数学分析

LJX2013

数学分析部分： 从数学分析的课本讲起吧.复旦自己的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好,
似乎丘成桐先生做学生的时候
也曾收益与此.
) X) f1 V1 K/ H% j# ?到90年代市面上还能看到的课本
里面,有一套陈传璋先生等编的,
可能就是上面的书的新版,交大的
  N1 O) v6 y# G# @试点班有几年就拿该书做教材.
另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生
1 x$ @& X! n; }6 n2 o4 y的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的
课本,好象后来数学系不用了,
' q4 s9 w8 p  b& h: y7 s计算机系倒还在用.那本书里面
据说积分的第二中值定理的陈述
: @7 e2 z0 `: W# [, P8 M2 z有点小错.
: N; ?3 N8 }/ o总的说来,这些书里面都可以看到
一本书的影子,就是
% \* B, l! y3 v' L8 r- x0 L/ ?: w菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",
其原因,按照秦老师的说法,是最初
4 H- D0 x, |7 k0 ?在搞教材建设的时候,北大选的"模本"
- \1 P& |' {7 r3 b/ D7 z9 M是辛钦的"数学分析简明教程",
' k7 l2 Y0 v( j3 |2 b而复旦则选了"数学分析原理".
9 ~7 P7 r7 G2 d4 S4 z# o后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的
" C- _1 p# i" a  E9 @/ u, `; ]那本数学分析.我不否认那是一种尝试,
0 @5 ~9 I0 h7 S9 d- \) Z# M但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点
5 S. E$ s- E, T3 S" S来看数学分析这样经典的内容在国际上
的确是一种潮流,但是从这个意义上说
该书做得并不是非常好.而且从整体的
8 V$ l7 T' d. Y+ P4 S课程体系上说,在后面有实变函数这样
一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue
积分值得商榷.
3 I4 Q. Z  G7 v' O3 O2 t  
下面开始讲一些课本,或者说参考书:
1 m# }+ m; ]4 I, a1.菲赫今哥尔茨
$ p8 d/ l+ b0 g& _9 ]"微积分学教程","数学分析原理".
前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;
后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.
此书堪称经典.
' e, i5 s2 ^# X. \/ {"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者
列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括
: F" |7 H0 r; n9 k: P4 v后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)
都承认不太合适作为教材,为此他才给出了
能够做教材的后一套书,可以说是一个
, ?5 c, {+ _4 r( @精简的版本(有所补充的是在最后给出了
( _" A/ c4 ?+ N5 r1 c6 ?一个后续课程的简介).
+ p0 ?7 B0 s* _" ^6 K# l8 t相信直到今天,很多老师在开课的时候
还是会去找"微积分学教程",因为里面
的各种各样的例题实在太多了.如果想
比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的
例题当做有答案的习题来做,当然不是每道
题都可以这么办的.如果你全部做完了
那里的题目然后考试的时候碰到你做过的
! {( I! K6 m2 a可别怪我.
6 o+ T4 P, |. G0 c: a( Y毫无疑问,这套书代表了以古典的方式
处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)
的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万
计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.
" }! c( c8 L" x$ l2 v. t5 W这两套书在理图里面都有.
8 W+ {+ C* K, X8 G) i1 \2.Apostol
"Mathematical Analysis"
在西方(西欧和美国),这应该算得上是
7 S. K  D; R5 ^+ F  n一本相当完整的课本了,在总书库里面
有.
3.W.Rudin
1 s* F7 u2 S( M. z4 N"Principles of Mathematical Analysis"
  C! H# D  K# x; d2 r(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)
这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,
这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,
(指一些符号,术语的运用)也是很好的.
5 `! x/ F( H. s. a7 `, U这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是
后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",
8 J( ^7 T' W8 h! l/ j虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里
想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的
ddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以
找一本西方advanced calculus水平的书来看,
基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师
曾特别指出Rudin的书.
说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是
可以一看的,就是
9 K# Y+ e+ K- ?! T9 UL.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,
其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图
外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.
这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的
课本.
  
4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等
"数学分析习题集","数学分析习题课教材".
北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西
# Q$ [' f. m  Y5 V# G+ q还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇
并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题
(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的
习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,
原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数
4 d4 a, M- b% T% Z收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就
要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也
是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
( _  A4 O# z! l7 E7 L96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.
2 t% G* C  W" P7 n* M5.克莱鲍尔"数学分析"
记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.
) p$ q$ F, k* V2 P+ ?( q理图里有.
: d  G9 R5 ^& o( e/ |" t: a% z6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,
0 Z+ n( {" R6 C( M! P% }张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多
& i8 `  W' m  S# A3 X6 h五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的
: d. d% O% v. u8 ?1 z7 E- e是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都
# F7 d; A) A3 }3 Z云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的
处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的
+ ^+ |0 a5 m+ y/ `遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根
本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
理图里有.
' Q) h7 z% D6 K& ]# E& m  
4 G4 S0 g7 i* O: A下面的一些书可能是比较"新颖"的.
% z2 z3 J9 X) ^: m9 u/ F7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"
! f% h7 e& W3 F4 b9 e3 i& c7 s理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于
1 B" p  x9 h/ T$ @80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,
人家是苏联科学院院士.
7b."数学分析"
忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.
理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限
, ]' r- H# D# f; T) h7 A; q的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
' j$ M. o7 |: n到观点非常的"高".
1 u* V* d* p- S; g8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"
那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,
用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再
0 E& U5 R0 ~5 ]1 ~# T回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学.
这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.
因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,
中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不
分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有
J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫
0 s4 ?" P$ ?3 S1 [$ ?7 A- ["普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),
其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课
$ K  x( }% f! S0 E2 h8 D1 D之间.
  
10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,
0 \/ x3 F( G; k: A! i* R4 c0 T( L一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫
"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,
) z0 I1 a4 m! j; Z0 D其详细讨论,似乎仅见于
6 Y" C1 Y" \7 W( i3 |- W鲁金(Lusin)的"实变函数论"
" B! B) ?8 x* S# n里面,总书库里面有.
11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷
5 Q( x+ d3 }8 Q: R3 r这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初
; T) N  Q/ d5 u  m华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时
的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授
负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实
是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一
  H( O% `* V- b0 n" n届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于
一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统
教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.
+ c. X$ J; w3 q- U$ h2 r; @6 ?理图里有.
12.何琛,史济怀,徐森林
"数学分析"
这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,
+ H1 t4 e$ d: k. k  i5 l我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分
$ u: X( f* Y2 Q) T2 {  m就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.
" h9 K- l. ]: Z& _( D印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以
放在最后.
  
6 W  H4 \/ g7 w+ t==============================================
7 ]4 w% j% B7 [) X- R空间解析几何部分：

! A4 ~8 t4 p$ a% L空间解析几何实在是一门太经典,
或者说古典的课.从教学内容上说,
' l* i  q' o6 i. L. Q5 @0 n可以认为它描述的主要是三维欧氏
空间里面的一些基本常识,包括最
  F2 m& t* q3 T基本的线性变换(那是线性代数的特例),
9 N9 X1 W( S, [# Q: x和二阶曲面的不变量理论.在现行
+ ]7 m+ `8 [8 w" ]6 F& b* F的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的
"空间解析几何"里面,最后还有一章讲
- C, A. B$ i/ I  k射影几何.
9 f/ I) P% v" G6 R0 d这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.
特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影
  W* ?$ i2 M: S1 f4 e0 P" a的内容还不是很好念的.
当然,这里还要提到十来年前大概
" }- O0 I5 B; O% {) Q. w2 c, K做过教材的一本书:
项武义,潘养廉等
"古典几何学".
; h1 X$ e4 l+ e& X. I' L9 A4 A这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是
很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.
可以考虑的参考书包括:
1.陈(受鸟)
"空间解析几何学"
  ]$ J# s+ m3 c内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.
1 D3 J' [3 I+ d陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)
的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2. 於ρ*
( H( [/ h( o6 S! n) O"解析几何学"
这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,
连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面
的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).
朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
  
关于数学分析的习题,还有一本书,就是
G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
" Y/ X' q! R! F# @/ T- b! f"数学分析中的问题和定理"
在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的
5 ^  r  ~0 A4 L3 f6 S- J! j" }& C前面一半,后面就全是复变的东西了.
! G- O" Y2 _+ p8 x该书的内容还是非常丰富的.
. ?; I+ X" P1 I( D9 |9 g在历史上,这是一套曾经使好几代数学家
都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是
% S7 T7 \6 G% s题目难归难,后面还是有答案或提示的.
"微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,
到总书库里面去看看吧!
Loomis-Sternberg的书的书号是O172 L863
  
