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[LV.10]以坛为家III
2012挑战赛参赛者
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本帖最后由 sdccumcm 于 2014-1-8 12:39 编辑 ( C& C4 s9 q' V
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《数学模型(第三版)》学习笔记
7 I! j3 [1 k3 ]2 S; D( U 写在开始
9 M) l7 y6 |8 X3 I* k 今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两章(除了“其他模型”)开始,想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距,自己也是自学看书,非常希望各位提出宝贵意见,内容、学习方法经验上的都是.% V3 [% G6 S9 d) ^3 r
整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:) n$ x; H4 c; O# Q6 z- H
2 u4 _# l, o0 H& `6 i# R ]/ K7 @
(一) “实际—>模型”的建模过程很关键,本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”,但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了;1 ~2 V9 q3 U1 I' O
(二) 模型求解之后的处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而是进一步“结果分析”、“解释” ,目的不一,要看进程而定,有的促进了模型的改进,有的对数学结果做出了现实对应的解释(这一点建模过程中也经常做,就是做几步解释一下实际意义),也还有纯数学分析的,这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始 ,前面的求解似乎是家常便饭了;& W3 g& r' u9 y2 k7 \
(三) 用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性 ,同时书中也设计到了一些(虽是浅浅涉及)新的数学知识和技巧,许多我在读的过程中只是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生)。
# ~; l: z& i$ X - n4 S3 W4 r8 N) X6 Z
从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多,所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结,从今天起每天做2章的小结,既是复习总结重点,也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
( Q+ _& r& A+ u9 S' ^$ Y/ G 也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~
! ~, W' }/ W6 | h ——Tony Sun July 2012, TJU " R! T1 T; w( {! E
L) E4 c) j; b9 `$ ?
(目前已更新:全12章)
4 d: m9 }; {, ]% I) Q- N
g$ D! u3 C V$ c. _, n 第1章 建立数学模型 5 @- G7 n' a% W6 u. u% l; ` m
关键词:数学模型 意义 特点
* q3 G( \3 ~7 x6 q) ` 第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。
# v5 q9 W M, h 椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。
) T5 n& V2 f" V- S
@/ K7 Q& o$ f; S4 d# T4 e9 O
$ F' W6 z4 t6 ~/ U& H# F [* v 第2章 初等模型 : d1 ?$ [; n' ~; M# K
关键词:初等数学 简化技巧 思想
. i& E- F# D( W' L* H' I0 N, ]
这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。
' j, l& x2 t) d+ a. |: l 如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。
; M z1 s i1 v' t- T 2.1节公平席位分配 ,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。 这给我们什么启示呢?有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。 f* _5 W8 [ M0 T+ K3 e
录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。5 F# m" e5 s; m
2.7 实物交换 ——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。
. }7 O. V5 K' d+ I, V 2.10 量纲分析与无量纲化 ——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。 关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。7 @- D3 ~' }6 K
2 n* F# t& K% v! Y) M& H8 R9 t
第2章小结:
& H! Q5 W8 E1 | k 本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想 ”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。0 {, J# w$ x5 t' x/ v0 p2 y% u
5 C( L" C- J( N" h* ]8 j$ O
& | p4 B' J- G r( K1 o
第3章 简单的优化模型
! S. ~: y4 q1 @0 X% ~ 关键词:简单优化 微分法 建模思想
2 l+ {! q" Q4 r0 X' R! C. `
本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。
1 J3 g& m% w Y% m, y
: D# i/ a1 u* a7 z$ g 3.1 存贮模型 1 _; E6 s5 F# R! R$ v) [2 y
分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。, j0 o3 b8 s: ]. U
3.2 生猪出售时机
1 h1 X/ |+ l, x/ [( g/ O 关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。
+ z$ Z g$ ~# ?/ o 3.3 森林救火
& k d6 V* b$ G4 K) g 亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。
$ W" I8 t- h# H& e+ ^. _% G/ r 3.4 最优价格
, X; v" ?5 A/ ]0 F8 H# A 主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。) ~2 A' f( i! F
