数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

' |9 L8 |  `5 k' U% ?数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
* g/ \  L+ ]2 R* m1 q. W1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
  x% D! ~" z. R% @/ u& G型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
( a, H: ~3 c) U8 U( ^8 o静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
# Y; y) L9 L; q8 r人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
: J, m2 }! ~8 s3 d1 m3 m$ t一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
) B( Q% L6 g' p' r比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
, N; x7 V$ ^% P. y  Y$ G* b6 C6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
8 m0 d. ]9 Y# m- Z* d8 }( `  P( o! L运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
, U& U! ?5 ?" _; Y1 、蒙特卡罗算法
" a, n8 \4 H8 |) v2 [# _( q该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
$ L" }( Z& T. n: u$ O! `3 ?5 [以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
6 {- |. ]3 z" F# C2 X! s$ W0 x1 e2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
4 N+ p) |* x" _7 L1 d( j; H0 G3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
+ f* M. Y$ ~2 {- K7 J7 @% n法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
+ p6 l7 l- E; R) Q  K1 l5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
2 R" ~" D* Y- h+ f1 m6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
0 D" W3 ?  ~8 w  A这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
) N0 c6 X; P+ c1 X) ~4 h4 ^帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
2 C2 l; T8 f9 f+ G' n& o当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
2 H  p; [2 A' k, \  h% j8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
4 ~! `5 _: H3 N9 {$ r- l$ b行处理
算法简介
, x; P9 H$ x' m' v7 W5 J+ D1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
# x; M; o" [+ i- D; D5 |9 ?* v②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
. r$ k' u. s8 S! E5 s7 H求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
4 n. c1 d" p7 n! D4 f8 W2 W化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
  w; p3 Y5 @0 y+ m: F! n6 c+ q互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
7 S1 \6 P) H. G7 ?( P4 S2 F4 a预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
* T* w7 d7 N& g* f5 t) R数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
1 P! }6 b" w7 v; h* U! C; }预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
, {' j5 {  G- @; P4 Y: W  a& U" P预测波动数据的函数。
  X& d& R/ Z" @$ k# J0 t+ j# R9 P7、 、 神经网络 （ 较好） ）
/ V3 B  J( e" Y: }3 {0 H8 P% G8 [) U大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
0 X) O! ^0 s" H办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
% A. y3 s0 o4 ?# I9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
0 R1 D/ U. Q* A( ]* I在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
$ g+ W) J# C! Q; |6 d1 {, H/ i, x, d评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
: i  ^6 [# U3 v, ?作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
# V" p4 T4 m1 b+ B; R" ?( e14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
9 S# V; j1 P1 @8 {0 Y; a评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
* T, ^2 D' r8 t/ X) D, m解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
  e  ], F* |# N该方法做评价比一般的方法好。
9 u2 x) J! t2 T( n1 Q16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
  k  l8 X! Z& b9 J9 l8 a4 M# j量有无影响，差异量的多少
: z+ a0 ?% m* `: h协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
& V' a5 N6 l* ], h" c" D素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
/ n4 l" R/ h+ i4 o智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
0 J3 {$ J2 i1 Q1 S- x算法、神经网络、粒子群等
$ {% u- h# M7 g" M8 z) ?8 Y其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
6 S  C# I& Z& B; X4 O% E. {20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
- V' y0 i, ]! c; U( u) V. b! {! B) A" c即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
, q9 }. h- w5 e( A3 `! v" N: W) `计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
& a" q( K  u5 f- B/ r3 i般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
" F1 V. ?4 F( n& |MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
7 J$ D* }& S& b) b9 C- A8 A22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
0 }9 C7 k, r: A! Z3 ^  L* @支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
/ q& s; o" o* p9 d' ^( i; C. G射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
( |( ^/ e! b+ |6 R23、 、 多元分析
2 `+ K% R7 f  b. ?5 H! W4 |1、聚类分析、
2、因子分析
5 d# S) u% L0 i; N3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
! X3 S) e9 y0 U7 H8 c各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
; D' d3 H' p  j+ L4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
. k. k/ d5 O/ X8、偏最小二乘回归分析（较好）
. Y) {: i3 x* v  ^24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
' {* O) A* ]! q1 }5 Q4 U  l1 d1、距离聚类（系统聚类）（一般）
4 E/ Q2 a  s( O7 a- E2、关联性聚类
& W! Q2 l) H8 M3 ~3 K3 d7 J3、层次聚类
% [" }+ K; f: Y" w5 W) D8 @, h4、密度聚类
5 L, j( b0 l, [2 {/ r5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
9 m) D) p: d" {5 T3 t3 i7、费舍尔判别（较好）
9 C5 m: @& {2 U5 i0 a3 B! |" R; q8、模糊识别
9 O2 I8 R& {; h( |7 j3 V0 X) V25 、关联与因果
- a7 h/ \6 C; u2 f$ x( V1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
. y0 A. c/ t  }  p" ~3 @0 u- l4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
* o5 o" D/ Y+ q0 F（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
. C! L5 s7 J( d, C% ^0 J/ U6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
$ J2 f  @( i2 I* C+ h+ i: H8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
! a! L& k: u; q. O26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
, F& R8 a7 ]& S- S量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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: Q( E% \2 q0 f, @9 ]4 k

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