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4 C% s2 ~3 e9 A: {, j0 u
$ k! x% `9 ]# _! ]% j. G
) {8 d1 q' F) K) HA题 安全的后视镜
L# `& t; D2 D, ]0 G1 b/ Y汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
: U- W8 F, k* F- a, m; [良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
( Q2 ?1 X9 u) Q p. _镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
% @# Q$ G8 A' s3 @; [2 o如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.' T, h* G" ?$ }- U3 \- Q: M
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面5 a6 _ a1 x, S. j- ~1 H6 u* ~3 L- R
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的$ x6 }( t2 i# I& [# V
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.8 b. i; `5 V# v/ g- n2 ^& T
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
0 E; K1 u8 [2 [造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
& T. q" n1 B4 \2 A离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
. d( v1 I7 o% J( w$ ?3 l2 F种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
9 V* d6 Z Z3 d! [5 ?2 d7 U$ U) O1 z, q平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线6 x) {: ~2 d4 p* n N
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性. w s5 v% F$ j. w% h% K/ G
能也会有所不同.5 e, t( Q4 B' O0 k1 d# q% t
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
5 |$ w- f' F; ]外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
3 ^* ~; L$ T0 l设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜5 c, q' I/ s6 n+ \: U2 L
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一/ }) Q9 x5 A2 D' M# O
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有" O; o1 S1 r0 s; k8 E0 W$ X
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相$ v) h# N: j' D2 Q; }! J$ i- [
应的国家标准.
5 w; Y5 e: U% e% ]4 H: z& f19 b0 E* n" N+ i! @
图 1: 变曲率后视镜的例子* ^+ V$ X4 z, C3 o
6 ~& v8 D* v; V' L$ G/ I
/ t' g4 [' Q" l0 y$ Y9 f0 p
B题 岁月的印记3 A2 ^% @) P% s) u. @; {" Z4 ]
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
( |4 `, |7 K6 d, B历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
% S( L, C; i l! s6 d4 X% c: p出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
# F# S3 O% o, ]' [/ T; m2 k来也就越困难.' ]/ z w& C/ j6 o& J
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
: }9 o4 s. i+ X+ x% p部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以# l: Q) v+ u8 o; F
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
4 i( ], t1 S$ l- h6 I% V9 E
4 X' f" y/ L N: h8 C, x2 \+ r ]3 X! i' h' z: B
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？$ I* L( d3 m' K0 O. T
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
. L9 U' p" r- R2 y了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教0 h. O, L% q, ~+ I
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考8 s# o6 K9 F: T( I- c6 z# ^
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷; g/ M3 D! [- S6 _ {3 D
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
1 U* R1 l0 S( m" |7 {依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端" ?/ Y2 e8 m0 f, g
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的' w0 X3 C3 S; q$ L
市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收& L1 p& g0 _( F! w
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
# m" \& _" x3 |0 x5 b你建立合理的数学模型解决如下问题。
7 f" N g3 g7 z" _5 W- |第一阶段问题：8 C: _2 D' B, C+ g" h
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展0 `2 z% ?% e- [3 p
的主要因素。: m; r. L9 H, ^$ m3 P! y4 S, a
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在. t& G1 l0 o; \9 b( `
市场占有率。0 {# u! q" X2 }# y
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会
- f/ j f$ i, o' i t5 x情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。# M" `/ E8 j+ R, T4 b4 {2 W
: g* } ~# w, X! }" b* U: }
D题 教室的合理设计
$ ^1 b# t' s" D" W+ `3 X3 Z4 ^% x（本题仅限中学组和专科组选用）
' A# w# a1 ]1 C某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类# m4 s' O0 O5 B# K9 i0 Y" C! c' |0 H
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
$ r8 ~- I# K! C" @活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计0 O3 a1 ?' O" o% n, I# M
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 % _9 |! ^7 w& U
第一阶段问题：
& g. Z" V- u, u, g+ T9 {5 k1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个' P; Y% T/ H- C1 _) w7 U8 x `6 n
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
4 }4 k. N+ H$ N: F a) @/ L少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
- f4 J& y8 _4 V6 Y. c; f影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之
7 y; U6 r* O |) F间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在
& k2 x' H5 Y+ Q设计中可以忽略墙占用的面积。
6 t& W; m, c ^; X) E% E2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
: ?% R# ~6 r# c& D. H- k3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教- m& v% {% x/ C: s1 s' T
室。
+ j6 U8 J" z( [, A
# O3 R8 |0 f8 r; b
$ j: O* @' b- \4 N1 O3 ]% R( B5 Z% W. W- I
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zan
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
