数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

. K- V1 M, c" {+ E+ q; ]8 P6 ^数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
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) w" ~- ~8 |8 J1 T2 c& j作者:July  二零一一年一月二十九日
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本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科

) ^( k5 M6 H- ^% \/ \' [% w- Z& ]------------------------------------------
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博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
( P% X# O4 E1 [) n7 t2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
6 l( s% T2 T2 p同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
# g  j! M. I3 E' R毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
0 z& i1 b: l, M且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
+ ?) i7 S5 H1 f3 Z4 K若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
2 a" W- d) `2 O' S谢谢。



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6 X% ?" P  p0 v- H: N! |& k一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
& u4 r0 `4 Q; a$ _# m7 {$ l6 P共同发明了，蒙特卡罗方法。
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9 S. }, ~; C% d! B1 K3 u
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
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的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

8 `1 x) u! q; T* q9 C3 y法。


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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
4 s: y4 H" C. \3 u2 k- n8 p
  k' l2 {6 \5 [+ y4 t2 h实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
7 z- w) j% |+ v% m* d( \, a当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
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) H$ O+ _* h; Y: h( X( ]，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
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为问题的解。



9 w8 T4 y; v* o* m; r+ M0 T  y有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
) {3 Z2 x5 x; v4 x: _7 E假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
! v1 N' A8 {" f2 h, n
0 a% k% d, _# t, L度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
. P* V' G2 ]1 t6 z在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

& T! l' h- P! v近似解。

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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
0 _" f8 K9 T4 h: ]II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
1 e% I/ m6 k5 f9 W! GIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
$ A3 B( ?. L! \7 A5 c6 Y我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
' B: ~0 v4 V+ ]
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
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/ ~2 t. V# T, u/ T6 N& ^6 [学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
; l* P# W* d+ O5 `
9 G3 h9 i6 X- n5 l$ Y! r0 H: f2 q吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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7 y2 X; ^8 w9 k/ T, S、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

需要熟悉这两个软件。

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四、图论算法
/ E; z) O+ n' c9 A* c8 G0 k这类问题算法有很多，
* u3 c& b. N% i$ h& L包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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, d+ l6 D+ z3 ~. G  q& m

+ K6 ~; @0 k5 L* u8 T7 u# i/ V2 Y关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
. |; q4 L3 ^3 X* g- z同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
/ D! L% |; x8 X, w8 {1 Mhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

8 X! R, q, y& T2 N# B6 [* W更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。



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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。


' e5 Q; i1 j2 ?这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

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3 Z7 L7 o6 \: v六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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' W( v: y) o! U5 r$ |1 F7 Y2 V在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

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; H; T/ B; Z% L& J$ ?6 y: w4 Q
% U- ]9 {. a+ T# O6 e+ n& \另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
& z+ u/ R# L- M& z8 d% |& l" Ghttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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% U' b: Z8 E" ?# Q, V$ \
& h" d9 S6 i+ ?  B+ B7 k# I其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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4 n) J* E- B0 d0 z1 c- n
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' N7 ~2 B6 T9 e5 _& C% D' Y# C七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
$ i" Z! I0 n$ l: j: K2 d3 W4 y比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

6 c/ r8 l: q) G! [那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

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在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  



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八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
2 y: [1 r1 a3 ~
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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' ]# K0 `. B  g/ X- Q$ }这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

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2 N  `  H3 U$ H3 }+ }九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。

9 {" e- H( f/ y4 l+ {! ~如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
/ g3 ~& n7 j! }
0 Z0 e; q) _7 x! V8 H- B6 d函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
6 Q0 W4 C5 F/ q. ^# m
4 Z; {% d- }# u0 ?- J这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
+ o2 v# R0 j  d8 h9 f/ X6 J因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

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) ?5 N; z3 n3 K2 f( }* Z十、图象处理算法
% R" ?; u$ d2 m. S; j( I在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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$ v; R; @/ K0 m计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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' ~' H  F* @; h! O. d0 W2 X作者：画面太乱了
5 c- d8 @' l% T$ k1 R- o来源：CSDN