乘以（N-1）/（N-2），如：偶数能够被奇素数3整除，就在上面最低素数对偶数的基础上乘以（3-1）/（3-2）=2；又如偶数能够被奇素数删除因子3和5整除，就在上面最低素数对偶数的基础上乘以（3-1）/（3-2）和（5-1）/（5-2），即乘以8/3；再如偶数能够被奇素数删除因子3，5，7整除，就在上面最低素数对偶数的基础上乘以（3-1）/（3-2），（5-1）/（5-2），（7-1）/（7-2），即乘以16/5。
# {- Y9 Q& T6 K7 A. F5 l( o* g    如偶数1090，该偶数>33*33，即>1089，按最低素数对偶数看近似素数对应该为2*33*1/4。因√1090≈33，而偶数1090能够被小于33的奇素数5整除，那么，该偶数的近似素数对为[2*35*1/4]*（5-1）/（5-2）≈22对，它不包括素数删除因子组成的素数对不低于22*20%≈17对。又如偶数1260，该偶数>33*33，即>1089，小于69*69，即偶数小于4761，该偶数最低素数对近似数应该为2*33*1/4。因√1260≈35，而偶数1260能够被小于35的奇素数3，5，7整除，就在上面最低素数对偶数的基础上乘以（3-1）/（3-2），（5-1）/（5-2），（7-1）/（7-2），即不包括素数删除因子组成的素数对近似计算为：[2*35*1/4]*[（3-1）/（3-2）]*[（5-1）/（5-2）]*[（7-1）/（7-2）]≈56。该偶数的素数对为：66*80%≈45对。该偶数不包括素数删除因子组成的素数对：应该在56对的正付误差的80%之内。至于偶数能否被素数删除因子整除，这只是体现偶数的素数对多于不能够被素数删除因子整除的K倍的问题，这属于偶数素数对的相对值。

