数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
) }+ b+ N$ Q2 I; P+ j2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
; `) O  i8 @: \# p7 t5 Q$ O性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
  A* _. H! W* U; F* P% s4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
# @) T+ V8 h  a- m/ A% A1 _! b5. 按对模型结构的了解程度分： ：
, r4 O3 e6 g7 ~2 _! y: {有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
- V; s2 h: A1 |5 Y比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
: O5 n) [; w" y6 E7 f; `7 [: K6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
& D6 s2 I4 w; T7 B) A4 Q  t9 c运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
" P7 {/ {1 ?+ U0 S* w5 f数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
% A$ z9 n! n7 I9 B  u8 \; v: b该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
; I% j# @1 a+ z' d6 P2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
! N' h* Q& h+ |% F, Q3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
5 C2 H# F. m9 E, v7 m建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
7 V' N# h% q! ?& L) H3 H8 w4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
+ {7 ?7 `) C9 F  \论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
! @2 Y7 O( ]: U* M9 b7 S. H7 n5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# l8 Z+ e% C* u7 S& Y' i/ F这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
0 m2 B/ l, A- X0 R. c- r4 |" k6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
9 H; e5 D( v" `/ Q" T帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
: q' o  ^* Q' n  m2 J& W( m# b当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
  p: H; _2 g- R  x一些高级语言作为编程工具
1 `9 ]$ c8 _( q, |0 C1 b# |- b8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
4 R* v. L. Y" s2 J  b& ~" L- G如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
; r& s' a) [5 Z$ A0 p3 s$ a3 p) L解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
1 ~+ L' P4 I, @& v! d9 p# f# C个条件可用：
  f" O1 u* z( n& f6 X- z. r4 O①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
- q. l- r; n# c7 a) F8 S2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
* P, E* d' @9 e% l5 a微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
3 S) R  p) i! U( w其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
3 n% Z; z, S) ^, C  J求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
5 B5 ^. L9 r% O# j+ i+ S' d2 m( G化； 样本点的个数有要求：
7 x' n! f9 t, ^; B/ h# c  V" C①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
, I3 Y8 {2 d2 V; R: j0 _一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
6 q  T0 s3 K  {& C. G互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
: Q$ Q8 U2 H  t1 N5 W% O5、 、 时间序列预测
1 p8 h9 s  W$ _% x& j, I预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
# X; n: g1 z' P' a- y6 v1 b数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
* y2 G$ e7 P/ e5 u. |7 {  \6 l预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
! z3 W( P. F) T7 ^: p* D& y& T5 K/ \大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
) E# {' z# w/ D+ u2 j' [) \* U1 A办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
' o& t% v6 g3 q5 S4 x* K1 }' {9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
7 S$ X2 f: \$ k/ p, p在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
/ F! A4 e" l/ f- ~/ m逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
6 i$ L4 @- X6 E* U- o评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
$ d& w1 G4 ?4 H: o. o- S' U! `& `作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
! ~1 ^9 Y% [+ t6 o. @7 K12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
" b3 p4 r8 K9 _秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
" V+ Q& V! I! S4 P14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
" i( q' m. q3 J7 Y4 y4 j15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
7 m% s2 ?. S$ V" u: W2 N' L% X该方法做评价比一般的方法好。
( @5 o  i3 n$ E  q16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
- B2 q  w* E; S7 t1 Z9 ]( k方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
( P% ^1 Z. Z0 M! u此外还有灵敏度分析，稳定性分析
9 X9 r; I7 x: \. q2 B17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
( s/ h5 i" Y# M0 R( V模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
8 m8 ], j4 e6 i* t优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
: p  m: U" M' T: u离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
' Q$ G( y9 B! u- B+ s20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
9 S' P/ ^8 t1 z, W- y+ C- `21 、图像处理 （ 较好） ）
$ P/ I& ^& ?4 R/ I/ n! R& ^MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
0 u+ d/ ]( t9 T* j* W例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
: T$ s' Z: b' `$ T  b+ D22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
3 J8 W  T4 {2 C% f  Z支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
( G2 }& j0 q0 K/ ~2 E1、聚类分析、
/ X) T  q4 H" Y, Y/ z2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
9 E- g8 X7 ~& B0 c+ n从而达到降维的目的。
7 {* T5 I  Y6 B7 h+ F4、判别分析
5、典型相关分析
: d& |4 G0 @+ B) ~! m6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
/ c/ }6 ~  T; W1 T# z3、层次聚类
4、密度聚类
3 L7 O' z+ z# w1 N3 g5、其他聚类
+ w# v! e- e8 I4 {8 H7 D2 @( ~" a6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
( m: u4 G! y' T9 j% o% X1、灰色关联分析方法
: A, v1 z- N. c& R% Q" }! ]) m2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
% n! l( [# o8 Z0 K+ I+ B5 K1 f2 @3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
; z! X" n/ e( d. ?$ W! }一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
" w/ }& i3 v3 K1 J# H若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
2 ~, O0 x% _$ t! w: D7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
9 I1 k! S2 G! b7 {9 Y; ?2 w9 l8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
) y% G' }8 O0 V% Y  W量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
  m3 @+ T. D; Q1 O+ n率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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