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[LV.10]以坛为家III
2012挑战赛参赛者
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群组 : 科学狂想曲
群组 : 第二届数模基础实训
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本帖最后由 sdccumcm 于 2014-1-8 12:39 编辑
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《数学模型(第三版)》学习笔记
1 C5 X) N- `, ?; U
写在开始
* Z4 Q: C, ~5 I: i7 G( ] 今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两章(除了“其他模型”)开始,想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距,自己也是自学看书,非常希望各位提出宝贵意见,内容、学习方法经验上的都是.
) i: g& y0 p3 c+ i. X' S$ A) W 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:
: g3 K8 Q$ ]2 c% C) O& W
1 ^* Z3 c8 h( U, l8 \ (一) “实际—>模型”的建模过程很关键,本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”,但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了;/ b9 K; K; Y" f
(二) 模型求解之后的处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而是进一步“结果分析”、“解释” ,目的不一,要看进程而定,有的促进了模型的改进,有的对数学结果做出了现实对应的解释(这一点建模过程中也经常做,就是做几步解释一下实际意义),也还有纯数学分析的,这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始 ,前面的求解似乎是家常便饭了;. J: n4 \# p5 q( d, n, V- u
(三) 用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性 ,同时书中也设计到了一些(虽是浅浅涉及)新的数学知识和技巧,许多我在读的过程中只是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生)。! L+ u- S& y0 @, z9 T: ]- J
% P9 V- q- k$ c+ b; U
从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多,所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结,从今天起每天做2章的小结,既是复习总结重点,也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。2 h, v+ x% Q% x; u4 \: E
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~ ( r/ t, R6 o/ l1 Q0 H7 J
——Tony Sun July 2012, TJU
7 T. h3 v U7 F% H0 O* e4 K! o& A + f' o. d( |$ F, i
(目前已更新:全12章)
7 X' X# D2 i K0 v6 ^( j9 }' m- Y* d
, R% r' z8 m5 b 第1章 建立数学模型 0 X( q. a7 Q( ~- k7 \2 t
关键词:数学模型 意义 特点
3 [6 Z% ^# B) a. ^% x, K" g2 T
第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。
. G- l4 N' r$ v& e& y* R7 u. d5 m 椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。- P7 J& k5 p, i) ]+ c
: B8 l* l0 t" f' n2 j& @/ m
9 H2 p3 ?. H9 s 第2章 初等模型
& D* z+ Q& E4 ]; ^" |8 N+ H- o 关键词:初等数学 简化技巧 思想
. u) ^. z$ ]& P% W
这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。0 \4 g/ Q7 h2 K7 u. f$ W4 a5 X
如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。
: t F! a5 U1 k* h1 E 2.1节公平席位分配 ,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。 这给我们什么启示呢?有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。 p% W& P2 m& b+ A, r3 Z; \
录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。$ M! F% |7 B* u" @
2.7 实物交换 ——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。
: b( t! Z# i& _" N: I 2.10 量纲分析与无量纲化 ——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。 关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。
L, i! D! [) g G2 d 7 u1 s4 E1 j+ [- A5 T, `: {
第2章小结: 2 D4 b; t( `4 `' }& y' y
本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想 ”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。0 j. p+ s- W$ M& O& k
6 V5 G. c4 `9 b/ B' z
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第3章 简单的优化模型
3 C# Z" ]+ X0 N& r3 e: q 关键词:简单优化 微分法 建模思想
1 r1 _/ a* X1 ]" ]% s 本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。1 Y& y0 P+ [4 d: G: T8 H
( ~' F0 G! u# H/ R( ^9 `
3.1 存贮模型 1 l# w3 |& N8 F( `; A8 q% u% @5 H* r
分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。
$ N% @: e; K2 T* R2 Z0 B; m 3.2 生猪出售时机
3 b& D$ k0 P' z* S/ }+ I* ^' ] 关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。; D' G# p! a0 I" j6 M! U( P `
3.3 森林救火