如果想了解比较"新"的动态,可以考虑
3.Postnikov
7 P5 B9 u$ I* t8 W"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)
! [, [& x* Z- s这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看
! G* ~2 F9 v5 R. ?; P. p" m出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的
学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早
是要给吃到线性代数里面去的.
海外教材中心有一本英文本.
我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早
是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最
. m. Z; s1 e, R1 T# R, Q糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.
我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要
下放到高中里面去.
9 [* s/ M6 ~9 f% N$ F( Y! e上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.
; M7 R$ z9 m5 x可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多
1 z% I4 j- r& F几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有
8 L( P1 [# E6 k: t4 v& B0 }相当深刻的了解.
8 h. X* A7 c" ?) u7 }4 K$ M4. 衣∧*
"(解析)几何学"
: h% w% Q0 x+ ~6 F) I' C这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年
+ m! a; K- B& n  w! R前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能
写的.总书库里面有.
5.穆斯海里什维利
+ C$ g  J6 s/ N1 Y" G"解析几何学教程"
0 n5 A" G3 C% K2 m这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.
4 e( B- w3 K: z" g具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点
; F: K7 Y! e  V& L0 J* V' P和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的
' m( ^8 b) b+ ~3 k而已).
, C4 W# g' P; x1 G0 \" g" L  
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$ P* `6 w3 Y: {  x  O- [7 |
高等代数部分：

6 k: z6 V. O. ]- n3 {高等代数可以认为处理的是有限维
线性空间的理论.如果严格一点,
关于线性空间的理论应该叫线性代数,
% y  k4 a" K% P: d# }+ |* `再加上一点多项式理论(就是可以完完
全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.
. `6 A" d7 V. ~5 |. Z/ [6 z这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,
就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国
教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的
8 Q, r, m/ f) G6 A& j0 a3 ?Higher Algebra.
9 h4 a5 `6 ]- x& s# x$ M现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).
3 H5 K6 [9 e7 S/ }7 d用外校的课本在基础课里面是不常见的.
  Y1 f' P' W& y# u- K这本书可以说是四平八稳,基本上该讲
) Z9 S/ k& `( b; Y- s的都讲了.但是你要说它有什么地方讲
的特别好,恐怕说不出来.
值得注意的是95-96学年度,北大现在的
校党委组织部长王杰老师(段学复先生
的弟子)给北大数学科学学院95级1班
开课时曾经写过一本补充材料,把空
间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到
的话翻印出来是件很好的事情(我的那
本舒五昌老师给96开课的时候送给他
了,估计是找不到了).
' C* D6 q2 [4 b  
好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的
9 M, x1 [6 l' [6 y; f. O% r还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.
8 V; O6 C7 i2 ?& W8 ~从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.
5 P4 |7 r. K4 Q7 C4 W$ W$ o线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在
. p' @: H  h8 \) p定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一
个矩阵的表示.因此这门课的确是可以
建立在矩阵论上的.
而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.
2 [% l9 u- E0 |6 B: {复旦以前有两本课本就是这么做的.
1.蒋尔雄,吴景琨等
: g4 p, c; n, E"线性代数"
; n! G; ]$ ^4 {) A0 b) a0 ^这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比
$ u, ?# @; C1 E1 X0 S; Q+ J数学专业相应的课程要高的.
6 N5 y8 w$ Q+ @* E! ?+ i6 C) o因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.
+ O) r( J- B- h2 K5 t2 E7 [7 X我个人以为还是比较有意思的.理图里有.
$ u0 O  E3 T% m2. 啦 埙等
; r( f% w! I/ E1 s0 c8 ?. T% ]% Q$ b"高等代数"
, Y3 T. Q3 q' }' @这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里
+ N, [- I' ?' L% y: @% y讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里
: m2 S8 l) R4 ^8 t6 F0 a& y0 h) y可能可以买到翻印的.
4 y+ i' |& ?1 N" W# V这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量
+ d! P1 h; k( ~" r& Y习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面
& c3 e1 @2 e# t的习题做完对于理解矩阵的
) r' x5 @- y+ G6 I! n, }各种各样的性质是非常有益的.
/ [& }! l, h2 s2 v当然这不是很容易的:
0 u8 u( M; e/ }$ c7 d& @4 z据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁
开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话
  @* D* S% M$ S4 c& {% S( }0 P可以来找我."有此可见一斑.
  k( U: b8 R' d( }% c2 F9 J% ?  
如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,
. X; N7 o  J7 R) D% ]6 Y+ T那么下面这本应该说是比较适当的.
. D& w- M8 y- e+ ]6 y$ n& T3. 啦 埙等
3 Q/ C  T5 V) E. k"线性代数-方法导引"
6 X% _# `: X" _# N* y这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也
更"实际"一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
4.甘特玛赫尔"矩阵论"
2 b! G+ M, p7 C! f3 z5 R" D: I0 L我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者
是柯召先生.
在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳
入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan
标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩
! `$ J' ?0 d3 z8 M阵该怎么求?请看"矩阵论".
这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
总书库里有.
: Y+ w  W" Z  \: Z- `图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.
5.许以超
"线性代数和矩阵论"
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国
念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,
现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还
是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于
$ r' H* t4 L# Z$ V- g, d9 }空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
  o2 z9 G* H$ y2 {  
0 B4 y3 E. @3 x! g! T6.华罗庚
"高等数学引论"
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在
4 j8 R4 c  X7 y2 `9 u# W" n矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你
只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.
' r8 h+ w' P( Y8 w可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的
(不记得是不是在这本书里面了):
; R4 X/ N" Y* j% b, ~+ Zn阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个
: o9 S' A6 [2 ?$ Q, p把一组标准基映到1的反对称线性函数.
这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
$ i9 l) `" n5 D7.贾柯勃逊(N.Jacobson)
. a0 A+ s# T0 j, E! W+ cLectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra
- s" @% K$ j% ^& v& V& Z: |  yGTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31
("抽象代数学"第二卷:线性代数)
# o9 S4 ~7 B$ c" L这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面
已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
: w, i, q3 N! Q* ^9 l7 [0 v此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.
* Z5 V7 r! t) m5 K0 L: E8.Greub
Linear Algebra(GTM23)
5 \6 m/ m' e9 m7 W+ D9 L这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是
2 P$ s' B5 b3 \% r值得一读的.
( \0 r. x8 l. ^  
8 g/ x2 K2 B' ]8 N4 X; x还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
8 S! t3 A9 l6 j& D9.丘维声
"高等代数"(上,下)
3 a' h' i* F# }- Q/ Z$ o1 V# [0 \' E北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向
! c  C! d! M6 x0 ^. H6 O6 @' m# X没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些
几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
10.李炯生,查建国
"线性代数"
这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些
内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
  
4 {" o) A" @* J' h+ p==============================================
7 d4 N) p8 t9 B1 y8 q4 `
& r  F8 G5 P! c5 b  s" \+ {常微分方程部分：

7 }1 v+ M# V9 _8 }9 m/ h从常微分方程开始,数学课就变成
- b7 X6 ?% h2 h没底的东西,每一个标题做下去都
是数学研究里面庞大的一块.
对于一门基本课程应该讲些
什么也始终讨论不断.
这里我打算还是从现行课本讲起.
0 a4 U( Y4 \& L  b6 J常微分方程这门课,金福临先生
/ P( M& K% O* y3 j+ I' e/ v和李迅经先生在六十年代写过
一本课本,后来在八十年代由
0 q0 o# d8 N6 _/ T' L控制那一块的老师们修订了
: M8 L/ X, ]2 Y( G9 ?* Y一下,变成第二版,就是现在常用的课本.
$ K+ V6 s( A/ s" y1 ~. r/ J2 i上海科技出版社出版.
' g/ a6 M5 u' N应该说,金先生他们的第一版在今天
看来还是很好的一本课本(这本书估计
受了下面的一本参考书
3 t6 x3 V  @: Q& J6 |' T% C9 _的不小的影响), 该书在理图老分类的
. g: q& y% [! \) `' J) K那一块里有.
但是第二版有那么点不敢恭维.
不知为什么,似乎这本书对具体
方程的求解特别感兴趣,对于一
2 V' `1 I4 u" L8 L) }+ \些比较"现代"的观点,比如定性的
讨论等等相当地不重视.最有那么
2 K- B; Z0 _, i2 {) g+ g6 L点好笑的是在某个例子中(好象是
介绍Green函数方法的),在解完了之
后话锋一转,说"这个题其实按下面
$ O% q3 e9 T8 J4 ~的办法解更简单..."
而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
  
/ ], x( u5 q- D2 [. U1 q现代数学的一大特色即是已经
完全建立了一套自己的表达方式.
  Q: V% r' n; ^: M- A没有一个学科象数学这样创造了
6 u: O1 [3 u3 q) R4 F+ c这么多的概念.
7 M) M! p7 P$ L, }; K& A6 }, Y现代数学的传播的一大困难也在
与此,要向一个非本行(哪怕是
数学里另外一个分支的专家)解释
清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.
但在另外一方面数学是如此有用,
4 m3 h' x4 l: |! R" m而且数学的抽象性使得一个数学
观点往往可以表征其它学科的许多
8 z2 D# L3 I, x5 S看似毫无关系的对象.所以现代数学
( Y/ f3 v  {& I还是挺值得一学的.
; @  Q. S, j9 [4 y7 K6 L2 V* a# r: ^自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.
从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系
. R0 L0 j$ ^5 t的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己
3 H/ @2 z' {) B, X  C找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,
以前上海科技出版社出过一套
1."大学数学自学丛书"
/ w, z( \* w/ Y: t应当说编得是不错的.
至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考
; Z* g0 y1 S: b$ U. Z: S5 D$ p8 y9 k% B2.赵慈庚, 於ρ*
"大学数学自学指南"
3 U; `$ p& L) m赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上
以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.
( d' z9 `% D1 e: E$ @- n关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明.
好象是高等教育出的.
$ O) i! [. w) y( |  
3 j6 `: C5 R4 y" a1 x下面转到欧美方面,
3.Coddington & Levinson
"Theory of Ordinary Differnetial Equations"
  v- G& K5 ]+ ]; {这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,
7 q9 w& V* k8 _% n数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看
3 u' R  t: ]( P) m! c8 p: y/ p着办吧.
' o/ m; O! m1 _: }2 ^比较"现代"的表述有
4.Hirsh & Smale
"Differential Equations ,Linear Algebra and
Dynamical Systems"
(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")
这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,
2 s" l  N2 R1 H( U* {非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.
关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港
9 o" c& l; t, Z# V' N6 X; X+ T城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他
为在中国领土上工作的最重要的数学家应该
' [6 \. L* Q  X% S0 j没有什么疑问.
图书馆里有中译本.
  
