本帖最后由 厚积薄发 于 2010-6-22 18:18 编辑
感谢陈怀琛老师对此次活动的支持，下面是陈老师提供给本次活动研讨的内容！
线性代数要与科学计算结成好伙伴 摘要：讨论了大学教学中科学计算能力的重要性，评价了我国在这个领域的落后状况。一是科学计算能力的培养无人主管；二是线性代数课程忽视实用性，不教矩阵软件，与后续课的需求及计算机脱节。这两者的长期割裂阻碍了我国课程和教育的现代化。文章提供的历史经验和国内外实践，都证明这两者的结合可以产生巨大的创新效果。文章结合五年来的改革经验，提出改进的建议，并介绍了教育部“用MATLAB和建模实践改革工科线性代数”项目的实施情况。 关键词：教育现代化，科学计算能力，线性代数，改革，矩阵运算，MATLAB, LINPACK 一、科学计算能力的培养要作为大学教育的重要目标 过去工科大学生进大学时必须买的东西就是一把计算尺。因为谁都知道，工科就是要快速、精确地作计算的。现在该买什么呢？我还没有见到任何一所国内大学的入学通知上写明这点。在国外，这很清楚，就是买计算机。为什么中国特殊？中国大学究竟是在计算器时代还是计算机时代？那么我们去看看各门技术课教材，有几门是用计算机的？你就知道中国大学本科计算的现代化程度了！ 中国的经济和国防现代化的速度是让人瞩目的。因为落后就要挨打，所以大学生毕业遇到的马上就是大量的计算机辅助设计/制造/管理系统。不要说大银行、大商场、大武器、大工业都用计算机，就是小商户、售货员、售票员用的也都是计算机，奇怪的是培养科技精英的大学，上课和做题用的却是计算器，主要靠毕业设计的半年中由学生自己去摸索过渡到计算机。太落后了！如果上课时用的是计算机，通过三、四年的课程学习，就能真正弄清和熟悉它，到工作中很快就可进行创新了。 改革开放初期，这个概念是清楚的，当时曾经把FORTRAN定为所有工科的必修课。但是在发达国家科学计算软件快速升级的1990年前后，中国高等教育界竟然把所有的科学计算语言都从教学计划中逐出，搞了这么一个反历史的倒退行动，而且持续了近20年没有纠正。据说这问题来源于分片管理，科学计算属于数学、计算机和工科课程三不管区域，没人为它说话。就是到现在，也没有任何一个教指委来管这件事。我国在大学课程中使用计算机方面与世界各国的差距，在不断加大。 表1
计算能力和计算工具培养阶段表
| 教育阶段
| 学习的课程及方法
| 计算能力水平
| 工具
| 毕业设计和 工作阶段
| 设计实践
| 学习、使用、开发、改善专用CAD/CAM软件
| 计算机
| 大学本科高年级
| 各门理工课程
| 使用通用科学计算软件，提高科学计算和编程能力
| 计算机
| 大学本科低年级
| 线性代数， 计算方法
| 学会矩阵理论和编程工具，掌握科学计算基础
| 中学
| 代数
| 四则及代数运算能力
| 计算器
| 小学
| 算术
| 手算能力
| 笔
|
从世界的一般水平来看，可以列出右面的计算能力教育进程表，我认为这是一个最低的、应该能普遍达到的标准。超过它就更好。但必须有这么一个最低标准，作为全国的指导原则，才好推动和检查。不然真是概念混乱。比如谈到用计算机代替笔算做高斯消元，有人竟说这不利于培养学生计算能力，天哪！到大学来培养手算四则的能力吗？由这张表可以看到，大学要培养的应该是科学计算能力。 所谓科学计算能力，是指的利用现代计算工具（包括硬件和软件）解决教学和科研中计算问题的能力。它包括掌握最新的科学计算软件、建立适当的计算模型、采用正确的计算方法、实现高效的编程和运算、对计算结果作最佳的表述和图解、…等多方面的综合能力。所以提高科学计算能力当然是理工科数学教育现代化中一个十分重要的基本环节。我觉得数学教指委应该当仁不让，把教育的全程中计算工具的应用纳入议程，并且在大学数学课中为之打好必要的基础。 二。科学计算特别需要线性代数 我从1953年开始任教，先后在力学机械、飞行控制、电子信息和系统工程领域执教，教过十多门课程。1994年我满60岁，从副校长岗位上退下来时，恰好接触了MATLAB软件，于是我决定利用我知识面宽的优势，把数学软件用到各门本科课程中去，推动大学本科教学的现代化，作为我晚年的学术目标。