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[美赛经验] (原创笔记)《数学模型》学习笔记(姜启源老师第三版)可作预习、辅助、大纲 - 公开欢

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    发表于 2012-7-19 11:00 |显示全部楼层
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    本帖最后由 sdccumcm 于 2014-1-8 12:39 编辑
    % _/ s9 w, ^6 z2 p8 ?7 Q0 [) g2 h. e
    5 m: Z" u5 I, R( S% S, B& m2 l) W' M
    《数学模型(第三版)》学习笔记
    ) n" f9 M- F/ v$ A6 Z/ D5 m! e: g
    写在开始$ t% J  f# S6 n+ e; P
          今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两章(除了“其他模型”)开始,想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距,自己也是自学看书,非常希望各位提出宝贵意见,内容、学习方法经验上的都是.
    " {5 n/ T. H" x  A: E5 e  z; y      整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:
    ' f8 F' G; ^5 }5 M4 M& _
    2 s" t6 ]2 e8 g(一)  “实际—>模型”的建模过程很关键,本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”,但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了;, q) i' k/ Q1 C( K
    (二)  模型求解之后的处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而是进一步“结果分析”、“解释”,目的不一,要看进程而定,有的促进了模型的改进,有的对数学结果做出了现实对应的解释(这一点建模过程中也经常做,就是做几步解释一下实际意义),也还有纯数学分析的,这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始,前面的求解似乎是家常便饭了;
    " ]" K9 E5 V* Y  p! Z(三)  用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性,同时书中也设计到了一些(虽是浅浅涉及)新的数学知识和技巧,许多我在读的过程中只是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生)。
    & c+ g. e+ {/ l  p- r  F4 N
    3 m$ b8 j" o+ e# M2 D      从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多,所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结,从今天起每天做2章的小结,既是复习总结重点,也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
    : Q& _! T' A1 U9 X/ g9 {     也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~
    & ~% l8 j) ]3 i# t2 H" h3 ~$ [6 j                                                                                                                 ——Tony Sun   July 2012, TJU
    5 C6 o0 u. r$ c' o5 v+ p7 g% o

    5 ]( `" N$ X1 I
    (目前已更新:全12章)
    0 x8 ^0 W8 W! F0 m/ y; W; a$ V

    ) R  [% P" m6 P. t. e
    第1章 建立数学模型; I+ q1 I7 G3 S9 @% c& b/ ^
    关键词:数学模型 意义 特点
       
    7 K( v. J* m( G. v* Q' l   第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。6 V: Y. L' x6 Z0 v  S
       椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。
    9 T: c! {+ I' l6 H7 v" c
    $ i$ j) v' g) ]8 G9 z" D1 J8 k
    8 E$ N) f3 _6 f! x3 d
    第2章 初等模型
    . j  |) v6 a2 m+ r) F/ r关键词:初等数学 简化技巧 思想
    ) S! U9 M+ x( a/ o1 j
        这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。1 {2 U6 z! \8 @9 g! _: m# N
        如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。
    - T' E9 X$ e# M1 P    2.1节公平席位分配,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。  这给我们什么启示呢?有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。( b( N& q& S7 Z: J8 E
        录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。7 n0 O$ m, f; Y! Z. Y, A5 T
        2.7 实物交换——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。
    & Q7 @- ?) O& I4 {     2.10 量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。  关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。$ e( v" j/ B7 S6 `

    5 H2 T) n. l/ |- `0 K4 n第2章小结:
    " G+ d* k6 S) M+ [4 u    本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。4 `# V) ~2 W% B/ c$ }9 z! l

