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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn8 a L. _: B4 k% ?. R% j$ i5 ]
# D( }, Q" T9 `1 P6 F T
T1 j( p7 Z' j6 C2 F% ~! H7 W$ j% x
A题 安全的后视镜
! ]" p, Y0 U6 U" O汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有) C: m2 f2 G9 ?% ]1 g- k$ N
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
5 p; |% v/ l+ c; e( I( I) V镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
/ o4 t+ ^2 D/ {+ C" ~) Z如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.
( Q9 E( K* i' r但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
& @3 x6 ~5 a, i$ _8 U5 V' @获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的
# u' Q' v* Z7 j/ A8 `1 f! K距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.2 z* Q& v% ^4 `
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构. Z6 j3 ? s; |" L
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距: m o4 S( {7 i2 y3 o2 ?8 a- F
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一# [" J4 U, ^+ U2 g2 _
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了- y# E \2 h% B1 m7 M9 n* q
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线0 N+ f; r9 [1 v9 E% w, x. c7 K
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
; |" B) _) k6 \2 F5 P& M- U9 G能也会有所不同.
+ _6 k3 B2 n# v第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
6 {" w' J# v" I: P8 B1 X外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都6 ^: @* p+ v4 \: n+ _
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜9 ^6 d" @6 H9 K" i3 A
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
+ F9 u, ]3 b: w- V v种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
; n" ]( B: T$ A0 a8 s3 d) ]的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
8 u3 ]$ Z! W" l7 i) `5 Q& i应的国家标准.6 t) p" [& p, G( o5 A/ C
1
2 |% d4 E( K; L5 S; o& [图 1: 变曲率后视镜的例子3 }0 `3 g# q, m4 V
$ r. c4 p1 E8 x! V" F# C, I, `
( S/ f5 G: k- n2 X4 x( ^0 KB题 岁月的印记. [& ^4 E* D; \+ k5 _
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经, K$ }# s. D- W8 x8 D
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
! |6 {( C9 U' z8 r r1 i出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
% a6 j- X0 x% E! [$ s来也就越困难.
" m) x2 Q% x2 n8 h K第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面# T0 k2 A7 [1 [0 o
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以) a& d" r$ G5 h" j
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
6 W8 d, R3 I/ E1 S0 ]& C) A' _
& k# \ l/ U: ^0 ?% i7 @; X) b6 w& q4 U8 Y5 x3 d/ I
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？* z, a: A6 s2 v: n
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
* E$ x# s& ]8 E5 x/ t I了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教' I/ n3 Q- u8 t+ _
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考* ~$ ?! e- ?5 a( f3 `
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷
8 ]9 W% @6 Q5 U# M' l- R涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
$ M3 ?8 h& H& | G依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端% h( ^' D! X' b' U1 s3 f
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的6 i$ T6 ~; ], A& ]5 @, _0 T- C
市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收, _4 [7 n9 C# z% h6 W' V* }
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请. }( _. F, m, c; g9 z7 V
你建立合理的数学模型解决如下问题。
) x- t# I% }1 s6 |9 W第一阶段问题：
8 {# x3 [$ S f1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展% e& j5 @7 Q. h" g2 k" n
的主要因素。7 G2 R7 M* [6 j. w" z h3 p
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在
% \( y# [* E0 R. B8 S' f2 A市场占有率。
8 w9 K, F. W& h& v3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会$ H" O5 F( u; e( ?% P5 ?' h
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。 Z& H- b P- ~) m, C8 \
1 B" E' v& V/ l4 g/ l9 s$ hD题 教室的合理设计
4 T& D4 o9 V: B. z Z( {（本题仅限中学组和专科组选用）
- d3 b: ?% p( p) [某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类" U6 P# z' \ R$ i
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
; \0 N4 F7 u& j2 v9 r活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计
+ a0 p: f& B, Q# q分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 / |6 W' M9 w, f" K" x
第一阶段问题：
& Z, s0 V# r2 O- P1 a1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个8 T5 V6 Q) L" J
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
) M& T$ G2 M/ G) O少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
+ X0 {! c2 L L0 k" `# ], _影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之+ M+ G R9 m2 X& H. M+ z c
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在
- n& \8 e x) p* @5 v+ H设计中可以忽略墙占用的面积。/ U& L* b2 r8 O' y+ y
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。2 p$ Y; W! y) C
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教( N" p9 L9 v$ l/ D7 v: G3 i
室。
2 j3 k8 c8 g- T5 |% H7 X
6 m: I4 V, p, P( q) x/ K/ H+ ?1 u6 {& h3 x1 I2 \
9 z* Z4 B* J/ K
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
