数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

% p1 i# \/ Z( C" O9 a( S* t数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈



! W3 \8 j* `6 _% B$ h作者:July  二零一一年一月二十九日

  R3 j# {3 t  |, A& L  z$ h! Y' p, r本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
5 A# [! Z3 G1 ~  |II、 本BLOG内 经典算法研究系列
8 g: [: P( V0 h3 Q- JIII、维基百科

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- r) _# T% B. H" i8 m5 I
博主说明:
) m# P& e9 _( D  ^( \2 w1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
! q4 N/ G' s) g( B2 w3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
( }4 p/ B$ }8 o7 H5 ?8 V" o谢谢。



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# `! c: E5 p) r8 N, B' _! L  t: C& T一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
; F7 w$ ~) p( b* F3 L/ C& I/ M共同发明了，蒙特卡罗方法。
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此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

& d8 L% g( @0 D; c% f# h! w$ a+ z的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
/ }+ ~# R- j* z. J
9 a2 Y# V7 A# d8 D2 v; |法。



由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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+ K( r6 [! H$ s/ a6 \; p( `蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
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/ p- u6 W/ G/ F! [' J/ L，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
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为问题的解。
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有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
/ }) Z+ B2 V. `3 h$ {假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
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5 |* @8 Q! ~! `" X. U0 W5 P后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
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1 A# |4 g2 d, J& g& {，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。


蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

$ P# l+ s$ H' ^近似解。


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' z# H7 ~( w0 ^6 q  S# {蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

* C! a4 i1 W5 s6 j此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
- |( v. f- A) G' u6 o( j' F- }我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

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) ~8 D" G$ R& |% s3 W  k此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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; ]5 t' T- q9 D! h4 Z, I+ j5 j$ v% F三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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1 S1 \9 E3 Y& k9 R. Q、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
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. s* a/ Y9 m) f9 W% _5 m完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

需要熟悉这两个软件。
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1 T* X# z% m) ~- B& p) v四、图论算法
+ B* ], F. O% }# p( Y这类问题算法有很多，
) D4 t7 _3 G6 H. L! Y* p0 w包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。

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9 Z! q2 ?, q+ P3 }* H" |! x关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
# n8 z2 @3 E+ Y3 d* whttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
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更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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! R$ o7 ~( S3 ]五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# y; i/ |- }( v! P# j8 G: e" i在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
; H  f& f7 z2 }; |- Y8 t推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
, k$ Q  Z4 ~5 z$ L5 Z这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
4 H; {1 d) P/ g* X5 t) L
+ N9 F3 L/ n" B$ h$ G$ @在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
3 y' o0 l" E: f03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

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! Z8 S1 G9 k3 [! ?% m- Y+ t另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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- V. z7 A3 @4 \- N* t经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

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& D3 \5 E5 k- j: L( \8 f; t! ?其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
+ _) C( \, {* P: C( x比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

; e: c. N! j& S$ b  S& K那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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4 V/ x  f& }1 y$ z4 D0 o在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

8 ^9 a) R4 z7 }4 N穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

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八、一些连续离散化方法
5 O! Z: G& S  l大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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1 p# h/ L5 v4 }/ |这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
4 d7 F+ [  H' @5 O事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

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九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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/ ?* w: m' a$ Y2 I算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
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函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
5 e0 K2 Y; G9 m7 f# v因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

  x6 p) y& e8 D4 Z; l3 b* u因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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) g* N4 H$ g2 M4 f! f2 G3 e; {作者：画面太乱了
+ X8 I5 i" o' I6 G% ]& h" p来源：CSDN
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