' g3 }) u! P4 s; v v& A/ t- J! p 亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。( ]3 [5 |* `- c8 c4 i- ^+ B
3.4 最优价格
$ H0 N; _, {& N7 Q1 b 主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。1 n x/ B" ?" f! E
3.5 血管分支 5 N; I( I: d9 Z/ X: z# O' O
是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。
X# r) I' q, c* o) R* P7 v+ m 3.6 消费者的选择 . d3 E3 v. t( j) @
一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。/ Q: x) K# Z( c3 Q. E
3.7 冰山运输 2 R; d p2 \# G+ K9 Q5 @4 O i
也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。9 u: d" ~* @" ^0 X1 `, p2 b4 H
3 P& u) \; o! X' ?9 [
7 e! T% L9 b% G; \7 j# R 第4章 数学规划模型
6 z! G" L# r0 w$ a1 I5 A% Q: x- j 关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数
+ B+ h* |2 ?1 Z- M M( h
约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。. _# A0 {! W* K+ o
6 `9 Z/ j& Q- x" ^$ D) j. b) ^
这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:# B3 E( r5 }+ l3 H
1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;
% s7 @& a! c* G 2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);! r* Y$ w$ O$ \" k- P1 r8 W
3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;
2 f* ^% {+ {( s& T$ K' k8 M 4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。
! I, K+ k7 n" N: E 5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。5 [6 N+ U4 n% U7 k8 N5 n5 M
6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。
# M; c+ g8 b" A7 P5 |! B
( C* B f5 q2 v3 v , F. l1 U) d9 E [. A |6 Z& k
第5章 微分方程模型
$ J) L, n" l; e& f. k! ^ 关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制
2 E* ~, z n9 ]4 d) t+ r
这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要 1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。) S/ J4 k) a* V
自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。
( ^ ~% X& h v) ~6 b
& e! p+ y |& b; w 5.1 传染病模型
+ A I, t& o- n2 D: i X1 {6 ` 本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节 。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。
0 ^8 [- [: v, j W 模型改进 、建模目的性 、方法 三者配合 ,是本节亮点。, M: C9 q9 T% S' n1 B1 l& ^
5.2 经济增长模型' U5 {2 l+ |: g2 T+ d
通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。: o1 @5 J! N. J: h; A
本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。
9 N# q" W1 D5 N& m* [! W$ I4 O 5.3 正规战与游击战 1 W- Z. a5 O* d* T2 d1 b, S) N
这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。
5 D% g& f9 F% W% z \* a7 C9 j 5.4 药物在体内的分布与排除 ) l5 `* J: P, H" u- F
本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。
/ j. |) p# u+ z3 P( p 先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。
' E/ k7 ?& E" T 5.5 香烟过滤嘴的作用
: c* C) C% f; U1 Q5 o) e. B 看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。
5 z: r2 X2 s% M4 j, ~ 5.6 人口的预测和控制
' }3 }+ D0 U4 J" ?- C 本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。% w) q9 V' W6 H# D. y+ U& y$ z8 K
5.7 烟雾的扩散与消失 * }" l+ d9 q( Y/ B" e6 y
这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。5 \7 G% l+ ^6 \3 v+ a
5.8 万有引力定律的发现 9 B2 O; e# F% H; v
十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。
1 Y; k' a0 w( y8 y
4 J q; {& L8 H- P; L2 ~ 5 e" U: O2 Q- v, i- x7 t
第6章 稳定性模型 ' }* G' c; @# e5 {% [$ R) z+ h
关键词:稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线
0 B P+ L$ c9 L& ]& o- p$ q1 [8 C; s 本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。+ R" d- \/ ]8 |
- ?" _* U" K1 `: \" ?4 _- B( X *6.6 微分方程稳定性理论简介 , ?' q7 o2 b$ C2 J+ ^
这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。9 e% f$ P+ \4 e0 U: X
6 b/ i% ^; n. k 6.1 捕鱼业的持续收获 ! D. d& S: Y M7 L+ K- D
研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。5 V7 i- J) r9 k8 u1 ]. Y/ ]
