数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
) V( \% x/ O- r7 V, R+ T+ W 1、建模步骤
% M3 F& O9 }# i9 S( P

/ X2 R* ]# U9 j7 x# c) @. J9 i' L
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
/ `0 x) R7 s2 G/ E- R+ N
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
' q8 V. r* W  S/ w$ }( F4 U
5 B9 T0 l, S+ P. C- H4 |+ w（1）数据处理问题

•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
2 D; s' P  x% S/ J! E
9 U3 d& F, n# ]: w) g" m•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

% J6 I% a$ u# m$ q6 I5 P6 }5 @0 H•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

- H7 q) Q1 J# D. h2 `2 q, O8 J•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

, |7 q) n; w: ~6 S•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
. b7 k$ x8 F7 y) C  J
+ ]7 y# |1 d8 N•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
- x0 g1 C/ ~1 Z1 c0 {: z
; t: m* j/ C0 h3 ]4 w! m3 ~•主要用于数据的截取或者特征选择
& O3 y+ ~8 W/ h  s, x5 D9 b$ Q
6 t& Y2 M3 v' Y$ G( S

（2）关联与因果
4 A- G$ }& D( P+ S2 q5 v
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

+ S# v& y0 O4 U! v•②Superman或kendall等级相关分析
/ v% a2 `" z: r
•③Person相关（样本点的个数比较多）
* a9 n) C$ t$ ^: N9 Y
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
* f. J( G6 }& V( P3 i
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）


+ G/ p8 j: {( K9 ]* X8 A1 k4 \9 H" p
（3） 分类与判别
: @) E* c: [" `
5 {/ Q. `6 }6 F% X5 K0 V•①距离聚类（系统聚类）常用
0 _! X1 p5 R5 A* x
•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类
: S0 c9 s- a/ a% ]! ~" Y
•④密度聚类

* H" x+ {/ i, @  [1 `7 Y/ n•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
- m9 T1 n* S8 g, Z8 y
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
2 k  ~" a3 C2 p& l& a8 q
$ K8 |* I* S/ I, R* V( E: ^



（4）评价与决策
5 P1 C# Z/ X. ~- b$ ?' ^
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

; j! Q+ C* }7 r" M& c8 l•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

9 n* S& P$ x' j$ o8 A7 ?# F•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
& y" j  ?4 ^9 M; s: D& \( A- x
, M3 Q+ H2 z* c•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

. N; ^& w( H1 y; b•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
0 ~/ S  a7 O/ e0 S+ y9 k
$ k- E, p( I  M! ^8 |0 w•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

0 I4 k4 g: O3 C" C% ]& {% e•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

: V1 C9 q6 Y# P( K•⑨方差分析、协方差分析等
' W; v" ^* I+ g. s
& I8 }! |' Z- u' X0 g. L; J3 N7 C•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

! O$ Q$ I9 r: G4 }  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
7 Z2 I) S2 Y$ O, a! o" k
1 A6 q! i& ~# P$ j3 f; c! H6 ?  i


% v% @; F; [) ^, [; L: Z
（5）预测与预报


6 d  _! M$ {: j5 b; X
: k( R5 ~2 W$ }/ k6 ~$ ~# @•主要有五种：
2 V1 Y& c8 L7 q8 b2 {7 R
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归
3 {8 \2 g& x) Y5 \2 {
/ C$ S% v7 M9 T# V•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
& o% O9 g; Q( r7 h9 P4 l7 K
4 E7 d; x& W) r4 e: n& X4 X3 @) ^- r•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
. ?8 U1 P9 _8 Z- d: N6 j
. i# q* v- x4 Y3 y4 d•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

9 {! m$ j/ ^1 U+ T/ z% ^* e( D+ I/ ]
$ ~: A# p6 Q) I0 S/ n2 I
•①灰色预测模型（★）
6 @% Y7 U% o7 j' S4 S# C. g
% x4 H9 M2 B' r8 \: B•  满足两个条件可用：
9 }; t: Z  r8 l; I1 b1 }% e" }
! J- T( |0 p2 O2 [0 ]•  a数据样本点个数少，6-15个

8 `. q& o3 r9 d•  b数据呈现指数或曲线的形式
0 m2 @5 T7 X7 D) n, j6 p8 q6 f
: g; `) P- ]( \& G1 u' I# Q•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

9 ^  W; ~2 @" J& ]
9 V$ i8 z( p' y8 d3 P; `! P
•③回归分析预测（★）
& a. W6 M7 u8 R( g5 H: q- F
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：
9 z. n8 t8 _2 c  d
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
: ^: H! B' H/ q2 U' i) o7 ^
•  c因变量要符合正态分布



  V: @4 k, M9 W, |! P: D•④马尔科夫预测（备用）
' d1 w+ F- s  L% \
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



6 t. D6 v; @- q•⑤时间序列预测（★）
0 ^  A0 G% t. B
) @; I2 F' v1 x, }•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

/ e3 C: l0 l9 p& {+ h$ ~•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测
$ d: }! i  D  R+ e+ T1 k
•⑧混沌序列预测



（6）优化与控制
! `5 f+ i7 o9 Y2 M' B  t
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
1 W: v" ]6 P5 G
•②非线性规划与智能优化算法
# c' U1 E  k$ ?( F
% a! @0 s$ x7 B, \•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
. a& G) n7 A9 b
6 [; v- W% O  d•④动态规划
/ r! z7 e( n: u" ?" h- g; R/ Y
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
6 M$ p6 _4 j4 O7 k# R! W
•⑥排队论与计算机仿真
5 y& B: E! v( W" A; B7 J; A
: Y8 Z5 P! e4 Q2 ^3 t1 `* C% H: z•⑦模糊规划（范围约束）
; i) k3 ]5 }9 F% R7 Z6 n0 ?
- ~* j0 |2 Z) o# @•⑧灰色规划（难）
! o6 V  _  _$ q
+ v5 T  y- s, i3 b6 W& q# Z
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作者：ItsL
来源：CSDN
6 v, e+ h8 K6 Q
( V( C0 S/ {. w3 R  p& q
. d3 U* W/ Y* Y1 U
9 }; j1 W% `) s