从那时起，我的工作就是一门一门课的选题、建模、编程、写书、讲课、推广，从1994~2004的十年，我写（译）了五本书，现在还在出版的主要是三本： （1）《MATLAB及其在理工课程中的应用指南》[1]，2000年初版，2007年出的是第三版。这本书把MATLAB用于数学（包括微积分、线性代数、概率统计）、普通物理（含力学、电学、磁学、分子物理、声学、光学）、力学机械（含理论力学、材料力学、机械振动）、电工电子（含电路、电子线路、电机、高频电路）、信号与系统（含连续、离散、系统函数、频谱），在一本书中介绍了把科学计算方法应用于十多门课程的实例，共编了150多个程序，当然对每门课而言，只举了几个实例，目的是为了启发这个领域的教师继续努力，所以书名末有“指南”两字。 （2）《MATLAB及在电子信息课程中的应用》[2]，2002年初版，2006年出的是第三版。这本书主要讲了MATLAB在四门课——电路理论、信号与系统、信号处理、自动控制原理——中的应用。每门课举了几十个例题，共120多个程序。比上本书就深入一些了，由于不讲理论，只作为补充读物。因为许多学校都开了“MATLAB及应用”的选修课，拿它做教材。这本书卖得最好，现已近八万册。 （3）《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现》[3]，这本书中包含了180个程序，对信号处理的全部理论和应用都用科学计算的方法进行了诠释和演示，在许多方面都大大超越了现有的教材的水平。大家知道，信号处理是一门理论较深，数学用得很多的课程。它能用MATLAB全部解决，说明科学计算语言已经非常成熟。 这本书销售量平平，究其原因，主要是没人敢选它做教材，只能当老师的参考书。一是能掌握MATLAB的老师不多，二是学生基础不足。人们通常按教材中最早开始用MATLAB的时间为标准来衡量落后的年数，调查的结果是：自动控制落后三年，信号处理落后八年，线性代数十五年。如果按实际使用情况（比如有50%大学使用）做标准，那就落后得没边了。因为我们所有的课程都远没有达到50%机算普及度。 在编写了这十多门课、几百道例题的机算程序后，得出什么结论呢？ （1）机算非常优越：所有的题目都证明，机算的精度高、速度快、改变参数，可立即得到新结果。分析与设计无缝衔接，可升级创新，可三维形象甚至动画演示，大大缩短从学校到工作岗位的过度时间，学生从中所能得到的知识比笔算题丰富得多，它是人才培养现代化的标志之一。 （2）矩阵建模是关键：计算器和计算尺都主要进行两个数之间的运算，而计算机的特点则是海量数据的集群计算。计算器取代计算尺很简单，不要学，提高效率也不大，只是精度高了。计算机取代计算器可不是简单的工具置换，必须彻底改变计算模型，采用矩阵（数组）建模是其中最关键的一步，我编的程序，90%以上都要用矩阵建模。只有掌握了矩阵，计算效率才能千百倍的提高。 （3）线性代数最有用：在这几百个程序中，包括了微积分、空间解析几何、非线性和超越方程、常微分方程、偏微分方程，…最后都归结到矩阵运算，说明大学的后续课中，代数问题比微积分多得多。而且微积分经过离散化也都化为代数问题。从实际计算和发展方向来看，线性代数应该是大学中最有用的一门数学课。而目前我们师生的最大问题却是不会矩阵编程，关键是我们的教法有问题。 （4）软件包功不可没：美国早就认识到线性代数的巨大作用，又不能靠人工计算，所以在它的软件开发上投入巨资。1970年代，在NSF资助下，美国组织了大批数学家进行了线性代数软件包LINPACK（Linear Algebra Package）的开发（用的是FORTRAN），这一软件包当时就包括了超定方程和复数矩阵求解，MATLAB就是调用的它。矩阵方程Ax=b的求解至今仍然是考验最新计算机计算速度的测试标准（Benchmark），这恰恰是利用了矩阵计算的复杂又规范的特点。2008年测试表明，新计算机达到的世界纪录是1015次/秒，它的硬件采用了矩阵结构[9]。矩阵计算本该是考核计算机的，拿来“折腾”人，既违反 “人机分工”的科学，也是对几十年来科学家和数学家新成果的漠视。 结论是，各课门程在科学计算方面的落后除各自改革外，还必须从基础课线性代数抓起。 三、线性代数只有和科学计算结合才能大有作为 情况很明显，后续课中没有一门课、一个老师会叫学生用线性代数笔算消元方法解题的。什么道理？因为矩阵笔算方法既繁又易出错，单就其书写方法的庞杂就令人厌恶，根本比不上代入法通用。不信？用一个例子来证明：某控制系统的框图如图1，列出它的方程组如下：
