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[LV.10]以坛为家III
2012挑战赛参赛者
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本帖最后由 sdccumcm 于 2014-1-8 12:39 编辑 5 ?! t3 d$ C( Y# O( _! ]4 a, o q6 Q
2 L/ R! ?8 h0 D0 `* i; S2 j 《数学模型(第三版)》学习笔记
2 v1 y2 e+ c. k: J2 }3 u- y
写在开始
+ I, U1 {0 w; E2 }. d 今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两章(除了“其他模型”)开始,想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距,自己也是自学看书,非常希望各位提出宝贵意见,内容、学习方法经验上的都是., x$ t. V- \" P) z7 C/ O1 @5 ?
整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:1 [) v+ j | E+ D% Z2 T
4 ~1 b/ ]: z9 W9 V# f (一) “实际—>模型”的建模过程很关键,本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”,但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了;
. M7 _1 f0 b6 d9 c (二) 模型求解之后的处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而是进一步“结果分析”、“解释” ,目的不一,要看进程而定,有的促进了模型的改进,有的对数学结果做出了现实对应的解释(这一点建模过程中也经常做,就是做几步解释一下实际意义),也还有纯数学分析的,这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始 ,前面的求解似乎是家常便饭了;* r- @7 _0 F1 _% p9 I5 C
(三) 用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性 ,同时书中也设计到了一些(虽是浅浅涉及)新的数学知识和技巧,许多我在读的过程中只是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生)。
0 o4 _6 D. f" X( w
. r D1 H7 F* w5 Y5 u6 _( z 从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多,所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结,从今天起每天做2章的小结,既是复习总结重点,也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。, D' D! o2 d P# X" q
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~ ( h/ \% c, Q e/ x. z
——Tony Sun July 2012, TJU 3 m- ?: }8 z9 t) M' s' r
5 B, K. f, p0 \/ i (目前已更新:全12章)
( K+ J/ m9 A9 ~1 O" N, H: a t; ^% D! [; S( y4 g* o1 ]. q7 g
第1章 建立数学模型
: Z# o6 U( y4 W4 O- Y2 ~4 u 关键词:数学模型 意义 特点
. G* I7 O. s; l! Y) \+ q3 } 第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。
+ e& d3 J- u; c! r4 P$ k1 q: h 椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。. f( b5 Q9 J. K t
- L5 x. ~ I- `6 `
, B& d7 a" d' H% F" l' o! Q
第2章 初等模型 " a$ K6 K7 ], f* t
关键词:初等数学 简化技巧 思想
R1 r, X* @( u) l, w 这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。
" d4 X: T3 q1 s' H& G& [ 如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。
4 p' `# ?9 X# v* U! {# a, Q+ a0 V' [/ @+ s 2.1节公平席位分配 ,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。 这给我们什么启示呢?有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。
& a3 Z# f' F+ y" J: H( l 录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。3 B0 ` [% ^2 o4 w* g5 S
2.7 实物交换 ——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。" I! y, o. \" w: |. O0 u
2.10 量纲分析与无量纲化 ——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。 关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。
7 T# c" X! p: K- f 3 A1 a, g) [5 H g! ^
第2章小结: 9 n# c+ e/ J8 u1 U7 @2 \
本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想 ”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。4 q q6 K8 p. D# F# z. \- d, n4 n
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6 d/ X6 y5 m4 ^1 U$ O
第3章 简单的优化模型
, T0 L( m( h4 L8 d( T: U' R 关键词:简单优化 微分法 建模思想
+ t) |0 s' T( k( u
本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。. x0 j- }- B' f
/ `- q% b: w W5 G
3.1 存贮模型 7 \) N' s. D3 ]
分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。
$ o9 {8 W+ M; m7 [# H s 3.2 生猪出售时机 / k% ]9 C" ?! o2 @# S
关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。
" B" g9 A. B5 i- n- H' c( ^9 c" g 3.3 森林救火 / l) M6 U' r* X5 h' P' }
亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。
; {3 P* q! X- \. R- T, G 3.4 最优价格 # R; i- ?- X) Q! h4 i
主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。
+ J9 A7 F4 O2 } 3.5 血管分支
% W7 g) N" v& g& w 是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。' d; h6 t2 W" z: A4 o
3.6 消费者的选择 : ]5 b/ ~+ J6 v# X) t/ d
一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。+ B8 a/ C) n7 I# j7 |. l
3.7 冰山运输
! k! B7 e3 I/ B4 D 也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。
0 I1 U2 g- | |" Z & p/ i8 s5 N* p
