本科组A题圆心像坐标的简单求法

zhang_biao123

真的不对，我一看这题就想到高等几何了，我翻了很久的书也没找到这方面的内容。
我们当时用的方法是做两条直径，求交点的方法，就是在做椭圆的中心。也是用到了平行的性质，和楼主的方法本质上是一样的！我们这个题什么奖都没有。后面的检验我们用到了“交比是摄影不变量”来做的检验(个人觉得这一步非常漂亮)。
% @$ F) j, y% J6 c# o本来以为可以拿到奖的。我们老师评卷回来说，只要是在像是椭圆，中心不对应的前提下做的组，才可能得奖。其实我很清楚解析几何可以做的，只是当时的向想法是如果能用高等几何的内容把题做出来，那就做得非常漂亮了。（如果楼主或其他人用类似的方法（（仅用摄影几何））拿到奖了，在评奖原则一样的情况下，我觉得是说你们的论文把专家忽悠了，原因在下面。）
但是，平行真的不是摄影不变量，因为如果是，那中心也是了。所有的书都说到中心是仿射不变量。没办法咯！
, b3 m* P4 X% K  E- ]射影几何是比欧式几何更抽象的几何，它不研究距离（欧式空间定义下的距离）。况且中心，平行都不是摄影不变量。
射影几何只是欧式几何的子集，内容不比后者。前者的内容后者一定有，反之不一定。高等几何实在是太美了，我当时真的想把题目用射影几何的方法做出来。现在想想真的有些困难，可能理论上就不可以。至少我不行。
' i: L# z8 @6 J8 f7 \9 M我后来又想了想，如果用解析几何的方法这个问题一定可以做的。
; r) e  T0 a  D2 L. i9 y. {椭圆不过是个二元二次方程，锥面是三元二次的齐次方程，平面是一次的。所以一定可以做，具体方法如下：
1.据图，我们把椭圆的方程拟合出来，作为准线。
' k. k$ D9 m) ?# v0 |9 @2.光心（原点）做中心，做一个锥面。
% G! m; G  ~+ J$ g3.然后确定一个平面与锥面的交线，使其是半径已知的圆。
$ f6 J8 I+ E7 u& @8 v/ e; l6 x; q# P# L3.确定圆心。
) x0 x' u; d% x4.圆心与光心的连线与椭圆平面的交点就是所求的点了。
3 y; l6 d8 Q6 y/ W( z5 ~难点就在第三步，怎么使交线是圆。这个问题，我的做法很dirty，暂时还没有太好的想法，不说了。最近比较忙，没时间做。不过我肯定这样的步骤可以做。
不知道有没有人在建模的时候是这么做的，做出结果了么，最后能拿什么奖。
其实，锥面与平面的交线是二次曲线并不是什么新鲜的结论，最开始希腊人就是这么定义圆锥曲线的，阿波罗尼斯的《圆锥曲线》就是如此。只是我们的课本上都不讲而已。通过解析几何的方法证明也不难，二次方程与一次方程联立，不会得出二次以上的方程的，根据图像那个很明显就是椭圆了。
此外，我看书还看到有丹德林的球，那个做法也很漂亮，不过是对正圆锥的。不知道有没有人做过推广，扩充到更一般的情况。
' H+ {5 V2 `/ B, G, Y我的想法，楼主怎么看？可以交流一下，我的QQ675777411
$ c  _$ a) V; S1 l- X真的不知道让阿波罗尼斯或者阿基米德做，会做出什么结果来？
% G, x: ]2 A+ y# {7 y9 g$ t- h
[ 本帖最后由 zhang_biao123 于 2008-10-14 16:34 编辑 ]

yi_neo

投影之后一般不是椭圆啊

zhang_biao123

没错，你可以看评审要点。我在上面的帖子也说明了这一点。

y6838002

稍微有点空间想象力的人就应该知道投影之后不是椭圆的，因为是透射投影，而且底片的面和圆所在的面不平行，所以不是圆，而像一个鸡蛋一样的东西，只有是平面投影才是椭圆的

minjiecow

透视变换将圆的切线变成椭圆的切线，将相交的直线变成像平面上的相交直线，交点对应交点，平行不是不变量，因为平行直线的像在像平面上相交于无穷远点（在罗氏几何里其实相交于无穷远点的线上平行的，虽然有个交点——无穷远点），所有的平行直线的像交于无穷远直线上，这个我做了验证的，效果很好，
在像平面上我找的像点并不是椭圆的中心，
, q- G9 Q5 d) ^1 B$ M/ P因为那个四边形并不是欧平面上的平行四边形，
原因很简单，平行四边形：P1-P2-P3-P4的像：Q1-Q2-Q3-Q4并不是平形四边形！呵呵
你的方法不错，可是难做，因为那个个锥并不是圆椎，而是椭圆锥！

minjiecow

欧氏平面上的平行和射影平面上的平行不是一回事！
3 E( S* W$ A- R( m

zhang_biao123

这么好的帖子，怎么都禁止了呢？

madio

黑客攻击，楼主的用户名不存在了，我把帖子内容重新发一下！
8 B1 i$ h6 @* Q+ @
& B3 U. ], `' U8 V; ]- H透视变换将圆变成椭圆，也将圆的平行切线变有像平面上的平行切线（相交于无穷远点）,我们可以于五个椭圆的切线族来确定圆心的像坐标,分割图像，拟合椭圆方程，求出切线，一切OK！方法如下图(Mathematica作图)：
4 Z4 ^# M% K2 p3 P) a& ^1 z7 w" M圆心像坐标:
3 Y" r2 w$ N, H& }) ~8 x3 a$ _A (323.22, 189.90)      B (423.28, 197.35)
C (640.15, 213.51)      D (582.97, 503.24)
/ x- V  U: c- O( cE (284.94, 502.09)