注这是一个五元的线性联立联立方程，可用三种方法解。（1）用代入法；（2）用矩阵笔算；（3）用矩阵机算。请问在座的老师，你会选哪种方法解这道题？我真去做了，结果是：方法1，用半页纸，30分钟；方法2，用两页半纸，90分钟；方法3，10条程序，10分钟。各位可以试试看！ 我敢说，90%以上的老师，都会选用代入法，不会去求矩阵逆的。可见老师自己都怕这个方法，教学生干什么？那线性代数是不是没用了？不是！是因为我们的线性代数没学到家，只学了“格式规范”的庞杂的前一半，没学“程序通用”的后一半。线性代数比代入法的优势和高效，关键在后一半。一套组合拳，只学了第一招，不学第二招，哪能取胜呢。 我再举一个例子，使大家知道后续课对代数的需求，更能看到“线性代数+软件”组合拳的威力。计算图2滤波器的系统函数。列出其信号流图方程，共13个，要求解这组联立线性方程组。
图2
某三阶全极点格型滤波器的结构图 联立方程组和它的矩阵形式如下，其中q=z-1。 机算解这个题约用20条语句，主要是给P,Q赋值，然后运行上式，不到5秒钟，就得出结果为： 这道题若用代入法算，恐怕一天也算不出来，且出错概率很大；用矩阵手算，要几十步，每一步一页纸都不够写的，出错概率更大；用矩阵机算，十分钟就出来了，只要赋值正确，结果一定对。 上面所举的例题又一次证明了线性代数与机算结合的威力。师生学会了矩阵和计算软件，就可多快好省地解决复杂问题。以前人家没想到吗？不是的！没有机算工具，想到了也没用。因为这个方法要求软件能进行高阶符号矩阵的求逆，MATLAB的符号矩阵求逆函数1996年才发布，它不但基于LINPACK软件包，还购买了Maple公司的公式推导内核，可见它紧跟了最新的科技成果。 历史上第一次证明矩阵与机算结合的巨大威力在1949年，当时美国的Leontief教授用计算机解美国的经济方程，原是500*500阶的，方程类型和上述滤波器相似，也是求 。限于当时计算机的水平，他只能将它先近似为42*42阶，因为没有高级语言和程序库，编程输入就用了几个月，再用了56小时运行才得出结果。这个工作在1973年得到了诺贝尔奖，大大推动了线性代数课对机算的重视。今天，数学软件已经如此简洁易用，为什么还甘愿落后于60年前的美国呢？ 钱学森同志在1989年就写道：“今天已是二十世纪后期，我们正面临世纪之交，所以要考虑二十一世纪会需要什么样的工科教育；保持五十年代的模式不行，保持八十年代的模式也不行。我想现在已经可以看到电子计算机对工程技术工作的影响；今后对一个问题求解可以全部让电子计算机去干，不需要人去一点一点算。而直到今天，工科理科大学一二年级的数学课是构筑在人自己去算这一要求上的。…所以理工科的数学课必须改革，数学课不是为了学生学会自己去求解，而是为了学生学会让电子计算机去求解，学会理解电子计算机给出的答案，知其所以然，这就是工科教学改革的部分内容。” 在上面的题中，要做上百次四则运算，但我们一次也没做，而是指挥计算机用几条命令轻松地完成了任务。这是一个教学理念的问题，线性代数最初从手算讲起只是建立概念，不能学到最后还是手算高斯消元，教学的目的在于使学生学会化繁为简、举重若轻。掌握“线性代数+计算机”的组合拳。那就要利用最新成果和商用软件，不能什么都要自己去算。钱学森建议的前瞻性就在于此。 线性代数是一门应用性很强，但在理论上又可进行高度抽象的数学学科，它可以有两种发展方向。为了进一步搞数学理论，可以向抽象方向引导；为了解决工程实际问题，就应当向矩阵应用方向发展。在工科数学中，这个方向性的问题必须十分清楚。线性代数在美国是1959年引入数学系本科的，其1965年大纲反映了向量空间为主的体系，是为数学系设计的。当修这门课的工科学生愈来愈多后，就发现了问题。