求证一个几何题目

whlysu

1 W* a6 G% X' j$ b% }" R
% o$ ^8 R4 @4 ~" w5 ^- a已知：如图
      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点
      2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径
      3）⊙N是过点F、G、I的圆
5 w& ~% h8 j% ^) w      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点
求证：HD=⊙M半径
: |$ B4 n2 M" H5 K4 R
, y! A% e0 [( i! y- q- F

whlysu

有木有高手啊？证明不相等也行啊！！
自己顶

zhenglingming

zhenglingming

四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

whlysu

+ j$ E7 T/ U. p3 U' m' E; P/ ?

zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

- Q# @. j! z% C& L# K3 w6 Q
如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径
- b7 Y  N/ \/ i9 _4 ~现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？
# m$ O# d% M  ?+ j" S求证明过程！！！

whlysu

怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！

yinbaoli

希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
0 D5 b1 s* q7 V& b; \在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆
! C/ Z3 S/ [* q0 J& h以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），
4 P- P. L  A& y; o, O设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3
% |' j" `7 ~1 L+ N- ^0 TD坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3
' N( r3 @- z9 \: U根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为
& A! X$ O5 q" V! M1 w3 }! d7 X（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）
同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）
由F、G、I三点确定的圆的方程为
+ f0 T1 S. m$ R- `|x^2+y^2                x                              y                          1       |
2 s' h) d9 s3 t) r* d|2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |
|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0
- D5 V" {' ?4 `+ l7 M! P|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |

把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
$ J( b; c, M( |- E* i% ~' b证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
) J& m) B4 Y8 P8 ~# k% F, b, U/ E希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...

6 N, M5 o. \) j1 c) l2 x7 U* N你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
不过给了我点思路。。。。
+ R. B0 E6 ~+ {' A我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解

yinbaoli

whlysu 发表于 2011-11-30 16:25
" y% N/ _% p4 o+ d9 l! e6 Z  ]7 l你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
. g8 R0 t  w7 J; ^不过给了我点思路。。。。
. W, {  ]. J3 K我试试以A点建立极坐 ...

8 V6 i. f* T" ^6 T嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39
+ B" p1 Q  o6 Z: v+ u5 f8 |8 A( s嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...

如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。