    2 N( ~' H% a9 X* c8 Z) P) z6 F; B

    ' K! z! Q0 O0 X第3章 简单的优化模型
    ! y. l% H( N9 h# J* T- _$ p关键词:简单优化 微分法 建模思想
    1 x1 ^: _. P2 J8 j
        本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。
    , z5 @8 @3 V* D, y) H
    & s# `& ~. r9 n: V6 d; {; c/ x3.1 存贮模型
    % \, O: V# w6 f( B" U  p7 d: _    分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。
    1 I. J6 z, o  j- j$ N3.2 生猪出售时机" p. Z: Z" S8 d# I
        关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。# s  a/ t5 y7 c- E6 N6 i
    3.3 森林救火
    ( k, F$ n/ o3 H5 h" w2 h. n& M    亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。
    ( Y/ Z, c* X+ p8 b, `$ @3.4 最优价格
    3 t3 l5 N, T6 c$ f    主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。
    2 b+ B* H9 f- S0 G4 A; E3.5 血管分支" \$ b7 c% A0 O1 q: Y: y. R
        是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。" F2 w& I/ {& b
    3.6 消费者的选择' z/ G* w, X% \: c) o8 M
        一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。) j6 w2 D) P7 ], ^# x: `9 [
    3.7 冰山运输: u, t, `; n3 F$ a: A
        也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。
    ( ?& i4 X8 ^8 u2 A+ n3 u
    9 N9 b2 t) B0 X  P' q: V- a6 ?
    0 H  g! ?3 X2 ?- ^" }
    第4章 数学规划模型
    - h: b. x6 x4 b" l- q关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数

    ( Q  \+ J; X& J8 c, A& D3 S1 P2 M0 X4 j    约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。
    6 Q# H  f+ C( T7 k( h* i, t5 n' d& K
        这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:
    4 S$ I3 M" l- \  b( y. `1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;& r9 d3 \2 S1 @$ a8 l2 r4 B
    2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);
    - p9 o1 L( m1 L# Q  K; F3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;
    7 R9 w* g. Q. y( |4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。
    ! ~5 }6 N4 ?7 C) Q9 r% \9 M5 o5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。' S" \- H  u! r# T6 o
    6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。
    , U+ k+ s% d% j6 V0 [4 A4 X9 J
    ; s: l% B3 t- r5 o4 P7 k: G* V, _( a" c; e7 r: m! \! L8 s. v9 S
    第5章 微分方程模型
    * m# u# \; e+ n- t关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制

    $ V' H' j7 o. D1 ~6 z, d; B    这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要 1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。
    # q  Q: R/ H1 i. G* b    自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。
    % {; k8 N' U! v% X0 z# i5 R! ?; }/ a; p( p2 N$ `3 B
    5.1 传染病模型- r( q- M$ k9 o$ z; @
        本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。
    ) z# i/ b$ b$ K! _( {( {( L    模型改进、建模目的性方法三者配合,是本节亮点。
    4 X: D* K1 C$ }! r  I+ r8 {5.2 经济增长模型

    0 u' e% c) t/ }9 Y  K    通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。  N* o& t$ g6 K
        本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。+ p0 S/ `  J7 h0 a
    5.3 正规战与游击战! h0 X8 Q) `' U2 ^
        这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。, H6 f& j& Q  K7 K( A
    5.4 药物在体内的分布与排除
    8 j, W5 `% i# c+ W7 \) f$ R0 ?1 L1 ]    本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。' v: D$ Z% x3 i1 v9 Y
    先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。0 f" P0 V* \5 z0 S" ^4 T! S
    5.5 香烟过滤嘴的作用
    8 _4 w/ n3 i2 V1 p. \" k    看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。/ G8 |, P7 m7 ^0 N
    5.6 人口的预测和控制
    , ]' Y0 M  z4 a6 P1 r' T    本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。( m0 D$ x' l8 X  P
    5.7 烟雾的扩散与消失
    % f7 \) k4 t/ d' m    这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。
    . }4 f' s/ X- ~& j. I, c5.8 万有引力定律的发现
    $ ~& U( V7 O! F# h0 _4 c    十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。2 ^# I7 J6 n5 U2 X
    % i+ v5 V. X. X) l$ g# Z
    $ P% n: V. I. \2 U; c) _
    第6章 稳定性模型) M" G! x% \: L7 o- }7 u
    关键词:稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线

