数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

9 c( N3 R" d2 O+ G9 V0 P数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
7 H6 s: D+ ], j' e3 S& g, R/ o% l2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
! u4 g& U8 m. x7 T. {4 p3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
% ~% U4 k* j( Q% `8 T4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
; ]9 ]# T9 J4 O; \# B  A0 O' Z往也和建模的目的对应
& W- b$ H" N0 G& A; d* U5. 按对模型结构的了解程度分： ：
9 ~. p0 l0 B& `% X" E有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
) |; c( t: _; ~0 {3 i$ N( Y6. 按比赛命题方向分：
- S/ S; U2 ^$ ]& S- _+ ]国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
& t. h% t! e  L5 _8 a运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
& G9 p% t, _: o+ B+ r/ t1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
1 f* x, X( u+ I以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
0 k& W% C- T0 M1 W3 d1 _2 l比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 Y" m$ d8 s# m$ e建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
# T' s+ v  c# K& _8 k  q/ s法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
. I  @$ q" @. i# o% n1 b) w( ~5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
! K5 q" r  T2 J& }这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
  J4 m5 x  E+ Z5 Q' O) {6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
9 c0 ^* l+ Q' @9 k7 Z# n这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
) @* c$ B, o7 x. l+ l' P帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
/ F& v- L+ K, Q, r, d/ c7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
" n9 H; i& ]; R9 {; \5 N据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
. e+ p2 @, o# S算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
6 Z1 T4 @4 f& \* r* }' C6 C, W, f3 j个条件可用：
; }  ?. t( `9 X" p( V①数据样本点个数 6 个以上
) C/ [. a7 a. ?; z②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
; U2 S! }, x3 b. r9 y2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
; s: d# J9 C7 h" l; H$ J) O微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
0 R+ \9 \8 q6 f' {9 s其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
/ G. ^- K/ @1 G8 t; Y: p% N3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
9 ?$ J9 M$ v, D5 c& h6 t②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
! Z6 X+ G4 z5 g8 p7 O+ J4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5 w% A) ^% @( t" L; D. E0 o5、 、 时间序列预测
& }$ {' D1 T3 f% U* t& u, h预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
4 V( N8 t8 X, c, [* {6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
" h& I7 C; u! |, h0 p5 l: G6 `, V预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
1 X: v9 p, j. G' s* [' L3 g9 A预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
1 G6 |8 ]2 {$ j2 M2 c- }3 r/ g办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
/ q- l3 F" x* W' b8、 、 混沌序列预测（高大上）
0 v$ j( t. L) @1 g适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
' |* \  ^8 V  |5 x拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
! ?% D# y9 Q. i在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
$ H6 K; M/ n# [. R& Q' d逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
# p8 G0 j  x% B) I* t/ f/ g10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
9 J8 o# y) `/ S* j2 Q11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
( E3 C) b: P0 H  F8 z# T" p13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
8 N7 C% m  S5 M2 }法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
  q" J& }5 t, x1 }0 k似。
6 |# s& G2 ~6 K0 F! x6 r14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
) j& s! |: G- h0 X8 }其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
' `2 h! ~( A7 ?- l' [7 k: J3 q* H$ p评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
* c1 j9 ?  ^3 G" T9 H; f该方法做评价比一般的方法好。
; L8 Z; _' b! O5 i- F/ _0 n6 n16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
! _4 T6 Y  b$ ^7 R# K1 b5 p! r* m3 ]0 l方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
* |; N1 c3 c, e6 R量有无影响，差异量的多少
# O9 }, \3 K( v/ U0 J协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
( y, c3 D* b$ p5 s* E素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
$ t3 {( y; Y% g8 h/ c+ H17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
+ l" q, _) j+ N, b8 E$ A优解。
" D- P* O9 F* b/ r18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
3 [) S7 T2 x4 j& E4 A3 \智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
+ f4 i) O0 j! H5 ~2 [/ ^其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
9 P3 g+ {; n- G' D7 S0 r3 _4 s离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
! }# Q+ ?) X) d1 |& |排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
7 b+ ~+ e: n/ ~4 L# n7 L即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
1 p6 r1 Q- M: P+ F% J) f4 m例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
# K* ^# m# v" |/ d1、聚类分析、
+ T: [+ P5 c0 X# g2、因子分析
; I$ v0 O6 c; Q) b. i# D3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
& s' s- g+ K9 m( }4、判别分析
5、典型相关分析
$ F  ]# V" Y  F4 f6 A6、对应分析
7、多维标度法（一般）
4 ]  X4 P! D$ z5 O1 @4 B8、偏最小二乘回归分析（较好）
+ J# o5 ~$ C' x4 ?* m24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
3 z1 G5 Q+ I9 R; G  {: m2 ?1、距离聚类（系统聚类）（一般）
# h) }  x' x" f. T2、关联性聚类
" i6 O+ S- B, @" [( p" V3、层次聚类
! ?2 \4 s# ?9 l6 d) a; e( O4、密度聚类
. f9 z/ B1 r5 y, e6 i5、其他聚类
3 K6 k5 E0 }! R+ n+ j6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
. Z& ], ~. d& N$ B& L, e8、模糊识别
9 {5 C6 l4 r4 J) ?, `25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
: ?* E( K6 g$ w' E5 E$ J1 m. H4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
8 }. Z" X- G9 Q$ b0 c6、标准化回归分析
' h6 Q% b% e. Z0 M, Y! r$ j2 C4 ]若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
, a0 K/ @' h% M; j% i% f数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
5 F3 O* M# l* ^: B8、格兰杰因果检验
( C; L" _7 R& U2 J" L* u. s6 |计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
* X3 j+ K- w9 L( {' p9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
2 E1 D& w" a/ r/ a量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
: ^! h6 h( B5 J' R# ^3 y率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
' y6 W& I# V" T/ k8 I) S5 Z————————————————
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