6.2 军备竞赛 + p- S( s8 R- g) n v& Q! S: F$ X- O0 D
这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。
+ \7 K# u* }% @& C 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型 0 g, A9 D: b% D5 T
这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。 + I/ V3 `/ r) X
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5 H! A- U% u5 ^" g
第7章 差分方程模型
Y* x% W4 a: U8 K8 T8 F& {3 D 关键词:差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌
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将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。$ c& K5 f" e A" ]+ u
7 A: R( X6 P* _8 n, ]4 r. O& O 7.5 差分方程简介: 介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。8 T" P+ n u( R
7.1 市场经济中的蛛网模型 & D% \, j" a) x$ B
先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。7 ^. S+ a8 {% v: M! |
本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。
/ b2 v ~4 T( V- [4 N 7.2 减肥计划——节食与运动
u" _; ` y6 Z 这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI 衡量)。0 [2 m2 E+ I5 j/ \
我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。
0 E( |; o. }8 J& ? 但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。
4 l( u4 i( \8 Y& {# i, M( S 7.3 差分形式的阻滞增长模型
+ U# z0 T, [3 I! ? 此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)
" {6 a+ x3 n$ Q6 g7 W$ w 要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。4 w+ x4 B' K" v5 @* |) L% o3 F6 O
P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。
1 k& U. O) i& ~3 n4 E 混沌的特点为对初值极度敏感 ,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。
+ I- Y( Y3 Y2 j" l1 c( K9 ?) v7 y 7.4 按年龄分组的种群增长
4 ?5 f( N" V. s- S3 | u 这个模型的主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。& @" M* I- ^5 g# A/ P( F+ z2 G5 v
6 L& `5 N1 L+ d- w$ S5 R9 N& c - E+ ~3 x N, L7 O
第8章 离散模型 ; j7 w U! H6 {. L k
关键词:层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策
3 q1 p$ S5 `$ H: _/ E8 V (本章是确定性离散模型 的应用、方法)( f6 E0 V/ I, o1 E1 M( ]7 o
# f4 \3 `- V) S& w4 K0 Q& a
8.1 层次分析模型
5 V" G; W. E& {8 r( l 社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1)“成对比较矩阵”的确定及修正,2)特征根法求权向量的原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人提出),4)一致性检验。
1 v. g* }! J3 w9 S
8.2 循环比赛的名次 9 w2 w9 z# V' Q1 Y2 w! d
这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键,而且简单易用易理解。
K9 @/ \0 F2 f7 |* L! ? y
对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据,或实际意义,是此思想的关键,我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。(p246)
7 z5 n* N% {; }% o/ ]
8.3 社会经济系统的冲量过程
3 q' b/ }$ n M+ f) U# o 区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。
1 D& B% [- a/ a* D8 w4 k 这节模型研究能源系统中,各个因素的趋势、预测问题。主要工具有:带符号加权的有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。其目的无非是研究系统的“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。
$ G- C1 O& x* C 8.4 效益的合理分配
3 X) Y( I0 F4 u: ]5 h8 ?! o 几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁的功劳最大?也就是说,干完活后,如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。
) T, X) z6 |7 z8 J: f" g# o6 m4 K
本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。
2 W$ p6 h2 ]9 _% w+ m
8.5 存在公正的选举规则吗
; n) F3 z9 h: o+ X8 i- Y3 T7 f. a 这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。
7 J5 y4 \3 B7 D; {" ^
首先是简单的选举规则。
; |; ~" K0 ~% u( r 接着介绍Arrow K的工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。
@: b9 f/ t- L 然后是联合尺度选举规则,它是一个简单易行的规则(但是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。
! p; @: c2 A v$ _& j
最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。
" `) Z0 Z. `/ r w- _1 h6 s
9 j3 n( V9 \2 R% z