    6 l! T- ~7 `' q9 @4 s4 A. ^. \$ C    本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。
    . y( S8 U- G' u/ A; w
    1 X6 }6 R+ Y/ M4 F*6.6 微分方程稳定性理论简介  d0 F/ H1 V. B% \- ^5 {8 N; T
       这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。
    ( \5 t5 I$ B9 c; \' H" s* `1 f! {: \( W0 V0 F! p
    6.1 捕鱼业的持续收获
    / q+ n1 z7 g& l* D, Y( X  r# I    研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。
    / U. \' C/ ]3 E8 R2 M' F6 v" E, q6.2 军备竞赛
    ! H& r( _- F9 J' N& c) R    这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。& u, z4 Q, b7 K0 I+ `
    6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型
    " d2 J* r7 V5 F3 S7 S! [) f  _    这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。" D. @4 v# b7 e; x
    1 N- y0 _6 Z* D8 Y1 q) T4 [/ E

    6 `5 O  w7 _. s+ V6 l
    # g6 P1 P. r( j' S
    第7章 差分方程模型+ s8 T2 G  @) |2 ?4 V/ O- a3 ~0 ?
    关键词:差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌

    ! l3 o" ^9 K5 I/ [    将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。) m" C9 D$ Y2 R8 ?" ~* A  U

    $ K1 d0 C$ v* C( ]( N% b7 `7.5 差分方程简介:介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。& H; K6 n5 x' G7 P# r" X. P) g. a
    7.1 市场经济中的蛛网模型
    $ e4 C6 ^+ A5 G# u1 O0 z    先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。
    . |8 k2 t% y: ]$ U4 c' _    本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。' U# o6 {5 s6 l7 n/ W0 T& k
    7.2 减肥计划——节食与运动
    3 L* E" F) h; v+ t+ D' {: K0 l    这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI衡量)。
    7 {6 E5 }6 s; F; r7 I. t    我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。
    9 @' v- O, R3 }    但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。
    4 \) [4 t/ }  Y9 K9 Q  R7.3 差分形式的阻滞增长模型
    ) n$ `& C9 O, S8 u$ _    此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)
    ( }6 {9 D4 b5 g# h    要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。
    3 W8 S: |! T; c    P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。. P. r& j* W5 F, b6 |) C" F
        混沌的特点为对初值极度敏感,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。/ n$ ]2 D% U) Z4 |" j
    7.4 按年龄分组的种群增长
      l' A* i! k! T$ z3 F3 f5 S+ l    这个模型的主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。
    % H1 g' P: C1 o, }9 n- P8 [- y9 P5 a% n- ?

    ; |7 f0 k( h' N# o) H/ p
    第8章 离散模型
    6 [6 o+ v' _' P$ X0 G- c+ S) O关键词:层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策
    4 |' A, i& D( I9 J7 M(本章是确定性离散模型的应用、方法)
      u; p6 d$ J2 \
    0 ^' ]+ @1 k0 F- u, N
    8.1 层次分析模型

    $ v/ S3 w7 f, S9 l+ @. q    社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1)“成对比较矩阵”的确定及修正,2)特征根法求权向量的原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人提出),4)一致性检验。
    : y4 {2 j- r5 _- f7 Y6 e6 H8.2 循环比赛的名次3 D( }6 e( d+ R! j! ~4 v
        这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键,而且简单易用易理解。7 n; S( p8 U2 W7 _. W$ P
        对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据,或实际意义,是此思想的关键,我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。(p246)
    3 ?8 Z5 v+ Q* a5 H( {. X; u8.3 社会经济系统的冲量过程4 S& O1 G- i. U8 X4 C# I: {" Y7 B
        区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。) |6 _: Y& S1 `  z5 E: Q
        这节模型研究能源系统中,各个因素的趋势、预测问题。主要工具有:带符号加权的有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。其目的无非是研究系统的“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。
    + X2 j/ h" t2 S* s3 P, L8.4 效益的合理分配
    - Z% d( f5 s/ ]; }+ e    几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁的功劳最大?也就是说,干完活后,如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。
    * s" [( L, w5 E/ h" v; O+ @, k本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。' P1 x  I% [  s8 l: e
    8.5 存在公正的选举规则吗
    ) G; P. i! D- E* s; q6 H    这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。" ^9 O3 M9 H/ L1 G4 @+ b6 @0 ~. C
        首先是简单的选举规则。& |- t0 G8 ~1 I4 r1 z) s' a  q0 \2 @
        接着介绍Arrow K的工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。! P: s& B: R% d) h5 }% w/ w
        然后是联合尺度选举规则,它是一个简单易行的规则(但是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。
    & |2 j, |$ `7 B4 B$ W( E    最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。/ l2 ?' x: l6 P# G. J* l8 v

