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数学建模之图论

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杨利霞        

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    2021-8-11 17:59
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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    1#
    发表于 2020-3-24 16:31 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    ' {9 b2 g9 {1 a3 @+ F: C& v+ F" X
    数学建模之图论概览
    ( Z" @5 R" j, n$ r. _% F
    ( D$ m# H3 X7 ~) G% v问题引入与分析
    0 w/ `2 r: y8 V  f5 v7 H, O图论的基本概念. G6 M) t4 s! ~# t5 i, F4 ?" v
    最短路问题及算法
    ; L5 h4 L3 }% e  @( ^. M3 G5 T最小生成树及算法' o% K3 w; F. j% }* i. E. ?: C
    旅行售货员问题
    # X- M; E9 p/ o. Q模型建立与求解9 B- D. F" F- R7 B* ]8 q) z4 i
    1.        问题引入与分析
    3 I4 y* r1 J  u& |( k. K
    / O9 V. \6 M4 _& `3 Q1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的:5 h9 l, }6 Y  u* J. Z* t; [4 a

    2 ?1 z9 U& Y. _2 U今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救,县领导决定,带领有关部门负责人到全县各乡(镇)、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线.
    # r) g. {  q6 v) T. b5 Ba. 若分三组(路)巡视,试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。9 ~( h; _+ e% g- h- C$ j) z
    b. 假定巡视人员在各乡(镇)停留时间T=2小时,在各村停留时间t=1小时,汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视,至少应分几组;给出这种分组下最佳的巡视路线.
    ) ~+ z% U8 V. F! S3 n+ b( w, g2 q1 K% F8 f$ }
    % u: ?: g* p2 ]% P& M( z
    公路边的数字为该路段的公里。
    - t- i8 W7 m8 z5 v/ F9 a
    4 B5 K9 [% u2 p( s  @5 n; Z$ z2) 问题分析:$ ^) H( y# l( ?
      j8 `  t$ V7 @6 }, \+ u$ p
    本题给出了某县的公路网络图,要求的是在不同的条件下,灾情巡视的最佳分组方案和路线.! \' C: Z- p7 u$ j; V( Y
    将每个乡(镇)或村看作一个图的顶点,各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边,各条公路的长度(或行驶时间)看作对应边上的权,所给公路网就转化为加权网络图,问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题,即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发,行遍所有顶点至少一次
    * w& S6 l! K9 D/ U- Z7 T2 r再回到点O,使得总权(路程或时间)最小.0 y3 O0 F; \8 s' B9 i
    5 Z% b9 q+ F/ G- V! }- |) k
    本题是旅行售货员问题的延伸-多旅行售货员问题.( [0 o2 H- q& p% g, j
    本题所求的分组巡视的最佳路线,也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链(闭迹).
    ) X5 A: q0 N  S& R如第一问是三个旅行售货员问题,第二问是四个旅行售货员问题.2 V+ N# t9 ~) R2 e
    众所周知,旅行售货员问题属于NP完全问题,即求解没有多项式时间算法./ W# x7 F9 h2 J5 n* P. e& u: Q
    显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此,一定要针对问题的实际特点寻找简便方法,想找到解决此类问题的一般方法是不现实的,对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
    7 @2 O3 a0 @2 R8 E8 |; v8 P1 H* A" k- u, z9 C# m
    2.        图论的基本概念
    & o3 |( s/ q7 m9 `( L* b
    2 B9 L/ C3 [$ |: y2 S图的概念! Y5 c; @3 ]/ o
    赋权图与子图! @) {5 U: I9 ?5 D/ q8 H* P1 G5 d
    图的矩阵表示. p* J5 z+ U0 [
    图的顶点度- L( V9 X& K# D0 R$ _8 |
    路和连通
    0 t6 Q0 a8 E/ R/ k" U1) 图的概念$ N; [5 _8 t1 L2 L2 j$ E! @

    7 x5 l6 W% G, \! _
    # M" F! r+ u0 E; e5 V
    ' v( P! \1 X+ m$ \
    ' N( z: |' B# n6 F- ^9 i; L
    8 n4 D% p" L+ ~3 B& P- M; h% N3 J1 q( e& W4 r

    3 I2 b4 W4 E, ?% Y+ _( r, G4 W8 q, l9 ?

    & e+ i9 q2 u$ ]5 v7 y
    & j! x$ b3 ?( E3 ]$ b0 _
    ' O) R7 s* o: i. s* b# r
    9 Q' p$ D" m, T8 ]" `" Y7 |3 Q
    9 R& V; T' h  E- ~5 z5 O
    + `3 m/ v! [  h0 q
    & X1 C, X& ?' Q! G$ ^- ?& G: y/ R
    0 m4 n) ~" M5 J' d+ L  A% A: x& R9 d: {  |3 N
    7 z5 J$ K+ i$ h- B6 @. s7 F
    " U; r6 Y! T7 }/ z