7 n$ n% j, n: S
第4章 数学规划模型 6 g$ O7 C% A/ T# \+ a
关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数
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约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。
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$ _/ K3 s( t6 r! \: _) b7 T 这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:( l, N; ]% t+ L6 L3 P/ o
1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;4 n; h$ g6 q( a1 N3 I2 |$ o
2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);# p& Y5 N- s7 ~9 \: o: v* G
3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;/ z) B5 l _- ~- M& N& Z
4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。, x8 Q. ~% Z/ d3 h f. P3 r* P5 S
5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。
6 K# K2 v/ O. H5 B9 Z7 Y 6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。
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2 V* X x+ L) Y* R% \7 [6 X G5 V 第5章 微分方程模型
" q1 b0 k5 P, ?) e 关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制
* ^* A# d% v7 ^8 D3 X( }
这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要 1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。
/ L2 M) i6 L. n) | 自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。
% K7 p0 h- v: Y2 D' y) Y9 N0 Q5 r
1 ` [9 F; o! Q2 Q a; c5 o) j 5.1 传染病模型 - S+ l0 ]# g4 N
本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节 。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。
; r5 R' h" T$ `1 d6 n+ i3 @ 模型改进 、建模目的性 、方法 三者配合 ,是本节亮点。! g( D" S8 K0 g
5.2 经济增长模型
; N* g8 [$ g# m, a$ W 通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。/ z, p* h" w. e9 c0 N+ D
本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。
+ e2 o# I1 h/ y+ ?: X0 e! b; f9 o 5.3 正规战与游击战
5 j& Z0 a% _8 \4 a3 Q 这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。
6 x+ a6 M) i( x0 q; R" j 5.4 药物在体内的分布与排除
; \1 @7 Q" C" i: } 本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。4 M! w/ {. A8 U3 ?: X
先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。
/ i. u- G- B# ^7 `3 h 5.5 香烟过滤嘴的作用
3 w2 Q7 y. S9 }4 @ X) d 看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。/ N$ p7 w) h2 N+ a9 v$ X$ v$ _
5.6 人口的预测和控制 & o" k+ R: q# s( G6 k, g: p
本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。7 s Q" r5 C" L0 n& E7 l1 |6 I
5.7 烟雾的扩散与消失 7 ^1 ~! c5 v3 B6 G
这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。
& V4 x- |+ E- k$ Q$ v, I1 ?$ \, | 5.8 万有引力定律的发现 - c) s0 h* v3 I# Y" N
十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。- O1 \8 P* f/ I `# I
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1 w4 t% G, C( m
第6章 稳定性模型
, S! E" \6 a' ^% h* H9 y 关键词:稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线
, {9 ?1 r" o* G$ n) W7 M
本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。6 k0 p- L( Y9 ]6 `4 V
; ]1 a: i- k6 d. U2 w
*6.6 微分方程稳定性理论简介
% X# N: b5 Z' t# Y( w 这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。( @, ~9 a/ `; L2 m
1 D9 H, I7 s; n; _* H
6.1 捕鱼业的持续收获
1 G7 f! \3 Q/ \ 研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。
4 |* T3 U- F' D' F. q: ^$ A 6.2 军备竞赛 , e/ A) A, o- \
这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。
* x& @% o- H+ b: D( ]1 z7 O 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型
9 ^/ o, ^ q' d* I( j6 r1 x 这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。 8 Q- c P' X; x& H. D& a3 I+ v
7 g$ @0 O" \* a. M( a9 H6 ]
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第7章 差分方程模型 8 c1 e# a' E( d& y+ k
关键词:差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌
) n& x2 n9 C' Y; {, `4 H% H$ |
将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。7 l6 f! J5 `: E' v0 `, o
! t! Q4 c: h: l' C9 m 7.5 差分方程简介: 介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。9 \* w' D) T' J( }( L( Z
7.1 市场经济中的蛛网模型
2 t6 H% N3 z( {, M& c: @ 先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。
5 h1 K8 D4 B- j. i3 k8 ^ 本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。+ K" u, Q* o6 O" R6 d5 c; |% z2 c
