【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
5 [4 ~* U$ J6 `& [4 W1 l 一. 模型
1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
+ \/ W9 ^- p3 R8 j. n4 T8 q        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
! K: T/ H; J+ x+ N0 X3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下


4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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5. 模型分类
/ G8 Y4 h/ \: s, q& `( d. F  A        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
/ y7 B: F. X( y- G% ?1 x, f8 I        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
; j$ R/ I8 T6 l. ^; p        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
5 u1 T0 |1 E5 W        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
% e4 L. i9 h9 h/ Z9 o5 R; g        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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三. 机器学习
- _3 u( F0 H! ?! T       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
# N; W& ~8 d6 Q. c- R0 y% ?0 ^* C用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
0 d/ J* N& ~0 L5 e

        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
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参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2 b9 ^) d8 u, [2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）
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- U2 r# ]8 [8 Q8 G$ N5 h原文链接：https://blog.csdn.net/shandianke/article/details/42581155
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8 l+ \) q) Y0 k! [& T 一. 模型
  S7 v2 @  v3 B+ M1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
; c* e2 r! G, R: T" o6 s       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
0 l$ O0 W0 q3 q2. 建模方法
( `- s* K& g* w4 v* L9 e        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下

. U: S, x; K/ r3 t; W  @; i8 Y
9 `; t) g' b+ K  [4. 建模过程
3 v9 a& L* Z' G* Z* U        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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5. 模型分类
! j% u2 \& K/ f* C        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
4 X( U# T0 [: V) `6 u: j+ @0 N- U: o        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
2 M$ n1 I) l8 Z- [7 {0 T        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
% q  p: G- V( D1 X3 J; r        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
4 W2 N1 ]8 i2 b- U; r' V7 T        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
2 f( {' m( C  N3 R2 y4 j        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。


$ K$ t2 b% Y3 ]" b$ M三. 机器学习
9 N& t$ l! z6 v2 {, l       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
2 J: H* I- C; ~+ a7 R        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
% F: m) g: w$ @- e用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
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! n0 C: w* @/ O        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

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参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
6 n6 O% \* t* _& x9 r' l2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）


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