5.Arnol'd
"常微分方程"
必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,
他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材
以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把
相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我
  l2 F1 G9 S8 @; f7 b也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常
喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候
就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相
5 B" f0 v2 T! d6 v  S/ X教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,
8 X; N) C$ `) n& S% oArnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见
互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何
化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd
2 l. v1 r1 a. r6 x# S# Y0 F对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话
说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生
: d7 b' n3 j0 M们都是这么说的.
* E( [/ T" `# i2 K! U这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,
& w8 i3 x  K% h" u6 r3 U* N竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.
* }/ W9 b% P) g; \# d# V再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."
0 j1 }' S, z2 y- n  a的,程度要深得多.
看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人
5 h( J7 W5 Y- F; L! Z自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.
6.丁同仁,李承治
3 G1 E8 C) I, }! j4 v1 i8 a"常微分方程教程"
% e  I" b+ M2 c( W0 K这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,
观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,
+ J" X- V3 u2 u- l$ Y1 e袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.
附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,
( J; m' c5 U, k7 Z0 ?里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.
0 H: W4 L0 M. y/ Y1 A9 V& _1 \# z: ?  
再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看
6 Z, O5 D$ R/ n7.卡姆克(Kamke)
常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,
0 E# q' w# ]9 T' d理图里有.
对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是
和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,
* j- c9 `, y5 g现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.
我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学
0 f+ K4 M4 W" j! w9 n物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.
) ~$ e3 [! O5 e( \事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解
& b: U5 Y" f4 p7 E这些特殊函数系的"完备性",象
" X. [  @) |1 s$ n# g$ t8.Courant-Hilbert
"数学物理方法"第一卷
可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来
$ i  P" `" Q4 i3 U8 Y并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点
" `2 k* \+ G2 j( Y可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数
一个方法学起来更容易一些.
而且,
9.王竹溪,郭敦仁
0 S0 T4 b) z* p0 X+ C: H"特殊函数概论"
5 @2 h$ L  v: F6 ^3 C的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质
了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去
& J2 {$ g/ O: T# r# r6 P查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,
, _- Q3 S8 o* x6 i看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:
, k# b- F1 J4 c* B$ ]6 {/ {7 r# S# @"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的
1 a  s% N: f" H'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架
上,...经常在里面寻找我需要的结论..."
连他老先生都如此,何况我们?
上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室
有一本.
" S' q1 s9 Q/ G& p! a  
下面开始说参考书,毫无疑问,
: M7 w+ v% ^$ [1 q2 A- M/ u我们还是得从我们强大的北方
邻国说起.
1.彼得罗夫斯基
& J$ L1 e- W/ f4 ?- H% g"常微分方程讲义"
8 m6 Y7 G8 ]( ?7 [+ R在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长
* U' [) M2 s5 N) G$ W占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他
$ T0 T: q  [, c( i1 T在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生
1 Y( g5 H9 z5 Q( b0 K- U去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.
他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年
的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就
利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了
" D; V1 c: r% z/ m% b7 v# y/ n* r* U, X一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做
" ]9 D( Q; ]* ?/ s, m到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个
2 `$ d9 S& R2 ?% q) i- y天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.
' p, P( _) V9 z1 U- J9 W他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能
5 f# X" ?* p$ P! m和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术
6 P. B8 G' h6 U. M3 c" l, c( q% @) t9 }官僚作风,讲法不是非常活泼.
2.庞特里亚金
"常微分方程"
庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故
; I3 k3 {" q8 `) k& \9 p' d双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人
7 a$ A+ O6 I! p/ @8 V4 L的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给
& }) o8 V; _( T4 R4 x+ h. ]& i后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",
你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投
5 l# d7 v: A2 V: C1 d下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.
此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的
影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字
2 Z8 ~4 c  r9 `/ l不感冒的话绝对值得一读.

==============================================
$ t% K- Q/ ], v" s0 F7 ?
( Z! I+ G: V/ l$ g, l7 ?! q复变函数部分：
  
2 s$ z  T5 |+ _! u单复变函数论从它诞生之日
(1811年的某天Gauss给Bessel写
了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数
一样的地位...")就成为数学的核心,
3 W2 R4 {6 }2 b上个世纪的大师们基本上都在这一领域里
9 j$ B5 J/ y. U2 {2 i- m" b留下了一些东西,因此数学的这个分支
3 O. e* X7 ]# [, g* g在本世纪初的时候已经基本上成形了.
' x1 h  U7 m1 c) f' e# l到那时为止的成果基本上都是学数学的学生
必修的东西.
& p, a0 [- e+ g6 b复旦现在这门课是张锦豪老师教.
张老师是做多复变的.毫无疑问,
多复变在二十世纪的数学里也
占有相当重要的地位,不仅它自身的
5 ]* i% _% {% |/ y内容非常丰富,在其它分支中的应用也
; e) S7 g) h. r3 z, _$ D8 b是相当多的--举个例子就是Penrose的
) ^5 y$ S! B+ r% A; z" W' m  s/ BSpinor理论,基本上就是一个复分析的
& {& z% X" h% m, }2 }1 m9 ]6 H0 k问题.这就扯远了,就此打住.
张老师用的是他自己的讲义,那
书要到今年夏天才能印出来.所以
还是这两年上过这门课的ddmm来
谈谈感受比较好.
" {' G( J' }, F6 `现在具体的情况我不是很清楚,复旦
以前有一本
1.范莉莉,何成奇
"复变函数论"
这是上海科技出版的那套书里面的复变.
今天回过头来看,这本书讲的东西也不是
4 G3 H( `" @; i* f6 s很难,包括那些数量很不少的习题.
但是做为第一次
  H+ \2 ^0 C" q& R* E学的课本,应当说还不是很容易的.
1 G( n7 |0 b7 p, R总的说来,从书的序言里面列的参考书目
4 P1 q+ i. s9 |. u6 P就可以看出两位先生是借鉴了不少国际
上的先进课本的.
" p- ]: {" G+ m! Y5 s不知道数学系的学生还发这本书吗?
  
如果要列参考书的话,单复变的课本
: T2 u0 @* j: q5 U* b5 P 真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:
2.普里瓦洛夫
"复变函数(论)引论"
, n6 }- E/ q, o* \ 这是我们的老师辈做学生的时候的标准
  a1 w1 b  t3 `& h# _ 课本.内容翔实,具有传统的苏联标准
% J' L  }0 G3 _0 @0 a 课本的一切特征.听说过这么一个小故事:
! n4 e; ^/ }9 K 普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次
期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,
无论是从教师还是从学生的角度来说),
有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝
般地问了一句"sin z有界无界?"此人
稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上
  c( F3 u8 E  y; h 被开回去了,实在是不幸之至.
& h% ]3 q  _2 R 这书不在理图就在总书库里面.
. w& R5 Z, _9 P- M2 Y1 f# L* d 3.马库雪维奇
"解析函数论(教程?)"
% |. p$ B( c$ V4 X9 W7 Q5 w1 N 这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.
! L1 d3 X" S- ~1 Q 它比上面这本要深不少.张老师说过,
以前学复变的学生用2.做课本,学完
3 A# E8 M5 Z1 r! s# s! E! e7 \ 后再看3.,然后就可以开始做研究了.
+ N2 T* O4 B8 J( l0 W8 T 这本书的一个毛病是它喜欢用自己的
" j- H, K- {/ |7 l5 `& C 一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程
它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert
吧!
0 R2 E) T  B9 K6 z3 i' {8 @  
6 `9 A- F% O  |6 l8 E* c. N. X再说点西方的:
4.L.Alfors(阿尔福斯)
# s& @0 L" D! }' b' d( a" ]$ w+ B"Complex Analysis(复分析)"
这应该是用英语写的最经典的复分析教材.
; [! T. \4 R' q2 dAlfors是本世纪最重要的数学家之一
(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的
人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.
4 F( s$ b  g) N他的这本课本从六十年代出第一版
开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,
理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)
记不清了,建议还是看英文的.
这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位
& Q! i2 e7 j+ L0 Q% j* F$ g代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy
--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass
--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的
课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理
9 X  F8 X( V) z可以说是相当好的.
5.H.Cartan(亨利.嘉当)
* I) V. m" `6 l3 ]5 T* _$ L"解析函数论引论"
这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物
在二十世纪复分析的发展史上也占有很重
8 E% g9 L; V  r7 n要的地位.他在多复变领域的很多工作是
开创性的.这本课本内容不是很深,从处理
2 b, F( A1 k# @! ~方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作
(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))
  
/ @8 @5 `* B& e: a6.J.B.Conway
' L1 y8 |0 D7 p9 P6 Z% U$ \"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)
"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)
(GTM=Graduate Mathematics Texts,
. Q/ o, R$ P' ]( m- f( J) ?; T. v是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)
% e4 [. |4 I# p8 u/ G& X' i* v$ n第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写
了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.
' S/ U: Q' H) u7 j2 Z1 n3 Z2 n' ~3 j这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,
对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西
要到第二卷里面才能看到.
7.K.Kodaira(小平邦彦)
9 D9 @6 m/ L3 Y7 Y"An Introduction to Complex Analysis"
/ B; u' O: _7 X; K, I* f这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课
是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,
也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的
基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室
有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误
相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.
4 _  D# I1 j" V! E6 l+ M由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,
因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"
我就找不出什么错.
  