1990年LACSG提出了五条改革建议[8]：(i) 线性代数课程要面向应用，满足非数学专业的需要；(ii) 本课程应该是面向矩阵的;(iii) 本课程应该是根据学生的水平和需要来组织的；(iv) 本课程应该利用最新的计算技术;(v) 对于数学专业和要求特高的学生，应当开设另一门课程来提高其抽象性。这五条都是为了使作为公共课的线性代数转向矩阵应用的方向，以适应非数学专业的需要。 中国在80年代中期开始把线性代数纳入本科，1995年正式提出了全国性的大纲，它基本上拷贝了美国1965年的大纲，并且对实践要求更低。微积分进入教学计划已有200年，与工科的磨合进行了无数次，差不多每个概念都能联系物理意义。线性代数进本科计划才20年，它的大纲本来就是照搬50年前数学系的，和21世纪的工科从未磨合过。一门课从无到有，问题较多，可以理解。但必须正视问题，厚今薄古。好在我们现在已经有了一些线性代数的应用经验，也有很多国外教材可以参考，应该以“需求牵引”和“技术推动”为动力，用理工专家结合的方法，好好修订一下大纲了。 四、工科教师的眼光中需要的工程数学——“数学要会算” 作为一个工科老师，能够被会议的组织者邀请来参加数学教育界的这么一个高层次会议上来发言，确实感到非常荣幸。从传统观念来看，在数学教学的这个象牙之塔中，只有数学家才有发言权。我只是一个数学爱好者，从来没想到，在过了70岁以后，却卷到数学的改革中来了。2008年，当高教司要把“用信息技术改造课程”项目中的线性代数改革部分委托我来牵头时，我既如履薄冰，但又觉得踏实，因为我从编的这几百个程序中掌握了工科对线性代数的需要。需求牵引保证了课改的方向的正确。而从清一色数学老师改为理工教师结合来搞工科数学改革，这本身就是一项改革和创新。 好像要改造一座房子，工科是站在这个房子的外面看，主要看它的外部功能，看它和周围建筑及环境的关系。而数学老师是在房子的里面看，看各个房间的布置和内部功能。所以我可能提出某个房间要加一个走廊出口，房顶上要一个梯子，甚至加个电梯，方便爬到邻近的各种建筑上去，….，这些都是比较重大的改革，通常数学老师从数学课内部是看不到的。 把大学本科培养学生的八学期比作一座八层大楼，数学是在下面两、三层。为了全楼现代化，要在楼上增加电梯。工科老师会希望把电梯从一楼修起，下面三层就开始现代化。还要求电梯修得大，都能坐。现在的数学实验规模小、是兴趣式的选修课，学生的机算基础不整齐，工科后续课无法推行有普遍意义的科学计算。所以我们提出，让线性代数机算成为一个大电梯，所有学生都上。 从课程内容看，比如我们知道欠定方程组在工程中是不容存在的，而超定方程组则是非常常见并且必须求解的。所以线性代数必须要讲超定方程组的解法，欠定方程可以讲简单些。国外所有的教材也都讲超定方程组，但在中国就是不教，给三个点会找公共平面，多给一个点反而不知所措了。 如果把代入法看做是一辆干小活的手推车，线性代数就像一辆能进行大生产载重汽车。从工科应用的角度看，最重要的是教会学生开车（机算）和认路（建模），但现在的课程把大量点时间放在教载重汽车的复杂构造，就是不教发动机，让学生用人力来推这部车。谁都知道，这是推不动的，更谈不上开车认路了。学了那么多理论，考完试就搁置不用，以后的课程中仍用代入法，那有多浪费。
工科教师关心的不是基础课讲得多难多深，而是希望这门课能快速而精确地解后续课及工程中的问题。把线性代数问题的客观需求画成图3。纵坐标为阶数（图上只画到8，应该到1000以上）。横坐标是问题的类型。手算的线性代数课只能解决其中白色的部分，高阶的、超定的、复数的都属于排除在外的深色部分。而这些白色区，用代入法也能解，甚至更方便。这样的线性代数课几乎不产生什么效益。如果能和计算机结合，又补充了超定方程，图上的全部问题都能解决，有什么理由还裹足不前呢？
图4
(a)10个测量点及其拟合平面; (b)坐标轴旋转后的平面和点
|
关于向量空间问题，从工科看来，对低年级能讲清三维就很好了，国外的教材都如此。但中国教材和教学要求中则都大讲N维。难道三维空间的问题太浅了，不够搞吗？我想用美国线性代数改革文集[8]中的一道题目，考考中国的老师们。三坐标测量仪测出某工件截面上10个点的三维坐标，问这些点是否近似处在一个平面上？又是否近似位于同一圆周上？求该平面和圆周的方程，并求出各点的误差。这是一道很实用的机械测量题目，各点位置及解出的拟合平面如图4。
