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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
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# U* A3 `0 q; {) x9 X
0 e, V! l' f- J# [: `7 u3 D1 y
A题 安全的后视镜
" ]1 ]: C$ W2 t- x2 D Q4 j汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有: m) |; U1 v0 c: G p
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视$ u( I- g! x; u6 I/ O$ p
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
9 T* J3 n2 z: b# V) D如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确." }7 V+ F1 r& C. z) L* V
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
& D& u( T- ^: k5 Z0 ` g获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的
# q1 @5 u0 J5 p8 H+ n4 x距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.
$ W2 y/ H$ ]- G# a n% g ~7 B3 W" u# l0 W但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构' F$ D6 d8 u' W2 z# r6 O
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
7 t1 S5 a& j8 \5 [2 ^! ]离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
( f) l# Q4 W# n种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了 K) z! H' Y0 g I; Z
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线 \! t1 W* ?6 d1 |1 a7 s' X
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
# m+ ]* l4 A5 q% B+ f' P+ q能也会有所不同.
/ c, A+ U1 \! r u9 d3 b第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的% L6 D i8 N; n+ Y# V* ?
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
5 L! e) o& W* t6 u设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
4 X. |' v' M: q1 k给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一% h8 N) d6 g+ b, d2 N
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
( b/ j6 M3 A. r1 z的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
8 r2 K' z/ _- |2 e, d% @应的国家标准., }% ?" P: [" \/ A) @6 Z
18 L) ]' P8 g! ]" V. N0 X
图 1: 变曲率后视镜的例子
( [! c( ]6 P0 t. n2 M; O: \
' ^5 H0 W: I" T& O
8 p5 s' ]! n' sB题 岁月的印记
" o# `, u, a' \对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经2 M3 t9 B5 I- O9 I
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
' q9 z4 W' a: p5 N" V" o8 D出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
( M; i0 u% J& e9 o. V来也就越困难.+ b1 d- E0 O ], E
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面" H( s# M; m- O" P! m
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以6 b- \, O n& h/ h0 I
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.: \9 c* v& ^2 ]; @
% M) }. W- I) V( U" b) E3 q/ z" \, a, f0 m6 ]/ Q
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
( Y1 v6 C' q* _5 S4 }* c5 t2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
* S) Q0 j8 N, J9 o) n8 O了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教8 h! |$ C1 O4 y4 Z4 N
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考
: @% s5 o2 A/ ~5 v7 h1 L研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷
/ i. s; {7 m2 r- O! _/ p9 K7 F涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或4 n; @, C: M" w1 b r* h
依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端* V: [* e0 H6 n m$ l5 s
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
2 n7 c# k, h5 t; K市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
' T% f/ X! r" ~& }9 @/ D% t/ B. `) {% e集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请! V! J$ P# o! ?
你建立合理的数学模型解决如下问题。
; J* {2 m$ {( k$ n L8 F. V; Q第一阶段问题：. K# \ E( N* P3 Z* O
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展! X; a* K" a1 z& `) _6 Q5 ?2 P
的主要因素。
8 N6 t8 h: K# @2 v% F2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在1 m+ T( z, [$ Q( _+ I
市场占有率。3 i( z7 h8 I9 D$ S* t
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会
8 `5 ?; q3 Q- @% U, h) ?情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。
% A0 N5 u7 A! I1 B# I) d) v4 |* m. N) t( [$ _) a& Q0 a
D题 教室的合理设计
( g0 ~2 d7 h8 u7 X' d$ r+ ]（本题仅限中学组和专科组选用）
3 p; {, Z/ o K" i |/ C/ ~' u某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类
6 H3 i) m* O: ?- ~1 y的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和1 X7 O( h6 N+ F" ~, |
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计( n2 y% v+ Q9 N' f. b& N8 L
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。
8 S5 ~4 j+ v! b8 i ~第一阶段问题：/ ]4 {1 d/ I5 ]6 J
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个
0 `/ U% E, m* M8 Q! D座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不8 I, H2 b+ |/ Z8 ^( s
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互9 K+ F6 F& a( D9 S* O! R: R
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之
1 G3 ~# {8 f$ x& f# Q! e% Q$ a间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在* P2 J3 a" T8 m# @- \
设计中可以忽略墙占用的面积。3 d' } O7 s+ a( w B- s* L
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
( F! d( u+ l" X) f6 c7 w3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
8 O! s! g4 X9 k2 }室。& L% H6 b F+ V- A" C3 C; z! B- ^4 W
/ T% X3 C' u3 w9 C/ s7 M
, b F0 v7 ]& d" C* H
: P) q2 D* p( w7 h7 C. f: t) {
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狗仔卡
发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
