数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
. ^' A1 B( o" E1. 按模型的数学方法分：
$ O$ O" @6 m  h& Z/ R3 C几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
. L0 g" K1 x, m1 i9 A, L4 Z% R$ O型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
5 m1 t$ @  u( S+ x性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
' B- l1 c' ~5 l0 }人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
  C" J0 ?. N4 n  k+ i预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
6 N2 [% }' n1 w往也和建模的目的对应
" {- N3 @. X2 d/ d2 T7 I! U# {5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
! w7 t6 i  Z) D/ E5 ?国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
1 q7 X$ ^' p$ X! z; k6 k数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
4 O9 k8 V0 S: O以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
& b, c$ ~, Z4 c& _9 I4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
# m! u8 ?% @# S: X4 I, g帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
- U" T8 i3 m' r* E/ a8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
( p% x5 P9 u* w如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
. Y4 ~  l. o5 c4 o( {! K% G10 、图象处理算法
- I- {& ^0 f$ f赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
4 k7 Z# `, ]( V1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
; _- g3 G3 K5 n②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
6 i" p+ `5 ?; D" v2 H' ~2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
  Y8 V2 U" R" D微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
1 {4 X9 x6 @: T1 d3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
$ ]% E' c8 X, z1 Z4 v" S化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
- ~* e8 x' {* o4 ^0 y2 g4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
" T+ Z5 n+ T4 |( e概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
- j8 u% R* }: I7 L$ T" ~数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
- ?) @: F- n" v* E9 Q9 K. D* S预测波动数据的函数。
, M& A; r; s5 _' p5 G7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
7 \6 m  r/ X" f. L8 _+ n7 ?! `办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
$ G& ?% H+ x- J8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
! m( X  q/ s* r: g$ a- l9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
2 h% C! ]$ d3 Q在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
4 ~9 m" [" Q9 \6 h11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
  E$ w( X; e$ x/ h9 g; i0 G12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
/ F, x$ Z8 g! {' R5 i' p0 ^9 u13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
2 K: y- M+ N+ b9 e14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
8 p. t& J5 i) \$ C5 r2 `+ V其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
! ?2 I; G# a' D0 D3 e  Q% ]  p2 y评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
6 U9 ]" q: ]6 W的最差值。
! C2 b9 h4 u0 Q# g9 W% ^15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
$ ~5 Y9 g; E# _0 l) u# X( d该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
9 Q  n# F! }/ ^# i3 n) h/ v方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
8 V3 Y8 h8 H7 f3 H* z4 z/ h4 K* h: k量有无影响，差异量的多少
  I5 q% P& V5 o协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
1 }7 i8 L- m0 N. Y% C素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
) G# _/ H" q+ @此外还有灵敏度分析，稳定性分析
9 E. D7 X' k/ |0 {8 B! ^17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
  q- k+ H6 ~/ u- c7 S; r- t模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
: H1 D! q/ P+ f4 i; }优解。
; O# A& d" M& k1 k, q18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
9 ]7 [' u% o4 P  p" R6 A& B算法、神经网络、粒子群等
+ g2 l7 T8 o$ T7 u其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
, ~( i9 o9 |) j2 `" v& ~  a离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
" {. E6 G. d+ v8 j9 J  \3 L# n- L% Q20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
* r% G3 y5 [4 L! y3 O9 w- ?即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
. d) U5 f8 ^" ?! n# I# |5 \计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
: O4 {2 A+ M& G8 o; c8 \般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
! v+ \+ f8 U! N* S3 V1 o- G21 、图像处理 （ 较好） ）
3 ^; w  e1 X$ L# mMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
7 y0 ~+ C1 D$ o4 H22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
' z; W; i0 C4 T) E支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
9 W/ @. k$ w! Z6 H, \8 a8 u射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
% F1 t, W: c6 i4 C& M23、 、 多元分析
$ f  ]0 t; X6 J  J  t1、聚类分析、
! l: U& l0 B' _7 \' m* p2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
1 q1 r# o# c: s各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
/ I( {8 A9 n' [$ U* B+ C7、多维标度法（一般）
! A, D# Z) C# f8、偏最小二乘回归分析（较好）
; R0 n& q/ P. s/ J% Z7 B24 、分类与判别
. l) s2 R9 T4 V8 W# n主要包括以下几种方法，
8 `" F" c( z1 v$ x; Y5 a1、距离聚类（系统聚类）（一般）
" x2 E1 D" F$ j! g# ^& L- H/ L2、关联性聚类
' d' F" V) Q6 S2 S0 @3 b4 }3、层次聚类
* T7 L- Z* Q% h2 N' e% {4、密度聚类
, g6 Q/ L  U' u5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
, D1 z7 ^! \1 x5 ]9 d5 @2 d25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
4 \4 Y4 Q& x7 n( G4 D; ~2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
" }5 p( O3 K+ n( p8 A3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
" T  J/ a5 x) ^0 }; W一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
0 k# I, r! b6 E4 \. |* U  ~$ W* d8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
/ d# z7 z( Z( a: y9、优势分析
- ^' K5 S( H% m# J2 s- b+ G7 o26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
" F' R3 E& o- L

5 Q' Q+ |, Q1 v" G

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2 X8 t1 a* T" C, o! e. q( J. L

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6 Y8 L) x0 W# @) h8 A

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的