数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤

" @" A  u  I6 ?( G7 R' u& a$ U
0 ]1 x8 Q7 U0 B( U! u( F& b
6 a( J2 S$ ?6 {! ?3 Z$ ^9 i; C9 i模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

, ^5 @6 _7 Q  W1 G9 [模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
1 @* r# u! L& H- Q+ |7 V( w
6 A, O  v, A# z$ Z2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

0 J, H& Y2 T6 m4 U3 ?6 J（1）数据处理问题
, f$ p6 M$ a) @' Z  U. U0 u) W$ O0 c
+ }% v4 I3 z" C1 c+ s( B0 a; P•①插值拟合
! W8 }0 q- \3 ]
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
- s' E5 a$ Q: ?) U1 [
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
. m/ M6 w2 ?  f, p
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
& _" [* e) X0 k! B' o# J& B
* G7 O. p, S5 ?•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
  D8 O+ D+ C3 z5 D. d/ m
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
4 V% X; f4 h) D
•主要用于数据的截取或者特征选择

( W/ @( _2 R, s6 k+ b+ c# j# G

（2）关联与因果

7 ~5 V* n8 z6 J8 y. i•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析
8 K* B' K. {5 B7 c
•③Person相关（样本点的个数比较多）
( O) q2 Q. {! C  g' J; j
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

' h# k8 C, N$ u: G( _8 B•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
, ?) {3 \4 _4 a/ j$ {) G
8 _7 v5 Q0 f8 A8 l% R% c3 K' c" F
. C3 |: F3 t: }! {# k& w, Q
（3） 分类与判别

8 I& m, ?* R) I3 z# O•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）

/ @6 J+ a# Q& U3 j  w•③层次聚类

•④密度聚类
/ f, [5 n3 Y) T. M
/ v& y6 _- j# ], D9 F•⑤其他聚类

4 U2 m- E/ a$ I& B" g7 o•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
; m# m0 R9 h/ m
  e  y+ f! g9 _1 R" F•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
/ w- Q, V. h" A  L1 u' O7 I
, z- E& b3 g' B  t- }9 Y•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）


5 G" |; y! ]% F, k1 d5 S
( A2 o" r: s- u. t# {

（4）评价与决策
- }3 c& u5 @1 g8 a
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
9 ^1 v! p9 }. V, w
4 Q/ `2 I) Z2 K5 M•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
/ j9 O- D* a' z3 l( S6 o# o
  j. X. G, _  z" x6 _•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

" h' |8 i- l# g. \8 a•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
+ c3 V) `! x" I7 N" J* U
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
8 d- j* L3 ^; ~# n$ P. ~
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
7 n/ M& i5 v  }' P8 m4 c" h" o4 j
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

5 D0 u8 u4 r, P! `•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等

2 U- g& X' t$ x1 |' t4 M% y( H4 I" k•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
* a0 u, Y* `  j
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
( w4 x) u4 s. m2 O) T4 c
8 H% Q' `' W! Z) w/ Z$ P6 X( E2 J
: x7 T8 Y( V( \' D1 }  Z
: P4 a8 V2 P4 K5 ^( t% F: o3 D
4 S; z9 s6 I+ p* w
2 N  O- n. A9 ~6 q- B! T+ s（5）预测与预报
2 j. Z+ M6 g3 F2 |  @% Y
0 h6 d& }0 K0 C; R
9 `" F& \/ V3 z# l- C
•主要有五种：
1 h: D8 e4 N# v! B
! T; Q* q8 z, i, E•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
' I9 ~# V, z2 O; J# F, I4 Z
•大样本的内部预测-逻辑回归
4 j- J+ i, H# Q  @4 D/ V3 C6 W
( L* Y% k# S9 P) X% @) a•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
/ f6 g0 i( X+ b( m
, p, s2 n" u% d/ w* ^: }4 R5 S•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
8 y, z4 ?' @; I


•①灰色预测模型（★）

/ Z3 ]8 y3 A% ^" T; ?•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个
" R8 T2 l4 n2 q! m
•  b数据呈现指数或曲线的形式
% r7 }/ h8 y: v* @1 X
, }; p  l" R+ v$ H$ {•②微分方程预测（备用）
+ J9 f* J* [- x: f8 _
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。



•③回归分析预测（★）
+ u; C1 D! O5 m& h2 N% Q$ q
+ f6 E* F" j, @% x* X0 i) U$ V•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：

) S6 v, _6 s1 J! T$ i# c( w•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

- K6 S+ j! D5 ~5 E* I( O•  c因变量要符合正态分布

: U, Q# y& j& Q+ L7 y; J5 O8 d
5 g; i: s# ^; w$ M/ q
: e/ L+ q, i' I: K& s* Q•④马尔科夫预测（备用）

5 ?! H) |, L. w6 b7 ?/ L/ c•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



4 S0 l; Y. X5 W: @•⑤时间序列预测（★）
8 w7 @# P; Q* i) f; T
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

! n: K9 \8 Y, o( x0 X•⑥小波分析预测

9 p9 M1 r0 h( \6 g6 [•⑦神经网络预测
  G7 S9 J- _" T* E! y
•⑧混沌序列预测
5 Y3 `0 M& {3 t( C$ h+ L


1 q1 O/ X' g! }& S8 |（6）优化与控制
$ z% h' N% s* {9 B: a1 z" }' d
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
. Q1 p5 d% X# q, K* e' t
•②非线性规划与智能优化算法

0 O4 ~6 n" w  S$ T6 V* c•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
* c% A* e4 `5 n+ ]: f
+ H: P6 u2 m6 b•④动态规划

) `% L2 t; o2 z$ t•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真
" o3 J) ?' p+ t+ V) Y4 A! ?
/ }" T! R9 M; J! |•⑦模糊规划（范围约束）

+ ]2 c7 x: O. b' w  M" b: G•⑧灰色规划（难）
$ j2 N) Z, T1 ?: a8 x; e8 M( g

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0 z* P9 s- `* e6 |3 n5 d" W作者：ItsL
来源：CSDN


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