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绝对人性化的等周定理

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junawat        

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    [LV.2]偶尔看看I

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    inuoguahlb
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    1#
    发表于 2014-3-23 18:38 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    任选一个平面图形,把图形用直线填平(方法简单,见cut-the-knot org do_you_know isoperimetric shtmlorg的如何证明fig 1。或者搜索维基百科的等周定理的初级证明,他不是全对,但直线填平是对的。把曲线拉起来可能形成新的凹陷,要回溯填平)
    ' M$ I3 j  `8 x! c: A# H# f6 Q
    0 Z+ g' t- ?3 Y/ h4 c把新得到图形的周长平分为四段,连接分段时不相邻的两个点,形成线段f,然后连接另外两点分别和线段相连,所形成的两条线段分别垂直于f(有可能这两条线段垂直于f的同一点,有可能不) 999.JPG 。那么图形就被这些线段分为四块,每块的内角相等,都是九十度。取这些块面积最大的块取代其他三块,拼起来的时候内角还是内角。$ P7 r% _% e8 i) [

    4 ^+ q3 x3 V$ H; Z1 c这样得到一个新图形他的四部分对称。把图形四块的对称线的相交点当成直角坐标系的o点,对称线放在横轴和竖轴上(这是为了指明某些方向), n/ r2 P& b4 F9 f
    (1,2象限对称,2,4不对称,1,4对称,2,3对称,2,4不对称,1,3不对称。。。)2 y6 T6 N9 m) r
    1 X) w1 n8 q$ H9 S
    因为四个象限的图形对称,都可以跟着第一象限变(在我下面证明里可以这样),所以大部分时候我只谈论第一象限。' I% d+ @6 Y+ G, g( I0 l; d

    6 W5 P+ I5 m( o& o  ?! W我所说的周长都是围着整个图形的。
    , ?2 u: D8 W- D2 Y2 o2 x$ |
      ]. R/ S+ ~6 F# V1 h第一象的周长被一个点分为相等的两段,点和o连接成线段,其他象限也这么画。。。。. P& D  M) G5 h2 x/ Q

    999.JPG (17.67 KB, 下载次数: 192)

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    zan
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    inuoguahlb
    mnilofb.JPG - p/ k. q! k+ |( J, S
    我的思路是调整任意一个平面图形的面积变得更大,周长变得更小,不过也有可能不变,但是最后必须是是平面圆,即任意图形不大于圆。7 s6 ], Q" X/ t1 j

    ' ], H2 |- O% A! g图1一根线段1穿过图形内部,另一根线段2在图形的周长上(可能存在无数根),两直线都要相互平行,记录下两根垂直距离最长的线段,该线段碰到周长两个点以上都要以该线段取代该部分的周长,然后画另外的线段但是和线段1的夹角不为0,因为两个缺口的角度不同。这样下去遍历了图形的一周后(图形的周长不是无限的),得到的图形没有凹陷。称这个过程叫填平。- s+ u- h5 Z8 F* v" x8 p
    5 V2 c3 p6 \% b
    图2和图3显示如何将图形转化成四面对称,没有多余解释。
    " H1 P& Y8 x) w6 l* C& l2 e* \1 u0 t5 C- K9 e8 D
    把对称线对准直角坐标系的横轴和竖轴。一个平分点在图形的第一象限的周长上,因为对称,所以其它象限也可以这么做。四个平分点和o点(直角坐标系的中心点)相连。那些线段把图形分成8个部分,就像图4,还要把它们分别标记成红色和灰色。让红色部分和灰色部分分开,红色部分合起来,灰色部分也可以这么做,但是红色和灰色边界上的两条线段必须相同。
    " }4 c( S6 S; v6 K2 m! S! h+ O
    ! ~7 a1 @- b" z2 V将图形在第一象限的周长的中点与直角坐标系的O点相连,其他三个象限也这么做,结果类似图4。图4被横轴枢轴平分线分为8个小扇形,将红色扇形的4个扇形拼一起(类似图5),将灰色拼一起(类似图6),我要将红色和灰色两大部分重新拼起来,为了不增加周长,小扇形拼起来时候红灰交界的腰必须相等,类似图7.
    1 v1 N- A- K$ j0 D- B5 {4 x4 r4 Z, C& r3 Q. [7 ~
    将图7红灰两大块在周长上的交界处的两点连接起来,然后比较左右的面积,较大或相等的一块取代另一侧,使得虚线两侧的区域对称。
    % |* c; y! l1 l" {. D
    1 ~9 `1 R6 o5 C7 D注意我这次得到的可能只是两侧对称而已,但所有小扇形的暴露在外的周长都对称。
    $ N, a9 T2 t1 x8 h
    0 ~1 g4 K2 ^9 f7 w* \# W5 C图9证明:扇形的两周长相对于虚线(本来是蓝色的,压缩后有点黑了)对称,连接周长的起点和终点,偏转连线,连线对两腰的角度如果相等(如图11),那么这个扇形的面积起码不可能缩小。扇形的弧线仍然保留在两腰的延长线之内,并且两个小的扇形对称了。) F# W6 a; }0 G/ {, X

    5 n  ?3 K, d+ r8 i4 q6 N- u% G之后,我就讨论单个小扇形了。见图13在左腰上画垂线(很多很多),红色的指代其中之一的垂线,和弧线(弧线指周长好像更明确)有接触点(可能有很多个接触点)。记录下红色的垂线使得腰最长的那一根,用该红线取代被其包住的那一段弧线,这样便使得面积更大,新的弧线更短。另一条腰也可以这么做。至此得到任意两点之间的弧线不内凹(内陷)。
    - i. y# p8 d( L: X. W- h+ v. h# O* ?. Q# {0 `: U! I
    图12中,如果图8的虚线左侧替换了右侧,他左侧的点分别是13579(无2468),先让1o线和2o线相等,然后让13o线相等,35o线相等。15o线相等了自然也让9o线相等……顺序就像前序遍历二叉树。
    0 ~# p6 J: {  u, |- ?) `4 X/ [' }+ ^; C- G+ j
    至此一个8块对称的图形生成了,只要照上面的步骤做,o点辐射出来的两线之间的夹角越来越小,夹角之间都没有凹下去,弧线突起越来越小,起码最大的平面图形之一就是圆形。6 |: ^# ~. X. r# g* W+ Q, f9 u

    8 d; T9 D; M' N, K0 Q( l* J% p
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