QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 1610|回复: 0
打印 上一主题 下一主题

数学建模之图论

[复制链接]
字体大小: 正常 放大
杨利霞        

5273

主题

82

听众

17万

积分

  • TA的每日心情
    开心
    2021-8-11 17:59
  • 签到天数: 17 天

    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

    群组2018年大象老师国赛优

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2020-3-24 16:31 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    5 A2 H7 _( n" D: a2 z& j
    数学建模之图论概览" D8 b' f, p4 \
    9 D' e, L! o1 ~, n  s( v
    问题引入与分析
    ' {. B. \) B8 b图论的基本概念
    . L' }% C5 E( a! Q: O3 a/ M) E最短路问题及算法
    & C3 \+ K% q) @/ C最小生成树及算法/ j4 {& \$ C2 E8 d8 p
    旅行售货员问题% ^. \1 c. z& A; Y- N6 y2 \. }
    模型建立与求解& U3 t; J& _$ W) T' j' Q: q5 C2 d" l
    1.        问题引入与分析
    # P  {+ e% V- A" {& G  L5 ?! x3 L
    ; r" c2 M7 I3 e1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的:. `( L) u1 X' [( c

    - e4 @& F! `+ a) s. G今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救,县领导决定,带领有关部门负责人到全县各乡(镇)、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线.
    5 i) a; b3 j5 I; Ya. 若分三组(路)巡视,试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。$ ^% k& H: h6 o  V# `3 `: t/ p
    b. 假定巡视人员在各乡(镇)停留时间T=2小时,在各村停留时间t=1小时,汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视,至少应分几组;给出这种分组下最佳的巡视路线.) I+ n8 m& F2 S) H. G

    7 c. n% ^7 c2 @5 Y+ v! H0 P. R- i/ z- b' F1 ~4 N9 v
    公路边的数字为该路段的公里。
    . y/ @$ N  t1 F7 F" @
      X. f6 c1 i! i6 y; F2) 问题分析:
    - x$ N' v. l/ m: w
    " Z2 u( |& w6 H5 [) O( I/ H6 y本题给出了某县的公路网络图,要求的是在不同的条件下,灾情巡视的最佳分组方案和路线.1 z* I# c; [( V* s
    将每个乡(镇)或村看作一个图的顶点,各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边,各条公路的长度(或行驶时间)看作对应边上的权,所给公路网就转化为加权网络图,问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题,即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发,行遍所有顶点至少一次
    # z" T. Y+ K; `& R0 h: ^+ V( L( Y. k再回到点O,使得总权(路程或时间)最小.
    & [& B3 E: S4 b# A) A
    1 r7 v  G( Q* T1 g本题是旅行售货员问题的延伸-多旅行售货员问题.6 J3 Q! Z+ r( Q- y9 u
    本题所求的分组巡视的最佳路线,也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链(闭迹).9 Z. J) E( \* C+ [  W( w8 k0 F
    如第一问是三个旅行售货员问题,第二问是四个旅行售货员问题.
    6 x! x7 V( f5 Q% p4 K" g众所周知,旅行售货员问题属于NP完全问题,即求解没有多项式时间算法.
    & T9 T  @7 b+ Q# G' ]  `显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此,一定要针对问题的实际特点寻找简便方法,想找到解决此类问题的一般方法是不现实的,对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.1 y- l* {; x. S: e

    ( h2 l, Q9 h1 Q0 r- {  K2.        图论的基本概念
    ' ]0 W! w) R! t: Y% o/ c# _
    ( d- ^) E/ j1 A$ C图的概念2 w/ I' W" ^0 O+ w' I1 x8 h
    赋权图与子图
    6 b) N; s1 S2 s/ _1 w( O图的矩阵表示
    0 R# `4 `; K; P+ x( R1 {图的顶点度( p# I" {# {! h; L- ^
    路和连通6 t8 P; O: Z/ l) |& l
    1) 图的概念9 \% I" q5 O# V4 i9 ^

    - k: z3 @! |( P2 F& h
    8 T% s$ P+ G. [* P
    1 t  [$ m1 ]: J* c2 R, ~( A/ B
    4 U3 f6 b, Q+ b0 \
    4 j# X) D2 c! f, p0 T9 i! }
    ) p# {0 A1 r$ p
    * u! w3 r, ~6 t* k7 n% A$ p; D+ w7 _+ P( ~& n! N

    1 l  U+ ]9 j) g* ~2 ]' ^6 g! ?, G
    9 }4 h+ s9 X8 z: @( \- A0 Z
    3 m( y7 o4 e7 F' `  B+ \' I
    + K4 T, N( z- [/ z6 m9 }7 D( P8 }* Y2 L

    1 c0 s4 {2 W9 g' t. @! s9 ^0 v. _8 a9 ~) u1 Q' }1 C  p4 C( R
    ) r; `. b6 u& }" R
    ; j$ x* G+ {$ g& q! D