人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题
* ^. L, V8 D/ W2 H2 g9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的
习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点
' N9 O" D$ p2 }: T% M3 L9 O太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少
体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都
4 w( _. F7 W/ g3 [/ [! y有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以
独立做出来的.
10."解析函数论习题集"
实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字
4 K4 ~! Q0 h, Y1 ?$ v9 R+ |$ {, B忘了,这本书里面的题目相当多.
理图里面有,系资料室有一本英文的.
其它的书我认为可以翻翻的包括
11.张南岳,陈怀惠
"复变函数论选讲"
这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和
上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.
3 d5 l5 o/ @9 F7 J: I# f: p& n+ N从内容上来看,
' Y, R. H  h9 V+ K第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"
. s$ t! A% v& D2 P. S3 \# l都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.
看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"
(这部分内容在6.里面也有),然后去看
8 x) T! m6 W& v/ h8 Z12.J.-P. Serre(塞尔)
" z! X! v7 G% h  V* B"A course of Arithmetics"(数论教程)
2 u8 C$ H0 y3 i3 j第二部分的十来页东西就可以理解下述
* _' \; i6 J; J( o# B- R& P$ _Dirichlet定理的证明了:
"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"
, }* Q3 F! _" H: W, V1 l& hSerre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,
代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还
没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.
  U$ f( E: l2 Y/ c& H  
' F* k- z# t' C: @发信人: unix (  ), 信区: mathematics
偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合
- ]# `: z7 g3 Q写的。应该是不错的， 习题较多。
科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。
其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。
  
3 e3 @. ]/ m2 W1 X7 e; r) P/ Z. U2 p 在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,
% s9 V- t- w. R- t& A% Z8 g7 e 理图里面还有
13.庄圻泰,何育瓒等
"复变函数论(专题?)选讲"
0 z4 g* `, f$ B# C$ D  K0 Q+ k3 Q  O 差不多的题目应该有两本,一本肯定理图
4 M8 j1 x2 {! w 里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的
  c- B5 w2 R5 u. `% o5 P 同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一
3 t9 T  l0 u3 X# \0 [8 U/ `4 B; O 本记忆中就觉得太专门了点.
除此之外,讲单复变的还有两本书,
不过可能第一遍学的时候不是很适合看.
图书馆里面都有.
14.W.Rudin
"Real and Complex Analysis"
必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把
2 A2 z# e8 K) P 对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西
% ~% c# F! e  O$ E1 B 都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础
是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面
你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)
才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候
  }& `- d8 R; n8 o7 p 再谈吧!
0 C5 w1 m$ I/ K9 w+ H$ c$ g6 G; I4 [ 15.L.Hormander
"An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"
这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.
8 b: s+ Q& u/ Z; E9 I; L3 v 他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是
微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,
可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会
有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy
积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu
6 C3 J! U% L; X  j3 [ 公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的
/ p! S8 m3 J: n: O 书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道
这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些
2 c! U! ^9 ^& W$ g8 K 奇异积分.
  
2 o5 h" Q% y" {* u, H* c- e% z16.Titchmarch
4 [1 O* m! {" o"函数论"
- h$ K( j  q" `# q这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,
看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.
" z8 B- X$ R8 T5 E% L& y) ~除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的
# B& X0 Z. y2 }; o8 O传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程
几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."
关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要
0 @# h9 `& L9 w3 I# d. a6 A影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!
17.戈鲁辛
" _' H( w- u3 x1 }8 W"复变函数几何理论"
这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.
+ {$ g' l, u8 S( s' v. u& i作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得
最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.
/ T. x9 M; N! U8 T, z6 s总书库里面应该有,标题可能略有出入.
5 E9 [0 |+ h4 Z/ i6 s6 m( i7 m最后讲一本书,不知道复旦有没有:
! O) G8 I+ M) [* R) ?17. R.Remmert
"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)
( W. W# ]' R( P% r0 b4 }+ h( ?- L% Y5 ?Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,
' b3 X2 v4 H, Q7 a/ _5 |* Y5 {其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的
来龙去脉交代的异常清楚.
  
==============================================
' A# D+ z! a7 @( g
- Q8 y6 ?/ q+ X% [6 }, L组合基础部分：

这门课没读过,不过如果现在的课本还是
6 k: _, @! E# k& {- `1.I.Tomescu
"组合学引论"
的话,倒还是想说两句的.
; ^2 f( D6 ~3 e- l: I# E$ g首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.
其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案:)
(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,
就该知道这些结果不是那么平凡的了)
, Y# D+ x- X' Z9 {作为补充,可以考虑
" _. C! `( k# C' W5 K6 ~2.I.Tomescu
) J0 U; y* a5 ]1 ]4 e% W% S! H"Problem in graph theory and combinatorics(???)"
9 s0 l; y6 C1 O2 T  d- i$ M* J这本书有比较详细的提示和解答,
里面的题目也非常好,
高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍
(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).
不过复旦是不是有我不是最清楚.
- M) P. _4 I8 W% |: N3 \; x但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面
有很多:
3.Lovasz
% l$ s% V- v/ v6 E"Problems in Combinatorics(?)"
这是本相当好的习题集,作者Lovasz是
1 `2 j; q/ t0 [" S. v唯一一个得过wolf奖的组合学家.
6 b5 D. K! P7 H( O$ g唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大
1 Z" ~8 a, }% y- G. i% d2 u了点,不过千万不要被吓倒!

==============================================

, x- {4 W  f% v9 ]) O# Z4 Y3 C实变函数与泛函分析部分：
( E1 a8 v) R4 C' e8 m. i+ k
这是数学系的学生学到的第一门
完全属于二十世纪的课程.
这门课程的重要性是不言而谕的.
对于这门课程在中国的发展,
许多和复旦有密切关系的前辈都
, O7 z8 G$ k3 ?做出过重要贡献.
! d* D0 e2 l2 ~& B' o在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是
陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的
先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习
0 d* U1 a1 G, Z# l6 Z) ?9 p8 Q/ g- x0 D现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个
( O# c! _, G6 f7 S& t5 [! \外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生
一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.
9 F0 A4 u' G1 l  Y即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.
李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和
Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到
"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的
7 T3 R7 M  H1 z1 w) c& h桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
8 E! q" \5 t* g. ]: j3 Z# U1."中国现代数学家传"(第二卷)
! R9 t5 h3 m* X& b; W里面做了一篇传记,不可不读.
5 A. V2 {$ m, }$ {8 a, W$ e2 ~陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代
他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
. ]; G, W6 D/ o+ k$ ]6 y2.陈建功
"实函数论"
4 r4 |" A( F, z9 i7 e; r! ]) O  z今天看来,这里面的内容是相当古典的,
/ A8 s1 b$ x+ e' `9 ]( P2 ~6 t但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
6 H6 _0 l+ G; l* C陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生
包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生
和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串
  g9 }1 m+ N: M  f4 ^长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,
龚升,李训经...
9 X+ J& v+ _' j前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,
五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,
8 X6 V; {: [2 n# L0 N一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."
* P& J! ?2 s+ k* y/ c$ B) n那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.
7 P  b; G/ G$ I5 D- M: k( w另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有
2 j4 [! l5 J; D# m* R# z! Q某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为
实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.
9 g: A) p/ \+ T( w6 W  M  
今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,
比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大
8 }4 A& X9 }9 O9 I  b4 `图书馆的(见内页题字)
9 {( ~4 y- V5 x  \6 O现在用的课本是
3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌
* R0 {" V2 O. e+ T! ?+ F"实变函数论与泛函分析"
7 m4 |' n, q; m. z第二版,上,下册
这是,在我看来,复旦为中国的数学事业
( q1 E1 `+ T4 D- R贡献的最重要的课本.从1978年第一版
出版开始,这就是中国最标准的实变与
3 r" Y( o' X9 ~9 c/ H泛函课本.受益与此书的学生不可计数.
) j( l0 c" R2 l+ n, D' m) H% u4 t0 \夏先生是陈先生五十年代初的研究生.
! G% T' f& |& ~6 }1 E/ T# M当年陈先生开实分析课的时候夏先生
做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的
要求差不多,不是吗?*_^)
& `+ q7 h, p7 U' O夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.
/ l$ s9 S0 W6 p9 \: g! d那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand
3 \6 e( |: z! e5 _: X9 p( z又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅
在在苏联的两年间做出了相当好的工作,
1 q, M# _; N5 ]  I( w# K! o而且回国后在复旦建立了一个相当
强的泛函研究小组.具体可以看
) X9 ^3 f: k+ q- T* I4.杨乐,李忠编
"中国数学会六十年"
里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"
( N) n" r! l9 Q8 G6 U! a, G, a的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国
+ ?7 M/ a" n2 ]: M  [# W数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年
的学术地位!
夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.
在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的
是这三样.

