数学建模学习笔记（6）用积分思想建模

佛自业障

数学建模学习笔记（6）用积分思想建模

产生积分思想的源头问题：
5 M  C* i4 K/ B( n2 Y, x0 M3 F4 ?
    求曲线长；求曲线围成的面积；求曲线围成的体积；求物体的重心；两个物体间的引力

/ j; e" E! u1 p, ]3 Y
    一维空间：求密度为ρ(x)占据（0，l）线段的直杆的质量
5 E9 s, {& M  [+ R1 m

                     把一根直杆分割成无数小区间，每个区间的密度看作常量，求积分
( M. k! I- z6 x7 X! L$ z0 Y/ ~

    二维空间：求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量


    三维空间：求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量

这些方法不止适用于物理量，还可以推广到自然科学和社会科学，比如人口出生密度，交通车流密度等可以用于求总量。

案例
  l4 l5 H! |* V" ^9 O
) D' ^6 z8 B$ V# }4 s消费者愿意付出的价格p=D(p)，q为需求量，p是q的减函数（类似反比例函数）
  S* \3 M8 _$ d. ?# Q+ k2 ?* `
消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
. x! y! {6 ~* l% \7 s
实际付出的金额为Ao=p*q*
- @4 y' c! n4 Y' g& ?
' [4 q7 u; |0 [) k4 Q消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额
; x- N: V$ G& f8 z$ [1 a
! f  V0 f+ f; i8 j  o" V0 F8 Q即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*
4 j: f: t- }4 U2 m% \- }3 S0 b& k
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* P% ?+ g2 n9 g" P+ B) G% D2 T# {
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