7.2 减肥计划——节食与运动
7 l( e8 j) s# U, c7 H0 N6 g1 } 这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI 衡量)。
3 q/ u% ~0 A( m- m3 x 我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。7 [; o3 D) v* F/ U8 i
但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。
* j) |% j1 F8 }, f- U! w 7.3 差分形式的阻滞增长模型 , s T4 T: g/ ~. K s
此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)
* p5 L7 y' T% ]; r3 X 要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。
1 O' f, T, y* c; ~* W# d: I5 g- g P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。 C9 R% v# C+ m7 b
混沌的特点为对初值极度敏感 ,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。8 `' P8 U' k- @2 g5 W7 q$ w3 N
7.4 按年龄分组的种群增长
0 J/ `( [$ E: @) H6 i- v 这个模型的主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。
0 Y1 Z3 U- R$ z" J6 R0 s2 f
: z; D# z/ K/ e; v0 ^' E9 ~- f8 A
0 w5 j& `9 M$ x6 ` 第8章 离散模型 1 N: p7 S- |* ^/ h. p# t" A
关键词:层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策 6 \# ]) X2 X7 d1 O5 F+ |
(本章是确定性离散模型 的应用、方法)* j- V0 \# W' Q6 _
" [( D; v- Y3 v0 G" ^ q( K2 ? 8.1 层次分析模型% @, L2 G, K, v4 L0 _7 f: j
社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1)“成对比较矩阵”的确定及修正,2)特征根法求权向量的原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人提出),4)一致性检验。
& j) S& d8 P: w
8.2 循环比赛的名次 " c* L6 t$ U$ r5 z* e. ~
这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键,而且简单易用易理解。
7 B8 j( s2 o, j7 k( p, ^: \, A
对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据,或实际意义,是此思想的关键,我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。(p246)
7 k2 n8 j6 X) S% @$ u4 ]& b4 f 8.3 社会经济系统的冲量过程
. N1 _* J5 p" r" S$ D6 C" Z! D$ _ 区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。
P/ Z" ~" }2 `' c0 y: ?' e 这节模型研究能源系统中,各个因素的趋势、预测问题。主要工具有:带符号加权的有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。其目的无非是研究系统的“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。
+ q/ [ |1 X: W4 d/ z7 n7 G
8.4 效益的合理分配
, C% B% Y" ? |& x$ J 几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁的功劳最大?也就是说,干完活后,如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。
4 }7 d5 \ d* Q 本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。
# c! K a* M, k R
8.5 存在公正的选举规则吗 # V# _( K& V0 g
这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。
8 \% a* i4 w2 I' H! V# Y
首先是简单的选举规则。
/ m! w: |! ?, V j. k) z 接着介绍Arrow K的工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。
) ]0 N+ `& n) R7 w; a: I g 然后是联合尺度选举规则,它是一个简单易行的规则(但是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。
5 j9 h$ z% s( S. \0 N
最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。
1 a6 m( D& [9 I7 R1 w; @' f
$ v8 `9 H6 N ?8 c
. [6 [0 L7 \1 e1 ? 第9章 概率模型
. M2 x. }5 \+ b3 F* N/ B) D2 L 关键词:随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析
& ?/ F: u8 {7 |+ i+ f5 K! L
相对“确定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。
! l5 f# o2 V" o( s) b 关键点有:% }" N2 O8 Z4 @" k/ ^! A
1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题,做好定义是开始工作的根本。
2 q! N, N6 ^; H9 E 2. 随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274的求和转化为积分)。0 t. |, d$ m+ f+ u
3. 要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。' v. N" C1 A% `0 u% c+ q
4. 一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般,考虑的因素更多,更接近实际。
$ `3 `7 v0 C* |" E+ U" |7 m' Y 5. 有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.6预订票策略)。
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第10章 统计回归模型
1 k V4 c" Y6 A0 n. ?' j, i 关键词:数据拟合 MATLAB 统计 残差分析 自相关 逐步回归
2 ^( `8 c8 N' z( E9 ~
对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题,我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。' x4 B0 n, O9 ^1 R3 U: Z3 S
关键点有:" A( Y1 ^* j5 B1 l
1. 做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显的线性增长),确定方程形式,待定系数。) }# {7 ^. F: _& N" o8 B
2. 用MATLAB 统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB 输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,R^2、F)。, Y; N$ H3 N3 E6 L3 h8 ?