  
) [# N9 `) U, d( f/ W7 d我们一章一章来看:
/ a6 N+ t7 l8 Y第一章"集和直线上的点集"
这是很美妙的东西,数学系的学生从这里
; Y# P$ H" }( {6 z开始严肃地接受关于无限的教育.
具体的问题是教师一般都要在这一章
上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的
东西学生以前根本没有接触过.我想今后
可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章
* Z. E; H" I. |6 M% v! w的内容,象实数理论和极限论,等价关系,
# C* a' {! V. M4 U: j9 r& R直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很
多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书
也能看到这些内容.
大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,
! m. c# n5 a# v" j在
3 c( f5 v  d' ?6 _4 W% c5.E.Hewitt, K.Stromberg
+ k" B, p2 R/ |! h"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)
8 D& U( d8 o& O9 y( v0 }里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其
% f6 L2 q) T& c- C等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice
does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is
needed most urgently".这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看
6.那汤松
"实变函数论"
在下册里面还有关于超限归纳法的描述.
这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈
建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.
  S2 `7 j% m6 S  ^) v5 ?, _& R徐先生不幸于文革中自杀身亡.
总书库里面有.
) P3 d- o' }& `另外,对于很多具体的点集的例子,有许多
0 c6 i* ]' h0 {& q书可以参考,比如
7.汪林
"实分析中的反例"
* z" k6 M% s: I9 O  i这是本非常非常好的书,在以后的几章里面
我们也都要引用这本书.作者是程民德
先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是
5 k3 o, t3 ^6 b& @" j0 ~一本讲例子的书!理图里有.
和一些习题集和解答,比如
8."实变函数论习题解答"
, s0 D. ?* ]) G& h/ q: b3 u9 ^  ^这是那汤松的书的习题解答.质量一般,
- T* l; j. L7 x9 ]不过好歹是本习题解答吧.
4 G) D0 P" O1 x  s, Q. D" k9."实变函数论的定理与习题"
记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.
里面有详细的解答,质量相当高.
  

- t2 M/ _6 p7 H& s8 X第二章"?舛?"
这是这本书上册的核心.
9 d* m9 W# t, J* j7 r8 r测度在这里的讲法,
* e2 o/ F7 |! W* c' \从环上的测度讲到测度的扩展,
5 L0 r3 m7 q; {% O) N/ [6 b9 i基本上属于
  @! M" w  V$ |* w  N* B6 c. n10.P.R.Halmos
3 }4 _5 w# G2 ^& C6 O  N- }) u"Measure Theory"(GTM 18)
(中译本:测度论)
的框架里面.这本书实在不敢
评论,自己看吧!
0 x0 i) \" |. z$ Z; ?3 j) v' C% e这本书里面还有一些精选的习题,
有胆子和时间的话值得一做.
" @( C- f9 }+ u* g集环的理论
一本相当有趣的书可以看看,
% a8 I7 M. A% n) j0 b- p2 E就是
11.J.Oxtoby
Measure and Category(GTM2)
7 w5 Z  p1 }& E8 n8 n这里的"category"不是指代数里面的范畴,
( }' S2 `" y2 J, @7 v而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西.
现在可以来谈谈
12.周民强
"实变函数"(第二版)
; A- I$ S; e6 d) b# r这本书写得不错,总的说来最大的
; k" }3 t5 d2 m& m  `2 l好处恐怕就是习题很多,
而且都是能做的习题--复旦的课本
里面的习题初学好象是难了点,
特别是在没有答案的情况下:)
还有一本很好的书,
可惜至今只打过几个照面,
0 d& y5 T/ R8 I0 H但是可以肯定的是绝对是好书:
7 N' ?% |% u* L4 O2 q1 o13.程民德,邓东皋
"实分析"
我见过这书里面的一个测度的题目:
$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)
\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,
还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!
% H: }8 s2 `- W, T2 J* i+ ~此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.
需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分
, _  @* M- R4 Q% Q; e- r的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S
的差别还是有用的.
  G, N' R7 A* W. s5 b1 L( ^  
* p: T  ]8 H0 \9 n第三章
这就是真正的实分析了.这里面应该说
# I8 p  o, P2 l# f% L每一节都是重要的.
在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑
下面的:
14.I.E. Segal, R.A. Kunze
, y! F* W7 E& [! M7 s+ U5 B"Integrals and Operators"
和
. r" b9 B! h$ {15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin
"函数论与泛函分析初步"
- A8 i" u% A. {2 p$ G3 V* R1 \7 K4 `这些作者应该说都是相当好的数学家了.
) O( V4 P7 p. N2 g! c0 }7 F5 a比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,
2 E0 w. J% V, k. V  C( B! y最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的
/ n. H4 J7 V7 e3 O' |东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.
最后问个小问题:
"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"
这句话对吗?
  
在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能
先建立积分理论再导出测度的.比如下面
  B! r; D! h1 a4 p& Z- p, p( W 将要讲到的
* Q4 ~8 N/ j$ Z3 w8 p3 G 16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙
* J' n$ T4 n7 {& {. @4 V "泛函分析第二教程"
里面就有一些这方面的内容.
此外还有象
17.夏道行,严绍宗
"实变函数与泛函分析概要(?)"
(上海科技出的那套教材里面的一本,
, f- B8 ~/ J- V' G# X: a 理图里面有)好象就是按照先积分
$ f5 f# W! }6 i( C/ J: n$ O 再测度的办法讲的.
另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy
* G7 F% g, I" ~; X* t! l3 X "泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)
这也是不错的书.
对测度感兴趣的话,还可以看一些
5 N1 R$ @% q0 j- q. N  G 动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)
" k* W0 ~6 j6 P 的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
5 S  Y, [, B4 {& C9 k* y  
/ h1 O/ f# e% m& R" t7 n& d第四章
从这里开始算泛函分析的课了.
不过这一章是不是一定要以这样的
9 W; f% o1 A! V; ?篇幅在这里讲值得讨论.
8 {& \5 V- d9 H! r$ W其实很多度量空间的概念在数学分析
课里面就可以解决掉,在这里应该只要
* H- e8 U/ \: C; m2 A强调有限维和无限维的差别就可以了.
上面的许多参考书在这里一样可以用,
还应该加上的是:
2 J( H3 M( J+ i  |; o19.汪林
0 J9 ?- [2 Z- B# e8 y1 C! y) H"泛函分析中的反例"
第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,
整个泛函的体系都可以建立在上面,
. N7 F8 W* C7 e$ C+ [理图里面有一本
20.夏道行,杨亚立
"拓扑线性空间"
不过那书基本上是第二作者写的,所以建议
有兴趣的化还是看下面几本
9 [5 X7 A7 F3 n" A- O( O21.N.Bourbaki
"Topological Vector Space"Chpt. 1-5
布尔巴基写书是一章一章出的,
8 v1 Y! K% j2 d这书能一次就包含五章,实属罕见.
" g8 V9 ^, i$ O- r8 a$ ]而且估计今后也不会有后续的内容了.
  
& ?0 @# a: r% f& ~3 GGTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
22.H.H.Schaefer
8 S; z0 ?( f) O5 w- B8 CTopological Vector Spaces(GTM3)
! V, c7 A# @2 p3 k8 r和
23.J.L. Kelley, I.. Namioka
* m0 C6 S9 J/ X, iLinear Topological Spaces(GTM36)
5 ]5 d# ?4 e" B, z( L6 _  N6 `; Y6 R2 i; ^16.里面有一章也是讲这东西的.
其它许多以"泛函分析"为标题的书也是
) f8 ]0 U' S5 M以此为出发点的,比如
24.S.K. Berberian
- B' R6 a" K7 {3 ]! G/ j"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
- X. h( {$ e- X; W( X- n" ]& ^, ^Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"
是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
或者
; m. N' V/ \4 \" M1 |. l2 i25.W. Rudin
"Functional Analysis"
9 Y( ^- L3 Y/ i) f# E' I这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov
"Functional Analysis"
9 K# Y+ U5 @" V1 y1 R" e(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)
& R* B5 v" O7 G不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,
4 P, ]* K2 E! g4 ^# H2 g这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕
5 w2 l9 E; y6 D7 N就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,
中译本的质量也很不错.
此外还有
7 @, f, R+ M3 o" q4 u) b+ w27..J.B. Conway
"A Course in Functional Analysis"(GTM96)
  
