数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
  T7 ]: c* C1 i 1、建模步骤

( P& C" @* U% `$ M/ I
$ G% H7 x8 V, m
% `5 @$ H* V/ s1 C) I3 [" C; S! `+ w模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
5 |1 E5 h1 N6 |6 o: t
8 d! m: M& S  S模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
8 c3 @* B( k, J- g3 H
9 R4 |% x4 B9 B) M  P2、数学建模问题
( a  B7 |2 o0 n  p& [$ p: H+ e
: R- d5 q9 f$ J- w  y; g; a  ]  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题
/ `. \- l' d1 E( m* s; X
•①插值拟合
" p' K3 Y3 Q8 i7 C2 A
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
+ {0 H  q' f6 \
0 H# \3 t, J$ ^* l+ q•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
0 m0 f: }7 G& g, `
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
! [* ~" b! x& Q' f: H
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
6 Q5 n! r3 y- V3 N
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
# x7 g4 o9 ^" l9 N0 ?8 h


（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）
- h$ H4 Q. {# J+ D/ G
! o9 l; D! [* \5 V) G$ Y9 S( O•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
: ?% M8 R# {. s/ i% J/ [
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
% R  W! o' o2 ]3 y4 e1 R: n
% E- u; H9 R3 M* l) G9 W

（3） 分类与判别

. B1 n9 @# l+ X! Y9 e. u  u3 L# g9 D•①距离聚类（系统聚类）常用
( F- ?3 V; g1 J; L+ S4 l
•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类

•④密度聚类

1 C% M! O" w8 b% {•⑤其他聚类
  x! S% o+ q! U" V6 W
0 ?; K% Y" P% a; ?  n•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
' i7 e) c4 o1 l/ a
# o0 b. p1 D/ [0 w+ E•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）


/ h  P* s' }& K1 y# W' h9 ^6 w
4 @% Y/ x0 L: q  D; e
: l7 f5 t; [- t) o  ?) m2 o  C4 e
（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
2 N: W* G) s9 Z( {! m
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
( }2 N& _! s0 ~( _& f% j
  }, h( J4 t1 K% Q* j•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
  N* R, q4 p+ {0 i# A# t. u
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

6 `5 W# k/ \2 Y+ B3 |7 S( |+ N' L•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
/ V7 _( h4 r9 x) |; o" i0 N
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

$ t& H+ [$ c& B$ L6 Z: v3 P•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

5 ^3 x3 j% s  l$ X. y3 I+ P: D•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
" R; c5 n3 A' b& h" \
* ~& x5 ]/ m# d5 E( f& s•⑨方差分析、协方差分析等
" n! Q, b% h( \' v: g
) P8 E  ^* G, P, V, a/ Q0 C( _: j$ Z•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
3 y( J2 c2 z% t
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
$ t/ R! l8 E! F# M. m+ v


2 k4 ]9 Z& S, _! Y6 I% l. s
+ v, i# f5 j* h  r) \8 w; O
7 H. V0 a% n! Y3 ?1 E; R; l8 G（5）预测与预报

7 I( g  S- S3 o8 ]6 E

( c* i' y/ A* R0 V. q% w$ O•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
1 I6 x* K9 V" C4 V
•大样本的内部预测-逻辑回归
) G  I; d- B* l/ \3 W2 s% r: P
) ~* B$ _4 ^7 C7 q•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
9 W" U* j1 y" |0 n9 S4 T  v
; m; |$ u7 @, s+ h$ g+ [: ^•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

8 C5 O# o( @9 a( A9 [0 v8 P
8 H4 x" p8 |& C7 a7 D1 w* D1 q9 p
•①灰色预测模型（★）
8 d) u/ c7 ^  m+ D1 ~- _9 p
•  满足两个条件可用：
# q% c: ^# M% Q! R( \
•  a数据样本点个数少，6-15个
; S- i3 F- I0 f* e
/ t& a- n0 q+ C  {; E•  b数据呈现指数或曲线的形式
) ]2 k# g/ u9 A! j! a3 [
•②微分方程预测（备用）

" Y4 f2 W" l* b5 E$ c1 `. U• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
" B6 E4 B" R# j" W. X5 S


•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
$ i9 y3 D8 W$ z9 r
5 L2 V! v! l; M3 f•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
! D6 c3 @5 }6 N5 B0 l/ A0 i% M8 N
# U, r' n9 {4 l•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

( t: r/ Z2 H- ]! ^•  c因变量要符合正态分布
) B7 J* A1 {+ J5 |2 l2 q7 c
" W$ W5 Z+ g: b. N  I& Y

- A2 d0 p& y7 `& G•④马尔科夫预测（备用）
6 T1 }$ {: H" s* S- n; I
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



•⑤时间序列预测（★）
. g5 |  `& |* K4 ~
) r  g* K7 E) X4 ]# _/ U, s•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测
1 b/ q" c$ x. a6 D
3 |1 I% Z" w' C. O$ I% f* ?, _; f•⑧混沌序列预测
. A/ ?' P( i% c- o

7 O' V) X, K) t' |$ C9 A: _
! M; j+ E( H& n* Q1 E% ~5 U" T2 l0 @（6）优化与控制
+ T$ @0 u( m7 L8 u$ n3 ~9 K2 G
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

•②非线性规划与智能优化算法

) L, P2 z. e, n% |( x7 b% L3 c9 D•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
/ |7 w# t, ]; r( q9 D% l1 |# s1 O
$ @( |" M3 q: ?8 z' |9 V3 S•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
( b1 g  p5 U2 |6 S* ^5 @
•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）
! k1 [9 J& e, H" H
2 X1 J6 a, p8 T7 x•⑧灰色规划（难）
1 F! x. _' p4 S# |: `# i

, t  I  c0 ^9 ?% T5 G---------------------
0 K- x$ g0 F3 h5 U  \+ P作者：ItsL
来源：CSDN

. w/ ^. ^; {4 H& `1 q0 m) C" I5 e* B

4 y$ \% z8 e8 N. \4 x- h3 [: G