    ; P3 s  v, V" Q
    5 p% H+ T( [2 S$ P9 J$ f# r8 _; _; Z$ ]7 C  L* Y) ]
    ' X& B4 W5 B* L1 v, b0 [9 P2 L

    9 d1 P& V( M, v' B$ d; f/ C$ W  h8 O2 o

    ! t: b% g+ K; {6 o0 [4 Y% k
    5 d0 j8 S% l2 _: D. g6 ]  J9 s. s# ~4 i

    1 V% ^' \1 F5 Q0 s5 }5 c# t% T, y9 `5 W* ~% Z5 B
    , P0 e& D% _3 s/ E  W

    7 Q$ g4 @8 p3 {+ i3. 最短路
    5 ^- |% G  ~8 v/ Q" T1 \6 l+ W( n
    Dijkstra算法
    , _( J8 K- G5 k$ T
      h: P- Y8 s+ v6 g
    4 _* Q! b' U9 e2 s* g2 h
    7 K  R6 Y3 s* q6 a+ dFloyd算法
    * }6 D  E  k' ^) q
    4 i. w- R0 G- s- T算法的基本思想
    9 X7 q# u5 ?" p2 V' d
    9 j- S$ B9 }; o/ T+ V; g直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν),使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵,同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
      @# N. V% \: x3 K3 Y(I)求距离矩阵的方法.9 c2 P; X7 \/ D# R  r
    (II)求路径矩阵的方法.
    7 c3 h) ]5 f4 U% f7 f- s' U0 |(III)查找最短路路径的方法.2 W! i3 D/ ^+ K4 L5 C6 w

    ) [8 P: O% W7 m, l' E: D* a  a- z/ |Floyd有两个矩阵,一个是D矩阵(代表距离),一个是R矩阵(代表中介点)' G8 c& `3 O/ F) g

      b1 U6 v# w* N" T. M. c
    2 z% W! Z$ z$ L, o7 ~' }, A. h2 x
    6 m- {' D0 O/ K% P% o  i2 i3 k9 I0 O! c) D
    在这里相当于v1 v_1v
    * a6 K' q3 a- N3 X  J5 e1+ j/ O/ d8 j3 W! ^" J
    ​       
    / G+ I6 f; y  t( T0 V* y 被打通了,此时v1 v_1v * z) l, L/ ?; ~5 a. {6 P
    1) ]% M6 W8 G5 O
    ​       
    1 h2 f0 Y& f4 _4 O6 g 就可以作为中介点连接。
    ; p, c$ Q$ D: A2 j- \于是遍历和v1 v_1v # z3 Z9 K: N$ n7 N9 \2 B5 P' Z3 \8 r
    1
    . C" b0 k) I" H* J  c. Q​        & W$ Q- z" V) B, @% U, H
    连接的点,例如此时遍历到v2 v_2v 3 F0 t* _) @9 c8 p0 e
    2; d( I- R$ f2 b: F. p
    ​        ! W1 A! r$ W& c  @) r: \
    ) i( ]; g, J0 }' ]# T$ B! R; m
    然后再以v2 v_2v 0 n; A5 b8 m! S) _
    2
    2 I. @7 }- c* ~; p$ m. ~% B​        8 r. j2 d4 ?# |* `+ E" U6 \
    为基准,遍历和v1 v_1v 2 K/ K5 W8 @  l$ k
    1
    : `) I1 q0 l+ z9 Y. e) j8 a​        9 Q; _2 H+ m+ ?6 R  K1 }
    连接的点。0 l7 f$ `, v- u: F6 [
    所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵,如果可以变化,那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。
    2 S. y4 S* J0 l$ c4 T
    ) W5 U6 [+ L# V/ r8 g6 h+ a5 e% m) W  ?8 i3 H; g2 y7 @
    % ?. D) X3 \0 |0 T6 C

    7 d: J1 C! L5 r# W: J* u! M# B' `. m1 n/ }8 `* \

    ) w! F! I( ?7 _# X& u7 |% W5 q
    $ F) K: I7 h' y$ S. ^7 Q- N
    5 E! F& `9 d9 b% o9 I- w3 t8 U6 H' M; X* V4 i
    这里的逻辑是这样的:
    5 j6 }" g/ \; ]( b9 _- d最小生成树
    ( c* N% }1 T5 |: |& O2 V: _/ \
    4 ]8 E1 [8 ?% X6 Z4 k(略)' r$ E# M, Y% G) h$ y
    ————————————————
    ! ~$ Q7 D: B+ L版权声明:本文为CSDN博主「Mr. Water」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    : Z# t* K* _8 i4 l; p" ?& B原文链接:https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/1000221822 ]; u# s. \2 V% o: M

      B1 @( _4 M1 D2 _! q. p" h0 P- n3 \( m; {  y
    zan
    转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏0 支持支持0 反对反对0 微信微信
    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2026-9-9 15:30 , Processed in 0.691352 second(s), 50 queries .

    回顶部