    6 }: J/ |. _4 z& t3 [7 A2 M: x. N8 n0 Y/ l1 _
    第9章 概率模型
    4 N( S& g: i$ s关键词:随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析

    7 ^2 K1 `3 W( v$ a3 P0 g    相对“确定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。$ d+ P$ E  H3 Z* ^) B4 e, y: c$ t
        关键点有:
    3 `. k+ I6 q, P6 G  L1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题,做好定义是开始工作的根本。
    . W( K8 I  m/ L2 }! y% U2. 随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274的求和转化为积分)。& ^- K8 x: y$ G7 ^  M0 O
    3. 要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。
    1 D2 K: c7 M! ^+ e! l4. 一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般,考虑的因素更多,更接近实际。( w5 e6 ^& t: T/ I3 j7 {+ G* w
    5. 有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.6预订票策略)。
    $ t! h8 D' P4 b# h/ {& A! I2 w: ~) L
    . X7 D; k  Z  q+ j
    第10章 统计回归模型2 r( {, ?& a- W' V6 e
    关键词:数据拟合 MATLAB统计 残差分析 自相关 逐步回归
    ' X" V# e$ @  `
        对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题,我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。5 W' e- ~: v, o$ t2 k* x
        关键点有:
    , \" Y6 _1 C) ~1 C1. 做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显的线性增长),确定方程形式,待定系数。
    0 u/ y( H# a. U/ ^$ g2. 用MATLAB统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,R^2、F)。' R8 \+ J' B. L$ F5 N
    3. (考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如10.1中引入价格差(p297最后一段说明)。
    - x1 f) `3 G. i+ _4. 利用好回归变量的预测(置信)区间。0 K% @6 c4 O8 M6 u2 y5 Y- L
    5. 改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p300)。
    ; ^8 x8 S6 C" W% \$ A) |6. 残差分析(p305,但这页我未看懂具体做法,待交流),及分析得出的结论,我们应该怎样改进模型。
    4 t6 t' @' V6 a2 m5 [/ F  M8 t7. p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。' f7 Y# x  `6 Z& L
    8. 线性化(p309),及非线性MATLAB求解(p310);p315最后两段。
    0 R8 ~. V  ?3 p8 b0 n6 L* C9. 自相关的考虑(10.4节):若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。) l: P( v# @, Z. K. l
    10. 逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著的变量。8 r: c+ G' O+ k  O' K2 _& p, q

    * I! A, j' J9 ]$ W1 g* b6 g5 Y' V" k+ r/ K
    第11章 马氏链模型
    - d" Q& T7 q9 _0 n) l0 \" i关键词:离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取

      k0 Z3 l# [; e% d) h基本概念5 J0 o8 ~5 b' L$ c* T1 b4 i. v
        这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链的主要思想。% }# a# B; o5 Q
    1. 无后效性/Markov性: 系统在每个时期所处的状态时随机的,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1)这个时期状态 2)转移概率,与以前各时期状态无关。, ^; B* P' y/ R6 w
    2. 马氏链(Markov Chain)模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性的,时间状态均离散的随即转移过程。" F' S2 w( x: h1 E0 @6 `) W- A
    3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。$ d+ Q) Y- {+ k/ j& e$ `