3. (考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如10.1中引入价格差(p297最后一段说明)。
9 D: n: @ N4 M0 a( I 4. 利用好回归变量的预测(置信)区间。
( r( a/ _6 R. U! c, q 5. 改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB 拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p300)。8 r7 v1 W) i; \6 t' ~
6. 残差分析(p305,但这页我未看懂具体做法,待交流),及分析得出的结论,我们应该怎样改进模型。
: v Z: A% f. e% A, R1 x/ f$ t 7. p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。
2 U7 c, q5 ~! k. s( v2 A4 b$ @ 8. 线性化(p309),及非线性MATLAB 求解(p310);p315最后两段。
! ^! j3 w1 S$ }5 [7 E 9. 自相关的考虑(10.4节):若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。
- _7 X; x& s; ?3 K7 O2 O$ y" @ 10. 逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著的变量。
1 _+ Q5 M! c5 v( H$ p: ^. |
; F4 d7 h; k5 n8 C
0 S. |' l' @, \. _ 第11章 马氏链模型 8 f0 K3 ~- _" b, p8 k' [2 J
关键词:离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取
% H9 z' a1 X( A8 l
基本概念
* b0 s% R' ~& a9 h* G" X: q, P2 W 这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链的主要思想。
: y" u; I7 m) m f8 x* @ 1. 无后效性/Markov 性: 系统在每个时期所处的状态时随机的,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1)这个时期状态 2)转移概率,与以前各时期状态无关。, J: k' \# `0 ?5 l& X
2. 马氏链(Markov Chain) 模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性的,时间状态均离散的随即转移过程。0 O9 S, h% N7 q3 ^) m4 `
3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。
( t2 r% b {; r% _* S $ Q' B* ], I7 T5 l1 G! B
一、健康与疾病
. a9 e9 c) n5 H- H, c 主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统的状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。
. }# z6 q4 n$ M5 ] 同时介绍2种主要类型——5 @5 B8 H. A1 @# H# U: S
1)正则链 :从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理);
! a1 y C( H/ o! D6 `3 v8 d 2)吸收链 :首先引入吸收状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。 吸收链是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。' x% P7 V( y. v6 e
二、钢琴销售的存贮策略
- u, ^' m5 e6 T: r! A1 Q* X 动态随机存贮。一个简化的存贮模型,关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况,然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单,但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。
5 R- h8 \' ]* c+ P* e) j* z 三、基因遗传 . J9 [1 p7 [9 K8 e5 b, N
用马氏链模型研究遗传过程,关键是建模的过程——即选取系统的状态,这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。 随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去,即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律;然而,近亲繁殖中,得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话,若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种,并保持下去。这两个结论(虽然在理想化假设下)与我们之前的认识是很一致的,从中加深了马氏链的理解。
/ b$ V+ x4 |- \2 R. ^. s6 G1 v! w 四、等级结构
6 z$ z* p& a: q0 s 这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况,目标是研究等级分布变化规律,假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。
: i$ d. I" \ K8 I! O 重点在于变量的设置,以及还是状态设置、模型建立过程。 建模过后,先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制,其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例,进行动态调节,实则转化为了一步步优化问题,动态调节的过程是一步接一步的,有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性,以及给编程创造了机会。