3.5 血管分支 , P2 |8 B; W) M: v! w9 o
是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。
' l- ]$ M7 V1 |( R/ ^2 f 3.6 消费者的选择 3 S- ^- k2 q' R
一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。7 R' e) Z" }/ h: \: b) f
3.7 冰山运输
1 M- N& |6 I3 G& h1 K 也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。* h- w6 Y$ ^, @* B$ S
5 g" A. n! J+ R% n
3 |2 `% g, a% \* Y: j. g 第4章 数学规划模型 4 C+ }5 R# Y# C |: M) ~
关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数
8 T: J; \, O- ]" I0 j( ?
约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。' V, U) Q8 b* q- L( h
; W) k, V0 Z ]) x }
这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:
8 s3 \+ l" Z5 Z. X% z6 u8 i 1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;& l! w% Y5 l5 z6 x l8 \2 B; k5 G
2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);% J" b8 {5 i$ X- p D9 M3 m
3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;
9 X$ P5 ^. J2 G- o 4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。* S% t9 ~$ m# E) C
5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。/ g2 O1 u' P: e( b3 J
6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。: g6 P' r; T: O5 O
7 H3 D4 X, ?! \& F( Q2 {" v
1 c1 j, a; z8 F8 Y- a 第5章 微分方程模型 $ e9 u4 ?# i4 X1 j; @7 s+ q( G/ e
关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制
) s: c$ p8 R' z- L3 U 这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要 1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。. y5 ?5 A5 J. _+ i' m8 ^ S- u
自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。' D" ^+ T" E; c; t! L5 I
( [ Y; O2 i; k5 s& A) n 5.1 传染病模型 2 U! C3 `5 J' M0 Y; c
本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节 。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。1 j7 e0 M" U6 K: J) W, e
模型改进 、建模目的性 、方法 三者配合 ,是本节亮点。
" p- x* P' O2 x4 X) g# ]- v 5.2 经济增长模型3 W9 I4 R9 ^+ |% `" C6 G) H
通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。
2 U5 b4 V" ?4 f# M 本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。% `5 v# b" m% }; G" M# M/ v
5.3 正规战与游击战 ' h0 K% A9 W6 r% M1 A
这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。
0 j% I- D2 B4 j; e* [9 F# X 5.4 药物在体内的分布与排除
$ s1 k6 h; d5 d* {1 \# e" {% F 本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。6 C) ^6 Z8 j1 O7 Y
先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。
+ J( p/ ]0 y6 W1 E7 s, ^" x 5.5 香烟过滤嘴的作用 / W7 n: ~% G5 E# D
看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。, k/ W! V: `) J8 l0 z/ w! q. E
5.6 人口的预测和控制 3 o1 G" q; {# U& \) z
本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。
5 K% D8 ~$ |) B3 O 5.7 烟雾的扩散与消失
* @7 n" x& p6 _5 i 这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。
# E$ I$ q! y+ r, ?$ `7 }# \) b 5.8 万有引力定律的发现 4 ?, h1 V; W/ |0 |8 L
十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。
5 Z5 M/ _# {* v- l# Y! j
' Y, m6 }: l+ M1 ~6 z
. }5 v% r5 m% ^+ s4 m 第6章 稳定性模型
R, k K3 h! ]* l! E S2 q 关键词:稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线
5 T+ i$ g/ e: {; o. Y% {
本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。 C! q4 U/ z( a4 r2 D) e
3 z6 t1 H: H) j5 Z: \ *6.6 微分方程稳定性理论简介 7 d# {" d1 |- ~
这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。
; l( S1 \+ s# h7 R8 }! L8 q
a5 \0 b( `0 D 6.1 捕鱼业的持续收获
; D5 v! x2 T1 P) W# {4 j: p Y 研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。7 h0 R* \9 \6 S, Z9 W7 E
6.2 军备竞赛 , r9 r$ p8 M8 G6 O! `/ j- k
这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。
$ T% y6 V; N& k2 I0 E 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型
