数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

  r) P- i. n- o+ }  t& Z0 S+ b数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤


1 j. I  K8 Z( m# }
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
6 E  K; B0 s0 [8 o
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

4 B! P5 R9 W0 u. n模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
5 l5 H. p, z7 B3 V6 A$ m
2、数学建模问题
* C3 H2 p( f0 m. w6 o6 f
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

1 }; w7 V7 d, y+ ?' D2 w（1）数据处理问题
, Y+ |- _& h0 Z3 C- G, ]
•①插值拟合
) Z4 c/ ^8 m" Y3 [' }
2 [- O/ e8 Z9 D6 O) ~' ^•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
9 [, C! N# R+ t, i- m
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

# y7 s! [& \; G& P•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

4 [, j- p" q! o7 l$ h•主要用于数据的截取或者特征选择

: q4 Q8 M0 z4 d) ]  V

（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
7 j1 ^4 v1 N5 J! m- @! S; i- r
•②Superman或kendall等级相关分析

" t- W2 O* ?& [. `•③Person相关（样本点的个数比较多）

/ l6 w. e* X5 Y: R3 l+ }•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
+ u0 U6 V6 F1 E% \% I3 A! Z' |, {
: }# M: M% L  j9 L•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
" f6 z( a6 J) w. u% }1 i. Y
1 D4 [/ e, J1 l6 L" W

（3） 分类与判别
4 }0 }, K& U4 k" z* p+ t
•①距离聚类（系统聚类）常用

1 f8 [2 y( |/ v" ]% `•②关联性聚类（常用）

3 c6 Z, m+ k' w6 Z0 ]* H•③层次聚类

7 G4 |2 p. K; ]+ P& U5 z: u: c•④密度聚类

•⑤其他聚类
+ S- w' y9 U, g! R0 X8 W: [3 l( A8 Z
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

# W5 `+ f6 W3 Z- y$ Y$ j1 c•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
. p! }( D- A9 j7 F) o
2 h( b' f% f& T3 |% z" a% a

5 S7 a4 R2 o0 t# A

/ _- A1 K* r2 H" c（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

# ?5 Q4 C0 b/ [, I$ [" o2 g1 O•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

! K6 v. v* u  q+ o2 ^•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
3 T6 o1 }7 ^4 ]2 x
" b( A1 {* v* |" g/ q9 f•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
% T- L" y% X; }, u$ p( @# W
6 h8 E! K2 w2 W- M2 Y0 O% U) X- d•⑨方差分析、协方差分析等
% o0 Q# _+ B, L8 G
2 T2 J" s' z' @•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
/ j4 J5 a: O6 E$ {/ [

8 m- [6 c% }% M7 }' n

5 F  \! r$ M8 A. O$ Q4 l/ z& ^+ c' O" @' J
（5）预测与预报

' n' c( M, q5 N6 n( i8 p8 P" n0 G: I

•主要有五种：
$ w; D9 c) w/ r" c, G( e- E# |0 X1 A
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

6 y9 l' Y+ i3 R5 c' }•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
; T4 Y: P7 v( u0 b2 O5 x' r8 o  o
8 n. Z2 y( v) |, E9 i, y•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
; K& o" A. L! E* ^8 v3 e

% Q9 M5 B5 Q2 q; J  i
+ B1 ~8 W$ _+ p$ i0 T" Z/ u•①灰色预测模型（★）
+ D% g( }0 S, l9 V+ ]
+ a7 I( {! [7 i6 I! ]•  满足两个条件可用：
% W4 F. i  N4 L% C8 U  F
•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式
& v+ k# C& a( r; _9 h
•②微分方程预测（备用）
! k( m4 U4 I' ~% m$ P# G
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。



" N& [8 Y; P9 L' l. [" G$ ?•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
, Y& m; ]* M& [- \" F7 A
# V% [  a+ l: O: G4 B6 V% y/ n7 W•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布


# c# F$ [  S0 t7 Q( C
•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
6 Q0 H; K; H' R$ N8 D+ W  h
6 V2 I$ }8 u9 Z8 \* {5 }( r

* i2 c) c5 W, J- m5 K* h, |* w0 q•⑤时间序列预测（★）
6 o2 m, J2 e- i
0 p+ C. G/ ^  ?0 V% I; D# E6 G) K) \•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测
& ]+ _) V. w4 k  R/ p
•⑦神经网络预测

) h6 r: R& W+ w: L* h•⑧混沌序列预测
# p! i+ {+ ^/ H/ Y9 }
4 ~! u" w' B! V0 S
0 L  {3 E$ r& @% Y! X# n" C& S
（6）优化与控制
5 P& ]  S: B, C+ _
; c% |7 F' |3 A: x' M7 \. P•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
: t& V7 H' p' |& h3 b
9 s  J0 a" ]% ?* h( E, _: J•②非线性规划与智能优化算法
6 V2 B) ^' a5 t: |8 _
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
1 N7 c1 E5 r* I- J. W7 K% n
2 z# N, b" H" T0 I6 ^$ D•④动态规划
7 Y9 B+ C6 @" D0 Q) ~7 |: J2 T
/ S( s6 N/ x; L: g! D" l•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

( a  @4 P. Z* y5 c6 s; \•⑥排队论与计算机仿真
# }7 j5 }' i/ e+ L
•⑦模糊规划（范围约束）
/ U9 B4 N/ s8 N) d" m+ r& L3 V
: ?  d& ~& R; E  L•⑧灰色规划（难）
- |5 n1 ]7 a8 r( H  Q
$ O2 s; P' ]4 I1 C$ V) K9 p
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作者：ItsL
来源：CSDN
( d+ R. b- p4 ~( z5 u# Y7 H# T2 C
4 c  S. G/ c7 `, k- O

" X# {) P( E. V" T8 U8 U