    6 ~  F: `3 J8 l" ^. y% ]7 T一、健康与疾病
    ) i# a" I4 _& t6 J0 R1 _7 d    主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统的状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。; F( K2 A  Z5 F5 f
        同时介绍2种主要类型——9 b, C4 |/ W( P% e" N
        1)正则链:从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理);
    . z2 U; [4 m% A0 v" O: K( F    2)吸收链:首先引入吸收状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。  吸收链是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。
    0 K% B8 W( [5 U/ \8 i" |/ O二、钢琴销售的存贮策略5 D$ M- c  D0 |& j  d& \) O' N4 n$ r
        动态随机存贮。一个简化的存贮模型,关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况,然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单,但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。  i2 f1 L7 T: B$ W5 Z
    三、基因遗传9 {8 g0 b3 p6 X1 F! R" o5 @7 T
        用马氏链模型研究遗传过程,关键是建模的过程——即选取系统的状态,这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。  随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去,即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律;然而,近亲繁殖中,得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话,若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种,并保持下去。这两个结论(虽然在理想化假设下)与我们之前的认识是很一致的,从中加深了马氏链的理解。
    ( A' Q/ j8 O$ y' x% z四、等级结构
    " W5 H) s) j( {# W$ E    这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况,目标是研究等级分布变化规律,假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。
    4 s6 p$ }+ }) N8 E    重点在于变量的设置,以及还是状态设置、模型建立过程。  建模过后,先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制,其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例,进行动态调节,实则转化为了一步步优化问题,动态调节的过程是一步接一步的,有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性,以及给编程创造了机会。
    0 X, B& d5 d' F$ L- q' a五、资金流通
    ! [0 K# e6 i! f4 b* L4 Q  @$ M    基本与等级结构一样,一系列推导最后总结出步骤,先判断稳定能否达到,若能达到,则由公式算出每年应如何投放资金。  与等级模型不同在于:各地区资金进出可正可负;所有地区资金总和可以变化。/ `+ J# _) G7 j& e" J

    - I1 a) V# G- h: `; Q第11章小结:
    ' I* J' A, d; ?0 C    虽然只有短短5节,但是几个模型由浅入深,循序渐进,学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中,具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础,虽是基础但案例、思想也足够典型,是今后解决离散随机过程很有力的工具。
    5 P3 |  K* [  g: k4 H, Z
    6 O' o2 @( Y) d2 j9 E5 q# `' B
    第12章 动态优化模型
      U$ m' j: K% I关键词:泛函极值 变分法 动态规划 最短路

    1 N) S7 y: |' ?基本概念
    / M$ j4 r9 U. U6 `3 k    本章介绍动态优化,优化目标,虽然优化目标仍然是数值,但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题(几个模型中一直体现),方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的,而离散过程则用动态规划求解。
    % W0 Z$ S3 [: }; F
    4 x7 w2 b, D( M7 F    第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念,和后面要用的结果;同时介绍泛函、泛函极值概念。' O$ Z# {4 \4 N' L) Q2 \0 v
        这一章的数学知识、推导比较繁杂(尤其是对于没接触过泛函等概念的学生),2、3、4、5节(生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度)均是连续动态优化的典型问题,许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”,实属一个经济学的典例,这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。
    0 g$ o0 t. B! d* F; `" T    第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化,用动态规划求解,转化为最短路问题,当中对最短路问题的算法做出了详细解释。 分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。4 w0 u& x5 C- h. k/ M
    " L! C1 Q0 R' e) S& q: o
    & S1 s7 q; u& q- {1 r+ A
    , C% ?3 ?1 s6 u5 e, y; o
          一点自己的感想。笔记总结得不大好,但我的物理老师说过:做比不做强!因此我只好硬着头皮小结了~  望指教!$ x# u! S9 S2 B/ e) e7 h8 }9 j% L
       5 W; `* \+ z" B4 B( h; u
           自己的其他感想、学习心得,
    欢迎交流
    + m1 p) A* s$ Q2 _- XMCM论文精析课程小结——2012.5.20
    . |- x6 q# `2 }3 P+ Z点上希望的蜡烛——每年一度的聚会,记2012全国大学生数模竞赛
    - n8 B* Z; T" ^6 R+ A" n2013MCM, 平淡不平凡
    9 }; I5 P9 X+ r- J
    ! `% l' P/ i9 H- m
    附:感谢你认真阅读(或扫视)完这篇学习笔记性质的稿子,感谢你的兴趣,同时期待你能在建模学习中获得启发、更上一个台阶。对于短期/初期体验竞赛的同学,了解一些简单概念和思维,就像这本书中略读一些章节,再编一些经典的算法程序,是很好的敲门砖;对于长期学习建模的同学,固然要找机会夯实基础("内功"),也建议在学习过程中多思考,不仅是为了抓住知识的主干,更是为了发掘自己的兴趣,获得对自己今后读研、工作的启发。
    : v: A& t* i+ P2 c    本人现为一大四学生,在竞赛一线活跃度肯定不如各位,但之前的9次建模课题、4次竞赛的确给我帮助很大:开阔视野、团队合作、实际技术、责任意识。 知识学了就会有用的,不管是由于一阵没用而生疏,还是一直在加深印象。我一直相信这一点,并希望各位共勉,珍惜本科的时光,给自己多一些充实(英文中用"enrich"较合适)——因为不像金钱钞票或实物,这些知识能力、包括好的身体素质,是别人带不走的。7 G6 S$ w% i- t( M
                                                                          ——2013年12月20日