4 Z% R. Z2 K [# f7 ~* q 五、资金流通
3 h2 M$ e7 |( C/ m. x; S$ ^- ?! j! P 基本与等级结构一样,一系列推导最后总结出步骤,先判断稳定能否达到,若能达到,则由公式算出每年应如何投放资金。 与等级模型不同在于:各地区资金进出可正可负;所有地区资金总和可以变化。
6 ^ m, N0 W, L- G 9 s( z& s& _. Y" Z' M5 M7 K( T" ^
第11章小结:
w! j& h* u1 H9 ]0 X0 w# Q& ? 虽然只有短短5节,但是几个模型由浅入深,循序渐进,学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中,具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础,虽是基础但案例、思想也足够典型,是今后解决离散随机过程很有力的工具。
% B( f* g* e O$ t& D0 n
$ j' K4 Q$ b/ |+ v; B. R9 R 第12章 动态优化模型 5 L1 y: E& |; M/ z
关键词:泛函极值 变分法 动态规划 最短路
( ?- R" e! D" A 基本概念
- h1 W+ V6 n" k! r6 `5 T 本章介绍动态优化,优化目标,虽然优化目标仍然是数值,但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题(几个模型中一直体现),方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的,而离散过程则用动态规划求解。
, W: U4 g& R; D/ u( s 3 e3 Z2 [6 M" F L
第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念,和后面要用的结果;同时介绍泛函、泛函极值概念。0 X7 u; f6 I6 o1 p
这一章的数学知识、推导比较繁杂(尤其是对于没接触过泛函等概念的学生),2、3、4、5节(生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度)均是连续动态优化的典型问题,许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”,实属一个经济学的典例,这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。
' P: ?0 ^* E @4 ]$ G 第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化,用动态规划求解,转化为最短路问题,当中对最短路问题的算法做出了详细解释。 分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。8 V8 F1 V( k. r5 P9 W/ M
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一点自己的感想。笔记总结得不大好,但我的物理老师说过:做比不做强! 因此我只好硬着头皮小结了~ 望指教!
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自己的其他感想、学习心得, 欢迎交流 :4 o) t5 M. ?8 w0 E! b% z( A+ y
MCM论文精析课程小结——2012.5.20
& z* W* J7 s( f4 E7 S, I 点上希望的蜡烛——每年一度的聚会,记2012全国大学生数模竞赛
& d t% x* `" {$ X8 J" S# y 2013MCM, 平淡不平凡
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附: 感谢你认真阅读(或扫视)完这篇学习笔记性质的稿子,感谢你的兴趣,同时期待你能在建模学习中获得启发、更上一个台阶。对于短期/初期体验竞赛的同学,了解一些简单概念和思维,就像这本书中略读一些章节,再编一些经典的算法程序,是很好的敲门砖;对于长期学习建模的同学,固然要找机会夯实基础("内功"),也建议在学习过程中多思考,不仅是为了抓住知识的主干,更是为了发掘自己的兴趣,获得对自己今后读研、工作的启发。 - z: M) N9 ]: M& s$ _2 o3 x, m
本人现为一大四学生,在竞赛一线活跃度肯定不如各位,但之前的9次建模课题、4次竞赛的确给我帮助很大:开阔视野、团队合作、实际技术、责任意识。 知识学了就会有用的,不管是由于一阵没用而生疏,还是一直在加深印象。我一直相信这一点,并希望各位共勉,珍惜本科的时光,给自己多一些充实(英文中用"enrich"较合适)——因为不像金钱钞票或实物,这些知识能力、包括好的身体素质,是别人带不走的。
/ X+ ~* A; S& p4 C. A) @2 y T ——2013年12月20日
9 B: a6 m0 g) {' E; P: B3 o3 z! v8 g : }' x$ v# `8 i3 r/ H' @
% v/ j7 H+ y/ K8 ~7 w
(关于论坛体力 :如果是刚加论坛准备长期学习,而下载体力不够的同学,可以给我发信息/回复帖子/加好友,写明大概需要多少点(如50)及下载资料类型,我可以直接转给你 。 或者我记得可以用支付宝转账,好像1元对应30点;或者平时签到/分享帖子/写日志 都可以加不少(但不建议连续水回复一个帖子多次 )。)
: y# U- b: o7 K7 c+ v* r2 \( Q
$ k% }& g9 m5 N& B+ O" z( |
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sdccumcm 查看楼层
今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。
粘贴上发表后,却发现板式很多地方不好,由于是用代码编辑的字体,所有标题都要重新设置一次。这里也想请教下各位有没有简便的方法啊(在数学中国写帖子的时候,设置字体格式,不用那个代码)。刚才反复看效果、改了10多次……
zan
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