第五章
这一章讲述Banach空间上的有界线性
" X" m6 Y& \6 Y% Y2 Y  g算子理论.这一内容的框架性著作
* t! l/ p* _. d4 ^- r, [' h毫无疑问是
6 ^; J( d% E8 r2 B28.Dunford,Schwarz
"Linear Operators"I
+ p; w! K- j$ J' v+ p这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.
注意有一些结论是可以把Banach空间减弱
) ]6 W( o' v: _为Frechet空间的,不过好象据说实际应用
中除了广义函数空间是个Frechet空间以外
其它用得并不多.
4 ?9 [: x% @$ n+ S( T前面列的各中标题是泛函分析的书这里
都可以用.
汪林的书19.里面有许多有趣的例子.
不自反的空间的例子在系资料室
可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上.
% \2 |9 Y# Q' r7 j# m+ a再补充一下前面漏掉的一本书:
' B1 \8 }( }0 Y- z/ R1 c: f- h29.W.Rudin
"Real and Complex Ananlysis"
在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,
这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法
在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,
/ C' O0 m& @3 E# X老的版本总书库里面有很多.
$ u5 G, d& Z2 U+ p. c  
; j1 l- ^9 F4 X: b0 k/ T第六章
8 v& w, H! z7 R" oHilbert空间由于其上存在一个内积,
可以发展的性质比Banach空间要多得多.
从空间本身来讲,线性代数学好点对
本章前面几节有很大帮助,学的过程
) c0 e: d' T2 Y' S* Z中密切注视维数无限导致的各种反例
就是了.
算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些
0 b) Y1 b4 {$ m- R有限维的性质是可以推广到无限维的
3 q, Y: W4 e1 F对整个体系的理解很有用.
本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,
如果第四章能省下的点时间的话还是能够
" d9 K# V* W7 x& y讲一些算子谱理论的.
0 L( x5 n. V# [  X1 F' [/ K这里可以做的习题非常多,特别是
; o' c& n+ C8 F. Q30.P.R. Halmos
9 U3 t1 s5 h) e" C/ P, ?A Hilbert Space Problem Book(GTM19)
3 F( S# w- l4 G' Z, [* o2 ?+ _算得上一本杰作."The only way to learn
mathematics is to do mathematics"就出自
这里.
  
再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)
在16.里面有一章讲些基本概念.
  `8 j9 @) G, n8 C这一块的文献也是浩如烟海,
因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书,
31.G.K. Pedersen
"C*-Algebras and their Automorphism Groups"
这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.
  @1 [, H0 R- F再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整
个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,
9 O! y/ o' \$ B特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理
: V: R7 Q' m! [9 W的联系,可以看
% \& C0 T1 Z  D7 @6 e# g32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici
; K. S4 p  Q" v6 M4 S"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"
AMS Notice,v.44(1997),No.7
33.A.Lesniewski
( B: ^5 T( G4 @/ H1 v0 f"Noncommutative Geometry"
AMS Notice,v.44(1997),No.7
. r, h) }8 b' x  l还有
34.Irving Segal
  B7 b8 {2 N( M/ y! XBook Review, Non commutative geometry by Alain Connes
AMS Bulletin,v.33(1996),No.4
" K3 |5 V# m8 n( H+ ^因为
2 v/ d& v" W+ ?; s' B4 j/ b( G35.Alain Connes(Fields 82)
"Noncommutative Geometry"
可以说是这一块的里程碑式的著作,
(33.中甚至说今后人们会用今天看
Riemann的就职演说的眼光看这本书)
) K5 y: D3 j( d& T所以对于这本书的评论很多也就
0 [. x! o% Y# f2 Z  ~" Y3 v把整个分支都评论进去了,不妨看看.
2 @& I& i- o6 E  W, L; r4 HJones说这书是"A milestone for mathematics.
7 L" }  ]6 W& z) P9 c: kConnes has created a theory that embraces
' v% n2 _" @; z% @- ^8 z) \most aspects of `classical' mathematics
and sets us out on a long and exciting
4 |: x$ S+ v  bvoyage into the world of noncommutative
mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面
( z' U: u, Z5 ?' f4 ^1 ^4 {有一些批评,也值得注意.
  
12.的作者J.-P. Serre成为第五位
既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.
(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)
! t' M5 _' p3 N1 n  
+ D' O5 k$ M( U) `0 [第七章
6 ]% {  ^( h3 m; p这一章一般不讲,在本科阶段不讲,
在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?
6 k0 V5 K& y" [/ A9 c$ e主要问题是,就事论事地讨论广义函数
7 O# I8 a  O/ k- R! P0 [恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架
在偏微分理论中的应用.现在的状态就是
你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没
听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认
复旦的偏微是很强的...\\sigh
在广义函数的标题下最有名的应该是
36.I.M.Gelfand等
. q  }- P3 ~% f"广义函数"(Generalized Functions,I-V)
大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,
& j& K: z, t- ]5 \5 b% [, J英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是
0 E  e  v" G2 \8 v! f5 H0 r8 ^: [2 ?第二本最有意思.
3 q5 U. N1 p% T* _* V另外还有两本好书,不光是这一块内容,
从整体上讲也是很好的泛函课本
37.K.Yosida(吉田耕作)
"Functional Analysis"
+ U  f& u% e" A8 x& |* D他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,
2 `2 j% T, B$ x一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版
去年世界图书刚刚影印.
38.H.Brezis
9 x5 k) b1 ^/ Q) L1 l- m: z"Analyse Fonctionelle"
Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,
# y: N9 o, H8 B6 @4 f非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.
. b7 G- k3 g' B& M- H) g如果能念法语的话绝对值得一读.
4 o9 n( @2 B3 S在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,
特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.
- l/ x" [$ S0 D  v7 h  
==============================================

* U/ d- b& z. F) z9 V. Q* d6 _. X抽象代数部分：
+ }/ q. u2 B$ |; U1 A  O
( ^/ D! k3 s* e3 P3 U# p7 M. a有的地方管这叫"近世代数",
反正近不近各人自己看着办吧!
从历史上说,可以认为严肃的讨论
6 |( |) \& J' ?4 u) ^是从伽罗华开始的,他在决斗前夜
, R4 h0 F' L, ^# G( j写下的那封著名的信件(里面有
9 l$ _$ m  M! ^4 W"你可以公开向Jacobi或者Gauss
) M$ W* m" ]2 g1 U% [$ n提出请求,不是就这些结果的正确性,
而是重要性,给出意见....",现藏
法国国家图书馆).在后来的发展过程
中,代数结构话的语言逐步渗透到
数学的各个角落.到今天这已经是
1 @* g4 @% s, f/ a一门无处不在的分支了.
不止一个老师教导过我们:
在复旦,你们受到的分析训练将是
很多的(充不充分要看各人的要求了),
8 f6 \" q3 N: K1 t! e但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.
1 K9 d) N) l- b1 O: |; |7 P  \0 e现行教材是我的本家写的,
* k% F; _# t2 Y) i: w2 Q  U总的说来作为初学还很可以一读,
原因将在下面说明.
3 e; I6 y* \2 ^  
( W# a! E! a. ]7 M% Q3 B北大的课本是
1.丁石孙,聂灵沼
"代数学引论"
这本书的特点和北大的那本高等代数一样,
3 _" V/ ^) ^0 K( e. k, [就是没什么自己的特色,原因是这本书从
8 q5 I5 O# h7 _+ x- T体例到习题在很大程度上参考了
0 y( z0 _4 C9 g1 i6 e9 v2.N.Jacobson
# K$ a) J" H+ A3 J4 U/ G"Basic Algebra I,II"
, i' ^% e$ O9 m! G( W$ f! W这书在总书库里面有不少,
3 T; k) e1 w2 @: I理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫
+ z4 e$ Z* W) j9 i"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.
Jacobson在代数领域也属于权威,
是华先生同时代的人.这本书从观点
上说是相当现代化的,比同作者的那本
3.N. Jacobson
4 o7 \" p, r. b6 {2 f( i7 v1 i"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)
2 V- Y& D/ V# X) v5 M(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)
要改进不少.
有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去
比较一下.
  
从习题的角度上说,可以看
4.徐诚浩
"抽象代数--方法导引"
" q7 z, ]4 ^  ?6 N这本书可以说比较适合在复旦学这门课.
可以罗列的参考书还有很多,
3 r" \; w0 x" H- \$ i# h综合性的课本有名气很大的
5.S.Lang
"Algebra"
Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过
4 [' p9 E$ w/ P0 S: b9 VAMS发的Steel优秀图书奖.
6.莫宗坚
"代数学(上,下)"
$ A5 d5 x7 X# b北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看
过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书
& E. l9 R2 Z  @推崇倍至,认为比1.写得好.
7.熊全淹
* ~! T& ]* t9 F" m5 l  N"近世代数"
3 W$ X: S1 W% `2 ]9 c2 U8 D! B这本书的好坏不敢评论,
6 }$ \. K. ~# p不过这本书有个很大的特点,
就是作者收集了很多小文章,
比如许多American Mathematical Monthly
上的短文.依他开列的参考文献到
系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.
  