      H7 g% w! x! ?1 m% X
    + M  z5 s- V6 `7 r& U
    / P: u: J- G1 y, d6 ]关于论坛体力:如果是刚加论坛准备长期学习,而下载体力不够的同学,可以给我发信息/回复帖子/加好友,写明大概需要多少点(如50)及下载资料类型,我可以直接转给你。  或者我记得可以用支付宝转账,好像1元对应30点;或者平时签到/分享帖子/写日志 都可以加不少(但不建议连续水回复一个帖子多次)。)
    5 g2 ^) n: Q: ?/ r( _7 _; |
    ; d* ^/ l3 m  h$ s5 u
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    《数学模型(第三版)》.pdf

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    好书,可以考虑买本来学~

    优化Lingo笔记.pdf

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    这个仅是一点书的截图

    《LINGO和Excel在数学建模中的应用》.pdf

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    今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。 粘贴上发表后,却发现板式很多地方不好,由于是用代码编辑的字体,所有标题都要重新设置一次。这里也想请教下各位有没有简便的方法啊(在数学中国写帖子的时候,设置字体格式,不用那个代码)。刚才反复看效果、改了10多次……

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    周少侠在江湖  很不错,鼓励共享  发表于 2017-7-27 16:26
    阳光照耀的日子  确实不错  发表于 2016-6-10 11:53
    爱依扬  确实加体力了  发表于 2015-4-8 15:18
    sqtranquility  我下载了那个数学建模第三版,结果打不开,害我还要去新浪重新下了份,还我体力  发表于 2014-2-6 23:09
    诗博  评论加体力 加体力  发表于 2014-2-6 08:36
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    白加黑  第一次参加,有种无从下手的感觉,怎么办??  详情 回复 发表于 2015-7-13 22:11
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    sdccumcm 发表于 2012-7-23 23:17 0 l7 ]  U1 F0 Q; {6 ^
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    sdccumcm  ………………………………  发表于 2012-7-24 09:19
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    6 A, T; b0 x5 n" v3 {
    呵呵~~~~
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    1 {+ h0 C* G# S; W不太好笑耶
    # h6 j6 X- K* [! K* j
       额……# }# ]+ l' p( `
    欢迎提出宝贵意见啊,有问题直接指出哈~~~
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    今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。
    6 _$ A$ F9 g. o4 c# |$ G粘贴上发表后,却发现板式很多地方不好,由于是用代码编辑的字体,所有标题都要重新设置一次。这里也想请教下各位有没有简便的方法啊(在数学中国写帖子的时候,设置字体格式,不用那个代码)。刚才反复看效果、改了10多次……

    点评

    sdccumcm  额……………………………………………………………………  发表于 2012-7-27 09:46
    啦啦啦~~~我是默认签名(*^__^*)
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    sdccumcm 发表于 2012-7-26 23:25 % z1 U  X) k9 G; G! ~
    今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。 ...

    9 \$ o- ~9 }; a; M' A/ V大家多多包涵!
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