    + {) c. q9 o+ T: f1 V
    # U  k$ `$ t! @+ C, K) f0 O  Q
    ; o& q0 u) s/ a% |/ x- A9 ~  {+ |9 K2 ^

    * h' o" ]+ o. C  g( [0 @
    " {, R% f9 a4 r4 q9 I2 p/ L& I+ D4 k  Y7 w/ G6 H4 e
    3 M# r. n4 t+ w* r

    " ?- b6 }, p  |2 L/ ]: T" [( L
    1 E* ?; Z* e3 A0 V6 r' n8 I0 b0 V$ t+ c$ r0 n* `0 O
    3. 最短路
    4 Z$ h2 B8 v( P0 @3 g& M2 g, x3 d! |! Z: b
    Dijkstra算法
    # h& L5 Q+ \' k- u) ?; z3 F, }/ o, L# k+ ], }  Z- E

    5 Y9 @1 K0 n# Q/ m4 ~" B# }! J  q
    Floyd算法
    " U+ ?/ d, ^2 S$ P* U7 b& r, U( C8 q! {' }6 Q& _  s# `
    算法的基本思想6 [, H3 }5 |$ w' ]1 A# m
    ! g) r4 V8 w; L5 x
    直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν),使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵,同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。# H+ a1 d' x  b, O8 f- D
    (I)求距离矩阵的方法.
    9 t9 ]+ n: g# z" P  _(II)求路径矩阵的方法.
    ; W% @6 u3 Z$ d(III)查找最短路路径的方法.; g2 p5 z# x- Y, ]# E2 R% c# {
    ( J7 M+ N0 D( y
    Floyd有两个矩阵,一个是D矩阵(代表距离),一个是R矩阵(代表中介点)
    0 u. F. l2 I7 x8 \- D' B; G. a6 X0 u9 G7 g9 k9 K4 I( y
    4 Z5 A: L0 Q0 [+ z0 q( V6 L

    " }5 X! {9 u! Y4 R, N* A1 _8 u5 U8 N6 Y3 V' o% M
    在这里相当于v1 v_1v
    - C) A3 P7 f2 r% ~/ a, a11 Y* c. E2 E3 c2 Q. `; D. m
    ​       
    ( J1 o+ X, u! ` 被打通了,此时v1 v_1v
    ( R) p8 S3 u. U# t9 P3 m( {8 S5 {* ]9 r12 J% l0 q" U. N, K
    ​        % P; q' L/ C7 o& ?
    就可以作为中介点连接。# R8 q/ ~# l% G" ^8 A7 j5 Y, R) x% @
    于是遍历和v1 v_1v
    ' q9 o0 k3 v. O1; H1 F; _; K( y4 V* C2 k" C
    ​        3 t  @7 I% e" S
    连接的点,例如此时遍历到v2 v_2v
    ( U) t$ ~/ Q3 U  H9 \5 \2- j4 U: x9 }* C: I& Z, g( k
    ​        0 t4 q% y8 E# w: S9 h% V

    , o) j9 |" g( T然后再以v2 v_2v 5 Q( p$ c, \- O+ h
    2
    2 w) F# A# m8 }( ~  f( C) M" r2 a​        8 x- l' f* t$ x; Y9 T! o) o, F
    为基准,遍历和v1 v_1v
    . \- U, d+ Y. U' S/ S- F. l1 z1 h1
    + _0 C+ L0 p1 w0 ]$ N5 e- Y​       
    9 i  ]0 W& N' O; T' }0 Y# Z 连接的点。
    % \3 J: m4 v( U6 X9 r% B所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵,如果可以变化,那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。
    : K$ r6 x  ~6 q8 P# k" D% k0 a
    6 z/ w  z0 m8 ]7 ~: q, O
    : h4 [5 O; L$ E" P. J
    8 s! N2 r4 z: p8 H% m) a$ R$ i+ I- ]( |

    1 g1 o( O( x, r, A# T$ L& |/ g. Z/ u, m* E; M4 g
    ; x5 k7 v  T2 v- {9 k( L4 N  ]  v% t' e

    2 T: X+ \. `. E, b, e1 Q* ^
    ) w  G5 w, l3 C4 \$ `2 `这里的逻辑是这样的:& y! \& t+ [( X9 g8 o
    最小生成树" p1 z; e2 [$ _. A: k1 R
    1 N6 q9 F9 k& q3 c' G' x
    (略)5 @# }6 J( f* Y& r! g, o( e
    ————————————————# i; T" L) M5 v! `+ x' S# q% h
    版权声明:本文为CSDN博主「Mr. Water」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    4 b- V# \6 I, Z' Q4 B原文链接:https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/100022182
    * S; \1 D" L5 x/ Y  S8 s$ V) t- y! S$ H1 `+ C, r
    8 D) p' o0 c2 U* |( B7 W
    zan
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