数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
: K; g# D) o$ u- t2 B$ }9 @型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
. q$ Q2 S" C' e( Q9 x. r9 d静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
' `% b; e# W( g7 t, M6 e7 |; T1 E3. 按模型的应用领域分：
7 B, t6 @. N6 J/ v2 \5 O3 b. A人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
+ x5 {; P: v( Q3 K4. 按建模的目的分： ：
+ E5 A6 a$ I. \, ]8 {预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
8 J5 I( ^$ ?5 ?% H2 E$ a# c  \有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
- @5 D0 y3 L  H2 }5 t2 [$ v6. 按比赛命题方向分：
/ f) B/ R% L. Q+ A& T5 M国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
5 s" {$ X- H) y# {* T以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
* n9 U- a" M$ y/ _+ B2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
/ a8 @, o4 z, l2 e, U: ]/ K% Q通常使用 Matlab 作为工具
% {9 Q! ~5 G: ^0 S3 |. c3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
- g$ K0 C& f8 I法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
6 _/ I. V/ B' f( a3 k3 W/ }这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
4 ^/ a* m* r+ v这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
' ~" g8 T4 f. [1 u- Y7 、网格算法和穷举法
, z+ o! Q3 x/ z' `! U当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
' b! t! k7 z% h$ |- Z一些高级语言作为编程工具
) l, {& h( t/ F9 Q5 H8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
  C5 S, s( Y" X5 v/ `& ~9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
6 R+ h' `1 N6 ]10 、图象处理算法
- }0 Y4 k' C+ b6 A赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
( E% ~& Z/ f$ }+ N: L①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
' Z1 {3 {  ^8 s+ v: c2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
% x3 {) p9 f: M" H7 [微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
; W" b9 G# f. x. T其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
7 [  X- n0 @9 \. W  D! I7 a2 p3 、回归分析预测 （ 一般） ）
# |5 \* V2 z' _" K求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
! g8 a% V4 H% \化； 样本点的个数有要求：
! [& s' [0 ~! Q/ j①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
( _6 s+ x" B! R) _. k3 W& c* g4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
2 M! z% `' K8 B. G- q互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
, n$ c: A7 G! ^, B7 N5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
) t0 @/ W; K8 J# d+ P1 e; x& M6、 、 小波分析预测（高大上）
5 \7 W& J- @  P+ J, N- M( \+ c数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
0 A. t* `, s8 B+ H7 n8 s预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
; Q" D% @3 R9 E6 p大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
* N0 g( w2 G# o  }! @9 L8、 、 混沌序列预测（高大上）
" ?5 ]3 Y1 O* K2 D9 P& v% d适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
  e" L, f# K" F' T# R9 C6 s拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
+ g' B* l0 L9 z+ e1 }* l; |逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
. l! P  a; e  |4 V4 e# l% \作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
# z# h7 N( K; B: v3 R- l, ]) g" J14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
' H9 ^# h4 l3 F$ h  S其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
( {+ ^9 ~4 X" S7 D8 r% j- h评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
4 c+ |5 n5 ~) _* @/ p6 s0 x5 K可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
; i( O$ q: d0 p( u3 a" {) i来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
1 A5 _/ ^/ z" ]  }! w6 }该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
0 M. {% K/ v0 O6 F* _5 L+ _方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
- g, ?+ Z# T! S. O: w. J量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
9 J0 q9 l9 ^( N+ F5 e; n素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
4 H: Z9 e" H3 ]  P5 i; R) ^8 e% U此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
$ i: {# A2 r4 y8 O% E" B2 m1 A/ \模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
+ j  u. O4 l/ {: y; K+ N非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
$ K2 x( J, V$ R) ^7 [智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
1 Q$ l* ^1 Q+ D排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
5 f0 G. E' h) e& U2 k有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
5 ?/ d) r  C) `/ O; p般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
( X6 u  q# ]9 {21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
  V: q# ~# Y: a, o" m2、因子分析
' i, k3 U4 X0 ^0 L3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
0 E* k' g* j& d5 _* R* ^各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
7 q3 T9 n. _, N6 s0 m从而达到降维的目的。
. q3 d$ M! [' Q/ Y& E4、判别分析
1 a! Y( K8 @0 }5、典型相关分析
5 J7 i4 l6 _# h6、对应分析
7、多维标度法（一般）
3 `* _" y; z; ^7 d5 N! s8、偏最小二乘回归分析（较好）
7 e+ ]1 t5 P8 i% l1 O24 、分类与判别
+ |: k; h7 _  K! V- o- l; V& l2 o% ]主要包括以下几种方法，
! l3 p4 u) d, _) Q9 u/ Z( l' p* W9 q. U0 I1、距离聚类（系统聚类）（一般）
+ y+ y$ J* w+ t$ b$ d! x3 Z7 H2、关联性聚类
7 b" h' U! _$ }+ N, o. A3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
* k+ J7 D. N* g. p$ k7、费舍尔判别（较好）
& Y: s+ ~  T6 e3 e( n" e8、模糊识别
8 ^4 o" I& S- V* J5 i/ Z) r25 、关联与因果
7 }: y6 ~( A' x) L' @1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
# }$ ]6 w' x. \* w/ J6 U, l" ^: G  D7 V4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
6 e( B/ E9 B2 i$ K9 y! D5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
/ G- h' P( h' \5 H5 Z若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
( c( Q. X2 B7 p) a( D4 s" y' ~% V7、生存分析（事件史分析）（较好）
7 Y+ ]; T3 B: }/ `4 x数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
7 `. ]1 [9 t- V+ A8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
4 I$ B# d* [9 b8 i9 l& z26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
0 E, h: E1 W6 h& p7 o8 c量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
$ a, T8 ]0 ^! ~. J' G6 ?; a* R# u' c
# T" V* V3 _" \$ I, X4 B& n8 O$ D1 {

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; a& K% n/ `0 e; Z+ q111111111111

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的