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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
6 }' H$ q# ?. N$ k# I9 |7 D. s! s
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. O- G M/ P; s9 G- h) {# b/ m$ ~' `1 L& }2 x) |8 T1 |
A题 安全的后视镜% y, L# K$ y- d' v
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有. [1 ^" Y! a" Q. V# w( i' ~( R, s: J
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视5 C' v. _. Q) s H3 h) } z
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离." ]7 @2 h6 { }: y2 f
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.
; G+ v. [7 Z" u# P! r w5 |) q但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面# T6 s% Z; G" d4 p1 W9 h5 L
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的* `2 r- s% W2 ^* r6 |( H
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.
* ^6 v. Z9 K) M但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
: c# k6 p% h% M( s8 T1 @造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距7 ^$ [7 b h4 ?/ W) l# Z. g: y4 E
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
$ R9 R: \% c. ]7 o/ s种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
- `7 M' z, p+ o# c& v6 K平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线5 b" P) K$ L" w: m t/ }
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
- M7 `( W0 d; o0 F$ g能也会有所不同.
1 W" V, L* m" m& b- G6 T+ v第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
6 k T8 S( W4 F外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都) K$ u# S1 G s! n; [
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜& w4 R& l! M; t! `0 _" \/ H/ I
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
# P8 b# i* p! s- v. Z: T4 ?! ]种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有: {9 y/ [; |) ?
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相+ _9 P" K! n# Z
应的国家标准.. T" L/ M! J* {4 _4 h4 U
15 S( [$ [& j+ @3 u3 r4 I
图 1: 变曲率后视镜的例子
5 V ]' r6 ~% B# @5 G
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. N3 W# A& b4 F0 LB题 岁月的印记! ]) Z, R/ o1 Z. f' P
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经$ v5 x* p7 O# u, I. ~' e5 t
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
/ }9 x. [$ o4 R4 K出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
# o8 u' j$ h; z2 o6 L1 T# i来也就越困难.
2 x$ Q& a$ O+ W9 S, F) {第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面3 `5 A* e' n1 H' y
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
2 ]0 c' A& |& n* T0 L假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
% _( h5 I$ {9 s8 h* g; ~* o* B4 Y+ n
* [, U. |1 c* M# }
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？# N H8 |1 V" e0 X3 r
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加* {7 D( Q$ X: u
了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
. q6 |5 y' \, {. E0 `/ n% M7 @学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考4 ?4 G% B5 ]. }! T1 l2 \
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷/ v- p' b2 Q- d$ }9 D4 j# u7 g! G
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
/ O8 q1 q! Z0 `: G0 \( @* ?9 v依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端3 W( }, e& w$ G4 x2 n7 T
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
2 w6 H% r C, [6 j市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
, q, R: q t7 \集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
4 t; C" S6 B, i5 K& j你建立合理的数学模型解决如下问题。
- S/ S1 c1 G3 d. \第一阶段问题：4 H* r; i) S! f9 \1 w' e! g2 \
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展1 K/ F" Q; l) |
的主要因素。
% g0 u% a" {. [% Y% d2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在2 n- j! ~; L+ ], B
市场占有率。1 f: J# R! N& L
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会
; D( G4 A) S& q3 T8 }/ L$ `0 a情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。
! u# g8 _ L7 f; M! D7 o$ C8 D/ z; A( I3 x, d
D题 教室的合理设计' J* ` Y3 |$ x( q& S" N; ~7 K
（本题仅限中学组和专科组选用）
% f7 N ^7 V/ z9 d某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类7 r7 N: @# o& Z6 P! Q; ]
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和0 @- [2 d. `- w8 }* e; p" z! h1 k
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计
$ l X7 z8 |' A# c4 X/ ?分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。
! P4 O% F$ j- e4 B4 W第一阶段问题：
0 a/ T% i, H5 z B0 h1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个: ?. P5 ^$ \) L0 _' {0 | ?$ ]5 M' P' L% l
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不% e" X) @; m+ r( n* Y$ {7 H! q
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互) S2 U9 I' f4 h j( i3 `% H) |: v
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之3 X [) w8 B k Y4 A. W) z
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在 ~. R9 x+ ]: v& @) V# n, t
设计中可以忽略墙占用的面积。
4 {; S* ]) D; H5 S* S# u2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。+ |5 M& v% T# i9 b: C
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教' k2 n' H# T/ s, w. p
室。
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1 K( G9 p4 h* j: R
! C& E' p9 e- R" B |
zan
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