wangzc1634

前面说了，因为，自然数1不是素数，1又不能够被所有素数删除因子整除。所以，我们在使用这种素数对的近似计算方法时，当1的对称数也不能够被素数删除因子整除，为假素数对。造成了偶数68不包括素数删除因子组成的素数对少于计算数。如果，我们按偶数68开始，用偶数的素数对不低于[（√68）/4]*80%≈1.65，那么，我们知道，这1个假素数对的份量，应该占据多大。所以，我们设偶数为M，当M≥270时，仍然按最低素数对偶数的素数对的近似计算为：[（√M）/4]*80%，当偶数≥1089之后，按上面的（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*(N-2)/N<1/K。所以，当偶数>R*R，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≥[K（√M）/4]*80%；如果偶数还能够被小于√M的奇素数整除，设偶数能够被奇素数删除因子N整除，再在上面的结论中乘以（N-1）/（N-2）作为该偶数的近似素数对。
    有人问我：为什么喜欢使用（√M）/4？我的回答是：不是喜欢与不喜欢的问题，是任何东西，我们必须从事物的客观发展规律出发，才能够真正认识和了解事物。
    （四）、证明
- ?7 i9 r- R0 J& {" W+ F- a    证明1，哥德**猜想命题1
    因为，偶数的素数对近似计算为（√M）/4，当偶数M≥16时，（√M）/4≥1，证明偶数有1+1的素数对存在，事实上当偶数M≥16时，都有不包括素数删除因子所组成的素数对存在。
    当偶数M≥270时，最低素数对偶数的素数对的近似计算为：[（√M）/4]*80%；至于偶数M≥1089之后，按上面的（7/9）*（13/15）*（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*(N-2)/N<1/K。最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈[K（√M）/4]*80%，说明偶数越大，小于√M的奇合数越多，K的值越大，能够说明最低素数对偶数的素数对值[K（√M）/4]*80%越大，偶数的素数对越多；至于偶数能够被大于√M）的奇素数删除因子整除，设偶数能够被奇素数删除因子N整除，再在上面的结论中乘以（N-1）/（N-2）作为该偶数的最低素数对。因（N-1）/（N-2）>1，再次说明，能够被素数删除因子整除的偶数的素数对大于不能够被素数删除因子整除的偶数的素数对。
5 a7 V* |% g5 G& N    又因为，当偶数≥6，至270，还是1088，我们都知道偶数有素数对的存在。当偶数≥1089时，偶数的素数对≈[2（√M）/4]*80%，即≈[（√M）/2]*80%，≈[（√1089）/2]*80%，≈13对，也说明有素数对的存在。我们考虑偶数270，居于两个方面：一方面考虑了偶数的素数对避开了由1与M-1所组成的奇数，造成没有不包括素数删除因子所组成的素数对的现象；另一方面，我们也考虑了最低素数对偶数不低于计算数的80%两种因素，敬请各位老师进行验证哈！
    当偶数>115*115，即偶数大于13225，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈4（√M）/4；即偶数的素数对≈[4（√M）/4]*80%，≈（√M）*80%；当偶数>2993*2993时，即偶数大于8958049，最低素数对偶数，不包括由素数删除因子组成的素数对≈40（√M）/4，≈10（√M）*80%，说明大于8958049的偶数有素数对的存在，这里说明随着偶数的增大，√M的值会增大，偶数的素数对会增多，（19/21）*（23/25）*（25/27）*（31/33）*……*(R-2)/R会减小，[R（√M）/4]*80%的值会增大，说明偶数的素数对会增多；再有一个方面，随着偶数的增大，素数3至√M的素数删除因子会增加，偶数能够被奇素数删除因子整除的机遇会增加，设偶数能够被素数删除因子N整除，能够被素数删除因子整除的偶数的素数对是不能够被素数删除因子整除的偶数的素数对的（N-1）/（N-2）倍，也证明偶数的素数对永远存在。所以，大于6的偶数，有1+1的素数对存在，哥德**猜想命题1成立。
/ S, _) J3 U5 l" d# m* ]& _. m; q    证明2，哥德**猜想命题2，
    因为，大于6的偶数可以表示为1+1的素数对，所以，大于9的奇数，可以表示为3+大于6的偶数的素数对；
6 m2 x7 k# E% s7 K* s" g    因为，大于6的偶数可以表示为1+1的素数对，所以，大于11的奇数，可以表示为5+大于6的偶数的素数对；
$ r8 m0 X  T- V" R/ A    因为，大于6的偶数可以表示为1+1的素数对，所以，大于13的奇数，可以表示为7+大于6的偶数的素数对；
    因为，大于6的偶数可以表示为1+1的素数对，所以，大于17的奇数，可以表示为11+大于6的偶数的素数对；
, N# j) ]9 P$ c! Q( D7 R4 I4 K" L    ………………
    所以，哥德**猜想命题2成立。
. e6 \7 m$ c: D' p    （五）、哥德**猜想与孪生素数的区别
    孪生素数指的是区域内的孪生素数组的个数，在某一个区域内孪生素数组的个数是固定的；而哥德**猜想指的是具体偶数的素数对，由于不同的偶数除以素数删除因子的余数不同，决定组成偶数素数对的素数不同，又由于偶数是否能够被素数删除因子整除，决定偶数的素数对的多与少。但不能够被所有素数删除因子整除的偶数的素数对，是该偶数区域内相差2的孪生素数个数的1/2。
- X$ ?4 s; O( p$ U! I% [7 f* v! v    总结：素数的分布、孪生素数、素数等差数列、哥德**猜想都是探讨素数的分布和结构的，其目的是为了人们充分、全面地认识和了解素数。
    本人能够写出本文的内容，说明了两点：
    1、本人的文化水平低，不能够看懂前人的文章，出牌不可能按照前人的导路出牌，我是“**”时期的高中生，相当于现在的小学文凭。
    2、哥德**猜想，本来就不是什么难题，只是被人们神化了而已。
                           探索者：四川省三台县工商局：王志成。
                                     2009年12月30日