  T1 {+ Q: ]9 {6 ?! [0 V, g其它的就是比较专门的东西了.比如群论
就有影响过无数学者的
6.库洛什
"群论"
注意这本书第二版和第三版中译本的封面
一模一样.
; U0 E* y( `$ Y  t6 t* U5 e或者段学复先生的导师Robinson写的
2 D4 L" ~% q; ~* Y7.Robinson
/ p1 v  t( b1 C7 t' D4 J"A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,
) p4 h) K' l8 h0 p7 L) I不过我是一窍不通的了.还望这里的高手
多多指点.
对于Galois理论,有一本
) m: q: g, z! N0 Q8.E.Artin
: N4 d0 `2 ?. A, T+ Y4 q6 S. W6 v"伽罗华理论"
非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.
! }1 {& A1 B4 ^3 g3 f4 w还有
0 q0 d( k/ p3 T! T. K4 x; i6 Y9.Edwards
- A3 P2 G8 a5 |: \9 ~"Galois Theory"(GTM 101)
这本书很有趣,它是循着Galois的原始
. G  @- j9 }7 q1 B想法写的,因此和一般通行的教本里面的
4 ?4 }" g9 t' v: F, J; I讲法不是很一样.

=====================================================
; h1 ?8 V' P, k; w  
3 ~9 |* q$ U; s$ a4 i数学物理方程部分：
; |. P3 j; ]7 V- Q7 |" K
9 t$ \2 O& U5 y学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),
故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有
$ Q( D: O# e% j+ q2 z看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本
/ }' b1 K* X1 s相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计
等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.
" @, @9 a! R( R注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?), Ｋ文*,???
! h6 x  G4 G/ `, W( I. y% i"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)
- b  X0 y$ L& z5 |; i% ?; \( L这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.
特别指出这本书的原因是在复旦的课本
中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"
& Y9 I* w7 h# ^, h) P9 d  z; Y习题解答的,那是80年代初,油印本.
0 _# U# k" t* _, k* n7 h5 \  K, V能不能搞到就看各位本事了.
3 Y3 v4 z$ M6 g6 ?那本解答对于做作业是很有帮助的.
比较容易找到的书里面,
5 x3 F9 U. H3 H& k% D+ N" M, R8 d" b3.陈恕行,秦铁虎
# ?6 S# A& ^) v6 o6 Q' R"数学物理方程--方法导引"
$ z% v$ _- U3 E7 M" g7 y" i" d是一本非常好的讲习题的书.
. o1 g/ V* {  m0 D9 K里面的习题如果能够全部做一遍的话,
) i, F( g3 o, k$ x) J3 z应付考试是绰绰有余了.
  
发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics
6 w" T% z( @' Y' M; p/ n  {说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年
里面有翻天覆地的变化,古典的方法
和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾.
& M7 L7 y8 J7 R& W, U, [' o5 Q我想说起古典的,
4.R. Courant, D. Hilbert
& [- i! C; @2 V: l( Y4 G8 y" S"数学物理方法"(I,II)
可以说是毫无疑问的经典.
按照洪家兴老师的说法,
# f' Q0 ~5 c  \不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块
* @8 [6 e, [) ]- y- f这本书里面的相应章节都是经典,
问题就是这书放在一起你是没办法
# G! U8 p0 T1 A' |) |" n) K, B当教材来学的,所以只能有空翻翻啦....
经典的教材,大概可以算
5.彼得罗夫斯基
"偏微分方程讲义"
7 n$ f. j4 k9 o+ T这本书从风格上可能和他老人家那本
, E1 b7 w( I/ V; |2 I  E$ Q"常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容,
象Cauchy-Kovalevskaya定理,在
( L: v* Y8 q% s, z, [4 x, l1 ]  P复旦的本科也好象是不讲的.
- z. ~0 l. E2 B9 \0 H# a我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就
8 u$ @' b8 Y+ Z/ q不怎么做东西了,主要的精力一直放在
为苏联数学界构造保护伞方面.
- O' D7 r- [1 y3 N' G; @1 z* h- N他最后去世的时候是这个样子的,
某天他到莫斯科市委会去开会,
跟人家大吵了一架,因为基础科学
研究的经费的事情,结果出来的时候
5 c/ {5 d7 ]7 a在大门口突发心 」Ｈ*,他的最后一句话
是:"我嬴了".
有这样的人存在你才可以想象为什么
人家的大清洗没有对科技的发展有
8 k: C# N+ E# D% i太大的影响.对于这个问题,建议看看
' i- J& F) ^. H8 c; x  h) J6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432
4 i$ W8 k* S" u5 q6 W! |和
: j2 ]: Y0 ?1 t4 s; q. t7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217
9 H! G: i$ v) {, L% ]: Y  
还有
. `( D+ K' V: g8.O.A. Ladyzhenskaya
"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"
和5.一样,都很经典.当然你要说它们
! J! x6 P$ Y1 I% ~! D& o) P陈旧我也没话可说.
, J) `; k: x$ @6 Y7 f- }; N既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,
在这个方向上我以为
9.李大潜,秦铁虎
"物理学与偏微分方程"(高教)
5 C) ^/ M5 Z2 X# W! o还是很不错的,上册已经出版,下册
# `  ]; R3 i3 j+ m: G' m' x- P也就要付印了.该书的起点并不高,
3 d( Q0 W; Q$ c7 L" |, p, @所以应该比较容易看.
据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,
- K: e+ R5 F( W0 F认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.
从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
9 `) C6 G* b" O3 t9 ]) ^本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的
书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.
比如
& ?3 |  p8 F* q6 _0 \7 P5 X10.L.Bers, F. John, M. Scheter,
! v1 ~- p4 Q% R"Partial Differential Equations"
2 c% m9 \4 @/ b: P) G: QBers是个很有趣的人,
可以看看
11.L.Steen, ed.
"今日数学"(Mathematics Today)
里面的文章.附带说一句,这本书是最好的
数学普及读物之一,绝对值得一看,
中译本的质量也不错.
" u  h7 f: I  [" a  
- e, F) d$ i' M) C. F12.F. John
4 l, @: B5 O2 {5 N"Partial Differential Equations"
3 |2 c# ?! @4 A! C! E/ O9 z5 f这本书系资料室肯定有.
) D: v& O7 e; d( x$ P( V8 U剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚
印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
3 v. @5 @" [! q' B; R& V13.J. Rauch
5 T' p# ]3 k) F" c4 Y"Partial Differential Equations"(GTM128)
' P/ g9 B& o- O14.M. Taylor
"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))
引G. Lebeau的一句话,这书比
7 B6 o' O* x% H# i4 `. `: f15.L. Hormander
3 {* R; ~0 f) M* E+ z"Linear Partial Differential Operators, I"
要好念多了.
6 a7 y/ _* O0 d  j- i% f(当然基本上人人都是这么认为的,
7 ~4 I  v" h/ a+ \! k! ~) Q1 |3 x只不过这位的来头比较大而已
--法国科学院通讯院士,46岁)
3 b- A0 d1 l3 h1 G1 g7 r, |  
3 r9 E1 o* h/ i这是讲偏微分方程的课的名称.
顾名思义,就是说这里的方程原则上
( D" m: D! L5 n) j0 M* H* B; k/ D最早都是从物理里面来的.
- v. m3 D- p( j* q这个分支里面的东西丰富之至
  p: ]4 I1 [+ c(当然往反面说就是有时候会显得
结果比较零散).
' h" F3 n6 ^8 M0 l9 t6 j, \3 H& t& x现行课本是
1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿
: U0 m/ r! {7 ^' ^3 Q"数学物理方程"(上海科技)
7 k7 F0 G! }2 w这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,
% O5 }: g/ A; h6 F: M2 u弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.
! l8 W" l+ O' I; f) c& \7 Y注意那些经典方程的推导里面多少有一些
近似的过程,这其实从某种意义上反应了
, R- w2 c5 P; m5 h! E. ~, u9 ], l所对应的微分算子的某些性质的稳定性.
比如,对于经典的波动方程,3维及以上的
. \3 C/ e4 ]! k, K2 i奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作
经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个
# {' W" d; T3 a; C证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,
& B# g2 ^1 U1 P  C; j) E7 G差不多二阶双曲方程里面只有波动方程
有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程
6 X# L: P+ O4 O* F* _; p的推导里面是有近似的,这说明什么?
一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,
常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很
1 l+ Q" t! v9 q' k4 {( O有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来
证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有
存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,
: }+ H9 B* E7 O7 \0 W5 @0 W" n可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!
  