| x
| y
| z
| 1
| 0.2374
| 1.3909
| -1.3585
| 2
| 3.4631
| -0.2208
| -0.2176
| 3
| 4.8744
| -0.1712
| 1.0709
| 4
| 4.7959
| -0.1922
| 0.9802
| 5
| 1.6950
| 6.9840
| 5.7687
| 6
| 5.9095
| 0.5408
| 2.7226
| 7
| 4.7977
| -0.1918
| 0.9822
| 8
| 0.3621
| 1.2858
| -1.3592
| 9
| -1.3282
| 6.7843
| 2.9107
| 10
| 5.3229
| 4.1905
| 6.0259
|
这道题完全属于《线性代数与空间解析几何》的范畴。但用中国现在的线性代数教材，这题是解不出来的，因为要用到超定方程；阶数达到了10，还有小数点，还涉及病态程度和误差分析，这些内容书里都没有讲，要算必须用计算机。现有教材连三维空间问题都解决不了，表明取材有不少缺失，该补的内容多着呢，为什么要侈谈N维几何空间呢？这种避实就虚的学风对学生的导向也不好。 教育要瘦身和平民化，在公共基础课中尤其要立足于绝大多数学生水平和社会就业的需求。要让同学关心各行各业现代化中遇到的实际问题，学会用数学和先进计算工具去解决它。如果置现实的需要于不顾，教给他们的是少慢差费、解决不了实际问题的理论和方法，硬把几百万大学新生的注意力都引向“抽象思维”和“应付考研”（考研的命题也存在同样的方向问题），那无疑标志着教育方向的偏差。1990年LACSG建议出现之后，美国在低年级线性代数的教学目标中，已完全取消了“抽象思维”的提法，例如在[9]中，MIT的Strang教授就把整本书的目标具体归结为解四类矩阵方程组，用四行字写在封底上，超定问题就是其中之一。在搞清三维空间和会解高阶方程组的基础上，引导少数特优学生去想一些抽象的问题是可以的，但也该放在高年级，何必在低年级就大面积拔苗助长呢？ 工科的观点也许有其局限性，我们希望教育部和教指委能经常适时地组织工科和数学专家的联席会议，认真的讨论上面提出的那些问题。取长补短，把课改做得更有力度、更有成效。 五、“用MATLAB和建模实践改造线性代数课程”项目的目标 上面讲了从外部需求看线性代数必须改的理由，从课程内部看也必须改，而且使用软件工具也很有帮助。在我们为培训教师和为学生分别写的采用机算的教材[4,5]中，提出了改革的三条目标： 所有概念都从几何图形引入，达到抽象与形象的结合； 一切烦琐计算都有简明程序，推动笔算与机算的结合； 大量实例诠释了课程的价值，实现理论与实践的结合； 其中第一条，许多数学老师的教改文章早都提过，但很少见图画得好的中国教材。问题大概在于许多老师不会画立体图，数学软件可以帮助解决这个问题。不仅有立体图，还有动画呢！第二条不说了，第三条不用计算机也很难做。哪里能找到那么多三阶以下、整数系数的应用问题呢？而且课堂上不允许用太多时间笔算解题。我们写的两本教材，都讲了大量实际例题，最末章还有十来道后续课的应用例题。但它们是高阶和非整数系数的，不教软件的教材就没法借用。 高教司的“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数”项目的总目标就是推广线性代数与科学计算的结合。所以要求15~20个学校参加，我们希望两年内这些学校全校学生一律要学会机算，只有这样，后续课才能用机算。实际上，有几个学校第一年就全校用机算了，一般是在课程中加6个学时（2学时MATLAB，4学时加在线性代数中），另外加上上机实践的课时）。教师多数都是支持的，因为这能提高学生学习热情，对自己真正掌握课程有利。但教师既要自己更新知识，又要辅导上机，付出会增多，所以关键是领导重视和政策的支持。要看到，即使这18个学校都达到全校普及，每年受益也不过几万学生，只占全国的1%。