数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤
" Z( k/ d, |/ n, w" ~* P& N7 e! }

' |$ s" j& }0 i
; o, ?# X( z& Z( R模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

; F6 }" i- x  W模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
+ w' G) I4 K+ _7 y8 Q6 k/ f! s
8 n& k* V* B' F% x0 L8 @" ?. @模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

' ~) n5 k! d! E( h  U$ w- W6 Z. g2、数学建模问题
; z% F/ c( Q5 T2 @4 M+ l! b9 y
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

" B: t/ C/ r2 @) `( v（1）数据处理问题

•①插值拟合

2 J# `1 o4 t1 Q1 \: {# ~8 T& A. H$ c•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
! g' i/ I3 h$ Q5 p8 R  \- {- j
! u6 O3 x+ b8 O8 c2 A! m0 C•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
" I9 {$ z: c4 i% c
  ^/ J  y: ~# ], s& [6 Y. b( a•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

  ]# I$ M3 L/ X& M5 m•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
0 j; M" y1 K& j& ^; I6 l" C; @' n8 ]
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
! m6 _  `: n# L. M7 R; y
•主要用于数据的截取或者特征选择



+ {0 p2 ?& t4 U+ A) @& U, P（2）关联与因果
0 h# v. }  ?, C/ ^3 L1 I
; S2 f, P( s# e! ]" d6 S•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
, J" ]0 g. Y4 J; U
0 @% A' B; Z; Z+ v1 t# e•②Superman或kendall等级相关分析
8 v# D! s" V; A, U! W
•③Person相关（样本点的个数比较多）

9 k! \3 U: n1 e6 @$ w9 q2 i) p•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

4 h* ~3 I9 J# b5 b6 C
) `& s! q. s4 m
3 Z  U% H( K! k" Q3 @（3） 分类与判别
5 A  u8 K0 y2 _7 W. ]$ z) A
•①距离聚类（系统聚类）常用
; S8 ?  M- v* M3 u1 y& E  b
/ P% l# u0 L% ^( X- t•②关联性聚类（常用）

  r  K3 V8 [  r! m•③层次聚类
) q6 {6 a% A0 H3 @
- s1 a8 @( g/ p* h: [, g•④密度聚类
' W5 E+ y! B7 V8 Z  s& ^% _# X
•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

3 x, e  n. t* S1 j0 u3 s9 r•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

7 V' z! t* [$ `/ a: V1 j# z# C•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）


: `3 \; J+ J: {% K* v2 S9 u
( j' a, {4 f, b1 ^3 O6 I; }$ S
2 z4 n9 }$ t0 _1 a( s& y: m
（4）评价与决策

2 |6 T% I9 ~/ ~9 G8 z4 y•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
) |( p/ l& D/ U
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

1 G/ m1 T; ^: n# d•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

" i; l" O3 x" d& |•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
8 o, B+ ~6 y1 n5 `: s
0 A& p6 a: x; |0 h: o& {8 D•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
2 ?6 ?. d" u$ m* H
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
8 S. @# C4 E7 t  x
( y8 k8 p; i' J1 C: d' b•⑨方差分析、协方差分析等
3 Z- }; ?2 M, P; v6 ]
2 E) ~, Y2 X9 I•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
% x+ ~/ j" j) P, [! i
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
; x% r3 U$ j4 Y; h7 Q
  x( r, ^3 R1 d& F0 W5 a2 K



) o. q/ Y+ ]# ^4 f2 V（5）预测与预报
; d* `9 w! y' g, @$ W2 Y, T
8 d8 b( I5 l4 d2 ]
# K( [* k; Q1 z1 q
•主要有五种：
3 C6 o7 U4 g! n: Z8 Z; k
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

4 p5 O$ i7 q: B- ?- g6 }. V- p•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

2 x: w" y7 a- o" ~2 h9 T. t2 n•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
2 {, S7 M' S' I2 ~
* y% {- A1 f% n1 d' I! v•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络



, o7 E+ y) W+ i. Q: k+ g•①灰色预测模型（★）
  m7 I5 ^( ~% b" F$ p
•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）
( K0 J8 S5 P* D/ n* V7 r
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
, d- n1 ]. M) B$ Y2 h. V& d

) Z5 g9 a/ Q7 I" L  b7 U4 ^$ s6 h
# Q" b; {/ b$ S7 r  K* D% c•③回归分析预测（★）
6 @/ a& t6 U, ^- l9 S4 x: m
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：
* |/ X6 U. X% W  O% u/ D
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

; F$ L. D5 X4 T, q% t•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

1 ?" M  z. Z  ^2 }•  c因变量要符合正态分布
' a3 m6 i! G' E) {4 H  u9 M
( }( D2 C2 b3 T) [# [

•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
* h  ^% ?! L, f2 y, m! ]
) R/ V3 A( p# i4 c0 I

6 u3 c' `! l/ A# g- m7 p& c•⑤时间序列预测（★）
8 n/ `+ {% V) P# v( p# l
8 w, g* p# A8 T! `4 J$ I3 B' a•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
) O, t5 R; l- j9 K1 B0 q
•⑥小波分析预测
2 v% Q2 J& r5 _, q$ }
# z, o5 |4 P) a2 B, b9 }•⑦神经网络预测
& X! [9 E" e4 ~; \+ e$ z. s( d
& O4 G4 g; q# Q9 `% S$ V•⑧混沌序列预测
3 e$ v8 q; j) @, |


（6）优化与控制

4 {# p3 F! l1 J% x, v. L•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

. L( h! f8 {6 p( D" m% k% R7 b•②非线性规划与智能优化算法
3 t# B/ }" @5 O1 L
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划

+ w  I' Q. X2 E$ X. q5 E2 t- e* n•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

7 E1 `: Q, Q" |- }•⑥排队论与计算机仿真

9 E: }- x& j+ V8 t0 ]6 _•⑦模糊规划（范围约束）
: e: v) V2 v. e7 x8 w) t
1 v# j: i9 Q2 I2 j2 S- ]6 m•⑧灰色规划（难）
, y/ \9 a2 ?; \* O" N

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1 A' p4 M4 b. p0 w# B+ j  }作者：ItsL
来源：CSDN

3 I; I. |4 v  Q5 ?
/ u3 T5 m2 w0 ^; J7 j