数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

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数学建模十大算法漫谈

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作者:July  二零一一年一月二十九日
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本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
4 \" q! t3 ^8 ^* dII、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科

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博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
! d6 p5 e& A; V+ f. z毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
$ C  s. u5 S/ V% W- v/ ~) z' `3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
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. W. b! @+ r4 o& u: L一、蒙特卡罗算法
8 W: p4 o+ \9 c2 {1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
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0 W: ?& Y! P' k' T+ y6 l此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
' N  U0 q7 f# E1 Mhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

- e' W( I$ {( ^3 \/ C1 a的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
3 M& }3 `" l# Q0 p- v
法。
7 V/ R2 J" R! x+ D
  y: K# w& g- A* E' m# A) J' c$ {) T+ s

7 q6 H5 F; w2 y* z' N5 l由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
) K# x* a  t. J; B) ]" Q
3 l1 @; C0 i$ Y4 v% l实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
4 U" t  Z3 X- r! B* ~- P当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
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6 F0 t/ [3 U6 H，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

为问题的解。

8 o9 {3 Q- [' [9 y$ U7 z, b
5 q2 p& Y4 e# D1 v+ c
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
5 B9 _% L- B' u5 [: I7 w
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

& M' |8 T, W  J4 b8 o' h后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

* Z7 v6 D) g) h/ R- R0 L，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

2 ^6 D2 p+ H# Z
' M3 Q! q. [" J4 O' f蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
. \% B/ r& F7 Y' V
2 n2 z/ i$ a; q! p& P% u拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
! U* O" C' z/ m8 K$ O$ I, j" A& q9 f5 D
) Z- K' @+ ?$ L/ P近似解。

6 R+ Z, F# k% s

: Z( O4 E; ~" B. a: |蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
; B) ^1 t; {6 b1 R  K等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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; u6 J9 c$ i$ p# }9 G0 D6 J二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
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学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
  q% N5 o2 t- W  I/ j
- E- U" t. D/ {! k吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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; t: {6 `& m* I# j# }1 f, j% Z" w" y
* U' U# V3 T2 Y% M6 v  E/ O! E此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

% ?+ G' o8 e9 i( S、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
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, [6 N/ B+ @- m- M+ z完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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' N- H' w# Z5 l9 Z/ T5 W* k  \  G- h需要熟悉这两个软件。




2 i% R9 z6 ?- r1 k0 D! ]. f6 Y7 _四、图论算法
2 J6 @3 o5 b3 b8 y4 Y这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
1 c. ^( x- v4 f. `3 h; S; D* x
, ?$ ^, p: Q. w6 N: q+ o6 F

* Q! Y3 o/ j+ d% V关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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: {- w# k- i0 q2 P7 H0 z# W经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
  T: u8 h7 u. Ihttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
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- C+ U$ ~4 l% M; y- p2 ?0 f2 ?更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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9 _* b( V! A( ]& d; ^# y7 a五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
6 q  v3 ^* U: ?/ o/ c9 l$ @1 r, Y在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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5 p2 P' n: E3 W( F  s这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
% l( J9 H+ Q2 d/ r$ u9 ?3 r: |; ?
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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3 m/ z5 ^4 T* U) B9 i" }以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
$ ?- @* ~2 T6 ~" y; H* w. p03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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" j+ ~- [& Y# T2 o: J经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
( @4 B0 M" j0 @9 F9 k, L. B- s8 Dhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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* o+ a  F7 E  z% A! p8 C其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。


$ m9 e7 Z/ [5 i( m
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  S+ B5 q3 d$ M七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
* `! T* o' P; b比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
% C0 f; ~- e. x- }+ I& ]( g
' J4 A8 J- H: V. N那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
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快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

0 J0 Z  x3 S; j* a穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

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八、一些连续离散化方法
4 U" h/ n9 ^, C0 t  z大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
) I9 a9 m' t- x( M2 V8 z事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

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/ ~0 c: q' j- B( x0 @5 ^  d九、数值分析算法
; g/ j( [, g& p% l8 Q) i数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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. y" E/ ~: T( g1 ~算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

! G- g! n. x' j函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
. m9 _6 g! R9 e8 u$ k$ C( B
. P8 u4 K9 B8 o这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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( k8 Z$ m8 E/ a$ A

; a4 n# m1 J( ]& c5 w
) T8 f/ {+ U1 m6 E. A, b十、图象处理算法
6 G" d, ?. k3 K8 }在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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8 q. @' K9 `/ u. L  @1 X* P计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
2 G. W# `6 X+ D. z来源：CSDN


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