数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
' N8 k  c' I: o6 o' K  _# O8 f1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
! h' s2 o3 V. u5 b静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
* @. ]0 u, Y' f$ T+ R9 _性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
# U% M8 N5 z+ ~" G, K9 w4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
3 ], f& @, H+ ?" Y- O; w+ @往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
* h& k8 N% f- d* \7 S8 F比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
5 j: T/ n& m) M2 D6. 按比赛命题方向分：
$ U9 Z3 B% Z- g3 m9 c* i国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
5 W; E- ?! V4 X# J. @3 z1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
# x) g' `" a; D% f以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
* s0 R3 l0 x) k" S) m比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
! i& w* ^8 O& a, j3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
' p( t( h! _, S* u建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
* j8 E* z2 H+ |/ W( c, h这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
6 D1 Q" _3 m) v, q- R  x! {论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
" p' [5 w( `( s( o% z* C6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
9 F9 ]% c, v. }2 D! R7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
. |/ ]; c7 \  l一些高级语言作为编程工具
) h( T5 w4 e1 i8 B: I2 f% W) Z8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
7 W9 k0 [* K9 n+ e6 c; w据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
. v, s: @( R* V. y8 S9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
* o- F, i8 ]' G5 G# C的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
% X( `& l! ?( T7 u# H* Y算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
1 A/ A2 V4 Z. x5 l- f解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
6 ^0 D, f3 \- ?+ g+ e, }2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
) @. {: c/ ?* g  f2 S3 i, y其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
. O8 a8 g$ d3 u9 c" R9 t7 m3 、回归分析预测 （ 一般） ）
3 W1 u/ L- p& A' i求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
0 ~4 Y: w5 ^/ ?% h! [3 n: D4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
7 C; F6 R3 c# Z9 x. P8 Y互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
, \6 Q4 P) \. x: O9 G4 b概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
, C- j3 b: c: ^$ y# ~8 G# U0 ]% }5、 、 时间序列预测
% v2 x% _! C, l8 Z% C& s预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
) p+ B( O# F! L3 ~- C7 E8 J1 ?（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
& I5 H1 y- k2 n6 J0 ^1 g数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
6 [5 D/ ]) J: A! }' z大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
2 t& G+ F9 x$ N8 q  t4 J适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
2 L5 z6 f: u+ f* F; ?9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
9 n3 H' `" d2 E3 E# `0 h在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 \9 }  g- F. F5 Y4 v( X; R3 \评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 C, U) a% v  t作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
  i9 m, t- h  X; X: ~2 `) W4 f  u7 l12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
3 h! t& d* o$ n6 C6 W4 o优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
3 A' M! u4 _$ B. d' P8 n秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
7 m1 x( x( Z% w# r5 ~; t9 O) q法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
7 h$ S" h6 y+ {9 ]4 D# B似。
; z1 i2 Y9 l/ Y) @% u  y14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
' F2 N( m" D, |: n5 K' m, s: z评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
. \% n8 A( f2 Y: K* K15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
/ o( e6 W9 h2 O- ^该方法做评价比一般的方法好。
( ?) [& K0 F& W& V& n% t16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
) f- y6 o& d; e0 Y: \/ d3 N3 Y方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
' A% a# w3 s: z9 Q3 V5 `- b5 C素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
# f& b& f/ K* Y- l模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
- b1 N& b  h! v2 @( v- l20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
- N* }. X9 b6 D' W0 ^- y3 @有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
# d& ^" f! O/ v# I* T; B21 、图像处理 （ 较好） ）
' V' Y" X# K! a* p& X- vMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
! h$ ^- C# W% {# P# M, B0 E. J8 p例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
% b& ]- T3 O; z/ x1 h; U% M; f射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
4 r; {- i. y8 A8 E* ~; h$ t1、聚类分析、
- p/ R. w2 u  r0 i- L/ R) T2、因子分析
+ h5 y7 j9 l  v- g5 D3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
0 l  w; \$ `* n2 w0 q1 F2 q; a. I! w各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
8 w0 s1 \, {* y/ W" N- x7、多维标度法（一般）
- L3 {) k4 t) c8 {1 w: W! O! U% {8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
7 E* Z/ J1 _) U$ R8 H9 x; i$ c1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2 D2 {# x# E' J! ^# e2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
7 S! L+ _1 i2 i6 Z% F' P' Z6、贝叶斯判别（较好）
; d6 w5 i# {4 I# V9 {/ H7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
9 K3 T4 s2 P3 e: x# O7 f+ d, _, y2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
9 G/ q8 p0 B: U: [' w+ h6 G3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
; y8 I7 Y  c* D, W( X# P' C5 p5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
. n0 I9 |( g# H% J! H( O一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
0 J$ _) Z9 S% C8 ]6、标准化回归分析
; l' R. d$ a# ~1 K/ p. S; b6 Q0 O若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
: g; F' n1 V4 J9 ~5 Z( O1 i8、格兰杰因果检验
1 U, @8 v- Y+ v1 R0 Q9 v9 {4 U计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
4 A1 t4 }! |6 m3 G% m量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
6 e5 S- |2 s4 o

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- ]- ?! q! D6 C( L3 O

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
9 M* M5 M" D5 D0 S2 t0 h- D+ X