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第9章 概率模型 + } y* f3 r# ?5 j' j6 I; o
关键词:随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析
0 n8 A4 z2 N; M/ ^1 Z0 {
相对“确定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。
" \1 ^0 X! O$ R$ U. Y9 s 关键点有:, I. r, @- d$ k5 z
1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题,做好定义是开始工作的根本。
( Q& s( C( w: U5 K 2. 随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274的求和转化为积分)。: E, C3 N2 V ?4 b- ?0 S. ~
3. 要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。
0 c. C3 z) Y- Y/ b6 p 4. 一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般,考虑的因素更多,更接近实际。% m3 w5 e; Q+ ]5 B1 V
5. 有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.6预订票策略)。" a6 A& X. e; O
& y( \/ N8 `# } ! b& R! u- | O4 x! N" Y5 j
第10章 统计回归模型
7 Z; }; N. z( a 关键词:数据拟合 MATLAB 统计 残差分析 自相关 逐步回归
; Y3 b1 L' s1 b( Y 对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题,我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。: H. t6 Z+ R+ z4 k& S0 E4 v$ t( E9 F- C
关键点有:
8 V# U5 H) b0 H 1. 做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显的线性增长),确定方程形式,待定系数。9 ?, }8 H. V4 @0 P% j
2. 用MATLAB 统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB 输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,R^2、F)。
/ \4 J$ D6 f# P- a. e4 \ 3. (考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如10.1中引入价格差(p297最后一段说明)。/ O$ T; r) F9 w8 ]9 J
4. 利用好回归变量的预测(置信)区间。
3 ]% t" c# J6 S8 P# \, x" o* ` 5. 改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB 拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p300)。" M: G0 S: l0 A" Y+ {# E. n- G
6. 残差分析(p305,但这页我未看懂具体做法,待交流),及分析得出的结论,我们应该怎样改进模型。1 R" l" E; r! \+ w& x
7. p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。
/ L& x: L7 C5 U( I) ^ 8. 线性化(p309),及非线性MATLAB 求解(p310);p315最后两段。
# c* o* l" X2 H1 X$ L& w0 E, m 9. 自相关的考虑(10.4节):若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。
5 [6 d0 P% e4 `7 N7 C/ f 10. 逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著的变量。, R) i: U/ e+ i2 p! z/ O
. ^" j! ]. e0 v$ V9 B3 e3 d
& o$ Q, E G0 e) h( W3 V z
第11章 马氏链模型 + |& G, ~ |! g; n, {/ c
关键词:离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取
- w$ L. R' S, W( |1 h0 b ~4 r$ I 基本概念
$ l' Y9 _6 y5 d( E# _ 这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链的主要思想。
2 Y5 [/ v, K( p7 g; K0 i 1. 无后效性/Markov 性: 系统在每个时期所处的状态时随机的,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1)这个时期状态 2)转移概率,与以前各时期状态无关。+ L1 U+ z+ o; p. f; B
2. 马氏链(Markov Chain) 模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性的,时间状态均离散的随即转移过程。: @* }( u4 @1 a4 p8 ?
3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。( e; L+ L( G! A! }8 O% C3 I- q5 w
0 z8 d# Z! H- n3 ]" K+ ^
一、健康与疾病
5 Z6 Q2 D# s# `' C 主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统的状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。
8 Z+ R1 r4 B9 W2 a. l6 O* u+ p 同时介绍2种主要类型——4 }9 b" r8 s8 G) O2 K
1)正则链 :从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理);) F3 b; ~; b+ h( E
2)吸收链 :首先引入吸收状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。 吸收链是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。+ l' Y" n& G* L( u8 [/ o" s ]
二、钢琴销售的存贮策略 1 _( J( B7 f) w! n: T& e# i% i B2 S
动态随机存贮。一个简化的存贮模型,关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况,然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单,但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。
0 K2 R3 z8 G. W) z5 D2 V8 O2 q' J 三、基因遗传 ; C0 @+ n3 J2 S7 e! B: @
