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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn1 C, u ^1 M( r5 O$ k8 q6 C1 @
, A6 @8 u" `0 @) V& h2 x
' O& w: q2 M' t; m9 m4 Z% ^% n; U
& y+ q, S, f9 c
A题 安全的后视镜, h; u- N4 B/ x9 _) f' H. O P* ^3 N& S" R
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有" X0 ~# V' U' }, h b9 e l
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视5 N+ i$ n8 Q I9 K% k( Z. y$ x9 i- i3 \
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
; ^1 W' p* r3 D$ b* t: O+ J P如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.6 E `/ e* L- l |$ \
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面1 j% O3 d* P2 w
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的* y2 A0 r2 K* U9 |
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.
1 g5 p6 X8 D4 L6 ]' c- y# q/ p% }6 v但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构5 ]! A8 ~5 D/ O
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
) O K# |, m( W. m0 q离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一3 G$ [! H* G7 S5 C/ {* c
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了# A& ?0 H5 d! ~, v2 [; e% F
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线7 c0 Z9 H# B6 s" j5 e
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
% X6 g8 f+ {% c% e+ }0 L0 F6 {% e4 e能也会有所不同.
! o; H2 g3 b0 j$ U6 y( q' @. o第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的6 q% V# H9 K" N5 V) f/ k
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都- h1 S5 w: Q% V3 w* ]7 n
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜& N" G' t4 a. S$ L
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
2 P+ X4 n* E& w8 d& R" b+ [/ G种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
( S$ x M! G( x, ~/ k( V" V的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相. d( ~5 J2 z' f$ l. D/ b% b
应的国家标准.& C0 p3 j, ]. p" N3 u- I
1" C' b7 l& y3 Z7 I' j
图 1: 变曲率后视镜的例子$ s1 _) p# t4 G% r/ g
) q/ z4 H( j8 D
- n/ o6 s# w. d' q9 lB题 岁月的印记& |" s) C, ]1 d1 R
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
% s+ O) K6 ^; a历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨' P4 _/ m) e/ H: }+ h! |5 {
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起3 `+ v6 P3 `; i, q
来也就越困难.. d" } m# W# y, v
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面: }' @: f: }# W0 A
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以0 I' G0 Q1 K9 z2 Q/ x
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
6 @ b. H* `4 V& t1 ~5 B7 a: t* g
% |# x R9 @+ v) _7 l- E0 b, `/ d) Z$ E
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
# S' I9 Y( } b# w+ f2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加- E; t7 x4 U; j6 _
了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教, H3 P* U8 o! f! }0 w
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考) b0 [: S% T3 ~) w. ?2 A1 G) R
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷& Q/ x% T4 S" b
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或. M) T0 U3 \4 A1 n' o3 i
依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
3 E" d8 r6 I! r1 ~更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的3 c$ t2 t2 W9 F+ Y" a! O
市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
5 a8 O7 H' I1 t! Z集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
3 E9 V5 T. W$ c/ o3 g你建立合理的数学模型解决如下问题。
7 W; {% q) s4 x4 F3 L* H第一阶段问题：6 b$ A8 F1 i8 k
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展6 m2 }, k4 b8 |% N; {% ?, g$ P
的主要因素。6 T% k# {# D' |9 h a
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在
* V7 b' n7 }7 V+ }市场占有率。6 ?* l) E- }( l$ I( i$ `; S
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会$ T6 g+ _ D; ]) u1 K$ V. d
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。6 J4 T0 X( J5 K+ \6 e7 h, d0 k
# s; ^7 F) \$ K# Q$ ]D题 教室的合理设计
0 q8 V6 V4 T( L（本题仅限中学组和专科组选用）7 r0 c& ^ p/ P9 G3 y2 F
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类7 z5 l( `) ]9 c% e3 v9 h
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
& U. L0 e! c' V* V5 D活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计9 \5 \* |) y: S# \
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 ; U# `* i, G" ~) I% I+ `/ @
第一阶段问题：) m- }8 I( q5 P4 D6 L
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个
- d! Q% X% \1 N1 }! C座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
5 s5 |" I( C( P: Q6 V少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
- F, q& ~2 }/ j- _影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之
! F7 v8 c1 x# K间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在
. t( x2 a# |0 R8 h F设计中可以忽略墙占用的面积。
9 v$ ]7 I4 T) M* J5 { l# c/ [/ T4 y2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。. Z: O" b, G0 T
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
9 `/ c9 h) I: i! t E5 r+ L室。
9 X! ~. `& }3 y0 V% d& s/ U8 V9 ?
) w- y* E/ w8 p8 Q; A( n$ C; B- w1 z* b, y4 L: K2 ~
7 {) m9 {3 u) @; U$ I! x
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狗仔卡
发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
