回溯算法

森之张卫东

回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。
回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。
用回溯算法解决问题的一般步骤为：
1、定义一个解空间，它包含问题的解。
2、利用适于搜索的方法组织解空间。
3、利用深度优先法搜索解空间。
4、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。
问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。
      确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
      回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。八皇后问题就是回溯算法的典型，第一步按照顺序放一个皇后，然后第二步符合要求放第2个皇后，如果没有位置符合要求，那么就要改变第一个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了。回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。回溯算法说白了就是穷举法。不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达 最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

算法框架
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。
（1）非递归回溯框架
[cpp]view plaincopyprint?在CODE上查看代码片派生到我的代码片
  int a[n],i;  
  初始化数组a[];  
  i = 1;  
  while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头  
{  
     if(i > n)                                              // 搜索到叶结点  
    {     
             搜索到一个解，输出；  
    }  
      else                                                   // 处理第i个元素  
    {   
            a第一个可能的值；  
            while(a在不满足约束条件且在搜索空间内)  
           {  
                a下一个可能的值；  
           }  
            if(a在搜索空间内)  
           {  
                标识占用的资源；  
                i = i+1;                              // 扩展下一个结点  
           }  
           else   
        {  
                清理所占的状态空间；            // 回溯  
                i = i –1;   
           }  
    }  
}  
（2）递归的算法框架
回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：
  
[cpp]view plaincopyprint?在CODE上查看代码片派生到我的代码片
int a[n];  
  try(int i)  
{  
     if(i>n)  
         输出结果;  
       else  
       {  
          for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径  
          {  
             if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件  
               {  
                  a = j;  
                ...                         // 其他操作,如回溯前的清理工作（如a置空值等）;  
                  try(i+1);  
                  
                }  
           }  
       }  
}