, \' y% N5 Z, J% O. E' z( k 这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。 - I* Z) l! [" R, C$ Q* o; b
; z/ h$ a$ j# y4 s1 U1 |9 i
$ z" z% I. D" U1 p( u
6 Y1 k: I, j. H. I 第7章 差分方程模型 * |0 i- u. V/ j1 @
关键词:差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌
7 n6 F: s( h) H& ~5 E* k a" b
将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。2 W @% a1 i+ C3 K
, R6 b( t3 q; b! F/ H; N6 J4 W 7.5 差分方程简介: 介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。0 P7 W1 I! `9 w
7.1 市场经济中的蛛网模型 , s; ?) U z" V8 x) {2 K
先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。
, l7 F) k7 S7 n9 T& T 本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。( P) z8 l1 \7 M1 o; a$ z! c, v
7.2 减肥计划——节食与运动 0 ~0 T0 l, T5 u
这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI 衡量)。
6 F. ^4 ?3 B7 O5 p4 _5 W 我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。
& y2 A- U/ ^# T' j 但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。
0 M+ D7 G) i1 n8 S: U 7.3 差分形式的阻滞增长模型
" r; R. ^) ^; k3 e* P, ?+ { 此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)! x( a' W/ V3 h) s: x/ t. h0 \3 X6 ^
要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。
. J) {/ \& v2 B$ g. f3 E0 H* Y6 e P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。2 r& i( K, g$ [# D8 R+ L# h
混沌的特点为对初值极度敏感 ,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。0 ^) x/ ~8 U; E9 B% _/ o' p# p
7.4 按年龄分组的种群增长 8 f) ?: ^+ ^7 U0 q
这个模型的主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。
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) M/ u$ g' k/ M8 t# w) P
第8章 离散模型
: F3 b! b2 l8 ^% D 关键词:层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策
% _% G+ p3 m3 X; D (本章是确定性离散模型 的应用、方法)
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/ e, o1 G, ^3 U+ g& D- ^! J8 t 8.1 层次分析模型; W1 D4 C# ?( G
社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1)“成对比较矩阵”的确定及修正,2)特征根法求权向量的原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人提出),4)一致性检验。
2 i3 _1 B3 W" H2 d" E8 h; {/ z6 {
8.2 循环比赛的名次
! j* L, }. f" _+ u1 e9 E 这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键,而且简单易用易理解。
% O2 j. Q/ G' R+ `" w 对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据,或实际意义,是此思想的关键,我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。(p246)
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8.3 社会经济系统的冲量过程
: x' x+ B( q0 c/ M$ A& S" ` 区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。
9 w3 U( D, [' u* G, T
这节模型研究能源系统中,各个因素的趋势、预测问题。主要工具有:带符号加权的有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。其目的无非是研究系统的“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。
4 U: N6 n( v8 e; }- c' R7 h; h# y 8.4 效益的合理分配
7 r1 z g- a8 e) `/ ] 几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁的功劳最大?也就是说,干完活后,如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。
0 P9 L8 Z; {2 Q$ Y9 e- }/ f* l 本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。
7 n; p4 {& Y$ g- W3 {# ~
8.5 存在公正的选举规则吗
# ^. g3 b8 ?. ~" i E4 { 这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。
2 T- S/ Y5 r. o0 L9 H" o* I4 z
首先是简单的选举规则。
5 R' z0 E; \+ u! R 接着介绍Arrow K的工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。
q. M9 N4 p/ f3 v 然后是联合尺度选举规则,它是一个简单易行的规则(但是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。
, V p# r5 Q1 C& i% h$ s& p
最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。
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( u9 D& a5 Y8 ^5 F! x 第9章 概率模型
4 ^* q3 }" \2 r& P 关键词:随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析