用马氏链模型研究遗传过程,关键是建模的过程——即选取系统的状态,这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。 随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去,即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律;然而,近亲繁殖中,得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话,若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种,并保持下去。这两个结论(虽然在理想化假设下)与我们之前的认识是很一致的,从中加深了马氏链的理解。
' z3 Q6 r% X/ B 四、等级结构
8 M2 d o5 y+ o( J' h- G% G1 g' \9 ~4 l, T 这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况,目标是研究等级分布变化规律,假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。
' O$ m3 D% p; A0 }) N( x0 m' x 重点在于变量的设置,以及还是状态设置、模型建立过程。 建模过后,先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制,其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例,进行动态调节,实则转化为了一步步优化问题,动态调节的过程是一步接一步的,有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性,以及给编程创造了机会。
5 @1 u6 @# f+ \1 W% ~0 a 五、资金流通
_) m s+ W$ y: E- d7 D* u$ [ 基本与等级结构一样,一系列推导最后总结出步骤,先判断稳定能否达到,若能达到,则由公式算出每年应如何投放资金。 与等级模型不同在于:各地区资金进出可正可负;所有地区资金总和可以变化。
; F9 s2 G: G' C0 Z; e ! m, ]1 I; p9 `' S
第11章小结:
9 I, B* r& O" d: x2 d# c 虽然只有短短5节,但是几个模型由浅入深,循序渐进,学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中,具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础,虽是基础但案例、思想也足够典型,是今后解决离散随机过程很有力的工具。
: k0 |, f1 r( \- }: i7 e( J& k
: j- U7 Y0 o% z0 c" f/ b4 y 第12章 动态优化模型 9 S6 ]9 @% Z! h
关键词:泛函极值 变分法 动态规划 最短路
9 W; L0 Q3 R- T0 }( d
基本概念 : ^* r7 ^# [2 O
本章介绍动态优化,优化目标,虽然优化目标仍然是数值,但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题(几个模型中一直体现),方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的,而离散过程则用动态规划求解。9 R4 u( `: c% U: W
9 i' J' j+ | n
第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念,和后面要用的结果;同时介绍泛函、泛函极值概念。
3 ^' M$ S. v! \1 }; e5 [ 这一章的数学知识、推导比较繁杂(尤其是对于没接触过泛函等概念的学生),2、3、4、5节(生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度)均是连续动态优化的典型问题,许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”,实属一个经济学的典例,这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。0 _; |6 A% y) L8 ?1 k
第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化,用动态规划求解,转化为最短路问题,当中对最短路问题的算法做出了详细解释。 分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。; H+ |# H) B" u4 { A8 Z
8 [' R( g/ `& u6 I, L! K- w . o2 y6 p/ L/ J3 y$ R+ M, X3 @/ E# \9 `5 a
* g$ L9 l+ T* Z' Q' h 一点自己的感想。笔记总结得不大好,但我的物理老师说过:做比不做强! 因此我只好硬着头皮小结了~ 望指教!
9 a/ U- N) m( R' l# d
5 O" {2 Q& I% G! ~' D 自己的其他感想、学习心得, 欢迎交流 :
3 `! H0 S/ U* o MCM论文精析课程小结——2012.5.20
/ `# B9 j4 D5 x( ~ 点上希望的蜡烛——每年一度的聚会,记2012全国大学生数模竞赛 0 C0 ?6 i& D6 J* j, c3 B
2013MCM, 平淡不平凡 ; p3 e( i2 P9 f1 N8 D6 _6 }
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附: 感谢你认真阅读(或扫视)完这篇学习笔记性质的稿子,感谢你的兴趣,同时期待你能在建模学习中获得启发、更上一个台阶。对于短期/初期体验竞赛的同学,了解一些简单概念和思维,就像这本书中略读一些章节,再编一些经典的算法程序,是很好的敲门砖;对于长期学习建模的同学,固然要找机会夯实基础("内功"),也建议在学习过程中多思考,不仅是为了抓住知识的主干,更是为了发掘自己的兴趣,获得对自己今后读研、工作的启发。 r4 X) [8 m: t3 {6 e
本人现为一大四学生,在竞赛一线活跃度肯定不如各位,但之前的9次建模课题、4次竞赛的确给我帮助很大:开阔视野、团队合作、实际技术、责任意识。 知识学了就会有用的,不管是由于一阵没用而生疏,还是一直在加深印象。我一直相信这一点,并希望各位共勉,珍惜本科的时光,给自己多一些充实(英文中用"enrich"较合适)——因为不像金钱钞票或实物,这些知识能力、包括好的身体素质,是别人带不走的。
5 U5 {* d6 t) M9 S/ A9 x ——2013年12月20日
- ?' l2 u7 z6 g" b$ P. i, T' \
. H' k7 @4 o% a0 U 0 }5 K1 i& F) @1 r& S! C
(关于论坛体力 :如果是刚加论坛准备长期学习,而下载体力不够的同学,可以给我发信息/回复帖子/加好友,写明大概需要多少点(如50)及下载资料类型,我可以直接转给你 。 或者我记得可以用支付宝转账,好像1元对应30点;或者平时签到/分享帖子/写日志 都可以加不少(但不建议连续水回复一个帖子多次 )。)
4 J( _. C( ]/ I; C: ?& Y ! n0 }; `# g; J
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sdccumcm 查看楼层
今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。
粘贴上发表后,却发现板式很多地方不好,由于是用代码编辑的字体,所有标题都要重新设置一次。这里也想请教下各位有没有简便的方法啊(在数学中国写帖子的时候,设置字体格式,不用那个代码)。刚才反复看效果、改了10多次……
zan
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