数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
2 _& o( ~0 Y' {9 P3 [7 a1 n/ {- H1. 按模型的数学方法分：
: a4 G$ d7 g: Y4 R% A: h几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
, E, Q9 P" h! T  r型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
7 ?% ^$ [( y$ x5 Y静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
1 ]* s' e5 T# F- S$ A$ f3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
# d. g% ]7 d2 v) \. M) B$ S" u' u一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
2 I8 L6 R' v8 Q2 v9 T+ `往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
) E0 J$ c& A4 i/ J+ G( r9 v有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
  W# Z. \8 P  _2 i" R( w* U国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
2 {: N3 }" ~0 C: b  N, t) I  v运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
+ Z2 M- l5 w5 i% b( b; t# j. y' K1 、蒙特卡罗算法
) G3 ], u/ a% {: G3 X  B该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
: D1 ?/ O1 i5 A2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
# O- ]- w0 _7 o3 e: n" m- D3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
$ X( W' z/ @/ u建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
$ Y* q4 _/ \" C  \; h+ H3 W法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
/ _1 v1 W" }9 N  p+ ~这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
0 n* F* R( _) p) b' {论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
8 f( S/ X5 c3 s. E! _5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
- E6 P: A. Z5 t当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
8 E1 c, W. V- C" v  L; |一些高级语言作为编程工具
( E1 s9 f' z- I, K1 [" q+ R& t8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
7 u  y/ a* D' m0 [据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
8 O1 [! c3 i1 {- K% E! q的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
" C& _+ C' S5 k+ M) U& Q9 O行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
9 K1 |% U" `6 V' S2 {0 ~: C解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
& }- F( O% ^) e6 c: O个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
/ N4 C3 c. w8 T' x2 ^2 h②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
% |5 {$ o0 n' p$ n- M4 V  h2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
; i% [% X5 e. g6 s  n" I  f7 W微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
. y/ z& k6 |  l% [! u7 ^2 U其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
: X. s3 s1 T2 h1 l' N②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
; L! y0 Q  L! n一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
0 h$ S8 m1 L  P* a+ y预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
* X# v% w5 S, O; {) r4 p. Q预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
% o3 l6 y+ P5 `! y预测波动数据的函数。
" ~; p6 b- D( J# o7、 、 神经网络 （ 较好） ）
$ e$ j# b. {# \, y3 X大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
; e8 a. ~' I6 _/ o3 k" |# D( j办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
- _) P% X% Z8 k6 |! \! t9 V3 H/ w适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
  [& o4 [0 y1 @; M- |1 [  q9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
. m! P. u1 A+ x, [2 ^在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
! g+ O, S" D# v: h3 l2 c; _8 @. h/ R10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
( c/ s) _7 V9 w' `0 U11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
1 d  |7 N, h; c# ~& l+ l& L12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
* P3 e5 N1 u/ g( [) P# }/ X; F( Z秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
! W: c% J' U% a, D0 q8 c  T14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
9 z- L" `) G# E$ C: j; {" d解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
* E4 |  G- Y  K2 c9 R- f方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
8 v1 F4 `% Z2 C5 j* G* j量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
9 H5 d. R, Y5 j$ X9 @17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
* x9 F6 ~- b( B' K模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
1 d* J4 N$ ~+ e/ G' q2 d, g算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
. O. a& z# U4 L- x# o& @3 B2 H20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
0 y% N1 O4 J* Q5 qMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
4 Q8 Y: }5 b4 u& ^$ _支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
# Q) J! p/ u* k# J! L. @$ m# Y射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
( }& b& b6 J2 A2 p2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
2 `: L2 |  q/ c从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
; d! Z0 N) h0 _& \6、对应分析
/ i6 o$ {( }  Z7 L# E7、多维标度法（一般）
  L" e, e/ @( ?. I8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
6 Z8 C6 S) R" Q; U3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
6 x& u$ H9 B' {# ]7 d8、模糊识别
25 、关联与因果
) `- z, u! c" ^$ K& _" \1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
, E% n5 N  v1 e+ Q7 Y3 w3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
" o& c* _# v+ S) Z' Y, T2 A' |（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
2 \* h% [1 D! R2 T8 t, j7 q一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
2 D* j1 d, f2 i, {1 g$ y$ q计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
/ e# Q  m3 Q$ V" m! L. ?9、优势分析
' b. y& h# x! j, `26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
( z5 R6 N+ y8 ~) `量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
1 ~, j' x/ u9 f4 j+ {( B  _) S率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

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9 K, L( A' b1 w4 A# ]7 O3 h4 \7 L0 ]

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
( w/ f7 a& g6 d  L3 m% `; O