' Z7 d: k8 f% G1 z% S* T, _
相对“确定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。
3 B6 n0 F& r- B5 X1 }# v 关键点有:
+ S3 q# r3 C3 {+ W 1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题,做好定义是开始工作的根本。, {0 A, B3 W: u% }
2. 随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274的求和转化为积分)。
3 a! ?- u8 m- Z) I* _) V( s2 V7 _ 3. 要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。* {; {5 `1 B% i' \. P* @
4. 一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般,考虑的因素更多,更接近实际。( V- C: E) ?7 x Z1 T3 l
5. 有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.6预订票策略)。
5 c% t1 \2 k6 z" m" G$ Q0 y
6 R' L4 `& T# ~! e 9 o, s- m6 o! H+ U
第10章 统计回归模型
: Y, N1 G g' e ^ 关键词:数据拟合 MATLAB 统计 残差分析 自相关 逐步回归
) q* W( G2 k2 L, b7 E 对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题,我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。0 k, K, O" D! B9 L
关键点有:
3 g3 I) j8 [3 [3 @ 1. 做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显的线性增长),确定方程形式,待定系数。
& b1 }( F0 Z& Q+ e; b 2. 用MATLAB 统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB 输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,R^2、F)。% f, P/ {. r n" A7 Y* @
3. (考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如10.1中引入价格差(p297最后一段说明)。
- |. S2 d4 H3 n9 r a 4. 利用好回归变量的预测(置信)区间。, J7 k: p- |2 m
5. 改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB 拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p300)。, X/ _& q9 z& u
6. 残差分析(p305,但这页我未看懂具体做法,待交流),及分析得出的结论,我们应该怎样改进模型。# `7 v9 I9 }" z# Z( u
7. p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。% Z9 W! z; T3 P3 t
8. 线性化(p309),及非线性MATLAB 求解(p310);p315最后两段。) n* Y/ l7 V. C% \0 o
9. 自相关的考虑(10.4节):若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。
& c$ Y0 Y5 a- J, \1 S) L" X 10. 逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著的变量。& P3 Q+ T: y% I. f
( ^( D( f- B" ^0 I" R) O; `, F. ?
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第11章 马氏链模型 1 M* H u/ y) b) a2 A/ ^
关键词:离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取
9 I0 ]! U6 J; H' Z 基本概念
5 p' O }/ f" A+ ~+ z7 M' \) O, | 这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链的主要思想。) {& d. c- @, \3 M
1. 无后效性/Markov 性: 系统在每个时期所处的状态时随机的,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1)这个时期状态 2)转移概率,与以前各时期状态无关。
+ W4 R# x+ ~: g1 y( a2 m% Q 2. 马氏链(Markov Chain) 模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性的,时间状态均离散的随即转移过程。
4 I/ t- C: |* u+ _, \ 3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。
5 G9 W" q ~2 j5 J
4 Z9 s- K3 H2 R* Y 一、健康与疾病 6 o) H2 e' p8 x; u
主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统的状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。5 G* X6 Y4 l. E7 c2 M- ^
同时介绍2种主要类型——
0 V9 J4 ~" T, { 1)正则链 :从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理);
( r; i& d, P* ]" Z% l 2)吸收链 :首先引入吸收状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。 吸收链是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。$ w: W/ Z. d2 X, ~3 }
二、钢琴销售的存贮策略 0 W4 G/ W% o# Y- R; B
动态随机存贮。一个简化的存贮模型,关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况,然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单,但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。: C, r2 T9 f- Y
三、基因遗传
0 U4 N) c8 G4 Q- C( ^, s 用马氏链模型研究遗传过程,关键是建模的过程——即选取系统的状态,这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。 随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去,即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律;然而,近亲繁殖中,得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话,若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种,并保持下去。这两个结论(虽然在理想化假设下)与我们之前的认识是很一致的,从中加深了马氏链的理解。