clanswer

这个好长，看完需要一些耐心，呵呵

wangzc1634

附件一、素数的计算方法
例计算300之内的素数，因√300≈17，故素数删除因子为：2，3，5，7，11，13，17。
1、        素数2的删除，在自然数2之内，删除2，剩余1，即剩余等差数列1+2N作为寻找素数的基础；
# I. l, T0 D; H& S2、        素数3的删除，在自然数2*3=6之内，也就是等差数列1+2N取与素数3相同的项3项有：1，3，5。删除能被3整除的3后，剩余1和5，用2*3=6为公差组成等差数列：1+6N和5+6N两个数列，作为发展素数的基础；
2 Y, Y5 B; T: m  g& x6 i0 i8 y3、        素数5的删除，在自然数2*3*5=30之内，也就是上面的两个数列各取与素数5相同的项5项有：1+6N为：1，7，13，19，25；5+6N有：5，11，17，23，29。用首项乘以5得删除数为：5，25，我们把它们删除后，剩余1，7，11，13，17，19，23，29。以这些数为首项，2*3*5=30为公差组成8个等差数列；
4、        素数7的删除，在自然数2*3*5*7=210之内，也就是上面8个等差数列中各取与7相同的项7项有：
; {: W- T/ n+ V7 n/ ~- S1+30N为：1，31，61，91，121，151，181，
7+30N为：7，37，67，97，127，157，187，
8 O5 @' z% C6 N3 k; B) ?$ D- A11+30N为：11，41，71，101，131，161，191，
13+30N为：13，43，73，103，133，163，193，
17+30N为：17，47，77，107，137，167，197，
: x( N( N: t* }! X19+30N为：19，49，79，109，139，169，199，
% V, o' a+ M! `  p+ K( @23+30N为：23，53，83，113，143，173，203，
$ r$ N: n# N' e0 n: n) ^. }4 L( V29+30N为：29，59，89，119，149，179，209。
: Z' Y. [$ [4 c, w# m用素数7乘以首项得删除数为：7，49，77，91，119，133，161，203，我们把它们删除；
+ z5 U* N. G! m" }' s5、素数11的删除，因300小于2*3*5*7*11=2310，我们不能按上面的方法继续。又因300-210=90。上面删除后的剩余数与我们用210分别加上上面删除后在90之内的剩余数有：1，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，121，127，131，137，139，143，149，151，157， 163，167，169，173，179，181，187，191，193，197，199，209；211，221，223，227，229，233，239，241，247，251，253，257，263，269，271，277，281，283，289，293，299。
" \& m9 U: R( R9 M因300/11≈27，我们用11分别乘以这里的27之内的数，得素数11的删除数为：11，121，143，187，209，253，我们把它们删除；
& d) u+ f* {0 ^6 @1 ~6、素数13的删除，上面删除后剩余：
6 u& D, ]( R$ e' ?" g. g1， 13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113， 127，131，137，139， 149，151，157， 163，167，169，173，179，181， 191，193，197，199， 211，221，223，227，229，233，239，241，247，251， 257，263，269，271，277，281，283，289，293，299。
因300/13≈23，我们用13分别乘以这里的23之内的数，得素数13的删除数为：13，169，221，247，299，我们把它们删除；
) J/ U! J7 s3 o7、素数17的删除，上面删除后剩余：
3 f: o) X7 ~5 ]- N1， 17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113， 127，131，137，139， 149，151，157， 163，167， 173，179，181， 191，193，197，199， 211， 223，227，229，233，239，241， 251， 257，263，269，271，277，281，283，289，293。
1 n" L2 L  |1 N* a# g8 k, Z! g因300/17≈17，我们用17分别乘以这里的17之内的数，得素数17的删除数为：17，289我们把它们删除后剩余：
2 B0 b7 a- y( k' o1，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113， 127，131，137，139， 149，151，157， 163，167， 173，179，181， 191，193，197，199， 211， 223，227，229，233，239，241， 251， 257，263，269，271，277，281，283， 293。
这些剩余数中删除自然数1，再加上素数删除因子2，3，5，7，11，13，17。就是自然数300之内的全部素数。
如果我们用前面所说的计算方法有：
; l+ F0 g! L  P" B300*（1/2）*（2/3）*（4/5）*（6/7）*（10/11）*（12/13）*（16/17）+7=61个素数。实际数为62个，略大于计算数。
- j; l! K9 A% g, f1 d( g须要说明的是：这是严格按照素数形成线路图进行计算的，在素数形成线路图上看来好象是随着自然数范围的扩大，素数形成线路越来越多，但实际上，大家都能看得出来：这里的值是从开头就是，1/2，2/3，4/5，6/7，…，（N-1）/N，一直在减少，这就是自然数与素数形成的客观规律。当然，永远存在的道理，前面已经说了，这里不在说了。