必须形成1→18→180→1800的“链式反应”才行。 美国为了在全国推广机算，除了1990年拿出LACSG的五条建议外，在1992-1997的六年中还由NSF（国家科学基金会）资助了一个ATLAST（“用软件工具增强线性代数教学”的英文缩写）计划，用暑假办了18期培训班，这是可以仿效的。高教司已决定，面向全国办 “线性代数软件实践”骨干教师高级研修班，此班将在今年7月3-11日在我校初次举行，招生100人。全国有近2000所大学，几万名教线性代数的老师。按这个速度，20年才能给每个学校培养一名教师。太慢了！我们比美国晚抓了18年，怎样加快培训？怎么加快课程现代化？希望大家出主意，希望分教指委也拿出一些办法来，形成合力。让更多的大学迅速达到本校先普及，并能培训外校教师的水平。我们将支持一切有利于普及和推广的措施，尽力而为，只要行政领导和学术领导都重视，这是可以做好的。 普及机算是线性代数改革中的第一步，也是关键的一步，有了这个基础，改革教材内容和大纲要求等问题才能逐步跟上，并且给后续课的科学计算提供了广阔的实践空间。 我们期待着，依靠教育部和教指委在行政和学术两方面的领导和支持，发挥全体线性代数老师的集体智慧，使线性代数与科学计算两个重要的角色在所有大学中都紧密结合起来，大大提高大学生的科学计算能力，使中国大学的各门课程的计算现代化，赶上世界的先进水平。
参考文献 书籍： [1] 陈怀琛，MATLAB及其在理工课程中的应用指南，西安，西安电子科技大学出版社，2000年1月第一版，（2007年第三版，国家十一五规划教材）， [2] 陈怀琛、吴大正、高西全，MATLAB及在电子信息课程中的应用，北京：电子工业出版社，2002年1月第一版，2006年第三版， [3] 陈怀琛，《数字信号处理教程—MATLAB释义与实现》，北京：电子工业出版社，2004年10月第一版，2008年11月第二版 [4] 陈怀琛、龚杰民，《线性代数实践及MATLAB入门》，北京：电子工业出版社，2005年7月第一版，2009年1月第二版 [5] 陈怀琛、高淑萍、杨威，《工程线性代数(MATLAB版)》,北京：电子工业出版社，2007年7月 [6] 杨威、高淑萍，《线性代数机算与应用指导(MATLAB版)》，西安，西安电子科技大学出版社，2009年4月第一版 [7]
Steven . Leon, Eugene Herman, Richard, ATLAST Computer Exercises for Linear Algebra, 2e , ISBN: 0-13-101121-9, Faulkenberry,
Prentice Hall, 2003 [8] David Calson et al, Resources for Teaching Linear Algebra, Published by Mathematical Association of America, 1997 [9] Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 4th Edition, Wellseley-Cambridge Press, 2009 论文： [11] 陈怀琛，科学计算能力的培养应该是数学教育的目标之一，2006年10月在第二届大学数学课程论坛上的发言 [12] 陈怀琛、高淑萍、杨威，科学计算能力的培养与线性代数改革, 高等数学研究,第12卷第3期（总第131期），2009年5月,pp.23~25 有关课程改革的其他论文和动态可在下列网址中搜索： 通
知 由高教司要求我校面向全国办的 “线性代数的软件实践”青年骨干教师高级研修班将在今年7月3-11日举行，报名截止时间为6月25日，有关该班的招生简章，请查阅项目网站：http://www.matlabedu.cn中“师资培训”栏。也可向我校参会的代表了解。 | 
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发表于 2010-6-22 09:33
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