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数学建模学习笔记(6)用积分思想建模

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    发表于 2018-10-31 08:46 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学建模学习笔记(6)用积分思想建模' M. F0 h  ^, M
    2 h2 U$ a5 o3 ]6 u
    产生积分思想的源头问题:  F, n- m7 P8 G; j3 F5 Z& e: \
    + v9 N0 k9 G' e2 t# H$ m
        求曲线长;求曲线围成的面积;求曲线围成的体积;求物体的重心;两个物体间的引力
    1 V% t$ c+ F( F; Q# O1 V; c
    9 P  \* f5 O/ j/ o2 b; l0 q3 C5 l) a2 @  K2 a! u& C, s' k% J
        一维空间:求密度为ρ(x)占据(0,l)线段的直杆的质量3 }6 ]1 `: r0 M
    ' a' {7 f( \7 R# x0 ]
    9 L$ y6 V# _! `
                         把一根直杆分割成无数小区间,每个区间的密度看作常量,求积分( y9 c* ^4 m3 F- x+ N: R; b. I
    ' e  d3 \3 J' U1 [+ T
    7 B9 D# ]( h  i% G  _! z; [
        二维空间:求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量0 Q" n% c9 p% U/ l
    + C) A4 d# d$ m; C9 K
    4 ^- I/ S! ]. P( ^2 n
        三维空间:求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量
    4 Z$ H+ r* k7 ?2 W) t: x
    / Q! o/ m3 X8 c& @4 H9 U' W! u  q这些方法不止适用于物理量,还可以推广到自然科学和社会科学,比如人口出生密度,交通车流密度等可以用于求总量。, C8 c3 M2 K# ?2 V3 M: b& k8 d, k
    ' ~( y4 ~$ {! Z* b
    案例* A' B/ C" R2 b$ h7 @* [* \& Y

    ! o; F$ e/ V0 x消费者愿意付出的价格p=D(p),q为需求量,p是q的减函数(类似反比例函数) , d% a- L3 A" o' M- `) `' h

    & @- n4 o/ N) S3 C消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
    ) |% F: V. z- P
    ' t. g0 H1 f* I! g9 d7 ^实际付出的金额为Ao=p*q*
    ! h, X% B" a( o3 k" Y8 q: S0 p% l9 c9 {3 U6 H; |3 z
    消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额3 d3 \* I& @( S' j2 m3 {

    , }: t- t2 U! _" C  Q7 c0 G即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*9 d9 t( a6 R. N: ~' ~
    $ G4 f, z7 T  \' S! q* k6 H5 `0 I
    , J* ?) p* o- y: v- h0 X' f/ [
    ( y* T: p2 K; n4 d
    - W, H$ q6 {& f+ R" f
    zan
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