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TA的每日心情 | 奋斗 2014-12-7 07:58 |
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签到天数: 22 天 [LV.4]偶尔看看III 宣传员
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椅子放置问题# V4 p M4 E0 x" C) {8 p4 t
& o. |5 m% d c( [ \7 `7 f
把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了.下面用数学语言证明.) N+ Q0 I8 z1 d
9 D) t) n; ?5 R( B6 V3 l' w一、 模型假设3 t5 C* u$ v* p% ~* ?4 x
对椅子和地面都要作一些必要的假设: D$ Z- @( x1 y' o/ c
1. 椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形.
]; D# h& F, I( z$ t$ I' ?) N9 U0 k2. 地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面.
, g7 u |, q3 d ]3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
. x l: R" u( n" p% \ y g7 b
' O. e7 r2 K% J8 n6 G二、模型建立
6 Z: Q5 E; e6 y. Q' R中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.: }3 R2 w) o! W
首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.- ]6 s# R( P, a' s; w
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
$ b- t3 B7 }9 c$ J0 n由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距离之和为 ,B、D两脚与地面距离之和为 ,显然 、 ,由假设2知f、g都是连续函数,再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时,不妨设 ,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题:/ v2 K- [) l Y( z
命题 已知 、 是 的连续函数,对任意 , * =0,且 ,则存在 ,使 . _/ C" E) Z8 `) M6 J q
) M6 i+ C! u' k$ A9 c) ?三、模型求解
# Y8 E$ x ?: c8 m5 l, w+ E. z将椅子旋转 ,对角线AC和BD互换,由 可知 .令 ,则 ,由f、g的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在 使 , ,由 ,所以 .
& Y; {3 o3 i' P" x3 ?8 {# L% d! ~4 k7 a5 E% E/ r
四、评 注& e' b$ z/ ]3 I0 h, [# Y
模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置,用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的,同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.5 u5 g# Y2 m* s+ E& M
' k' T! ]* e& v5 O3 U
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