数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
/ k+ {# I% W# y% `3 a1 o 1、建模步骤
% D9 i. e8 F" E* E( |1 c

# ]  C- r. e- s8 V( ?, h
2 @0 S4 b5 A* F. g  o: c3 |! E模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
+ f# a& S/ A/ x6 N" t2 {
; m: k! m$ i$ f- e# t) G1 [; v3 L6 v& {模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题
6 w; s, [: J# r7 q, R$ r. \4 C
$ k" o3 }; `. d1 t0 N  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题
( F  M$ t# U, r
. \" ~2 L% o1 u# f% g; c4 e•①插值拟合
; F2 y6 i) g8 a
* v- U' c9 f; i6 j8 }* C' h4 ?•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
) Y" S1 Z2 y! t7 E7 D9 @
9 C: x8 \5 i7 @" v0 v. w; g9 g•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
  ]6 O- Q5 S- |9 P
: C- P6 ]8 |2 M8 }5 ^, Y6 e•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
# A/ X5 Z8 t- i0 b4 q
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
6 s5 T1 b# @3 x9 v: o
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
! }; A" ^5 ^: a: }' D
5 ?' n; P; {$ i! x* K% k•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择


  }: E, `4 }1 G3 w. s$ u: d/ p
  F! M7 q0 e6 q1 Z' ]; q( n（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
9 L% p+ U, b. K
- e7 D. t+ ^6 j) O$ a; @$ y" V8 A•②Superman或kendall等级相关分析
$ p6 C7 P! b2 }/ z
" X" W6 c/ a' n8 N& [6 b* k•③Person相关（样本点的个数比较多）
# Y* s0 {! q* N' ^$ _
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
4 O$ K! V8 y! d" t) F) R; G
8 W+ y4 l5 T' P# ]$ V9 a, J

+ ?* c+ b. n, z（3） 分类与判别
& V( y) E9 g$ h3 {- K/ L  O: Q
•①距离聚类（系统聚类）常用

% U8 j1 r3 _; V- {8 v' k6 [6 e•②关联性聚类（常用）

) X2 ^$ t, f6 A! W- p, A4 Z3 G, I( O•③层次聚类

•④密度聚类

•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
8 B# y$ f8 _, i5 b7 Q1 E
3 y& D) n3 _2 R. P•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
6 ]3 ]+ P" m& j% M, _3 m0 O
) I, I2 D+ |1 \+ f% E( _•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
+ }" z6 L1 l' ~. `: ~, q
* @3 J& @: c2 P  C9 k% h* ~- M- f
% |. Q8 V- Q* v8 J! t$ D8 j/ t: \) n

) ^, a* {, V. H1 w9 C
（4）评价与决策

' C  m8 q' M4 q# z- `2 H•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
+ S4 ~- N; S) [& d
* n7 l7 R" z. N( f•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
3 K' \( }7 E& G3 t2 C' h
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
  d3 V# u- x0 _7 N6 G+ \! l
# k7 s  D8 `! j% L% S•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

7 ^  \: }4 r5 g$ P  F•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
' K9 D' M  G. n
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
  y! b7 M, K$ i; d/ j
•⑨方差分析、协方差分析等
* U" T' p# [+ |; ?
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

9 ~9 F. l- y0 p2 ]) w* l  d' r  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题

9 Z$ N' o) r; A# N; s



2 t# T: L: {( m（5）预测与预报
* T8 z% D3 O" x! c: G+ F+ n

7 q3 l# u/ w: @
•主要有五种：
4 ?$ x% \7 K+ k8 l$ Y
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
# D4 N2 e; i( Y' }! F3 r
$ m5 g0 w8 i* B•大样本的内部预测-逻辑回归
5 K, x  p8 r9 e6 J9 ^" M6 \( P. L
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
& X3 W- A, d' h$ _( J
, |9 s* I1 [# ]; E9 }  S* Y
, _" N  A% u2 G  y3 S
! X* W3 m( I! F•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：

% C! G; I2 @( |' k1 K: L•  a数据样本点个数少，6-15个

1 P' f. s( I% K: |2 H3 m•  b数据呈现指数或曲线的形式
1 S5 K/ z2 }2 g# `
•②微分方程预测（备用）
6 B7 [# m- ~2 v& o
9 C( q7 \  y4 g4 M• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
6 z, C! E6 X+ ]3 s* Y/ X0 F
) Y! A$ @/ t# V* ]8 ^

•③回归分析预测（★）
; e, H0 M' B3 ]+ i
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
" }. p2 z6 Q& [/ R- N6 `& o
•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

7 S: q5 b9 }+ s, R. S: @# w$ {•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
0 O' Y( k) P( k7 n+ O+ T( B
6 F# \7 p6 w* F" _* m•  c因变量要符合正态分布
2 ]4 X0 M$ p, d4 n


& L7 c" }, ?2 k6 R3 \( k•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

( `$ s( I) c0 @* R/ c
- M& F$ ~: Q3 h; I- }* }
•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
& n$ |8 O9 l: v& e0 }8 |
1 M, g) @! z  f' [2 s•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测

3 t# G; Q0 }) t, m•⑧混沌序列预测
; {& X3 I; V( ]/ ?( z% N
% W3 |$ q2 i) i% u7 w) n/ P
2 ~* U6 t1 B4 b7 d/ E$ a
8 D5 k! p$ A" d, s: u（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

6 t" w& a% ]4 {0 u! w•②非线性规划与智能优化算法

! r) b9 X/ {; f# @3 @( N•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
4 n  p! V" h/ ^* C. q/ [
3 T9 _% T' m  x$ u: E( Z•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

  j7 s( [: b! v6 V$ Z1 Z- J, J•⑥排队论与计算机仿真
* r. I% T9 i/ B8 M
& Q8 y1 `+ G- `+ N7 v•⑦模糊规划（范围约束）
" P! N6 x: ~2 a6 u% S* o( ]
# [. R; c8 I4 p3 L•⑧灰色规划（难）

- T+ m. {5 g! s/ I) Y% W
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作者：ItsL
) H) F4 i' W' a0 v( G! O4 T) C8 G来源：CSDN
" m4 x3 k: Y7 d3 k9 N& [

9 r0 h/ b, g" f: t9 q3 w8 o# T, y& T% z
; y7 G4 ?. l5 d2 f) }