4 F2 U/ j. {& E* |; r6 ]6 H0 a 四、等级结构 & \' p9 O- F- o# Y- O5 p0 [
这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况,目标是研究等级分布变化规律,假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。
. m; {) C9 I. b7 F( v0 T$ @: K# X 重点在于变量的设置,以及还是状态设置、模型建立过程。 建模过后,先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制,其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例,进行动态调节,实则转化为了一步步优化问题,动态调节的过程是一步接一步的,有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性,以及给编程创造了机会。$ f: C7 C+ i8 j+ h0 _; U# P8 P! \1 n
五、资金流通
1 ^( H7 [7 m. k4 _! ` 基本与等级结构一样,一系列推导最后总结出步骤,先判断稳定能否达到,若能达到,则由公式算出每年应如何投放资金。 与等级模型不同在于:各地区资金进出可正可负;所有地区资金总和可以变化。
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& \- I; w% g3 w( v0 ~2 Z! I 第11章小结: 7 j7 J/ ^6 }" }# _
虽然只有短短5节,但是几个模型由浅入深,循序渐进,学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中,具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础,虽是基础但案例、思想也足够典型,是今后解决离散随机过程很有力的工具。7 I* j" F. m* }
5 n4 f7 Y+ \* o* q3 r) H 第12章 动态优化模型
0 m& o' B) r2 G: {$ b8 u 关键词:泛函极值 变分法 动态规划 最短路
8 o& i" z( |3 z6 K% d
基本概念
0 V+ x& x: Q6 s- `7 z- H 本章介绍动态优化,优化目标,虽然优化目标仍然是数值,但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题(几个模型中一直体现),方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的,而离散过程则用动态规划求解。7 W% `: {: C5 f+ p. G" A& z. K) m
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第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念,和后面要用的结果;同时介绍泛函、泛函极值概念。5 C# L g6 X9 x% h( J1 B& t8 n6 z
这一章的数学知识、推导比较繁杂(尤其是对于没接触过泛函等概念的学生),2、3、4、5节(生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度)均是连续动态优化的典型问题,许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”,实属一个经济学的典例,这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。
7 s* c c. n: p' g# r0 A6 X 第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化,用动态规划求解,转化为最短路问题,当中对最短路问题的算法做出了详细解释。 分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。$ K4 r! J* j- J8 } H" L# ~! r* T% x( R
( V2 V& o& W6 L/ a
1 t+ B% X+ R% A9 T m; p5 H" ?% \. d: ^0 G
一点自己的感想。笔记总结得不大好,但我的物理老师说过:做比不做强! 因此我只好硬着头皮小结了~ 望指教! 6 O/ V Y/ i. M4 y& s+ m) v, q
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自己的其他感想、学习心得, 欢迎交流 :% ~* r0 n- X" O
MCM论文精析课程小结——2012.5.20
: Q" @) T5 x, \ 点上希望的蜡烛——每年一度的聚会,记2012全国大学生数模竞赛
& x( P& k7 {+ W5 e4 i 2013MCM, 平淡不平凡
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( }4 a |( i5 M; r 附: 感谢你认真阅读(或扫视)完这篇学习笔记性质的稿子,感谢你的兴趣,同时期待你能在建模学习中获得启发、更上一个台阶。对于短期/初期体验竞赛的同学,了解一些简单概念和思维,就像这本书中略读一些章节,再编一些经典的算法程序,是很好的敲门砖;对于长期学习建模的同学,固然要找机会夯实基础("内功"),也建议在学习过程中多思考,不仅是为了抓住知识的主干,更是为了发掘自己的兴趣,获得对自己今后读研、工作的启发。
9 Q0 a- q* o% Q! C 本人现为一大四学生,在竞赛一线活跃度肯定不如各位,但之前的9次建模课题、4次竞赛的确给我帮助很大:开阔视野、团队合作、实际技术、责任意识。 知识学了就会有用的,不管是由于一阵没用而生疏,还是一直在加深印象。我一直相信这一点,并希望各位共勉,珍惜本科的时光,给自己多一些充实(英文中用"enrich"较合适)——因为不像金钱钞票或实物,这些知识能力、包括好的身体素质,是别人带不走的。
9 x: W1 `0 n5 x ——2013年12月20日 & W- \8 e4 ~" H) ]; W
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3 D5 e, n# T$ L& ^- X- N( z# ? (关于论坛体力 :如果是刚加论坛准备长期学习,而下载体力不够的同学,可以给我发信息/回复帖子/加好友,写明大概需要多少点(如50)及下载资料类型,我可以直接转给你 。 或者我记得可以用支付宝转账,好像1元对应30点;或者平时签到/分享帖子/写日志 都可以加不少(但不建议连续水回复一个帖子多次 )。)
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4 z4 C) v3 z$ Q0 A6 O2 M. h R9 g
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sdccumcm 查看楼层
今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。
粘贴上发表后,却发现板式很多地方不好,由于是用代码编辑的字体,所有标题都要重新设置一次。这里也想请教下各位有没有简便的方法啊(在数学中国写帖子的时候,设置字体格式,不用那个代码)。刚才反复看效果、改了10多次……
zan
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