绝对人性化的等周定理

junawat

任选一个平面图形，把图形用直线填平（方法简单，见cut-the-knot org do_you_know isoperimetric shtmlorg的如何证明fig 1。或者搜索维基百科的等周定理的初级证明，他不是全对，但直线填平是对的。把曲线拉起来可能形成新的凹陷，要回溯填平）

把新得到图形的周长平分为四段，连接分段时不相邻的两个点，形成线段f，然后连接另外两点分别和线段相连，所形成的两条线段分别垂直于f（有可能这两条线段垂直于f的同一点，有可能不） 。那么图形就被这些线段分为四块，每块的内角相等，都是九十度。取这些块面积最大的块取代其他三块，拼起来的时候内角还是内角。

这样得到一个新图形他的四部分对称。把图形四块的对称线的相交点当成直角坐标系的o点，对称线放在横轴和竖轴上（这是为了指明某些方向）
（1，2象限对称，2,4不对称，1，4对称，2,3对称，2,4不对称，1,3不对称。。。）

因为四个象限的图形对称，都可以跟着第一象限变（在我下面证明里可以这样），所以大部分时候我只谈论第一象限。

8 G! |* n0 w. @" {" Q我所说的周长都是围着整个图形的。
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* `8 H, u3 S' x# R# m第一象的周长被一个点分为相等的两段，点和o连接成线段，其他象限也这么画。。。。

junawat

我的思路是调整任意一个平面图形的面积变得更大，周长变得更小，不过也有可能不变，但是最后必须是是平面圆，即任意图形不大于圆。
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图1一根线段1穿过图形内部，另一根线段2在图形的周长上（可能存在无数根），两直线都要相互平行，记录下两根垂直距离最长的线段，该线段碰到周长两个点以上都要以该线段取代该部分的周长，然后画另外的线段但是和线段1的夹角不为0，因为两个缺口的角度不同。这样下去遍历了图形的一周后（图形的周长不是无限的），得到的图形没有凹陷。称这个过程叫填平。
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图2和图3显示如何将图形转化成四面对称，没有多余解释。

把对称线对准直角坐标系的横轴和竖轴。一个平分点在图形的第一象限的周长上，因为对称，所以其它象限也可以这么做。四个平分点和o点（直角坐标系的中心点）相连。那些线段把图形分成8个部分，就像图4，还要把它们分别标记成红色和灰色。让红色部分和灰色部分分开，红色部分合起来，灰色部分也可以这么做，但是红色和灰色边界上的两条线段必须相同。

将图形在第一象限的周长的中点与直角坐标系的O点相连，其他三个象限也这么做，结果类似图4。图4被横轴枢轴平分线分为8个小扇形，将红色扇形的4个扇形拼一起（类似图5），将灰色拼一起（类似图6），我要将红色和灰色两大部分重新拼起来，为了不增加周长，小扇形拼起来时候红灰交界的腰必须相等，类似图7.

! q, M" r  W3 }# `将图7红灰两大块在周长上的交界处的两点连接起来，然后比较左右的面积，较大或相等的一块取代另一侧，使得虚线两侧的区域对称。
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2 y$ s& h) c4 M  c1 H: c; }; U' u注意我这次得到的可能只是两侧对称而已，但所有小扇形的暴露在外的周长都对称。
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图9证明：扇形的两周长相对于虚线（本来是蓝色的，压缩后有点黑了）对称，连接周长的起点和终点，偏转连线，连线对两腰的角度如果相等（如图11），那么这个扇形的面积起码不可能缩小。扇形的弧线仍然保留在两腰的延长线之内，并且两个小的扇形对称了。

之后，我就讨论单个小扇形了。见图13在左腰上画垂线（很多很多），红色的指代其中之一的垂线，和弧线（弧线指周长好像更明确）有接触点（可能有很多个接触点）。记录下红色的垂线使得腰最长的那一根，用该红线取代被其包住的那一段弧线，这样便使得面积更大，新的弧线更短。另一条腰也可以这么做。至此得到任意两点之间的弧线不内凹（内陷）。
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图12中，如果图8的虚线左侧替换了右侧，他左侧的点分别是13579（无2468），先让1o线和2o线相等，然后让13o线相等，35o线相等。15o线相等了自然也让9o线相等……顺序就像前序遍历二叉树。
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至此一个8块对称的图形生成了，只要照上面的步骤做，o点辐射出来的两线之间的夹角越来越小，夹角之间都没有凹下去，弧线突起越来越小，起码最大的平面图形之一就是圆形。