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# w/ S2 J3 Q7 R6 b- G
% o% o" ^$ m5 J拓扑学部分：

+ z" x, B0 n' a1 t+ A. R 我拓扑学得很差(从总体上说),
因此这里我也说不出太多东西.
4 u1 Z- ~: d6 d2 ^ 大概也就点集拓扑还算过得去,
我以为这一方面我们的现行课本:
0 |+ f; N" r# L/ \- I, g 1.李元熹,张国(木梁)
3 N* X3 U* _- J% }  |' x1 K "拓扑学"
的前两章还是不错的.至少该讲的东西
都讲了,而且后面罗列(我想不出还有
什么更好的形容词)了许多习题,
做上一遍是很有趣的一项工作.
中文的参考书里面好象
2.熊金城
2 d; M  }/ {/ w! _7 k4 H2 x "点集拓扑讲义"
& `# D3 |* }+ l$ w# d6 I" `& t 是比较好的.该书也有些名气.
& h- t3 w' P: @6 ?0 p" ~ 不过要好好学,可能还是看下面的两本
. ~- S8 f; O" y8 C4 ]. y 比较经典的书:
! ^6 ~' m9 L/ w0 M% }/ T 3.J.L. Kelley
$ p. P# V2 Q% u! h0 a& y2 s "General Topology"(GTM 27)
* n* e! _# A: ?- p9 p* S# }: } 此书名头很响,55年出版的时候应该算得
7 R. J" U8 Y8 n& ]$ O% U! ` 上是把这一领域里面的结果做了个
很好的总结.该书是想写成课本的,
因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...
编号.只是....真要做起来未免有些困难.
6 V4 \" `- ?, O8 H  U! w  o 听说过这样一个故事,就是曾有一位
华裔数学家回国讲学的时候于酒席间
说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的
% x) T; [; [2 z6 Q1 D  \" {/ \ 书,而且要习题全做.结果大家都笑了,
% Y$ p8 S6 F& I( O3 D 因为大家都明白这目标不是很现实.
我个人的经验是,在那个学期陷入各类
考试的重围中之前,还做了前面两三章
- m# `, _# T' k+ j, ` 的题目.是比较困难,但是做起来也非常
5 n/ }; a( p  A) p) k7 \ 有趣.
9 Q& V) I6 N3 y4 m  
% B1 Y  }/ [- A" a9 Z- ]$ O再补充一本中文的书,内容和1.差不多
% \. K' ]) N* S4.尤承业
"基础拓扑学"
* D7 S  k0 u7 u' ]是北大的教材.
+ ?! v. }: _' |6 z5 U7 r* o" S5.I.M.Singer, J.A.Thorp
"Lecture notes on elementary topology and geometry
) t! }5 Y9 x) c- E# b(中译本:(基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)
这是本极好的教材,应该
! F% u& p; k9 ?- x可以用深入浅出来形容吧!
; _& R4 f' ]$ N% m! w第一作者Singer就是和Atiyah
一起证指标定理的那位,说是重量
9 ^3 ^* r- B9 |& i  Q; N级人物当无疑义.
如果你只想查结果,我觉得可以去找
) B4 y" O) v6 ^. l6.R.Engelking
"General Topology"
/ _2 N% F" Y; \' A2 @这书是七十年代末写的,内容翔实,
! G% l- E0 A+ r. L; q2 U至少对我来说是有包罗万象的感觉,
3 b, D, \2 c+ Z/ j7 i: @当然对做这一块的人就不一定了.
, g1 _- P% s/ W: G2 k& X9 v2 ?  
按照萧先生的速度,大概第二章还是能
讲大半的.
; K7 h' L- U( |7 K2 e这里属于代数拓扑的起始部分,
+ _9 X% r8 n( X参考书一下子就比前面的多多了.
讲代数拓扑的书,可能
7.Greenberg
"Lectures on Algebraic Topology"
属于写得很通俗易懂,
配置合理的那一类.
+ N/ z  Z4 z/ Y7 B( U1 Q" a还有象GTM里面的
8.W.S.Massay
4 I7 h2 x; E( n7 u% L, `"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
也是写得很好的书.
3 W/ k6 s2 G) A; b+ E我能写的大概就这点了,
0 S: i5 j0 ]1 k  I. u, P还望大家多多补充.
7 L: a1 E* M# H1 G* q& ?  
3 @( I: M- l! \' x0 X) h发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics
" w2 Z# X2 ^8 K$ T: V0 w+ F" d/ [- U! x这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。:)
. A" B* Q* Q2 M( P7 G) O拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展
的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为
当代数学理论的三大支柱。
如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看
《拓扑学奇趣》
巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著
* T  t4 r% T6 w4 X7 o3 p, x这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定
( l, j- P! J) p! j# g$ \数量的有启发性的题目。
( `6 E9 v0 j5 @  i# R& kM.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。
由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，
" Y" W% Y8 [6 A# ?2 C+ @! y) L) _有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，
4 w8 ]) M, _7 M4 g所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。
$ H! C: a$ m6 C& Z* M/ s7 f由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
# U2 u, Q# H: I% F: E+ {  
======================================================

以下是北大的一位师兄做的补充
1 @: ~# I) u# Q数学分析
欧阳光中,姚允龙
5 L# G) g1 A  O2 `( i"数学分析"
这本书在外面的口碑不好，错误不少，据
说南开的一位老师曾笑称此书的作者为"老
4 k4 w6 a; y0 i糊涂"了。
5 C0 R8 m- d( ~7 \高等代数
9.丘维声
"高等代数"(上,下)
本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作
经常至夜里二,三点.
2 l6 q) |1 r4 R1 i' V单复变函数
11.张南岳,陈怀惠
"复变函数论选讲"
& \/ W/ n$ q/ l, k) t, A5 N- w这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但
文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.
: {& q- P5 s$ y. R0 c微分几何
3 Z4 R6 a/ M* a) {$ d8 G5 I陈维桓"微分几何初步"
这本书确实写得不很清楚,陈
! ?% a7 y# m0 h5 {还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但
还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意
( e3 M& y; t5 J/ T# R1 J9 I  P=============================================
  
7 k0 W5 {' n/ R, w2 C大学里面念过的本科的课程,
4 g. K2 w8 z2 \0 B6 ~$ K基本上就全部写完了,
1 w9 u& u8 B' @" W2 s7 i. h( T$ ~7 {感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了
我的"酸"劲.\\bow
" z5 y; M3 i; }! ?0 x. F/ T其实严格说来这里面除了参考书的名字
2 T9 O2 J) d- |和简短的评论外,我还写了一大堆从某种
意义上说属于"题外"的话.我的想法是,
在我的意识中,数学不光是那些定义和公式,
+ b6 p' z" w* E6 t) g8 \) v% D数学还包括了为数众多的数学家
0 [& k6 M( J4 ?; \7 ~4 ]的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节
% z9 s. l1 s& b8 E是做不好数学的,我以为.
* W+ u6 y5 C. o' p6 W3 s从技术上说,大学数学系的课程还有很多
没有写到,即使写到的这些,也有很多
& J: F1 Q( H0 R$ }需要补充,修改的地方,只不过...
$ |! [4 G+ q# ]" B' e( O5 K4 X: o我是没那心思了:-)至少在近阶段.
- b# t. u# q' U* H希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们
多多贡献,在这里先予感谢!\\bow
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
% v; _- ^3 i1 Q5 l: k" c) L(为避免任何对于\\bow的数目产生
误解,文章到此分成两截)
今年一月,在经历了三个月的情绪极端
低落以后,我打算开始重新规划自己的
未来(感谢上帝,这三个月总算没让我
精神崩溃,甚至还算干了点事情,学了点
6 p, d* p5 \7 `3 t) a3 ~4 D东西,呵呵...).在处理了一些专业上的
* Y0 H- C! M6 f0 f2 [, u; j* V' W原则性问题以后,想着自己还能干点什么,
4 u  t$ G! C+ L+ s7 R/ V这时候就有想到了BBS.
BBS实在是个好地方,自从四年前在steve家
上了最早的日月光华开始,已经差不多有四
' c+ d& y* c0 h年了.(从来没有想过,上BBS的第四年里灌的
水是前三年灌的水的总和的三倍.
! z& b) }; H! h& N可能和心情有关吧!)
突然想起可以在这BBS上灌点稍微有意义
点的水,去年底写的那些94理基的故事
/ c7 y( y  X, J- x从效果上说,让我很好地把心情整理了
) m7 C7 E& O# x( H2 T& j" m一下.也纯数偶然,就想起来写这参考书目.
& x/ u; b  ]( Q4 u! E应当说,写这些东西还是花了点功夫的,
从构思,找资料,到一个个字敲进电脑,
修修改改,一门课总也要花上一两周时间.
$ j7 l8 @' ~4 N3 w因此一稿三投连我自己也没有觉得有
' V3 z4 Q( i  T" `  u什么不妥.好象这也不违反站规吧?
写着写着也就到了今天.又是一个可以做
/ @7 }5 y+ r/ i5 X9 X+ ^2 L; e: D"结"的日子.感谢各位这几个月来对我
# O. b, |& Y3 D; G9 [4 k5 a的关心,帮助...还有宽容,感谢shun, Setver,
zyc, steve, cavalry, doskey, anti, fit,
$ r6 F: J+ c; Lstandby, dhj, compass, beryl, littlebaby,
darling, Virtual, zhmao, clamp, stoneheart,
+ s! B3 O9 c4 Y4 g8 e5 _+ R0 `/ h3 cmax, zypher, leifen, tiny, xdj, zych, txyz,
6 K# h2 F/ [$ |+ T& Y2 h& u) uDblHorn, julong, shasha夫妇,fancier......
还有许多不在这BBS上的朋友,......当然,还有milka.
' h8 Z# i2 v3 @5 H* v希望明天的太阳--无论是巴黎的,
- a0 p' q& Z5 ^. S0 [9 B2 _" W- p
$ T) n2 [2 ?( r& y1 o$ j! e还是上海的--升起的时候,
大家都能有个好心情.
8 q2 i3 m8 F% F; c再次谢谢大家!\\bow
2000.6.6 2

hylpy

晕啊，此文已经在网上转载了N次了，越转越不全越变形。

弘道

谢谢楼主……辛苦啦！