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求证一个几何题目

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whlysu        

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    发表于 2011-11-24 17:04 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    本帖最后由 whlysu 于 2011-11-24 17:08 编辑
    5 u& e4 {1 {: J. K2 ], ^; N; R4 s3 k. T: S
    已知:如图: m, ^1 k, o3 Q( ?3 d% r5 m  q
          1)点A、B、C、E是⊙M上的任意点
    + v, m! i2 N7 }- q% e$ \      2)点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点,且满足BF=CG=EI=⊙M半径" D, r, d+ Q* @4 i" r, S
          3)⊙N是过点F、G、I的圆
      F  D) A& @. c: w- k, ^# A      4)点D是⌒BE上的点,点H是线段AD与⊙N的交点
    ; D0 A$ w% R6 G& |' {; z求证:HD=⊙M半径
    - z, e$ c- D# n) L! w8 ^3 ` 求证.JPG 8 o& b+ }% @/ x9 ^9 q% @
    * F1 a" o0 `8 a& X

    回帖推荐

    yinbaoli 查看楼层

    希望我的思考对解决这道题有帮助:(解析几何方法) 在线段AD上截取DH‘=⊙M半径,只需证明F、G、I、H’四点共圆 以AM为x轴,M为坐标原点建立坐标系,这里不妨设⊙M半径为1,所以A(-1,0), 设B(cosx1,sinx1),C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3
    zan
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    本帖最后由 whlysu 于 2011-11-26 17:53 编辑
    7 U9 b3 _6 c4 ?8 k
    zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21
    ; @( o# C. k6 g) O四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度,想成3微的情况

    ) p6 @( J/ P0 G( T# d! z$ b' }2 f% A& v& B
    如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度,但HD=⊙M半径
    . Y5 f* {  t1 `; h6 o4 o+ K  b! T# |8 \5 u现在不能当已知条件用啊,怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢?获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角?4 c. G; m: e& k; f  q; }# i
    求证明过程!!!
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    希望我的思考对解决这道题有帮助:(解析几何方法)* F  h: y( a2 f/ Y, ~
    在线段AD上截取DH‘=⊙M半径,只需证明F、G、I、H’四点共圆" u, j* }, ^% k) ^9 v4 G2 v
    以AM为x轴,M为坐标原点建立坐标系,这里不妨设⊙M半径为1,所以A(-1,0),
    6 B, s! F* Q$ {6 B5 a; W设B(cosx1,sinx1),C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/30 Q6 @; F3 a# A0 h( ^
    D坐标设为(cosx4,sinx4),x1<x4<x3
    . c) @$ |; W7 `; |4 |根据|BF|=|CG|=|EI|=1,可以求得F、G、I的坐标分别为, H" j& q/ F, t5 Z' H" I
    (cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2))、(cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2))、(cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2))6 p( D2 L7 j- a8 M0 U
    同理,H‘的坐标为(cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2))
    2 n  r; n9 w4 w0 _! Q由F、G、I三点确定的圆的方程为
    . J1 a) K1 m/ a4 d/ h( r|x^2+y^2                x                              y                          1       |+ g0 A1 ^: I2 `
    |2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |
    2 x( E  O. ]; Z3 A0 |2 H|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0' b" O7 {8 H# c3 F
    |2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |% H1 b' A6 }0 D) o' v* X8 R( r

    & W4 j7 C% q! @" F" x2 T% a把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
    / `7 r( V7 y7 }# v+ S证明这个4阶行列式为零,我没有想到好的办法,只是找了几个值带进去用matlab验算了一下,应该是对的,也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。
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    大笨象 + 6 好样的。

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    yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
    " ^/ l4 a6 ]% p: H) f, V希望我的思考对解决这道题有帮助:(解析几何方法)
    1 J6 y8 q) v9 P/ W3 i7 V在线段AD上截取DH‘=⊙M半径,只需证明F、G、I、H’四 ...

    7 Q+ w/ i; T$ p5 Z2 D3 E* _- i你的思路是很清楚了,但四阶的行列式我也不会解了!!!
    3 M, @. q/ V/ @不过给了我点思路。。。。
    5 |1 }& H3 C  N3 b  i% @: a: e我试试以A点建立极坐标系,看能不能求解
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    whlysu 发表于 2011-11-30 16:25 4 v! b7 v& I/ U' S4 ?: w
    你的思路是很清楚了,但四阶的行列式我也不会解了!!!' g( c0 n+ }6 ^- `
    不过给了我点思路。。。。
    * Q! a' Z0 L# T. i9 P+ i7 f我试试以A点建立极坐 ...

    4 O5 A2 I3 R& w嗯,可以尝试~以后多多交流,我也很喜欢数学,不过最近有点忙,没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外,一定要限定D在BE之间吗?我想应该有更大的范围吧
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    yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39 ; H! _% n" u; s4 r3 _+ G" @6 g
    嗯,可以尝试~以后多多交流,我也很喜欢数学,不过最近有点忙,没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...
    ( a/ n2 r2 l2 r2 c7 ~5 F
    如果点D不在BE之间就不相等了啊,过A、M做直线与两圆相交就可以看出。
    adfdfjeoid
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